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Ejercicios de series numericas

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Ejercicios de series numericas

  1. 1. UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm EJERCICIOS DE SERIES NUMÉRICAS PROPUESTOS EN EXÁMENES ∞ 1.- Estudie el carácter de la serie numérica ∑ n =1 1 n . (Febrero 2002, ex. or.) ∞ Solución.- Puesto que 1 ≥ n n 1 , n = 1, 2, 3, ....y la serie ∑n =1 1 n es divergente, la serie propuesta será divergente. ∞ ∑ ln n 1 2.- Estudiar el carácter de   .(Febrero 2002, ex. res.) n =1 2 1 1 Solución.- 2ln n < eln n = n ⇒ ≥ , n = 1, 2, 3, ...., luego la serie propuesta diverge. ln n 2 n ∞ 3.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que  nn    es divergente.  n!  n =1   ∑ (Septiembre 2002, ex. or.) (n + 1)n +1 a Solución.- lim n +1 = lim (n + 1)! = lim n + 1  n + 1 · n n →∞ n + 1  = e > 1, luego por el criterio de n →∞ a n nn n →∞  n  n! D’Alembert, la serie dada es divergente. ∞ 4.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que ∑ n =1  n!   n  es convergente. n  (Septiembre 2002, ex. res.) (n + 1)! a = lim (n + 1)n +1 = lim n +1 n  1 n Solución.- lim n +1 · n →∞ n + 1 n + 1  = < 1 luego por el criterio de n →∞ a n n! n →∞   e nn D’Alembert, la serie dada es convergente. ∞ ∑ 2 5.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica: ne − n (Enero n =1 2003, ex. or.) Solución.- Por el criterio de D’Alembert : n +1 2 e ( n +1) = lim (n + 1)e = lim n + 1·1· 1  = 0 < 1 n a n +1 lim = lim  2n  n ne ( n +1) 2 n →∞ a n n →∞ n →∞ n →∞  n ee  2 en luego la serie es convergente. –1/2– Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes
  2. 2. UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm ∞ ∑ 2  n −1 6.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica:   n =2  n  (Enero 2003, ex. res) Solución.- Es divergente ya que no cumple la condición necesaria de convergencia. En efecto: 2  n −1 lim a n = lim   =1≠ 0 n →∞ n →∞  n  ∞ ∑( ) n 7. Estudiar el carácter de la serie n n − 1 (Septiembre 2003, ex. res) n =2 Solución.- Aplicamos el criterio de Cauchy: lim n a n = lim n →∞ n →∞ ( n ) n − 1 = lim n n − 1 = 1 − 1 = 0 <1 luego n →∞ la serie es convergente. ∞ 8. Estudiar el carácter de la siguiente serie: ∑ n =1 n2 +1 na n , a > 0. (Septiembre 2004, ex. res) Solución.- (n + 1)2 + 1 Aplicamos el criterio de D’Alembert: lim a n +1 = lim (n + 1)a n +1 lim [(n + 1)2 + 1]n = 1 . n →∞ a n n →∞ n 2 + 1 n →∞ a (n + 1)(n 2 + 1) a na n Hay tres casos: - si 0 < a < 1 → DIVERGENTE - si a > 1 → CONVERGENTE n2 +1 - si a = 1 → DIVERGENTE, por que el término general → ∞. n –2/2– Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes

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