Fuzzy Basis Functions for Modeling Nonlinear Dynamics

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Fuzzy Basis Functions for Modeling Nonlinear Dynamics

  1. 1. Funções de Base Nebulosas e Modelagem de Dinâmica Não-Linear Trabalho final da disciplina “Sistemas Nebulosos” 20/julho, 2004 Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Modelagem, Análise e Controle de Sistemas Não-Lineares – MACSIN ‡ [email_address]
  2. 2. Sumário <ul><li> Funções de Base Nebulosas (FBFs): Definição; </li></ul><ul><li>FBFs: Considerações; </li></ul><ul><li>FBFs: Estimação; </li></ul><ul><li>Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear; </li></ul><ul><li>Continuidade. </li></ul>
  3. 3. Funções de Base Nebulosas (FBFs) <ul><li>Considere sistemas nebulosos MISO caracterizados por uma base de regras do tipo </li></ul><ul><li>R j : SE x 1 é A 1 j e x 2 é A 2 j e ... e ... x n é A n j ENTÃO z é B j </li></ul><ul><li>A i j :  A i j (x i ); B j =  B j (z) =  j ( singleton nebuloso) </li></ul><ul><li>i = 1,2,...,n: número de variáveis de entrada </li></ul><ul><li>j = 1,2,...,M: número de regras </li></ul><ul><li>• A saída do sistema será dada pela função </li></ul><ul><li>(inferência: produto) </li></ul>
  4. 4. Funções de Base Nebulosas (FBFs) <ul><li>Se considerarmos uma função de base nebulosa </li></ul><ul><li>(FBF) , será dada por uma combinação linear do tipo </li></ul>(Expansão em uma base de funções nebulosas) Pseudo-FBF para R j (Construção da base multidimensional: produto tensorial normalizado)
  5. 5. FBFs: Considerações <ul><li>Funções de pertinência empregadas na expansão: gaussianas </li></ul><ul><ul><li>Propriedades </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Aproximação universal : Wang, L.-X. & Mendel, J.M. (1992). Fuzzy basis functions, universal approximation and orthogonal least-squares learning. IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 30, no. 5. </li></ul></ul></ul>FBFs podem ser definidas a priori (regras lingüísticas) ou selecionadas (automaticamente) a partir de exemplos (dados) do problema. Propriedades de localização e globalidade
  6. 6. FBFs: Estimação <ul><li>Otimização não-linear de todos os parâmetros (gradiente descendente) ou ... </li></ul><ul><li>Fixados os parâmetros das funções de base (parâmetros das funções de pertinência, e.g., centros e dispersões das gaussianas), o sistema será linear nos parâmetros  j . Exemplo: Orthogonal Forward Routine (OFR) – OLS com detecção de estrutura </li></ul><ul><ul><li>Regressão linear: </li></ul></ul><ul><ul><li>P (matriz com M regressores candidatos) pode ser definida como um subconjunto dos dados (e.g, M = N) </li></ul></ul><ul><ul><li>Ortogonalização de P (e.g., Gram-Schmidt clássico) </li></ul></ul><ul><ul><li>Taxa de redução de erro : </li></ul></ul>
  7. 7. Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear <ul><li>Simulação de um oscilador não-linear (forçado): Duffing-Holmes </li></ul><ul><li>Para o oscilador exibe </li></ul><ul><li>comportamento caótico. Dados de estimação (1500 amostras): T i =  /3000; T s =  /60 s. </li></ul>Sistemas nebulosos em modelagem e análise de dinâmica não-linear: literatura
  8. 8. Exemplo Numérico <ul><li>Modelos FBF (300 candidatos igualmente espaçados no tempo ) </li></ul><ul><ul><li>Modelo I: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Dimensão de imersão = 3; </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>20 funções de base no modelo final (dispersão = 0,5) </li></ul></ul></ul>Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
  9. 9. Motilidade: Formação de Padrões Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear T p = 200x  /3000 T p = 4x  /60
  10. 10. Comportamentos mais complexos: Myxobactéria Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
  11. 11. Inspiração: Otimização – Um Modelo Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
  12. 12. Inspiração: Otimização – Um Modelo Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear <ul><ul><li>Modelo II: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>33 funções de base no modelo final (dispersão = 0,5), 7 “manualmente” incluídas nas proximidades do ponto fixo trivial </li></ul></ul></ul>
  13. 13. Continuidade <ul><li> Paralelo entre funções de base nebulosas e radiais (e.g., com aplicações em representação de dinâmica não-linear); </li></ul><ul><li>Extensão de resultados disponíveis para RBFs (e.g., imposição de simetria e localização de pontos fixos); </li></ul><ul><li>Ruído; </li></ul><ul><li>Maior flexibilidade na geração de candidatos (e.g., diferentes MFs na FBF, diferenças entre o número de variáveis por FBF, ...); </li></ul><ul><li>Outros métodos para detecção de estrutura ( subset selection : construtivos, destrutivos, all-combination , ...). </li></ul>

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