7.variablesaleatoriasdiscretas.distribuciónbinomial

273 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
273
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
5
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

7.variablesaleatoriasdiscretas.distribuciónbinomial

  1. 1. MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS UNIDADE 7VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  2. 2. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta.4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta.5. Distribución binomial ou de Bernouilli6. Función de probabilidade dunha distribución binomial.7. Función de distribución dunha distribución binomial.8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  3. 3. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Variable aleatoria:Chámase variable aleatoria a toda lei(función) que asocia a cada elemento doespazo mostral E dun experimentoaleatorio un número real. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  4. 4. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplo 1: 1ª moeda Consideramos oexperimento aleatorio 2ª moedalanzar 3 moedas, e a cada C Xposible resultado de dito 3ªexperimento asignámoslle C X moeda C Xo número real que indica onúmero de caras queobtivemos. C X C X C X C X Esta función quedenotamos por X (X=nºde caras obtidas) é unha CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXXvariable aleatoria e tenpor percorrido {0, 1, 2, 3} 3 2 2 1 2 1 1 0 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  5. 5. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplo 2:Consideramos o experimento aleatorio “lanzardous dados de distinta cor”, e a cada un dospuntos mostrais asociámoslle un número realque é a suma dos puntos obtidos entre os dousdados. Esta función X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria e ten por percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  6. 6. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. 1º dado 1 2 3 4 5 6 2º dado1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6(4,2)(4,5)(6,4)(6,5)(4,3)(4,4)(4,6)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,2)(6,3)(6,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(6,1)(5,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(3,1)(1,1)2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 1011 7 8 9 101112 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  7. 7. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplo 3: Consideremos o experimentoaleatorio “elixir ao chou un alumnodo noso instituto”; os puntosmostrais son os 700 alumnos doinstituto. A cada posible resultadoasignámoslle un número real queserá a estatura de dito alumno. X=estatura do alumno é unhavariable aleatoria; o percorridodesta variable aleatoria é máiscomplicado de establecer, aínda quepodemos supor que se trata dunintervalo, por exemplo [1.40, 1.95]m, a variable podería tomarcalquera valor entre os infinitos dointervalo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  8. 8. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. Exemplo 4: Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunhacerta marca etiquetado como 1Kg “. Os puntos mostrais do experimento son todos os paquetes de café de dita marca eetiquetados con ese peso. Asignámoslle a cada resultado do experimento un número real que será o peso realdo paquete. X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria; o seu percorrido podemosconsideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg, e pode tomar calquera valor dosinfinitos de dito intervalo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  9. 9. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. Discretas O percorrido da variable aleatoria é finito ou infinito numerableTipos devariables Continuas O percorrido, ao menos teórico,aleatorias está formado polos infinitos valores dun intervalo ou de varios. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  10. 10. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplos:No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” avariable aleatoria X=nº de caras obtidas éunha variable aleatoria discreta, pois o seupercorrido {0,1,2,3} é finito.No experimento aleatorio “lanzar dous dadosde distinta cor”, a variable aleatoriaX=“puntos obtidos entre os dous dados” éunha variable aleatoria discreta, pois o seupercorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} é finito. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  11. 11. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.No experimento aleatorio “elixir ao chou unalumno do noso instituto”; X=estatura doalumno é unha variable aleatoria continua poiso seu percorrido é un intervalo [1.40, 1.95] mNo experimento aleatorio “elixir ao chou unpaquete de café dunha certa marcaetiquetado como 1Kg”; X=peso real dopaquete, é unha variable aleatoria continuapois o seu percorrido podemos consideralocomo o intervalo [0.800, 1.200]Kg IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  12. 12. 2. Función de probabilidade dunha variablealeatoria discreta. Función de probabilidade X pi=p(X=xi)dunha variable aleatoriadiscreta x1 p1 Chámase función deprobabilidade dunha variable x2 p2aleatoria discreta X á aplicación . .que asocia a cada un dos valoresque pode tomar dita variable, e . .que denotamos como xi, a súa . .probabilidade. Dita función pódese expresar xn pnmediante unha táboa, e soerepresentarse mediante undiagrama de barras. 1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  13. 13. 2. Función de probabilidade dunha variablealeatoria discreta.Exemplo 1 No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas” con percorrido {0,1,2,3}. Calculemos a súa función de probabilidade: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  14. 14. 2. Función de probabilidade dunha variablealeatoria discreta. X=nº de caras pi=p(X=xi) obtidas x1=0 P1=p(X=0)=p(“nºde caras obtidas sexa 0”)= =p({XXX})=1/8=0.125 x2=1 p2=p(X=1)=p(“nº de caras obtidas sexa 1”)= =p({CXX, XCX, XXC})=3/8=0.375 x3=2 p3=p(X=2)=p(“nº de caras obtidas sexa 2”)= =p({CCX, CXC, XCC})=3/8=0.375 x4=3 p4=p(X=3)=p(“nº de caras obtidas sexa 3”)= =p({CCC})=1/8=0.125 p1+p2+p3+p4=1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  15. 15. 2. Función de probabilidade dunha variablealeatoria discreta. 0.4 0.375 0.375 0.3 0.2 probabilidade 0.125 0.125 0.1 0 0 1 2 3 nº de caras IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  16. 16. 2. Función de probabilidade dunha variablealeatoria discreta.Exemplo 2:No experimento aleatorio “lanzar dous dadosde distinta cor”, a variable aleatoriaX=“puntos obtidos entre os dous dados” éunha variable aleatoria discreta e o seupercorrido é {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Calculemos a súa función de probabilidade: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  17. 17. 2. Función de probabilidade dunha variablealeatoria discreta.X= suma pi=p(X=xi)dos puntosdos dousdadosx1=2 p1=p(X=2)=p(“a suma de puntos sexa 2”)=p({(1,1)})=1/36=0.028x2=3 p2=p(X=3)=p(“a suma de puntos sexa 3”)=p({(1,2),(2,1)})=2/36=0.056x3=4 p3=p(X=4)=p(“a suma de puntos sexa 4”)=p({(1,3),(2,2),(3,1)})=3/36=0.083x4=5 p4=p(X=5)=p(“a suma de puntos sexa 5”)=p({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)})=4/36=0.111x5=6 p5=p(X=6)=p(“a suma de puntos sexa 6”)= =p({(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)})=5/36=0.139x6=7 p6=p(X=7)=p(“a suma de puntos sexa 7”)= =p({(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)})=6/36=0.167x7=8 p7=p(X=8)=p(“a suma de puntos sexa 8”)= =p({(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)})=5/36=0.139x8=9 p8=p(X=9)=p(“a suma de puntos sexa 9”)=p({(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)})=4/36=0.111x9=10 p9=p(X=10)=p(“a suma de puntos sexa 10”)=p({(4,6),(5,5),(6,4)})=3/36=0.083x10=11 p10=p(X=11)=p(“a suma de puntos sexa 11”)=p({(5,6),(6,5)})=2/36=0.056x11=12 p11=p(X=12)=p(“a suma de puntos sexa 12”)=p({(6,6)})=1/36=0.028 p1+p2+p3+p4+...+p11=1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  18. 18. 2. Función de probabilidade dunha variablealeatoria discreta. 0.17 0.167 0.16 0.15 0.139 0.139 0.14 0.13 0.12 0.111 0.111 0.11 0.1 0.09 0.083 0.083 0.08 probabilidade 0.07 0.06 0.056 0.056 0.05 0.04 0.028 0.028 0.03 0.02 0.01 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 suma de puntos IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  19. 19. 3. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta X. A función de distribución, F, dunha variable aleatoria discreta X é aquela que a cada valor x, nº real, lle asigna a probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores menores ou iguais que x. F(x)=p(X≤x) Como consecuencia desta definición: 0≤F(xi)=p(X≤xi)=p(X=x1)+p(X=x2)+...+p(X=xi)≤1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  20. 20. 3. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta. Exemplo 1: Calculemos a función de X=nº de caras pi=p(X=xi)distribución F para a obtidasvariable aleatoria X=“nº 0 p1=p(X=0)=1/8=0.125de caras” no experimento 1 p2=p(X=1)=3/8=0.375aleatorio “lanzar 3 2 p3=p(X=2)=3/8=0.375moedas”. 3 p4=p(X=3)=1/8=0.125 Lembremos a súa función p1+p2+p3+p4=1de probabilidade: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  21. 21. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha especie de probabilidade acumulada: p( X x) 0 se x 0 1 p( X x) p( X 0) p( X 0) se 0 x 1 8 1 3 4 1F x p( X x) p( X 1) p( X 0) p( X 1) se 1 x 2 8 8 8 2 1 3 3 7 p( X x) p( X 2) p( X 0) p( X 1) p( X 2) se 2 x 3 8 8 8 8 1 3 3 1 p( X x) p( X 3) p( X 0) p( X 1) p( X 2) p( X 3) 1 se 3 x 8 8 8 8 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  22. 22. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. y f(x)=0 E a súa gráfica é escalonada: f(x)=1/8 f(x)=1/2 1.8 f(x)=7/8 f(x)=1 Serie 1 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  23. 23. 3. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta. Exemplo 2: X= suma dos puntos pi=p(X=xi) Calculemos a función de dos dous dadosdistribución F para a 2 p1=p(X=2)=1/36variable aleatoria X=“suma 3 p2=p(X=3)=2/36dos puntos das caras 4 p3=p(X=4)=3/36 5 p4=p(X=5)=4/36superiores” no 6 p5=p(X=6)=5/36experimento aleatorio 7 p6=p(X=7)=6/36“lanzar 2 dados”. 8 p7=p(X=8)=5/36 9 p8=p(X=9)=4/36 Lembremos a súa función 10 p9=p(X=10)=3/36de probabilidade: 11 p10=p(X=11)=2/36 12 p11=p(X=12)=1/36 p1+p2+p3+p4+...+p11=1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  24. 24. 3. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta. A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unhaespecie de probabilidade acumulada: 0 se x 2 1 p( X 2) p( X 2) se 2 x 3 36 1 2 3 p( X 3) p( X 2) p( X 3) se 3 x 4 36 36 36 1 2 3 6 p( X 4) p( X 2) p( X 3) p( X 4) se 4 x 5 36 36 36 36 1 2 3 4 10 p( X 5) p( X 2) p( X 3) p( X 4) p( X 5) se 5 x 6 36 36 36 36 36 1 2 3 4 5 15 p( X 6) p( X 2) p( X 3) ... P( X 6) se 6 x 7 36 36 36 36 36 36 F x p( X x) 1 2 3 4 5 6 21 p( X 7) p( X 2) p( X 3) ... p ( X 7) se 7 x 8 36 36 36 36 36 36 36 1 2 3 4 5 6 5 26 p( X 8) p( X 2) p( X 3) ... p( X 8) se 8 x 9 36 36 36 36 36 36 36 36 1 2 3 4 5 6 5 4 30 p( X 9) p( X 2) p( X 3) ... p ( X 9) se 9 x 10 36 36 36 36 36 36 36 36 36 1 2 3 4 5 6 5 4 3 33 p( X 10) p( X 2) p( X 3) ... p( X 10) se 10 x 11 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 35 p( X 11) p( X 2) p( X 3) ... p( X 11) se 11 x 12 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 p( X 12) p( X 2) p( X 3) ... p( X 12) 1 se 12 x 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  25. 25. 3. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta. y f(x)=0 f(x)=1/36 1.4 f(x)=3/36 E a súa gráfica é escalonada: f(x)=6/36 1.3 f(x)=10/36 f(x)=15/36 f(x)=21/36 1.2 f(x)=26/36 f(x)=30/36 1.1 f(x)=33/36 f(x)=35/36 1 f(x)=1 Serie 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 x -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  26. 26. 3. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta.Propiedades da función de distribución: F(x) é constante en cada intervalo [xi,xi-1) e a súa gráfica é, polo tanto, escalonada. F(x) é discontinua en xi F(x) é crecente pois é unha suma acumulativa de probabilidades e estas son sempre positivas. p(a<X≤b)=F(b)-F(a). A probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores no intervalo (a, b] é a diferenza entre os valores da función de distribución nos extremos do intervalo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  27. 27. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta. Media, esperanza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. Retomemos agora o noso primeiro exemplo: Experimento aleatorio=“lanzar 3 moedas” Variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas” E realicemos de xeito empírico 40 veces, por exemplo, dito experimento anotando de cada vez o nº de caras obtidas. Supoñamos que o nº de caras obtidas en cada un dos 40 experimentos é: 2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  28. 28. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta. X é entón unha variable estatística discreta, e os resultados obtidos pódense colocar nunha táboa de frecuencias. Tamén podemos calcular a súa media aritmética e a súa varianza. Á hora de calcular a media aritmética, empregaremos a fórmula: n xi f i n n n i 1 xi f i f x xi i xi hi N i 1 N i 1 N i 1 Do mesmo xeito, á hora de calcular a varianza: n 2 xi fi n 2 n n 2 i 1 2 xi fi 2 2 fi 2 2 2 s x x xi x xi hi x N i 1 N i 1 N i 1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  29. 29. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta.xi fi hi=fi/N xi.hi x i2 xi2.hi0 3 3/40 0 0 01 15 15/40 15/40 1 15/402 18 18/40 36/40 4 72/403 4 4/40 12/40 9 36/40 N=40 1 ∑ xi.hi ∑ xi2.hi =63/40 =123/40 Obtemos: 4 63 x xi hi 1.575 i 1 40 4 2 2 2 123 s2 xi hi x 1.575 0.594 i 1 40 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  30. 30. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta. Pero se lembrades a lei dos grandes números, cando un experimento aleatorio se repite un nº de veces moi elevado, as frecuencias relativas dun suceso estabilízanse ao redor dun número ao que chamábamos probabilidade. Traballemos coas probabilidades e pensemos nos resultados esperados á vista de ditas probabilidades. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  31. 31. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta. Se pensamos teoricamente no que acontecería aorealizar o experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” 40veces, de acordo coas probabilidades obteríamos: xi fi hi=pi xi.hi=xi.pi xi2 xi2.hi=xi2.pi 0 5 5/40=1/8 0 0 0 1 15 15/40=3/8 3/8 1 3/8 2 15 15/40=3/8 6/8 4 12/8 3 5 5/40=1/8 3/8 9 9/8 N=40 1 ∑ xi.hi=∑xi.pi ∑ xi2.hi=∑xi2.pi =12/8=1.5 =24/8=3 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  32. 32. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta. Calculando a media aritmética e a varianza desta situación absolutamente teórica obtemos: 4 4 12 x xi hi xi pi 1.5 i 1 i 1 8 4 4 2 2 2 2 2 2 24 s xi hi x x i pi x 1.5 3 2.25 0.75 i 1 i 1 8 A media aritmética desta situación teórica chámase media ou esperanza da variable aleatoria X e represéntase por μ, e a varianza desta situación teórica chámase varianza da variable aleatoria X e represéntase por σ2. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  33. 33. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta.Media ou esperanza matemática dunha variable aleatoriadiscreta X.Chámase media ou esperanza matemática dunha variable aleatoriadiscreta X, e represéntase por μ, á expresión : n x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi i 1Varianza dunha variable aleatoria discretaChámase varianza dunha variable aleatoria discreta X erepreséntase por σ2, á expresión: n 2 2 2 2 2 x1 p1 x2 p2 ... x n pn xi2 pi 2 i 1 nOu ben : 2 ( x1 ) p1 ( x2 2 ) p2 ... ( xn ) pn 2 ( xi 2 ) 2 piDesviación típica dunha variable aleatoria discreta i 1 É a raíz cadrada da súa varianza 2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  34. 34. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta. Exemplo 2: Calculemos agora a media ou esperanza matemática μ e a varianzaσ2 da variable aleatoria X=“suma dos puntos” asociada aoexperimento aleatorio “lanzar dous dados” xi pi xipi xi2 xi2.pi 2 1/36 2/36 4 4/36 3 2/36 6/36 9 18/36 4 3/36 12/36 16 48/36 5 4/36 20/36 25 100/36 6 5/36 30/36 36 180/36 7 6/36 42/36 49 294/36 8 5/36 40/36 64 320/36 9 4/36 36/36 81 324/36 10 3/36 30/36 100 300/36 11 2/36 22/36 121 242/36 12 1/36 12/36 144 144/36 1 Μ = ∑ xipi = 252/36 = 7 ∑xi2.pi = 1974/36 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  35. 35. 4. Media, varianza e desviación típica dunhavariable aleatoria discreta.Obtemos 11 xi pi 7 i 1 2 11 2 2 1974 2   x i pi 7 54.83 49 5.83 i 1 36 2  5.83 2.41 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  36. 36. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli Distribución binomial ou de Bernouilli (Ars coniectandi 1713) Unha variable aleatoria discreta X dise que segue unha distribución binomial se se verifica: O experimento aleatorio é un experimento composto de varios simples iguais ou probas. Estes experimentos simples ou probas teñen só dous posibles resultados, A e B. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  37. 37. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli O resultado obtido en cada un dos experimentos simples é independente dos obtidos nos exp. simples anteriores. A probabilidade do resultado A, e polo tanto a de B, non varia ao longo do experimento. Se chamamos p á probabilidade de que se verifique o resultado A e q á de que se verifique B, p+q=1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  38. 38. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  39. 39. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli Unha variable aleatoria binomial X queda perfectamente determinada coñecendo o nº de probas (n) e a probabilidade (p) de que se verifique o suceso que contabiliza e, polo tanto, exprésase B(n,p), n e p reciben o nome de parámetros de distribución. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  40. 40. 5. Distribución binomial ou de BernouilliExemplo 1:A variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” asociadaao experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”, segueunha distribución binomial. O experimento aleatorio está composto por tres experimentos simples iguais “lanzar unha moeda”. Cada experimento simple “lanzar unha moeda” ten dous posibles resultados A=“saír cara” e B=“saír cruz”. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  41. 41. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli O resultado de cada lanzamento dunha moeda é independente do acontecido nos lanzamentos anteriores. As probabilidades dos sucesos A e B non varían nos tres lanzamentos. p=p(A)=p(“saír cara”)=1/2 q=p(B)=p(“saír cruz”)=1/2 Vemos tamén que p+q=1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  42. 42. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli O esquema do experimento, como podemos obter nesta aplicación obtida na páxina de recursos educativos do ITE, sería: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  43. 43. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta de tipo binomial. Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, é dicir: Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais. Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con probabilidades p e q que se manteñen constantes en tódalas probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores. X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  44. 44. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial. O espazo mostral do experimento aleatorio está formado por 2.2.2...2=2n elementos. Cada un destes elementos é do tipo ABBAAB...AB onde A repítese k veces e B n-k veces. Tomemos un destes elementos onde as A estean agrupadas, e polo tanto as B tamén AAA...ABBB...B, repetíndose A k veces e B n-k veces. Como os sucesos son independentes: p(AA...ABB...B)=p(A).p(A)...p(A).p(B).p(B)...p(B)= =p.p...p.q.q...q=pk.qn-k IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  45. 45. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial. Aínda que ocupen distintos postos, todos aqueles elementos do espazo mostral formados por k veces A e n-k veces B teñen a mesma probabilidade pk.qn-k. E cantos elementos temos nesta situación? Dito número son as permutacións con repetición de n elementos onde A repítese k veces e B repítese k-n veces: PRnk,n-k . Como k ,n k n! n PR n k! n k ! k IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  46. 46. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial. Concluímos que a función de probabilidade da variable aleatoria binomial X vén dada pola fórmula: p(X=k)= =p(“o nº de veces que aconteza A sexa k”)= n pk qn k k IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  47. 47. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial.Nota: O termo obtido para a función de probabilidade deste tipo de variables aleatorias lembra o termo xeral do desenvolvemento do binomio de Newton. n n n p q pi q n i i 0 i De aí o nome de distribución binomial. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  48. 48. 5. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomialExperimento de Galton. Unha idea de distribución binomial pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou quincunce): Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos distribuídos regularmente. Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída dependendo do azar. Unha bóla tiña a mesma probabilidade de chocar con cada un dos cravos e seguir un camiño (1/2) As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no borde inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da función de probabilidade dunha binomial B(n,1/2). Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  49. 49. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial.Exemplo: Nun cuestionario de 8 preguntas só hai quecontestar SI ou NON.Acha a probabilidade de, sen coñecer aresposta, acertar 5 preguntas.Acha a probabilidade de acertar polo menos 6. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  50. 50. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  51. 51. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial. Ao non coñecer ningunharesposta, ante unha dascuestións temos a mesmaprobabilidade de acertala(A) que de errala (E). Esta situación repíteseao longo das 8 preguntasdo cuestionario. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  52. 52. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial. O experimento aleatorio consiste en responder ao chou as 8 cuestións, consta de 8 probas onde as probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das preguntas non inflúe nas posteriores. A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de respostas acertadas” é unha variable aleatoria binomial B(8,½) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  53. 53. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial.Acha a probabilidade de, sen coñecer aresposta, acertar 5 preguntas. p(“acertar 5 preguntas”)=p(X=5)= 5 8 5 8 8 8 1 1 8! 1 56 56 7 = 5 p q 8 5 5 5 2 2 5! 3! 2 28 256 32 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  54. 54. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial.Acha a probabilidade de acertar polo menos 6. p(“acertar polo menos 6 preguntas”)= =p(“acertar 6,7 ou 8”)= =p(X=6)+p(X=7)+p(x=8)= 6 2 7 1 8 0 8 1 1 8 1 1 8 1 1 6 2 2 7 2 2 8 2 2 8 8 8 8! 1 8! 1 8! 1 6! 2! 27! 1! 2 8! 0! 2 1 1 1 37 28 8 1 256 256 256 256 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  55. 55. 6. Función de probabilidade dunha distribuciónbinomial.Nota:Cando nunha binomial o parámetro n aumenta,os cálculos empezan a ser complicados polo quese recorre ás táboas da binomial para podertraballar IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  56. 56. 6. Función de probabilidadedunha distribución binomial. TÁBOA DISTRIBUCIÓNBINOMIAL Exemplo: Nunha binomial B(9,0.25),calcula p(X=6). Búscase n=9,k=6 en verticale p=0.25 en horizontal.P(X=6)=0.9987 Na páxina webhttp://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm atopamos unhaaplicación que dá osresultados directamente. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  57. 57. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, é dicir: Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais. Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con probabilidades p e q que se manteñen constantes en todas as probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores. X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B)• X toma valores enteiros (0, 1, 2,....) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  58. 58. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial. Atendendo á definición de función de distribución dunha variable aleatoria discreta, dado x un número real calquera: F(x)=p(X≤x)=p(X≤t)= sendo t o nº enteiro maior non superior a x =p(X=0)+p(X=1)+...+P(x=t)= n 0 n n 1 n 1 n p q p q ... pt q n t 0 1 t n pk qn k sendo k=0,1,2..... k x k IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  59. 59. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial. Exemplo: Nunha urna hai 4 bólasbrancas e 6 bólas negras.O experimento consiste enfacer catro extracciónscon devolución. Calcula afunción de probabilidade ea función de distribuciónda variable “nº de bólasbrancas”. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  60. 60. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial. O experimento aleatorio “extracción con devolución de 4 bólas dunha urna que contén catro bólas brancas e seis bólas negras”: Consta de 4 probas con dous posibles resultados (bóla branca ou bóla negra). As probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das probas non inflúe nas posteriores. p=p(“sacar bóla branca”)=4/10=0.4 q=p(“sacar bóla negra”)=6/10=0.6 A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de bólas brancas” é unha variable aleatoria binomial (B(4,0.4)) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  61. 61. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial. Por ser unha variable aleatoria binomial, a súa función de probabilidade é: n p( X k) pk qn k k Como o número de extraccións é 4 entón: 4 p( X k) pk q4 k k IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  62. 62. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial.Polo tanto: 0 4 4p(X=0)=p(“non obter brancas”)= 4 6 4! 1 0.1296 0.1296 0 10 10 0! 4! 1 3 4 4 6 4!P(X=1)=p(“obter 1 branca”)= 1 10 10 1! 3! 0.4 0.216 0.3456 2 2 4 4 6 4!P(X=2)=p(“obter 2 brancas”)= 2 10 10 2! 2! 0.16 0.36 0.3456 3 1 4 4 6 4!P(X=3)=p(“obter 3 brancas”)= 3 10 10 3! 1! 0.064 0.6 0.1536 4 0 4 4 6 4!P(X=4)=p(“obter 4 brancas”)= 4 10 10 4! 0! 0.0256 1 0.1256 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  63. 63. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial.xi p(X=xi) 0.36 0.34 0.3456 0.3456 0.32 0.30 p(X=0)=0.1296 0.28 0.261 p(X=1)=0.3456 0.24 0.22 0.22 p(X=2)=0.3456 0.18 0.1536 probabilidade 0.163 p(X=3)=0.1536 0.14 0.12 0.12964 P(X=4)=0.0256 0.1 0.08 0.06 0.04 0.0256 0.02 0 1 2 3 4 5 nº de bolas brancas 6 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  64. 64. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial. A súa función de distribución será:F ( x) p( X k) k x 0 x 0 p( X 0) 0.1296 0 x 1 p( X 0) p( X 1) 0.1296 0.3456 0.4752 1 x 2F ( x) se p( X 0) p( X 1) p( X 2) 0.4752 0.3456 0.8208 2 x 3 p( X 0) p( X 1) p( X 2) p( X 3) 0.8208 0.1536 0.9744 3 x 4 p( X 0) p( X 1) p( X 2) p( X 3) p( X 4) 0.9744 0.0256 1 4 x IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  65. 65. 7. Función de distribución dunha variable aleatoriadiscreta binomial. y f(x)=0 f(x)=0 1.4 f(x)=0.1296 f(x)=0.4752 1.3 f(x)=0.8208 f(x)=0.9744 f(x)=1 1.2 Serie 1 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  66. 66. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial. Media ou esperanza matemática dunha distribución binomial. A media μ dunha distribución binomial B(n,p) é: μ=n.p IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  67. 67. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial. Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza. X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades: n px=p(X=x)= x p x qn x Aplicamos a definición de media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta: n x px x 0 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  68. 68. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial.Obtendo: n n 0 n n n 1 n x px 0 p q 1 p q ... n pn q0 x 0 0 1 n n n x n x n n! x p q x p x qn x x 1 x x 1 x! n x ! n n x n! n! p x qn x p x qn x x 1 x x 1! n x ! x 1 x 1! n x ! n n n n 1! n 1! p px 1 q n x n p px 1 qn x x 1 x 1! n x ! x 1 x 1! n x ! n n 1 n 1 n p px 1 qn x n p p q x 1 x 1 n p 1n 1 n p IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  69. 69. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial. Varianza dunha distribución binomial: A varianza dunha distribución binomial B(n,p) é: σ2=n.p.q IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  70. 70. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial. Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza. X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades: n px=p(X=x)= x p x qn x Aplicamos a definición de varianza dunha variable aleatoria discreta: n 2 (x ) 2 px x 0 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  71. 71. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial.Obtemos n n n 2 2 x px x2 2x 2 px x x 1 x 2x 2 px x 0 x 0 x 0 n n n n n n 2 2 x x 1 px 1 2 x px px x x 1 px 1 2 x px px ** x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Com o n n n n n n! x x 1 px x x 1 px x x 1 p x qn x x x 1 p x qn x x 0 x 2 x 2 x x 2 x! n x ! n n n! n! x x 1 p x qn x p x qn x x 2 x x 1 x 2! n x! x 2 x 2! n x! n n n n 1 n 2! 2 x 2 n x 2 n 2! p p q n n 1 p px 2 qn x x 2 x 2! n x! x 2 x 2! n x! n n 2 n 2 n n 1 p2 px 2 qn x n n 1 p2 p q n n 1 p 2 1n 2 n n 1 p2 x 2 x 2 ** n n 1 p 2 1 2 2 1 n n 1 p 2 1 2 n p n p n2 p 2 n p n 1 p 1 2 n p n p n p n p p 1 2 n p n p n p 1 p n p q IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  72. 72. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial.Desviación típica dunha distribución binomial. A desviación típica dunha distribución binomial B(n,p) é: 2 n p q IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  73. 73. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial.Retomando o exemplo anterior:Nunha urna hai 4 bólas brancas e 6 bólasnegras. O experimento consiste en facer catroextraccións con devolución. Calcula a media ouesperanza matemática, a varianza e adesviación típica da variable “nº de bólasbrancas”. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  74. 74. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial. Lembra que a variable aleatoria X=“nº de bólas brancas” correspondía a unha distribución binomial onde o número de probas n era 4, a probabilidade p de extraer unha bóla branca era 0.4 e a probabilidade q de extraer unha bóla negra era 0.6; é dicir, trátase dunha distribución binomial B(4, 0.4). Polo tanto μ = n.p = 4·0.4 = 1.6 σ2= n.p.q = 4·0.4·0.6=0.96 σ = √0.96 =0.98 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  75. 75. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial. Lembremos o primeiro exemplo co que traballamos: No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas”. Xa observamos con anterioridade que se trata dunha distribución binomial; de feito é unha distribución binomial B(3, ½) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  76. 76. 8. Media ou esperanza matemática, varianza edesviación típica dunha distribución binomial. Calcularamos a súa media e a súa varianza atendendo á definición xeral para unha variable aleatoria discreta. Vexamos agora que se as calculamos de acordo co dito para unha binomial obtemos igual resultado. μ=n.p=3.1/2=3/2=1,5 σ2=n.p.q=3.1/2.1/2=3/4=0,75 2 n p q 0.75 0.87 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

×