Números Complexos Uma evolução no conceito de número
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<ul><li>Para determinarmos  os valores das raízes da equação precisamos calcular a raiz quadrada de -16. Sabemos, entretan...
O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>O conjunto dos números complexos é um conjunto tal que seus elementos podem ser s...
<ul><li>Multiplicação: </li></ul><ul><li>Observações: </li></ul><ul><li>a)  O Conjunto dos Reais estão contidos no Conjunt...
O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>Multiplicação </li></ul><ul><li>Unidade Imaginária </li></ul><ul><li>O número com...
O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>A Forma Algébrica </li></ul><ul><li>Um complexo qualquer z = (a,b) pode ser escri...
O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>Bibliografia: </li></ul><ul><li>Dante,Luiz Roberto. Matemática l. </li></ul><ul><...
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NúMeros Complexos

  1. 1. Números Complexos Uma evolução no conceito de número
  2. 2. <ul><li>Aprendemos que para resolver uma equação do 2º Grau podemos utilizar a chamada fórmula de Bháskara dada por: </li></ul><ul><li>Onde a, b, c são os coeficientes da equação: </li></ul><ul><li>ax² + bx + c = 0 </li></ul>1 – Uma Introdução <ul><li>Vamos então resolver a seguinte equação do 2º grau </li></ul><ul><li>x² + 2x + 5 = 0 </li></ul><ul><li>Nesse caso sabemos que os coeficientes são: </li></ul><ul><li>a = 1; b = 2 e c = 5 </li></ul><ul><li>Substituindo tais valores na fórmula de Bháskara, teremos: </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Para determinarmos os valores das raízes da equação precisamos calcular a raiz quadrada de -16. Sabemos, entretanto, que no conjunto dos números reais isso é impossível. </li></ul><ul><li>A necessidade de obter uma solução para esse tipo de problema levou os matemáticos a procurar novos conjuntos numéricos em que “ o quadrado de certo elemento pudesse ser negativo”. </li></ul>a = 1; b = 2 e c = 5
  4. 4. O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>O conjunto dos números complexos é um conjunto tal que seus elementos podem ser somados, multiplicados e também possibilitam a extração de raiz quadrada de um número negativo. </li></ul><ul><li>Logicamente, os números reais precisam ser elementos desse conjunto, e as operações de adição e multiplicação feitas sobre os reais no conjunto dos complexos devem ser as mesmas já conhecidas </li></ul><ul><li>Usaremos para definir esse conjunto a proposta por Gauss em 1831 e reforçada por Hamilton em 1837. </li></ul><ul><li>O conjunto dos Números Complexos é um conjunto de pares ordenados de números reais, em que estão definidas: </li></ul><ul><li>Igualdade: </li></ul><ul><li>Adição: </li></ul>(a,b) = (b,c) ↔ a = c e b = d (a,b) + (b,c) = (a + c; b + d)
  5. 5. <ul><li>Multiplicação: </li></ul><ul><li>Observações: </li></ul><ul><li>a) O Conjunto dos Reais estão contidos no Conjunto dos Complexos e são representados pelos pares ordenados que possuem o segundo termo igual a zero. Assim: </li></ul><ul><ul><ul><li>(5,0) corresponde a 5 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>(-1,0)corresponde a -1 </li></ul></ul></ul><ul><li>b) As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem as seguintes propriedades para quaisquer z, v e w: </li></ul><ul><li>Adição </li></ul>O Conjunto dos Números Complexos (a,b)(b,c) = (ac – bd; ad + bc) Comutativa : z + v = v + z Associativa :(z + v) + w = z + (v + w) Elemento Neutro :z 0 = (0,0) z + z 0 = z = z 0 + z Inverso aditivo :para todo z existe um z’ tal que: z + z’ = z’ + z = z 0
  6. 6. O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>Multiplicação </li></ul><ul><li>Unidade Imaginária </li></ul><ul><li>O número complexo (0,1) será denominado de unidade imaginária e representado por i. Assim: </li></ul><ul><li>i = (0,1) </li></ul><ul><li>Desse modo podemos observar que: </li></ul><ul><li>Que é a característica fundamental da unidade imaginária </li></ul>Comutativa : zv = vz Associativa :(zv)w = z(vw) Elemento Neutro :z 1 = (1,0) zz 1 = z = z 1 z Inverso multiplicativo :para todo z existe um z’ tal que: zz’ = z’z = z 1 Distribitiva em relação à adição z(v + w) = zv + zw
  7. 7. O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>A Forma Algébrica </li></ul><ul><li>Um complexo qualquer z = (a,b) pode ser escrito da seguinte maneira: </li></ul><ul><li>z = (a,b) = (a + 0, b + 0) = (a,0) + (0,b) </li></ul><ul><li>Como (0,b) = (b,0)(0,1),temos que: </li></ul><ul><li>z = (a,0) + (b,0)(0,1) = a + bi </li></ul><ul><li>z = a + bi </li></ul><ul><li>Essa é a forma algébrica ou forma binomial de se escrever um número complexo </li></ul><ul><li>Agora podemos retornar a solução da nossa equação do segundo grau: x² + 2x + 5 = 0 </li></ul>
  8. 8. O Conjunto dos Números Complexos <ul><li>Bibliografia: </li></ul><ul><li>Dante,Luiz Roberto. Matemática l. </li></ul><ul><li>1ª ed., São Paulo,Ática, 2004 </li></ul>

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