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Cap7

  1. 1. CAP´ ITULO 7 as atic SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE atem PRIMER ORDEN eM o. d ept Estudiaremos el sistema de n ecuaciones lineales de primer orden: ,D x1 = a11 (t) x1 + a12 (t) x2 + . . . + a1n (t) xn + f1 (t) uia x2 = a21 (t) x1 + a22 (t) x2 + . . . + a2n (t) xn + f2 (t) tioq . . . (7.1) An xn = an1 (t) x1 + an2 (t) x2 + . . . + ann (t) xn + fn (t) de el cual se denomina no homog´nea si fi = 0 para alg´n i = 1, 2, . . . , n. e u El sistema homog´neo asociado al anterior sistema es: e ad rsid x1 = a11 (t) x1 + . . . + a1n (t) xn . . . (7.2) ive xn = an1 (t) x1 + . . . + ann (t) xn Un     x1 (t)   f1 (t) a11 (t) · · · a1n (t)   x2 (t)    . .    f2 (t)   Sea x(t) =  . , A(t) =  . . . . y f (t) =  . ,  . .   . .  an1 (t) · · · ann (t) xn (t) fn (t) entonces el sistema (7.1) se puede escribir: x (t) = A(t) x(t) + f (t) (7.3) 251
  2. 2. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN y la homog´nea asociada (7.2) se puede escribir como e x (t) = A(t) x(t) (7.4) Consideremos el problema de valor inicial: x (t) = A(t) x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 (7.5) as donde   atic x10   x20   atem x0 =  . .   .  xn0 eM Decimos que la funci´n vectorial o o. d   φ1 (t)  φ2 (t)   φ(t) =  . .   ept  .  ,D φn (t) uia es soluci´n de (7.5), si φ(t) es derivable, satisface la ecuaci´n diferencial y la o o tioq condici´n inicial dada, es decir, si o   An x10  x20  de   φ(t0 ) =  .  = x0  .  . ad xn0 rsid Teorema 7.1 . ive Sean A(t) y f (t) funciones matricial y vectorial respectivamente y continuas en [a, b], entonces existe una unica funci´n vectorial φ(t) que es soluci´n del ´ o o Un problema de valor inicial (7.5) en [a, b]. (Ver la demostraci´n de este teorema en el Ap´ndice) o e Ejemplo 1. Consideremos el sistema lineal x1 = −4x1 − x2 x2 = x1 − 2x2 252
  3. 3. con x1 (0) = 1 y x2 (0) = 2. Soluci´n: o El sistema puede escribirse como: x1 −4 −1 x1 = x2 1 −2 x2 as atic x1 (0) 1 x0 = = x2 (0) 2 atem Sus soluciones son de la forma: (1 − t) e−3t eM e−3t φ1 (t) = , φ2 (t) = −e−3t t e−3t o. d Tambi´n e (1 − 3t) e−3t φ(t) = (2 + 3t) e−3t ept ,D es un vector soluci´n que satisface la condici´n inicial. o o uia Nota: toda E.D. de orden n se puede reducir a un sistema de E.D. de primer orden. tioq Ejemplo 2. Convertir en un sistema la siguiente E.D.: An x − 6x + 11x − 6x = sen t de Soluci´n: hagamos x1 = x, x2 = x , x3 = x y obtenemos el siguiente o ad sistema rsid x1 = x = x 2 ive x2 = x = x 3 x3 = x = 6x − 11x + 6x + sen t = 6x3 − 11x2 + 6x1 + sen t Un = 6x1 − 11x2 + 6x3 + sen t matricialmente la E.D. queda as´ı        x1 0 1 0 x1 0 x = x 2  =  0 0 1   x 2  +  0  x3 6 −11 6 x3 sen t 253
  4. 4. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN 7.1. CONJUNTOS FUNDAMENTALES Y ´ SISTEMAS HOMOGENEOS Consideremos el sistema homog´neo x = A(t) x donde x es un vector de e n componentes y A(t) una matriz de n × n. Si φ1 (t), . . . , φn (t), son n soluciones linealmente independientes del sistema, entonces decimos que este conjunto es un conjunto fundamental de soluciones; as la matriz atic   φ11 (t) · · · φ1n (t) atem  Φ(t) = [φ1 (t), . . . , φn (t)] =  . . . .  . . , φn1 (t) · · · φnn (t) eM o sea, la matriz cuyas columnas son φ1 (t), . . . , φn (t) los cuales son lineal- o. d mente independientes, la llamamos una matriz fundamental y decimos que o ept Φ(t) es una soluci´n matricial ya que cada una de sus columnas es soluci´n o de x = A(t) x. ,D uia Definici´n 7.1 (Matriz Principal) . Decimos que la matriz fundamental o tioq ϕ(t) es matriz principal si An   1 ··· 0  . .  de ϕ(t0 ) = I =  . . .  . 0 ··· 1 ad rsid Nota: esta matriz es unica. ´ ive Un Definici´n 7.2 ( Wronskiano) Sea Φ(t) una matriz soluci´n (es decir, ca- o o da columna es un vector soluci´n) de x = A(t) x, entonces W (t) = det Φ(t) o lo llamamos el Wronskiano de Φ(t). Observaci´n: si Φ(t) es una matriz fundamental, entonces o W (t) = det Φ(t) = 0 254
  5. 5. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS 7.2. ´ METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Consideremos el sistema x = Ax (7.6)   as x1 (t)   a11 · · · a1n atic   x2 (t)    . .  es una matriz constante donde x(t) =  . yA= . . .  .  . .  atem an1 · · · ann xn (t) El objetivo es hallar n soluciones linealmente independientes: x1 (t), . . . , xn (t). eM Para ello imaginemos la soluci´n del tipo x(t) = eλ t v, donde v es un vector o constante, como o. d d λt e v = λeλ t v dt y A(eλ t v) = eλ t Av, de (7.6) tenemos que: ept ,D λeλ t v = A(eλ t v) = eλ t A v, uia luego tioq Av = λv (7.7) An Es decir, x(t) = eλ t v es soluci´n de (7.6) si y solo si λ y v satisfacen (7.7). o de ad Definici´n 7.3 (Vector y valor propio) . Un vector v = 0 que satisface o rsid Av = λv se le llama vector propio de A con valor propio λ. ive Un NOTA: v = 0 siempre satisface Av = λv para cualquier matriz A, por esto no nos interesa. λ es un valor propio de la matriz A si y solo si Av = λv ⇔ Av − λv = (A − λI)v = 0 (7.8) 255
  6. 6. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN es decir, v satisface sistema homog´neo de n ecuaciones con n incognitas e (A − λI)v = 0 (7.9) donde I es la matriz identidad. as atic La ecuaci´n (7.9) tiene una soluci´n v = 0 si y solo si det(A − λI) = 0, o o luego los valores propios de A son las ra´ de la ecuaci´n. ıces o atem   a11 − λ a12 ··· a1n  a21 a22 − λ · · · a2n  eM   0 = det(A − λI) =  . . . . . .   . . .  an1 an2 · · · ann − λ o. d = Polinomio en λ de grado n = p(λ). ,D ept Definici´n 7.4 (Polinomio Caracter´ o ıstico) . Al polinomio p(λ) de la no- ta anterior lo llamamos el Polinomio Caracter´ ıstico de la matriz A. uia tioq Como los vectores propios de A son los vectores v = 0 del sistema ecuaciones lineales An (A − λI)v = 0. y como p(λ) = 0, tiene a lo sumo n ra´ ıces, entonces existen a lo sumo n de valores propios de A y por tanto existen a lo sumo n vectores propios lineal- ad mente independientes. rsid El siguiente teorema se demuestra en los cursos de Algebra Lineal. ive Teorema 7.2 . Un Cualesquiera k vectores propios v1 , . . . , vk correspondientes a k valores pro- pios diferentes λ1 , . . . , λk respectivamente, son linealmente independientes. Pasos para hallar los valores y vectores propios de A: Hallar p(λ) = det(A − λI) = 0. 256
  7. 7. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Hallar las ra´ λ1 , . . . , λn de p(λ) = 0. ıces Para cada valor propio λi , resolver el sistema homog´neo e (A − λi I) v = 0. Ejemplo 2. Hallar tres soluciones linealmente independientes, una matriz as fundamental y la soluci´n general del siguiente sistema: o atic   1 −1 4 atem x = 3 2 −1 x 2 1 −1 eM Soluci´n: el polinomio caracter´ o ıstico es o. d   1 − λ −1 4 p(λ) = det(A − λI) =  3 2−λ ept −1  = −(λ3 − 2λ2 − 5λ + 6) = 2 1 −1 − λ ,D uia = −(λ − 1)(λ + 2)(λ − 3) = 0 tioq luego los valores propios son: λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 3 An Hallemos los vectores propios: Para λ1 = 1, tenemos que de         1 − 1 −1 4 v1 0 −1 4 v1 0 ad (A−1.I)v =  3 2−1 −1  v2  = 3 1 −1 v2  = 0 rsid 2 1 −1 − 1 v3 2 1 −2 v3 0 escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´n de filas o ive         Un 0 −1 4 0 −1 4 R ( 1 ) 0 −1 4 0 −1 4 R21 (1) 2 R32 (−1) 3 1 −→ −3 −1 − − 3 0 3 − − 1 0 1 − − → 1 0 1 → 1 −− R31 (1) 2 1 −2 2 0 2 R3 ( 2 ) 1 0 1 0 0 0 luego v2 = 4v3 , v1 = −v3 , v3 = v3 , por lo tanto      t −1 −1 −e v =  4  ⇒ x1 = et  4  =  4et  1 1 et 257
  8. 8. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN Para λ2 = −2, tenemos que         1 + 2 −1 4 v1 3 −1 4 v1 0 (A+2.I)v =  3 2+2 −1  v2  = 3 4 −1 v2  = 0 2 1 −1 + 2 v3 2 1 1 v3 0 escalonemos  matriz coeficientes por reducci´n de   la de   o filas   3 −1 4 3 −1 4 R ( 1 ) 3 −1 4 −1 −1 0 3 4 −1 −21 (4) 15 0 15 −2−15 1 0 1 −12 (−4)  1 R R as −→ − −− 1 → −−−→ 0 1 R31 (1) R3 ( 5 ) R32 (−1) atic 2 1 1 5 0 5 1 0 1 0 0 0 luego v2 = −v1 , v3 = −v1 , v1 = v1 , por lo tanto atem      −2t  1 1 e eM v= −1 ⇒ x2 = e−2t −1 = −e−2t  −1 −1 −e−2t o. d Para λ2 = 3, tenemos que ept ,D         uia 1 − 3 −1 4 v1 −2 −1 4 v1 0 (A − 3.I)v =  3 2−3 −1  v2  =  3 −1 −1 v2  = 0 tioq 2 1 −1 − 3 v3 2 1 −4 v3 0 An escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´n de filas o de       −2 −1 4 −2 −1 4 1 R2 ( 5 ) −2 −1 4  3 −1 −1 −21 (−1)  5 R R12 (4) ad −− −→ 0 −5 − −  1 −→ 0 −1 − − −→ R31 (1) 2 1 −4 0 0 0 0 0 0 rsid   2 −1 0 ive 1 0 −1 Un 0 0 0 luego v2 = 2v1 , v3 = v1 , v1 = v1 , por lo tanto      3t  1 1 e v = 2 ⇒ x3 = e3t 2 = 2e3t  1 1 e3t 258
  9. 9. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Las tres soluciones son x1 , x2 , x3 , como los tres valores propios son diferentes entonces x1 , x2 , x3 son linealmente independientes, o sea que la matriz fundamental es  t  −e e−2t e3t Φ(t) = [x1 , x2 , x3 ] =  4et −e−2t 2e3t  et −e−2t e3t as La soluci´n general es x(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + C3 x3 (t) o atic RA´ ICES COMPLEJAS. atem Si λ = α + iβ es un valor propio o caracter´ıstico de A con vector propio eM λt asociado v = v1 +iv2 , entonces x(t) = e v es una soluci´n vectorial compleja o de x = A x. o. d La soluci´n vectorial compleja da lugar a dos soluciones vectoriales reales; o en efecto: ept ,D Lema 7.1 . uia Sea x(t) = x1 (t) + ix2 (t) una soluci´n vectorial compleja de x = Ax, o entonces x1 (t) y x2 (t) son soluciones vectoriales reales de x = Ax. tioq Demostraci´n: como x(t) es soluci´n de x = A x entonces o o An x1 (t) + ix2 (t) = A(x1 (t) + ix2 (t)) = Ax1 (t) + iAx2 (t) de ad e igualando parte Real y parte Imaginaria: rsid x1 = A x 1 y x2 = A x 2 , ive o sea que x1 (t) y x2 (t) son soluciones. Un Obs´rvese que x1 (t) = Re {x(t)} e x2 (t) = Im{x(t)} NOTA: si λ = α + iβ es un valor propio complejo y v = v1 + iv2 es un vector propio complejo asociado a λ entonces x = eλt v = e(α+iβ)t (v1 + iv2 ) = eαt (cos βt + i sen βt)(v1 + iv2 ) = eαt [v1 cos βt − v2 sen βt + i(v1 sen βt + v2 cos βt)] 259
  10. 10. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN Por tanto si λ = α + iβ es un valor propio de A con vector propio v = v1 + iv2 , entonces x1 = eαt (v1 cos βt − v2 sen βt), x2 = eαt (v1 sen βt + v2 cos βt) (7.10) son dos soluciones vectoriales reales de x (t) = Ax y son linealmente inde- pendientes. as Ejemplo 3. Hallar dos soluciones vectoriales reales linealmente indepen- atic 12 −17 dientes del siguiente sistema: x = x 4 −4 atem Soluci´n: hallemos el polinomio caracter´ o ıstico eM 12 − λ −17 p(λ) = = λ2 − 8λ + 20 = 0 4 −4 − λ o. d los valores propios son λ1 = 4 + 2i, λ2 = 4 − 2i,por tanto α = 4, β = 2. ept ,D Si λ1 = 4 + 2i entonces uia 8 − 2i −17 v1 0 = 4 −8 − 2i v2 0 tioq An (8 − 2i)v1 − 17v2 = 0 y 4v1 + (−8 − 2i)v2 = 0 de como estas dos ecuaciones son linealmente dependientes, se toma una cualquiera ad de las dos, por ejemplo la primera rsid 1 1 v2 = (8 − 2i)v1 , v1 = v1 ⇒ v = v ive 17 1 17 (8 − 2i) 1 Un 17 17 0 tomando v1 = 17 tenemos v = = +i 8 − 2i 8 −2 17 0 escogemos como v1 = , v2 = 8 −2 Por lo tanto las dos soluciones vectoriales reales son: 17 0 x1 (t) = eαt (v1 cos βt − v2 sen βt) = e4t cos 2t − sen 2t 8 −2 260
  11. 11. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS 17 cos 2t = e4t 8 cos 2t + 2 sen 2t y tambi´n e 17 0 x2 (t) = eαt (v1 sen βt + v2 cos βt) = e4t sen 2t + cos 2t 8 −2 17 sen 2t as = e2t 8 sen 2t − 2 cos 2t atic Nota: si se utiliza el otro valor propio λ2 = 4 − 2i y se sigue el mismo atem procedimiento se llega a que eM 17 cos 2t 17 sen 2t x1 (t) = e4t , x2 (t) = e4t 8 cos 2t − 2 sen 2t 8 sen 2t + 2 cos 2t o. d que tambi´n son dos soluciones linealmente independientes de la E.D., es de- e ept cir, que de acuerdo a la selecci´n que hagamos ya sea en los valores propios o o en las ecuaciones lineales cuando escalonemos la matriz de coeficientes, ,D tendremos respuestas diferentes, esto se debe a que escogemos vectores base uia v1 , v2 diferentes. tioq RA´ ICES IGUALES. La matriz eAt que definimos a continuaci´n, tiene su existencia garantizada o An en el Ap´ndice A.3 . e de Definici´n 7.5 (Matriz exponencial) . Si A es una matriz n × n y cons- o ad tante t2 tn rsid eAt = I + tA + A2 + . . . + An + . . . 2! n! ive Esta serie es convergente para todo t y para toda matriz An×n constante. Un Derivando formalmente (Ver la demostraci´n de la derivada en el Ap´ndice o e A.4), tenemos d At tn−1 e = A + A2 t + . . . + An + . . . dt (n − 1)! tn−1 = A I + At + . . . + An + . . . = AeAt (n − 1)! 261
  12. 12. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN Por tanto, eAt v es una soluci´n de x = Ax, donde v es un vector constante. o En efecto d At (e v) = AeAt v = A (eAt v) dt x x Tambi´n en el Ap´ndice se demuestran las siguientes propiedades. e e Propiedades: as i). (eAt )−1 = e−At atic atem ii). eA(t+s) = eAt eAs eM iii). Si AB = BA, donde An×n y Bn×n , entonces eAt+Bt = eAt eBt o. d Observaci´n: o eAt v = eAt−λIt+λIt v = e(A−λI)t eλIt v ept (7.11) Ya que (A − λI)λI = (λI)(A − λI) ,D uia t2 Pero eλIt v = I + λIt + (λI)2 + ... v tioq 2! λ2 t 2 + . . . Iv = eλt v An = 1 + λt + 2! de sustituyendo en (7.11) ad eAt v = eλt e(A−λI)t v (7.12) rsid Si v satisface (A − λI)m v = 0 para alg´n entero m, entonces la serie infinita u ive (A−λI) t e termina despu´s de m t´rminos; en efecto, e e Un (A − λI)m+e v = (A − λI)e (A − λI)m v = 0. Por tanto t2 tm−1 e(A−λI)t v = I + (A − λI)t + (A − λI)+ . . . + (A − λI)m−1 v 2! (m − 1)! t2 tm−1 = v + t(A − λI)v + (A − λI)2 v + . . . + (A − λI)m−1 v 2! (m − 1)! 262
  13. 13. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS en (7.12): eAt v = eλt [v + t(A − λI)v t2 tm−1 + (A − λI)2 v + . . . + (A − λI)m−1 v] (7.13) 2! (m − 1)! Algoritmo para hallar las n soluciones linealmente independientes as 1. Hallar los valores y vectores propios de la matriz A. Si A tiene n vec- atic tores propios linealmente independientes entonces x = A x tiene n soluciones linealmente independientes de la forma eλt v. atem 2. Si A tiene k < n vectores propios linealmente independientes, entonces eM se tienen k soluciones linealmente independientes de la forma eλt v. Para encontrar las soluciones adicionales se toma un valor propio λ de A y o. d se hallan todos los vectores v tales que (A − λI)2 v = 0 y ept (A − λI)v = 0. ,D Para cada uno de estos vectores v uia eAt v = eλt e(A−λI)t v = eλt [v + t(A − λI)v] tioq es una soluci´n adicional de x o = A x. Esto se hace para todos los An valores propios de A. de 3. Si a´n en el paso anterior no se han conseguido las n soluciones lineal- u ad mente independientes, entonces se buscan los vectores v tales que rsid (A − λI)3 v = 0 y (A − λI)2 v = 0 ive por lo tanto Un t2 eAt v = eλt [v + t(A − λI)v + (A − λI)2 v] 2 es una nueva soluci´n linealmente independiente de x = A x. o 4. Se continua de la misma manera hasta completar n soluciones lineal- mente independientes. 263
  14. 14. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN Ejemplo 4. Resolver por el m´todo anterior el problema de valor inicial e     2 1 2 1 x = 0 2 −1 x x(0) =  3 0 0 2 1 Soluci´n: el polinomio caracter´ o ıstico de as   2 1 2 atic A = 0 2 −1 es p(λ) = (2 − λ)3 0 0 2 atem luego λ = 2 es un valor propio de A con multiplicidad 3. Hallemos los vectores propios asociados a λ = 2, estos vectores deben satis- eM facer la ecuaci´n o o. d      0 1 2 v1 0 (A − 2I)v = 0 0 −1 v2  = 0 0 0 0 v3 ept 0 ,D escalonemos la matriz de coeficientes por reducci´n de filas o uia     0 1 2 0 1 0 tioq R12 (2) 0 0 −1 − − 0 0 −1 −→ 0 0 0 0 0 0 An luego v2 = 0, v3 = 0 y v1 = v1 , por lo tanto el vector propio asociado a λ = 2 de es   1 ad 0  , rsid 0 ive la soluci´n asociada a este vector propio es o Un   1 2t 2t   x1 (t) = e v = e 0 , 0 luego la dimensi´n del espacio propio asociado al valor propio λ = 2 es uno, o esto quiere decir que debemos hallar un vector v tal que (A − 2I)2 v = 0 y (A − 2I)v = 0 264
  15. 15. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS         0 1 2 0 1 2 0 0 −1 v1 0 2 0 0 −1 0 0 −1 v = 0 0 0  v2  = 0 (A − 2I) v = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v3 0 es decir v3 = 0, v1 y v2 son  ametros; elegimos v1 = 0 y v2 = 1 de tal  par´ 0 as manera que el vector v = 1 sea linealmente independiente con el vector atic   0 1 atem v= 0 hallado anteriormente 0 La soluci´n asociada a v es o eM x2 (t) = eλt [v + t(A − λI)v] = e2t [v + t(A − 2I)v] o. d            0 0 1 2 0 0 1 t ept = e2t [1 + t 0 0 −1 1] = e2t [1 + t 0] = e2t 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,D como (A − 2I)2 v = 0 tiene dos soluciones linealmente independientes uia     tioq 1 0 0  ,  1  An 0 0 de se debe buscar otra soluci´n linealmente independiente con las anteriores, o que cumpla la condici´n o ad rsid (A − 2I)3 v =0 y (A − 2I)2 v = 0  3      ive 0 1 2 0 0 0 v1 0 3 0 (A − 2I) v = 0 −1  v =  0 0 0   v 2  = 0  Un 0 0 0 0 0 0 v3 0   0 luego v1 , v2 y v3 son par´metros, entonces escogemos v = 0 de tal manera a     1 1 0 que sea linealmente independiente con 0 y 1 y que adem´s cumpla a 0 0 265
  16. 16. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN (A − 2I)2 v = 0. Como el sistema es 3 × 3, entonces la ultima soluci´n es ´ o t2 t2 x3 (t) = eλt [v+t(A−λI)v+ (A−λI)2 v] = e2t [v+t(A−2I)v+ (A−2I)2 v] 2 2       2   0 0 1 2 0 0 1 2 0 t2 = e2t [0 + t 0 0 −1 0 + 0 0 −1 0] 2 as 1 0 0 0 1 0 0 0 1 atic              0 2 2 0 0 −1 0 0 2 2 −1 t t = e2t [0 + t −1 + 0 0 0  0] = e2t [0 + t −1 +  0 ] atem 2 2 1 0 0 0 0 1 1 0 0  2 2t − t2 eM 2t  =e −t  1 o. d La soluci´n general es o   ept    2 1 t 2t − t2 ,D x(t) = C1 x1 (t)+C2 x2 (t)+C3 x3 (t) = C1 e2t 0 +C2 e2t 1 +C3 e2t  −t  uia 0 0 1 tioq en t = 0 se tiene que An         1 1 0 0 x(0) = 3 = C1 0 + C2 1 + C3 0 de 1 0 0 1 ad luego C1 = 1, C2 = 3 y C3 = 1 rsid La soluci´n particular buscada es o ive  t2  1 + 5t − 2 Un 2t  x(t) = e 3−t  1 Nota: en algunos casos el valor propio repetido λ de multiplicidad m puede producir m vectores propios, en otros casos (como en el ejemplo anterior) puede producir menos de m vectores propios, teni´ndose que completar el e resto (hasta completar m) con los que llamaremos vectores propios genera- lizados. 266
  17. 17. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Definici´n 7.6 (Valor propio defectuoso) Un valor propio λ de multi- o plicidad m > 1 se le llama defectuoso si produce menos de m vectores propios linealmente independientes. Si λ tiene p < m vectores propios lineal- mente independientes, al n´mero d = m − p de vectores propios faltantes se u le llama el defecto del valor propio defectuoso λ En el ejemplo anterior λ = 2 tiene multiplicidad m = 3 y solo produjo p = 1 vector propio, al n´mero d = m − p = 3 − 1 = 2 de vectores propios faltantes u as se le llama el defecto del valor propio λ = 2, los dos vectores propios faltantes atic se consiguen con vectores propios generalizados. atem Observaciones. 1. Si λ es un valor propio de la matriz A, denominamos vector propio eM generalizado de rango m asociado a λ, al vector v tal que o. d (A − λI)m v = 0 y (A − λI)m−1 v = 0 ept Cuando m = 1, el vector v es un vector propio generalizado de rango uno y es tambi´n un vector propio ordinario; cuando m = 2, el vector e ,D v es un vector propio generalizado de rango dos, pero no es un vector uia propio ordinario. tioq Una cadena de longitud m de vectores propios generalizados originados An en el vector propio v1 es un conjunto de m vectores propios generaliza- dos {v1 , v2 , . . . , vm } tales que de (A − λI)vm = vm−1 ad (A − λI)vm−1 = vm−2 rsid . (7.14) . . ive (A − λI)v2 = v1 Un Si sustituimos vm−1 en la segunda expresi´n de (7.14) y luego vm−2 en o la tercera expresi´n y as´ sucesivamente, tenemos que o ı (A − λI)m−1 vm = v1 , (7.15) y como v1 es un vector propio ordinario, entonces premultiplicando (7.15) por (A − λI) se llega a que (A − λI)m vm = (A − λI)v1 = 0 267
  18. 18. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN en general para j = 1, . . . , m − 1 : (A − λI)j vm = vm−j (7.16) Utilizando (7.16) se puede mostrar que la cadena {v1 , v2 , . . . , vm } es un conjunto de vectores linealmente independientes, para ello suponemos que α1 v 1 + α 2 v 2 + . . . + α m v m = 0 as se premultiplica por (A − λI)m−1 y se llega a que αm = 0, en forma atic similar se demuestra que αm−1 = 0 y as´ sucesivamente hasta mostrar ı atem que α1 = 0 2. Utilizando (7.13) tenemos que eM x(t) = eλt [vm + t(A − λI )vm + o. d t2 tm−1 (A − λI)2 vm + . . . + (A − λI)m−1 vm ] (7.17) 2! (m − 1)! ,D ept donde vm satisface (A − λI)m vm = 0 y (A − λI)m−1 vm = v1 = 0 y por (7.16) uia tioq t2 tm−1 x(t) = eλt [vm + tvm−1 + vm−2 + . . . + v1 ] (7.18) 2! (m − 1)! An Algoritmo para una cadena de longitud m de a. Hallar v1 vector propio de A asociado al valor propio λ que satis- ad face el sistema: (A − λI)v = 0. rsid b. Hallar v2 tal que (A − λI)v2 = v1 . ive c. Hallar vm tal que (A − λI)vm = vm−1 . Un d. La soluci´n asociada a esta cadena es o t2 tm−1 x(t) = eλt [vm + tvm−1 + vm−2 + . . . + v1 ] 2! (m − 1)! 3. Consideremos el sistema x = a1 x + b 1 y (7.19) y = a2 x + b 2 y 268
  19. 19. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS luego su ecuaci´n caracter´ o ıstica es a1 − λ b1 p(λ) = det = (a1 − λ)(b2 − λ) − a2 b1 a2 b2 − λ = λ2 − (a1 + b2 )λ + (a1 b2 − a2 b1 ) = 0 (7.20) y supongamos que tiene una ra´ λ = m con multiplicidad dos. ız Supongamos tambi´n que e as A atic v1 = B atem es el vector propio asociado a λ = m y que A1 v2 = eM B1 o. d es el vector propio generalizado de rango dos, asociado al valor propio λ = m, es decir (A − mI)2 v2 = 0 y ept (A − mI)v2 = v1 = 0 ,D Por tanto las dos soluciones linealmente independientes son uia A x1 (t) = emt v1 = emt tioq B An y por (7.18) la segunda soluci´n es o de A1 A A1 + At x2 (t) = emt [v2 + tv1 ] = emt [ + t emt ] = emt , B1 B B1 + Bt ad la soluci´n general es o rsid x(t) ive x(t) = = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) y(t) Un A A1 + At = C1 emt + C2 emt (7.21) B B1 + Bt finalmente x(t) = C1 Aemt + C2 (A1 + At)emt (7.22) y(t) = C1 Bemt + C2 (B1 + Bt)emt 269
  20. 20. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN Teorema 7.3 . La matriz X(t)n×n es una matriz fundamental de la E.D. vectorial x = Ax si y solo si satisface la E.D. matricial X (t) = AX(t) y adem´s a det X(t0 ) = 0. Demostraci´n: sea X(t) = [x1 (t), . . . , xn (t)] una matriz fundamental de o x = Ax, entonces as atic x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) son linealmente independientes. Derivando la matriz X(t), tenemos atem X (t) = (x 1 (t), x 2 (t), . . . , x n (t)) eM y como o. d AX(t) = (Ax1 (t), Ax2 (t), . . . , Axn (t)) y sabiendo que ept ,D Ax1 (t) = x 1 (t), Ax2 (t) = x 2 (t), . . . , Axn (t) = x n (t) uia entonces tioq X (t) = (Ax1 (t), Ax2 (t), . . . , Axn (t)) = AX(t) ⇒ X(t) An solucion de la E.D. matricial de X = AX ad Rec´ıprocamente como x1 (t0 ), . . . , xn (t0 ) son linealmente independientes, ya rsid que det X(t0 ) = 0; entonces por la nota hecha en la p´gina 89 del Cap. IV, a tenemos que ive x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) son linealmente independientes Un luego la matriz X(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) es una matriz fundamental. Teorema 7.4 . La matriz eAt es una matriz principal de x = Ax. 270
  21. 21. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Demostraci´n: en efecto, eAt es soluci´n de X = AX ya que o o d At e = A eAt dt y por el teorema anterior eAt es una matriz fundamental, adem´s, a t2 eAt = I + At + A2 + ..., 2 as y para t = 0 se tiene que eA0 = I. atic atem Teorema 7.5 . Sean X(t) y Y (t) dos matrices fundamentales de x = Ax, entonces existe eM una matriz constante Cn×n tal que Y (t) = X(t)C. o. d Demostraci´n: como o ept X(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) es fundamental ,D entonces x1 , . . . , xn son linealmente independientes. Similarmente como uia Y (t) = (y1 , . . . , yn ) es fundamental tioq entonces y1 , . . . , yn son linealmente independientes. Pero An yi = C1i x1 + . . . + Cni xn de para i = 1, . . . , n, luego Y (t) = X Cn×n ad donde rsid   C11 · · · C1n  . .  C= . .  ive . . C1n · · · Cnn Un El siguiente teorema nos permite hallar una matriz exponencial, cono- ciendo una matriz fundamental. Teorema 7.6 . Sea X(t) una matriz fundamental de x = Ax entonces eAt = X(t) X −1 (0). 271
  22. 22. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN Demostraci´n: sea X(t) una matriz fundamental y como eAt es matriz o fundamental (principal), entonces, existe Cn×n tal que eAt = X(t)C Para t = 0 ⇒ e0t = I = X(0)C ⇒ C = X −1 (0). Luego eAt = X(t) X −1 (0) as Ejemplo 5. Hallar eAt para atic   1 1 1 atem x = 0 3 2 x 0 0 5 eM Soluci´n: o o. d Hallamos los valores propios, que en este caso son: λ = 1, λ = 3, λ = 5      t  1 1 ept e Para λ = 1 ⇒ v1 =  0  ⇒ x1 (t) = et  0  =  0  ,D 0 0 0 uia      3t  1 1 e tioq Para λ = 3 ⇒ v2 =  2  ⇒ x2 (t) = e3t  2  =  2e3t  0 0 0 An      3t  de 1 1 e Para λ = 5 ⇒ v3 =  2  ⇒ x3 (t) = e5t  2  =  2e3t  ad 2 2 2e5t rsid ive y por Teorema x1 (t), x2 (t),  3 (t) son linealmente independientes. 7.2 x et e3t e5t Un Luego X(t) =  0 2e3t 2e5t  es la matriz fundamental. 0 0 2e5t     1 1 1 1 −1 0 2 Luego X(0) =  0 2 2  ⇒ X −1 (0) =  0 1 − 2  2 1 1 0 0 2 0 0 2 272
  23. 23. ´ 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Luego    et e3t e5t 1 −1 0 2 eAt = X(t) X −1 (0) =  0 2e3t 2e5t   0 1 − 1  2 2 1 0 0 2e5t 0 0 2  t t 3t 3t 5t  e − e + e2 − e2 + e2 2 = 0 e3t −e3t + e5t  as 0 0 e5t atic Ejercicios. En los siguientes ejercicios, hallar la soluci´n general para x = o atem A x y con el Wronskiano comprobar que los vectores soluci´n son linealmente o independientes. eM 8 −3 1. A = 16 −8 o. d 3 4t 1 −4t (Rta.: x(t) = C1 e + C2 e ) 4 4 ept 12 −15 ,D 2. A = 4 −4 uia 3 2t 5 6t (Rta.: x(t) = C1 e + C2 e ) 2 2 tioq 4 5 An 3. A = −4 −4 5 0 0 5 de (Rta.: x(t) = C1 [ cos 2t− sen 2t]+C2 [ cos 2t+ sen 2t]) −4 2 2 −4 ad   1 0 0 rsid 4. A = 2 1 −2 3 2 1  ive      2 0 0 Un (Rta.: x(t) = C1 −3 et + C2 et [1 cos 2t −  0  sen 2t]   2   0 −1 0 0 + C3 et [ 0  cos 2t + 1 sen 2t]) −1 0 −2 1 5. x = x −1 −4 273
  24. 24. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN (Rta.: λ = −3(mult.2),vector propio v = [1 − 1]T , x1 (t) = (C1 + C2 + C2 t)e−3t , x2 (t) = (−C1 − C2 t)e−3t )   −3 0 −4 6. x = −1 −1 −1 x 1 0 1 (Rta.: λ = −1(mult.3) defectuoso, x1 (t) = (−2C2 +C3 −2C3 t)e−t , x2 (t) = (C1 − C2 + C2 t − C3 t + 1 C3 t2 )e−t , x3 (t) = (C2 + C3 t)e−t ) as 2 atic 0 1 7. A = −4 4 atem 1 2t 1 − 2t 2t (Rta.: x(t) = C1 e + C2 e ) 2 −4t eM 7.3. ´ ´ E.D. NO HOMOGENEA Y VARIACION o. d ´ DE PARAMETROS ept Consideremos el problema de valor inicial: ,D x = Ax + f (t), x(t0 ) = x0 (7.23) uia Sean x1 (t), . . . , xn (t) las soluciones linealmente independientes de la ho- tioq mog´nea asociada, o sea que e xh (t) = C1 x1 (t) + . . . + Cn xn (t) An y variando los par´metros C1 , C2 , . . . , Cn tenemos a de x(t) = u1 (t)x1 (t) + . . . + un (t)xn (t), ad la cual suponemos que es una soluci´n de x = Ax + f (t). o rsid Luego , x(t) = X(t)u(t), donde ive   u1 (t) X(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) y u(t) =  .  Un  .  . un (t) Como d x (t) = (X(t)u(t)) = X (t)u(t) + X(t)u (t), dt Ax + f (t) = AX(t) u(t) + f (t) = X (t)u(t) + f (t) X 274
  25. 25. ´ ´ ´ 7.3. E.D. NO HOMOGENEA Y VARIACION DE PARAMETROS Sustituimos en (7.23) y cancelando, obtenemos: X(t)u (t) = f (t) Premultiplicando por X −1 (t) : u (t) = X −1 (t)f (t) e integrando de t0 a t: t u(t) = u(t0 ) + X −1 (s) f (s) ds (7.24) as t0 atic como atem x(t) = X(t) u(t) ⇒ x(t0 ) = X(t0 ) u(t0 ) y premultiplicando por X −1 (t0 ) eM u(t0 ) = X −1 (t0 ) x(t0 ) o. d en (7.24): t u(t) = X −1 (t0 ) x(t0 ) + ept X −1 (s) f (s) ds t0 ,D luego uia t −1 x(t) = X(t)u(t) = X(t) X (t0 ) x(t0 ) + X −1 (s) f (s) ds tioq t0 An t x(t) = X(t) X −1 (t0 ) x0 + X(t) X −1 (s) f (s) ds (7.25) de t0 ad En particular si rsid X(t) = eAt ⇒ X −1 (t) = e−At ⇒ X −1 (t0 ) = e−At0 ive entonces Un t At −At0 At x(t) = e e x0 + e e−As f (s) ds t0 o sea que t x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−s) f (s) ds (7.26) t0 275
  26. 26. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN Ejemplo 6. Utilizar (7.25) para resolver el sistema: 6 −3 e5t 9 x = x+ , x(0) = 2 1 4 4 Soluci´n: los valores propios son: λ = 3, λ = 4 o Los vectores propios linealmente independientes son: as atic 1 3 v1 = , v2 = 1 2 atem Las soluciones vectoriales linealmente independientes son: eM 1 e3t 3 3e4t x1 (t) = e3t = , x2 (t) = e4t v2 = e4t = 1 e3t 2 2e4t o. d Luego la matriz fundamental y su inversa en t´rminos de s son: e ept e3t 3e4t −2e−3s 3e−3s ,D X(t) = , X −1 (s) = e3t 2e4t e−4s −e−4s uia Pasos: a) hallemos: tioq t t e3t 3e4t −2e−3s 3e−3s e5s X(t) X −1 (s) f (s) ds = ds An t0 =0 e3t 2e4t 0 e−4s −e−4s 4 t e3t 3e4t −2e2s + 12e−3s de = ds e3t 2e4t 0 es − 4e−4s ad e3t 3e4t −e2t − 4e−3t + 5 = rsid e3t 2e4t et + e−4t − 2 2e5t − 1 + 5e3t − 6e4t ive = e5t − 2 + 5e3t − 4e4t Un e3t 3e4t 2e5t − 1 = 5 −2 + e3t 2e4t e5t − 2 = 5x1 (t) − 2x2 (t) + xp Luego la soluci´n particular es o 2e5t − 1 xp = e5t − 2 276
  27. 27. ´ ´ ´ 7.3. E.D. NO HOMOGENEA Y VARIACION DE PARAMETROS b) Hallemos X(t) X −1 (0)x0 e3t 3e4t −2 3 9 e3t 3e4t −6 −6e3t + 15e4t = = e3t 2e4t 1 −1 4 e3t 2e4t 5 −6e3t + 10e4t De a) y b): as t −1 x(t) = X(t) X (0) x0 + X(t) X −1 (s) f (s) ds atic 0 atem −6e3t + 15e4t 2e5t − 1 + 5e3t − 6e4t eM = + −6e3t + 10e4t e5t − 2 + 5e3t − 4e4t −e3t + 9e4t + 2e5t − 1 o. d = −e3t + 6e4t + e5t − 2 ept ,D En los siguientes ejercicios, aplique el m´todo de variaci´n de par´metros e o a para hallar una soluci´n particular de los siguientes sistemas: o uia tioq 6 −7 2t 0 1. x = x+ , x(0) = 1 −2 3 0 An 1 666 − 120t − 575e−t − 91e5t (Rta.: x(t) = 150 ) 588 − 60t − 575e−t − 13e5t de ad 0 2 0 0 2. x = x + 3t , x(0) = rsid −1 3 e cos 2t 0 −2t sen 2t (Rta.:x(t) = 1 e3t ) ive 4 sen 2t + 2t cos 2t Un 3. x = 4y + 1, y = −x + 2 (Rta.: x = −2C1 cos 2t + 2C2 sen 2t + 2; y = C2 cos 2t + C1 sen 2t − 1 ) 4 4. x = −y + t, y =x−t (Rta.: x = C1 cos t + C2 sen t + 1 + t; y = −C2 cos t + C1 sen t − 1 + t) 277
  28. 28. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN 7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS Definici´n 7.7 Si o    ∞ −st  x1 (t) 0 e x1 (t) dt x(t) =  .  ⇒ £{x(t)}(s) = X(s) =  .  .  def.   . . .  as ∞ −st xn (t) 0 e xn (t) dt atic Y si atem      ∞ −st  f1 (t) F1 (s) 0 e f1 (t) dt f (t) =  .  ⇒ F (s) = £{f (t)}(s) =  .  =  .  .   .   .  . . . eM  ∞ −st fn (t) Fn (s) 0 e fn (t) dt o. d Sea el P.V.I. x (t) = Ax(t) + f (t), x(0) = x0 . Luego £{x (t)}(s) = £{Ax(t) + f (t)} ept ,D = A£{x(t)}(s) + £{f (t)}(s) uia = AX(s) + F (s) (7.27) tioq     £{x1 }(s) sX1 (s) − x1 (0)  . .   . .  An Pero £{x (t)} =  . = .  = sX(s) − x(0) £{xn }(s) sXn (s) − xn (0) de en (7.27): sX(s) − x(0) = AX(s) + F (s) ad Luego (sI − A) X(s) = x(0) + F (s) = x0 + F (s) rsid Ejemplo 7. Resolver el problema de valor inicial. ive Un 1 4 1 2 x = x+ et , x(0) = 1 1 1 1 1 4 1 £{x }(s) = £{x}(s) + £{et }(s) 1 1 1 1 4 1 1 sX(s) − x(0) = X(s) + 1 1 s−1 1 278
  29. 29. 7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS 1 4 1 1 sI − X(s) = x(0) + 1 1 s−1 1 2 1 1 = + 1 s−1 1 1 s − 1 −4 X1 (s) 2+ s−1 = 1 −1 s − 1 X2 (s) 1+ s−1 1 as ⇒ (s − 1)X1 (s) − 4X2 (s) = 2 + s−1 atic 1 −X1 (s) + (s − 1)X2 (s) = 1 + atem s−1 Resolviendo el anterior sistema para X1 (s), X2 (s): 1 11 1 1 1 eM X1 (s) = − + + s−1 4 s−3 4s+1 1 1 11 1 1 1 o. d X2 (s) = − + − 4s−1 8 s−3 8s+1 x1 (t) = £−1 {X1 (s)} ept ,D 1 11 1 1 1 = −£−1 + £−1 + £−1 s−1 4 s−3 4 s+1 uia 11 3t 1 −t = −et + e + e tioq 4 4 −1 x2 (t) = £ {X2 (s)} An 1 1 11 1 1 1 = − £−1 + £−1 − £−1 4 s−1 8 s−3 8 s + 1) de 1 11 1 = − et + e3t − e−t ad 4 8 8 rsid Usar la transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas de E.D. ive dx 1. dt = −x + y Un dy dt = 2x, x(0) = 0, y(0) = 1 (Rta.: x(t) = − 1 e−2t + 1 et , y(t) = 1 e−2t + 3 et ) 3 3 3 2 dx 2. dt = 2y + et dy dt = 8x − t, x(0) = 1, y(0) = 1 et 192 t 53 (Rta.: x = 173 e4t + 8 − 15 + 320 e−4t , y= 1 16 − 160 e−4t − 15 et + 173 e4t ) 53 8 96 279
  30. 30. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN dx 3. dt = x − 2y dy dt = 5x − y, x(0) = −1, y(0) = 2 (Rta.: x = − cos 3t − 5 sen 3t, y = 2 cos 3t − 3 sen 3t) 3 7 4. Dos pesos de 96 libras y 64 libras se mueven horizontalmente en una superficie lisa, cada resorte tiene k = k1 = k2 = 600. En t = 0 los resortes est´n sin estirar y el de peso 96 tiene una velocidad de 600 a as pies/seg. alej´ndose del muro y el otro esta en reposo. Encontrar las a atic E.D. del movimiento y la posici´n en el tiempo t. (Ver Cap´ o ıtulo 4 figura 4.16) atem 2x 2y (Rta.: m1 d 2 = −k1 x + k2 (y − x), m2 d 2 = −k2 (y − x) dt √ √ dt √ √ x = 24 sen 10t + 6 6 sen 600t, y = 36 sen 10t − 6 6 sen 600t) eM o. d Ejercicio 5. Hallar las E.D. del sistema de resortes acoplados con constantes k1 y k2 y masas m1 y m2 respectivamente, como se muestra ept en la figura 4.14; resolverla con k1 = k2 = k3 = 1, m1 = m2 = 1 y x(0) = 0, y(0) = 0, x (0) = −1, y (0) = 1 ,D (Rta.: x = − 1 et + 1 e−t , y = 1 et − 1 e−t ) 2 2 2 2 uia tioq 7.5. ANEXO CON EL PAQUETE Maple An Ejemplo 8. Con el paquete Maple resolver el siguiente sistema, hallar la soluci´n o de general y la soluci´n particular o x1 = −4x1 − x2 ad x2 = x1 − 2x2 rsid con x1 (0) = 1, x2 = 2 Soluci´n: o ive Un >sys1 :=[diff(x(t),t)=-4*x(t)-y(t), diff(y(t),t)=x(t)-2*y(t)]; sys1 := [x = −4 ∗ x − y, y = x − 2 ∗ y] >sol1 := dsolve(sys1); sol1 := {x (t) = e−3 t ( C1 + C2 t) , y (t) = −e−3 t ( C1 + C2 t + C2 )} 280

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