Calculo diferencias e integral penney 4edi

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Calculo diferencias e integral penney 4edi

  1. 1. CUARTA EDICÔNwALCULOEDWARDS Y PENNEYDIFERENCIAL EINTEGRAL
  2. 2. d= (x1 x2)2 +(y -Yz)2Ecuaciones de rectas y cIrculos(x2, Y2)a bDistancia en el piano cooidenado:Ecuación pendiente-ordenadaal origen: Pendiente: ,ny = mx + b(O,b)- re: in(x1, Yi)ÁLGEBRAn.¡;;;, = ( V;r= xm/nFórmula cuadráticaLas soluciones de la ecuación cuadráticaax2+ bx + e = Oestán dadas por-b + ~b2 - 4acx=2aFórmula binomial(x + y)2 = x2 + 2xy + y2(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3(x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6x2y2+ 4xy3 + y4En general, (x+ yt =xn + (~)xn-ly + G)xn- 2/+.oo + G)xn- kyk +oo. + (n: ¡)xyn - 1+ yn,donde el coeficiente binomial (n) es el entero I( n~ )1m m. n m.FactorlzaclónSi n es llil entero positivo, entoncesxn _ yn = (x _ y)(xn- 1 + xn- 2y + xn - 3y2 + oo.+xn - k- 1yk + .. , + xyn - 2 + yn - 1).Si n es llil entero positivo impar, entoncesxn + yn = (x + y)(xn- I _ xn- 2y + xn - 3y2 _ .. ,±xn-k-1yk:¡:oo. _ xyn-2+ yn-I),araS=ar+~~ = ar - saSExponentes(ab) = ab(a)S = arsNotacion factorialPara cada entero positivo n,n! = n(n - l)(n - 2) .. , 3·2·1;por definición, O! = l.Radicalesh~~Área del círculo:A = rrr2Circunferencia:e = 2rrrÁr~ ~~~·ectáng1¡Jo: ¡:·, uu(:!u)1hbVolumen del cilindro:V = rrr2hÁrea de lasuperficie lateral:A = 2rrrh. b2Area del t:nlpecio:~A=bl;b2h ~b,Área del triángUJ~A = l-bh .• .",:~.. ...•...2 bVohunen dela esfera:V = }rrr3Área de la superficie:A = 4rrr2xyGEOMETRÍAd = la - blFórmulas para la distancIaDistancia en la recta munérica real:f+----d--lI IEcuación pend iente-ordenadaal origen:y = mx + bEcuación punto-pendiente:y - YI = m(x - xl)Circulo con centro (h,k)y radio r:(x-h)2+(y-k?=r 2xVolumen del cono:V=.jJr?hÁrea de lasuperficie lateral:A = rrr ~ r 2 + h2cos2A = 1 + cos 2A2TRIGONOMETRíA:sen 2A + cos2A = 1 (la identidadjimdalllental)tan2A + 1 = sec2Acos 2A = cos2A - sen2A = 1- 2 sen2A = 2 cos2A - 1sen 2A = 2 sen A cos AcosCA + B) = cos A cos B - sen A sen BcosCA - B) =cos A cos B + sen A sen Bsen(A + B) = sen A cos B + cos A sen Bsen(A - B) = sen A cos B - cos A sen Bsen2A = 1 - cos 2A2Vé;¡se los apéndices p;¡ra más fór111ubs de referencia.
  3. 3. Lección01 5/19/05 10:15 PM Page 2
  4. 4. PROYECTOSLos siguientes proyectos usan varias tecnologIas y son la base para el estudio individual o para las tareas en laboratorio.1.1 Solución de ecuaciones por medio del método de tabulación (pág. 13)1.3 Solución de ecuaciones por medio del método de aproximaciones sucesivas (pág. 31)1.4 Más acerca de la solución de ecuaciones mediante aproximaciones (pág. 42)2.1 Aproximación gráfica de pendientes de curvas (pág. 59)2.2 Estudio numérico de los limites (pág. 70)2.4 Aplicaciones de las ecuaciones cübicas y cuárticas (pág. 91)3.1 Estudio grafico del crecimiento de poblaciones (pág. 106)3.5 Extremos mediante aproximación a los ceros de derivadas (pág. 139)3.6 Solución gráfica de problemas de aplicación de máximos y mInimos (pág. 154)3.9 Implantación en calculadoralcomputadora del método de Newton (pág. 183)4.4 Solución gráfica de problemas de cajas no estándar (pág. 218)4.5 Gráficas y soluciones de ecuaciones polinomiales (pág. 226)4.6 Básqueda de puntos criticos y puntos de inflexión en gráficas exóticas (pág. 241)5.4 Cálculo numérico de sumas de Riemann (pág. 287)5.8 Cálculo automático de areas (pág. 322)5.9 Básqueda de In 2 y jr mediante integración numérica (pág. 335)6.2 Aproximación numérica de vokimenes de revolución (pág. 359)6.3 Integrales de volumen yjoyerIa de diseñado personalizado (pág. 367)6.4 Aproximación numérica de Ia longitud de arco (pág. 375)7.1 Aproximación del nñmero e mediante el cálculo de pendientes (pág. 407)7.2 Aproximación del nuimero e mediante integración numénca (pág. 417)7.3 Aproximación del niimero e mediante cuadrados sucesivos (pág. 424)7.4 Paseo gráfico por donde nadie ha paseado (pág. 430)8.3 Estudio gráfico de los IImites de formas indeterminadas (pág. 463)8.5 Matemáticas del arco de San Luis (pag. 477)9.2 4Cuándo son equivalentes dos respuestas (integrales)? (pág. 484)9.5 Crecimiento acotado de poblaciones y Ia ecuación IogIstica (pág. 507)9.8 Aproximación numérica de integrales impropias (pág. 527)CAPITULO123456789
  5. 5. CálculoD iferenciale Integral
  6. 6. QilculoD iferenciale IntegralCuarta EdiciónC. H. EDWARDS, Jr.The University of Georgia, AthensDAVID E. PENNEYThe University of Georgia, AthensTraducción: OSCAR ALFREDO PALMAS VELASCOFacultad de Ciencias, UNAMRevisión técnica: VICTOR HUGO IBARRA MERCADOLicenciado en FIsica y MatemáticasESFM, IPNEscuela de Actuarla, Universidad AnáhuacPearsonEdiicaciónMEXICO ARGENTINA BRAS[L COLOMBIA. COSTA RICA CHILEESPAJA GUATEMALA. PERU . PUERTO RICO . VENEZUELA
  7. 7. EDIClON EN INGL~S:Acquisiúons Editor: George LobellEdilor in ChieF. Tim BozikDevelopmenr Editor: Karen KadinProduclion Editor: Edward ThomasMarkeling Manager: Melissa AcuñaSupplemenlS EdiIOr: Mary HornbyProducl Manager: T rudy PisciolliDesign Direclor: F10rence Dara SilvermanTexr Designer: Andrew ZUlisPage LaYOUI: Andrew Zutis, Karen NoferiCover Designer: Patricia McGowanCover PhOIO: Michael PortlandPhOIO EdiIOr: Lorinda Morris-NanrzPhOlO Research: Mira SchachneEdilorial Assislance: Joanne WendelkenTexl Composilion: Inreraclive Composiúon CorporalionArt Sludio: Necwork GraphiésCopy EdiIOr: !Jnda ThompsonEDWARDS: cALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. 4a. Ed.Traducido del inglés de la obra: CALCULUS WITH ANALYI1C GEOMETRY (Brief edition), FOURTH EDITION.A11 righlS reserved. AUlhorized lranslaúon from English language edition published by Prenrice-Hall. Inc.Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por Prenrice-Hall, Inc.A11 righlS reserved. No parl of rhis book may be reproduced or lransmilled in any form or any means.eleclronic or mechanical, including pholocopying. recording or by any informalion slorage and relrieval syslem,wimoul permission in wriling from me publisher.Prohibida la reproducción 10lal o parcial de esla obra, por cualquier medio o mélodo sin autorización porescrilo del edilor.Derechos reservados © 1997 respeclo a la primera edición en español publicada porCalle 4 N 25-2 piso Frace. Ind. Alce Blanco.Naucalpan de Juárez. Edo. de México.C.P. 53370ISBN 970-17-0056-2Miembro de la Cámara Nacional de la Indusrria Editorial. Reg. Núm. 1524.Original English Language Edilion Published by Prenrice-Hall, Inc.A Simon & Schusler Company.Copyrighl © MCM.XCrvA11 rights reservedISBN 0-13-457912-7IMPRESO EN M8crCO / PRINTED IN MEXICO
  8. 8. +zz:i:r.IIIIIIIIJt.,.3_xContenidoSobre los autoresPrefacioxixiliI(x)CAPÍTULO 1 Funciones y gráficas1.1 Funciones y números reales 2PROYECTOS 131.2 El plano coordenado y las líneas rectas 141.3 Gráficas de ecuaciones y funciones 23PROYECTOS 311.4 Un breve catálogo de funciones 33PROYECTOS 421.5 Una vista preliminar: ¿Qué es el cálculo? 42REPASO: DEFINICIONES, CONCEPTOS, RESULTADOS 46CAPÍTULO 2 Preludio al cálculo2.1 Rectas tangentes y la derivada: Un primer vistazo 50PROYECTO 592.2 El concepto de límite 59PROYECTO 702.3 Más acerca de los límites 712.4 El concepto de continuidad 81PROYECTOS 91REPASO: DEFINICIONES, CONCEPTOS, RESULTADO 9249vii
  9. 9. (0, 1)Máximo local,intersección coneL ejey/ (2. 5)" Minimo local/I = I: asjntota verticalxCAPITULO 3 La deriVada 943.1 La derivada y las razones de cambio 95PROYECTO 1063.2 Reglas básicas de derivación 1073.3 La regla de la cadena 1183.4 Derivadas de funciones algebraicas 1253.5 Máximos y minimos de funciones en intervalos cerrados 13 1PROYECTO 1393.6 Problemas de aplicación de máximos y mInimos 140PROYECTOS 1543.7 Derivadas de las funciones trigonométricas 1553.8 Derivación implIcita y razones relacionadas 1643.9 Aproximaciones sucesivas y el método de Newton 173PROYECTOS 183REPASO: FORMuLAs, CONCEPTOS, DEFIIilCIONES 185CAPITULO S La integral 2545.1 Introducción 2555.2 Antiderivadas o primitivas y problemas con condiciones iniciales 2555.3 Cálculo de areas elementales 2685.4 Sumas de Riemann y la integral 279PROYECTOS 2875.5 Evaluación de integrales 2895.6 Valores promedio y el teorema fundamental del cãlculo 2965.7 Integración por sustitución 3065.8 Areas de regiOnes planas 3 13PROYECTOS 3225.9 Integración numérica 323PROYECTOS 335REPASO: DEFINICIoNEs, CONCEPTOS, RESULTADOS 336ContenidoCAPITULO 4 Aplicaciones adicionales de la derivada 1904.1 Introduccjón 1914.2 Incrementos, diferenciales y aproximación lineal 1914.3 Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio 1984.4 El criterio de la primera derivada 209PROYECTO 2184.5 Graficación sencilla de curvas 219PROYECTOS 2264.6 Derivadas de orden superior y concavidad 227PROYECTOS 2414.7 Trazo de curvas y asIntotas 242REPASO: DEFINICIONES,CONCEPTOS, RESULTADOS 250
  10. 10. 2-2-10 -5 0 5 10xContenidoe + e(0, 1)y (Sen y).J CAPITULO 6 Apilcaciones de Ia integral 3406.1 Construcción de formulas integrales 3416.2 Volñmenes por el método de secciones transversales 348PROYECTO 3596.3 VolOmenes por el método de capas cilIndricas 360PROYECTO 3676.4 Longitud de arco y area de superficies de revoluciOn 367PROYECTO 3756.5 Ecuaciones diferenciales separables 3766.6 Fuerza y trabajo 383REPASO: DEFrN1CIONES, CONCEPTOS, RESULTADOS 393CAPITIJLO 7 Funciones exponenciales y logarItmicas 3977.1 Exponenciales, logaritmos y funciones inversas 398PROYECTO 4077.2 El logaritmo natural 408PROYECTO 4177.3 La funciOn exponencial 418PROYECTO 4247.4 Funciones exponenciales y logarItmicas generales 425PROYECTO 4307.5 Crecimiento y decaimiento naturales 431*7.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones 439REPASO: DEFrN1CI0NEs, CONCEPTOS, RESULTADOS 445CAPITULO 8 Más acerca del cálculo de Las funciones trascendentes 4488.1 IntroducciOn 4498.2 Funciones trigonométricas inversas 4498.3 Formas indeterminadas y regla de lHôpital 458PROYECTO 4638.4 Formas indeterminadas adicionales 4648.5 Funciones hiperbólicas y funciones hiperbOlicas inversas 468PROYECTO 477REPASO: DEFINICIONES Y F6RMuLps 478ix
  11. 11. CAP1TULO 9 Técnicas de integración 4809.1 Introducción 4819.2 Tablas de integrales y sustituciones simples 481PROYECTO 4849.3 Integrales trigonométricas 4859.4 Integración por partes 4929.5 Funciones racionales y fracciones parciales 499PROYECTO 5079.6 Sustitución trigonométrica 5089.7 Integrales que contienen polinomios cuadráticos 5149.8 Integrales impropias 519PROYECTO 527RESUMEN 528Apéndices A-iA Repaso de trigonometria A-iB Demostraciones de las propiedades del lImite A-7C La completitud del sistema de nuimeros reales A-12D Demostraciones de la regla de Ia cadena A-17E Existencia de la integral A- 18F Aproximaciones y sumas de Riemann A-24G Regla de 1Hôpital y teorema del valor medio de Cauchy A-28H Demostración de la formula de Taylor A-30I Unidades de medida y factores de conversion A-3 1J FOrmulas de algebra, geometrIa y trigonometrIa A-32K El alfabeto griego A-34Respuestas a los problemas impares A-35Bibliografla para estudio posterior A-57Indice 1-59x Contenido
  12. 12. Sobre los autoresC. Henry Edwards, University of Georgia, recibió su Ph. D. de la University ofTennessee en 1960. Después impartió clases en la University of Wisconsin portres años y un aflo en el Institut for Advanced Studies (Princeton), como Alfred P.Sloan Research Fellow. El profesor Edwards acaba de cumplir su año 35 en laenseflanza (incluyendo la enseñanza del cálculo casi todos los años) y ha recibidopremios de enseñanza de numerosas universidades. Su carrera ha ido de lainvestigación y dirección de tesis en topologla e historia de las matemáticas a lasmatemáticas aplicadas, a las computadoras y la tecnologIa en matemáticas (supunto de atención en los illtimos años). Además de sus textos de cálculo, cálculoavanzado, algebra lineal y ecuaciones diferenciales, es bien conocido por losmaestros de cálculo como el autor de The Historical Development of the Calculus(Springer-Verlag, 1979). Ha trabaj ado como investigador principal en tres pro-yectos recientes apoyados por la NSF: (1) Un proyecto para introducir tecnologIaen todo el curriculum de matemáticas en dos sistemas de escuelas pñblicas delnoreste de Georgia (incluyendo Maple para estudiantes de los primeros cursos dealgebra); (2) un programa piloto Calculus with Mathematica en la University ofGeorgia; y (3) un proyecto de laboratorio de computación basado en MATLABpara estudiantes de ültimos niveles de análisis numérico y matemáticas aplicadas.David E. Penney, University of Georgia, terminó su Ph. D. en Tulane Universityen 1965, a la vez que impartla clases en la University of New Orleans. Anterior-mente habla trabajado en biofisica experimental en Tulane University y en elVeterans Administration Hospital de Nueva Orleans. En realidad, comenzó aimpartir clases de cálculo en 1957 y desde entonces ha impartido dicho curso cadaperiodo. Se unio al departamento de matemáticas en Georgia en 1966 y desdeentonces ha recibido premios de enseñanza en varias universidades. El es autor devarios artIculos de investigacion en teorla de nimeros y topologla y es autor ocoautor de libros de algebra lineal, ecuaciones cliferenciales y cálculo.
  13. 13. PrefacioEl papel y la práctica de las matemáticas a nivel global y mundial está sufriendouna revolución, con la influencia principal de la tecnología de cómputo. Lascalculadoras y los sistemas de cómputo proporcionan a estudiantes y maestros lafuerza matemática que ninguna generación anterior podría haber imaginado.Incluso leemos en los periódicos eventos impresionantes, como el reciente anunciode la demostración del último teorema de Fermat. En términos de las matemáticas,¡seguramente ésta es la época más excitante en toda la historia! Así, al prepararesta nueva edición de CALCULO diferencial e integral, deseamos llevar a los es-tudiantes que lo utilicen algo de esta excitación.También notamos que el curso de cálculo es la puerta principal para lascarreras técnicas y profesionales para un número cada vez mayor de estudiantesen un rango cada vez mayor de curricula. Adonde volteemos (en las empresas, elgobierno, la ciencia y la tecnología), casi todo aspecto del trabajo profesional estárelacionado con las matemáticas. Por tanto, hemos repensado el objetivo deproporcionar a los estudiantes de cálculo la base sólida para su trabajo posteriorque deben obtener de su texto de cálculo.Por primera vez desde que la versión original de este libro se publicó en 1982,esta cuarta edición ha sido revisada desde el principio hasta el fin. Los análisis yexplicaciones han sido reescritos en un lenguaje que los estudiantes verán másvivo y accesible. Los temas que rara vez se tocan han sido recortados, paraadecuarlos a un curso de cálculo más accesible. Hemos agregado notas históricasy biográficas para mostrar a los estudiantes el lado humano del cálculo, así comoproyectos con calculadoras gráficas y laboratorios de cómputo (con opciones paraDerive. Maple y Mathematica) para las secciones fundamentales del texto. Dehecho, en esta edición se percibe un espíritu y un enfoque nuevos que reflejan elinterés prevaleciente en las calculadoras gráficas y los sistemas de cómputo. Enforma consistente con el énfasis gráfico del movimiento actual de reforma delcálculo, hemos casi duplicado el número de figuras en el texto, donde gran partedel nuevo material gráfico es generado por computadora. Muchas de estas figurasadicionales sirven para ilustrar un enfoque de más deliberación y exploración a lasolución de problemas. Nuestra propia experiencia en la enseñanza sugiere que eluso de la tecnología contemporánea puede hacer que el cálculo sea más concretoy accesible a los estudiantes.Características de lacuarta ediciónAl preparar esta edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comen-tarios y sugerencias de los usuarios de las primeras tres ediciones. Esta revisiónha sido tan completa que las modificaciones son demasiadas como para enume-rarse aquí. Sin embargo, los párrafos siguientes resumen las modificaciones demayor interés.xüi
  14. 14. Problemas adicionales El nimero de problemas ha crecido poco a poco desdela primera edición y ahora suman casi 6000. En la tercera y cuarta ediciones hemosinsertado muchos ejercicios de práctica adicionales al principio de los conjuntosde problemas, para garantizar que los estudiantes obtengan la confian.za y habili-dad de cómputo suficiente antes de pasar a los problemas más conceptuales queconstituyen el objetivo real del cálculo. En esta edición hemos agregado tambiénproblemas basados en gráficos que enfaticen Ia comprensión conceptual y acos-tumbren a los estudiantes a utilizar las calculadoras gráficas.Nuevos ejemplos y detalles de cômputo En muchas de las secciones de estaedición, hemos insertado un primer ejemplo más sencillo o reemplazado ejemplosya existentes por otros cuyo cómputo es más sencillo. Además, insertado una lIneao dos más de detalles de cómputo en muchos de los ejemplos resueltos para facilitarsu seguimiento al estudiante. Realizamos estos cambios de modo que los cómputosno sean una barrera contra la comprensión conceptual.Material proyecto Hemos insertado proyectos complementarios (un total de 48)en todo el libro. Cada proyecto utiliza algiin aspecto de la tecnologIa actual decómputo para ilustrar las ideas principales de la sección que lo precede, y cadauno contiene por lo general problemas adicionales cuya solución pretende usaruna calculadora gráfica o una computadora. Las figuras y los datos ilustran el usode calculadoras gráficas y sistemas de cómputo como Derive, Maple y Mathema-tica. Este material proyecto es adecuado para su uso en un laboratorio de compu-tadoras o calculadoras conducido en relación con un curso estándar de cálculo, talvez con una reunion a la semana. También se puede utilizar como base para lastareas con calculadoras gráficas o computadoras que los estudiantes deben real izarfuera de clase o para su estudio individual.Gráficospor coinputadora Ahora que las calculadoras gráficas y las compu-tadoras han llegado para quedarse, es posible y recomendable el creciente énfasisen la visualización grafica, junto con el trabajo numérico y simbólico. Cerca de250 figuras nuevas generadas con MATLAB ilustran el tipo de figuras que losestudiantes pueden producir por si mismos con las calculadoras graficas. Muchasde éstas se incluyen con material nuevo para problemas gráficos. Incluimos cercade 100 gráficos a color generados con Mathematica para resaltar todas lassecciones relacionadas con el material tridimensional.Material históricoy biografico Hemos insertado material histórico y biográficoal pnncipio de cada capItulo para dar a los estudiantes una idea del desarrollo denuestra materia por seres humanos reales, vivos. Ambos autores se basan en lahistoria de las mismas y creen que puede influir de manera favorable en laenseñanza de las matemáticas. Por esta razón, también aparecen en el texto varioscomentarios históricos.CapItulos introductorios Hemos insertado los capItulos 1 y2 para un inicio másclaro y rapido del cálculo. El capItulo 1 se centra en las funciones y las graficas.Incluye ahora una sección que cataloga las funciones elementales del cálculo yproporciona una base para un énfasis temprano en las funciones trascendentes. ElcapItulo 1 concluye ahora con una sección dedicada a la pregunta "LQue es elcálculo?" El capItulo 2, de lImites, comienza con una sección relativa a las rectastangentes para motivar la introducción oficial de los lImites en Ia sección 2.2. Enxiv Prefacio
  15. 15. contraste con la tercera edición, esta edición trata los ilmites trigonométricos entodo el cap Itulo 2, para apoyar una introducciOn más rica y más visual del conceptode ilmite.CapItulos de derivaciôn La secuencia de los temas en los capItulos 3 y 4 varIaun poco con respecto del orden tradicional. Intentamos dar confianza al estudiantepresentando los temas en orden creciente de dificultad. La regla de Ia cadenaaparece un poco temprano (en la sección 3.3) y tratamos las técnicas básicas dederivación de funciones algebraicas antes de analizar los máximos y mInimos enlas secciones 3.5 y 3.6. La aparición de las funciones inversas se difiere ahora hastael capItulo 7. La sección 3.7 trata ahora de las derivadas de las seis funcionestrigonométricas. La derivación implIcita y las razones relacionadas con ésta secombinan en una sola sección (Sección 3.8). El teorema del valor medio y susaplicaciones se difieren hasta el capItulo 4. Las secciones 4.4 acerca del criteriode la primera derivada y 4.6 acerca de las derivadas de orden superior y laconcavidad se han simplificado y adecuado al flujo del texto. Se ha agregado grancantidad de material gráfico en las secciones de trazo de curvas con las queconcluye el capItulo 4.CapItulos de infegración Se han insertado nuevos ejemplos más sencillos en loscapItulos 5 y 6. Las primitivas (anteriormente al final del capItulo 4) abren ahorael capItulo 5. La sección 5.4 (sumas de Riemann) se ha simplificado en granmedida, eliminando las sumas superiores e inferiores, enfatizado en vez de ellaslas sumas con puntos medios o con extremos. Muchos maestros piensan ahora quelas primeras aplicaciones de la integral no deben confinarse al estándar de cálculode areas y voliimenes; la sección 6.5 es una sección opcional que presenta lasecuaciones diferenciales separables. Para eliminar la redundancia, el material decentroides y el teorema de Pappus se pasa al capItulo 15 (Integrales multiples),donde se puede estudiar en un contexto más natural.Opciones tempranas para las funciones trascendentes Se dispone de dosversiones "tempranas de funciones trascendentes": una que incluye el cálculode varias variables y una que solo trata el cálculo de una variable. En la version"regular", la flexible organización del capItulo 7 comienza con el "enfoque delbachillerato" de las funciones exponenciales, seguido de la idea de un logarit-mo como la potencia a la que debemos elevar la base a para obtener el nümerox. Sobre esta base, 13 secciOn 7.1 hace un repaso sencillo de las leyes de losexponentes y de los logaritmos e investiga de manera informal la derivaciónde las funciones exponencial y logarItmica. Esta sección acerca del cálculodiferencial elemental de las exponenciales y los logaritmos se puede estudiaren cualquier momento, después de la sección 3.3 (regla de la cadena). Si estose hace, entonces se puede estudiar la sección 7.2 (basada en la definición dellogaritmo como una integral) en cualquier momento, después de definir laintegral en el capItulo 5 (junto con gran parte del resto del capItulo 7, comodesee el maestro). De esta forma, el texto se puede adecuar a un curso mássencillo que incluya de manera temprana las funciones exponenciales en elcálculo diferencial yb de manera temprana las funciones logarItmicas en el cálcu-lo integral.Las demás funciones trascendentes (funciones trigonométricas inversas ehiperbOlicas) se estudian ahora en el capItulo 8. Este capItulo recién reorganizadoincluye ahora las formas indeterminadas y la regla delHôpital (más temprano queen la tercera ediciOn).Prefacio xv
  16. 16. Mantenimiento de lafuerza tradicionalTécnicas de integraciôn modernizadas El capItulo 9 está organizado para ade-cuarse a los maestros que piensan que los métodos de integración formal necesitanahora un menor énfasis, en vista de las téçnicas modernas para la integraciónnumérica y simbólica. Es de suponer que todosdeseen tratar las primeras cuatrosecciones del cap Itulo (hasta la integración por partes en la sección 9.4). El métodode fracciones parciales aparece en la sección 9.5 ylas sustituciones trigonométricasy las integrales con polinomios cuadráticos aparecen después, en las secciones 9.6y 9.7. Las integrales impropias aparecen ahora en la sección 9.8 y las sustitucionesde racionalización más particulares han sido desplazadas a los problemas delcapItulo 9. Este reordenamiento del capItulo 9 lo hace más conveniente paradetenerse cuando el maestro lo desee.Ecuaciones diferenciales Muchos maestros de cálculo piensan ahora que lasecuaciones diferenciales deben estudiarse de la forma más temprana y frecuenteposible. Las ecuaciones diferenciales más sencillas, de la formay =f(x), aparecenen una subsección al final de la sección 5.2. La sección 6.5 ilustra las aplicacionesde la integral a la solución de ecuaciones diferenciales separables. La sección 9.5incluye aplicaciones del método de fracciones parciales a problemas de poblacióny a la ecuación logistica. De esta forma, hemos distribuido algo del espIritu y elsabor de las ecuaciones diferenciales en el texto, de modo que parecIa claroeliminar el iltimo capItulo de nuestra tercera ediciOn, dedicado exclusivamente alas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, los que asI lo deseen pueden comuni-carse con Prentice Hall para solicitar las secciones adecuadas para el uso comple-mentario de Edwards y Penney, Ecuaciones dferenciales elementalesyproblemascon condiciones en lafrontera, tercera edición.Aunque se han agregado muchas caracterIsticas nuevas, siguen presentes cincoobjetivos relacionados entre si: concretez, legibiidad, motivación, aplicabili-dad y precision.Concretez La fuerza del cálculo es impresionante por sus respuestas precisas apreguntas y problemas reales. En el necesano desarrollo conceptual del cálculo,mantenemos siempre la pregunta central: j,Cómo calcularlo realmente? Enfatiza-mos de manera particular los ejemplos, aplicaciones y problemas concretos quesirven para resaltar el desarrollo de la teorla y demostrar la admirable versatilidaddel cálculo en el estudio de importantes cuestiones cientIficas.Legibilidad Las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas se complicancon frecuencia por las dificultades en el lenguaje. Nuestro estilo de escritura partede la creencia de que la exposición liana, intuitiva y precisa, hace más accesibleslas matemáticas (y por tanto más fáciles de aprender) sin pérdida de rigor. En estaedición hemos intentado hacer que nuestro lenguaje sea claro y atractivo para losestudiantes, de modo que ellos puedan y quieran leerlo, permitiendo entonces alos maestros concentrar el tiempo de la clase en los aspectos menos rutinarios dela enseñanza del cálculo.Motivación Nuestra exposición se centra en los ejemplos del empleo delcálculo para resolver problemas reales de interés para las personas reales. Alseleccionar tales problemas para los ejemplos y ejercicios, hemos utilizado elpunto de vista de que el interés estimulante y el estudio eficaz motivante van dexvi Prefacio
  17. 17. Ag radecimientosla mano. Intentamos aclarar a los estudiantes Ia forma en que el conocimientoobtenido con cada concepto o técnica valdrá el esfuerzo. En los análisis teóricos,en particular, intentamos proporcionar una imagen intuitiva del objetivo antesde perseguirlo.Aplicaciones Las diversas aplicaciones del cálculo son lo que atrae a muchosestudiantes hacia la materia, y las aplicaciones realistas proporcionan unavaliosa motivación y refuerzo para todos ellos. Nuestro libro es bien conocidopor el amplio rango de aplicaciones incluidas, pero no es necesario ni recomen-dable que cada curso abarque todas las aplicaciones en el mismo. Cada seccióno subsección que se pueda omitir sin pérdida de continuidad se marca con unasterisco. Esto proporciona flexibilidad para que un maestro determine supropio énfasis.Precision Nuestro tratamiento del cálculo es completo (aunque esperamos quesea menos que enciclopédico). Más que sus antecesores, esta edición fue sujeta aun proceso amplio de revision para ayudar a garantizar su precisiOn. Por ejemplo,esencialmente todas las respuestas a problemas en la secciOn de respuestas a! finalde esta edición ha sido verificada con Mathematica. Con respecto a la selección ysecuencia de los temas matemáticos, nuestro enfoque es tradicional. Sin embargo,un examen cercano del tratamiento de los temas estándar puede delatar nuestrapropia participación en el movimiento actual por revitalizar la enseñanza delcálculo. Continuamos en favor de un enfoque intuitivo que enfatice la comprensiOnconceptual y el cuidado en la formulación de las definiciones y conceptos funda-mentales del cálculo. Algunas de las demostraciones que se pueden omitir acriterio del maestro aparecen a! final de las secciones, mientras que otras se difierena los apéndices. De esta forma, damos amplio margen para la variación en labüsqueda del equilibrio adecuado entre el rigor y la intuición.Todos los autores experimentados conocen el valor de la revision crItica durantela preparaciOn y revision de un manuscrito. En nuestro trabajo con varias edicionesde este libro, nos hemos beneficiado en gran medida con el consejo de lossiguientes revisores, excepcionalmente hábiles:Leon E. Arnold, Delaware County Community CollegeH. L. Bentley, University of ToledoMichael L. Berry, West Virginia Wesleyan CollegeWilliam Blair, Northern Illinois UniversityGeorge Cain, Georgia Institute of TechnologyWil Clarke, Atlantic Union CollegePeter Colwell, Iowa State UniversityWilliam B. Francis, Michigan Technological UniversityDianne H. Haber, Westfield State CollegeJohn C. Higgins, Brigham Young UniversityPrefacio xvii
  18. 18. W. Cary Huffrnan, Loyola University of ChicagoCalvin Jongsma, Dordt CollegeMorris Kalka, Tulane UniversityLouise E. Knouse, Le Tourneau CollegeCatherine Lilly, Westfield State CollegeJoyce Longman, Villanova UniversityE. D. McCune, Stephen F. Austin State UniversityArthur L. Moser, Illinois Central CollegeBarbara Moses, Bowling Green UniversityBarbara L. Osofsky, Rutgers University at New BrunswickJohn Petro, Western Michigan UniversityJames P. Qualey, Jr., University of ColoradoThomas Roe, South Dakota State UniversityLawrence Runyan, Shoreline Community CollegeWilliam L. Siegmann, Rensselaer Polytechnic InstituteJohn Spellman, Southwest Texas State UniversityVirginia Taylor, University of LowellSamuel A. Truitt, Jr., Middle Tennessee State UniversityRobert Urbanski, Middlesex County CollegeRobert Whiting, Villanova UniversityCathleen M. Zucco, Le Moyne CollegeMuchas de las mejoras realizadas a esta obra deben acreditarse a nuestroscolegas y los usuarios de las primeras tres ediciones en Estados Unidos, Canaday otros palses. Estamos agradecidos con aquellos que nos han escrito, particular-mente los estudiantes, y esperamos que continüen haciéndolo. Agradecemos aBetty Miller de West Virginia University su diligente resolución de los problemasy a Tern Bittner, quien junto con su equipo en Laurel Tutoring (San Carlos,California) verificaron la precision de toda solución a los ejemplos y los ejerciciosimpares. También pensamos que la calidad del libro terminado es un testimonioadecuado de la capacidad, diligencia y talento de un equipo excepcional enPrentice Hall. Damos las gracias particularmente a George Lobell y PriscillaMcGeehon, editores de matemáticas; Karen Karlin, editor de desarrollo, EdThomas, editor de producción; y Andy Zutis, diseñador. Por ültimo, no podemosagradecer lo suficiente a Alice Fitzgerald Edwards y Carol Wilson Penney suapoyo, ánimo y paciencia continuos.C. H. E., Jr D. E. P.hedwardsmath.uga.edu dpenney@math.uga.eduAthens, GeorgiaXVIII Preiacio
  19. 19. CálculoD iferenciale Integral
  20. 20. 42>o-4-4 -7 0 2 4-0.1-0.20.4 0.8ICAPÍTULOI1 Funciones y gráficasLa gráfica de y =~ - 3x2 + 1o Es posible que el erudito francésdel siglo XVII René Descartes seamás recordado hoy en día como fi-lósofo que como matemático. Peromuchos de nosotros estamos fami-1iarizados con el "plano cartesiano",en donde la posición de un punto Pqueda determinada por sus coorde-nadas (x, y).o Durante su época de estudiante,con frecuencia Descartes tenía per-miso de levantarse tarde, debido a susupuesta salud quebrantada. Él afir-maba que pensaba más claramenteacerca de la filosofia, la ciencia y lasmatemáticas cuando estaba cómo-damente acostado en las frías maña-nas. Después de graduarse en derecho(lo que estudió aparentemente conpoco entusiasmo), Descartes viajócon varios ejércitos por algunosaños, pero más como un caballeroque como un militar profesional.o Después de establecerse por fin(en Holanda), Descartes publicó en1637 su famoso tratado filosóficoDiscurso del método (Del buen ra-zonamiento y la búsqueda de la ver-dad en las ciencias). Uno de los tresapéndices de su obra establecía sunuevo enfoque "analítico" de la geo-metría. Su principal idea (estableci-da casi en forma simultánea por sucoterráneo Pierre de Fermat) fue lacorrespondencia entre una ecuacióny su gráfica, que era por 10 generaluna curva en el plano. La ecuaciónse podía utilizar para estudiar la cur-va, o viceversa.o Supongamos que queremos re-solver la ecuaciónf(x) = O. Sus solu-ciones son los puntos de intersec-ción de la gráfica y = f(x) con el ejex, de modo que una imagen precisade la curva muestra el número yposiciones aproximadas de las solu-ciones de la ecuación. Por ejemplo,la gráfica dey=.0- 3r+ 1tiene tres intersecciones con el ejex,10 que muestra que la ecuacióntiene tres soluciones reales (una en-tre-1 yO,otraentreOy 1,yunamásentre 2 y 3).Una calculadora gráficamoderna o un programa de grafica-ción para computadora puedenaproximar estas soluciones de ma-nera más precisa, amplificando lasregiones donde se localizan. Porejemplo, la región central agranda-da muestra que la solución corres-pondiente es x "" 0.65.
  21. 21. 1.1 /Funciones y nUmerosrealesEl cálculo es uno de los logros supremos del intelecto humano. Esta disciplinamatemática surge principalmente de los estudios realizados en el siglo XVII porIsaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). Sin embar-go, algunas de sus ideas datan de la época de ArquImedes (287-212 a.C.) y tuvieronsu origen en culturas tan diversas como la de Grecia, Egipto, Babilonia, India,China y Japón. Muchos de los descubrimientos cientIficos que han formadonuestra civilización durante los ültimos tres siglos hubieran sido imposibles sin eluso del cálculo.El principal objetivo del cálculo es el análisis de problemas de cambio ymovimiento. Estos problemas son fundamentales, pues vivimos en un mundo decambios constantes, pleno de cuerpos en movimiento y con fenómenos de flujo yreflujo. En consecuencia, el cálculo sigue siendo an tema de gran trascendencia;en la actualidad, este cuerpo de técnicas de cómputo continua sirviendo como ellenguaje cuantitativo principal de la ciencia y la tecnologIa.Gran parte del cálculo implica el empleo de los nümeros reales o de variablespara describir las cantidades cambiantes y el uso de flinciones pam describir lasrelaciones entre las diversas variables. En esta sección inicial haremos en primerlugar an repaso de la notación y terminologIa de los nómeros reales y despuésanal izaremos las funciones con más detalle.NUMEROS REALESLos nümeros reales son familiares al lector. Son los nimeros que se usan en formacomün en Ia mayor parte de las mediciones. La masa, la velocidad, la temperaturay Ia carga de an cuerpo se miden mediante nümeros reales. Estos se puedenrepresentar por desarrollos decimales finitos o infinitos; de hecho, todo nümeroreal tiene un desarrollo decimal infinito, pues un desarrollo finito puede seguir conuna infinidad de ceros:= 0.375 = 0.375000000.Cualquier decimal periódico, como= 0.31818 181818 .representa un niimero racional, dado como el cociente de dos enteros. RecIpro-camente, todo nümero racional se representa mediante un desarrollo decimalperiódico, como los que se muestran aqul. El desarrollo decimal de an nñmeroirracional (an nümero que no es racional), como1.414213562. . . o rr = 3.1415926535 89793es infinito y no periOdico.La interpretación geométrica de los nümeros reales como puntos en la rectareal (o recta numérica real) R también debe serle familiar. Cada nimero real esrepresentado precisamente por an punto de R, y cada punto de R representa3 precisamente an nümero real. Por convención, los nümeros positivos estn a IaI I i I i derecha de cero y los niimeros negativos ala izquierda, como en Ia figura 1.1.1.2 1 0 1 2Las siguientes propiedades de las desigualdades de nümeros reales sonFigura 1.1.1 La recta real R fundamentales y se usan con frecuencia:2 Capitulo 1/ Funciones y gráficas
  22. 22. 1-31=3 141=4F- II I I J I I I-3 0 4Figura 1.1.2 El valor absolutode un niirnero real es simplementesu distancia a! cero (Ejemplo 1)b-al o la-biI- Ia bFigura 1.1.3 La distancia en-tre a y bSección 1.1 / Funciones y nitmeros realesLas iltimas dos proposiciones significan que una desigualdad se preserva cuandosus miembros se multipiican por un nñmero posilivo, pero se invierte cuando semultiplican por un nimero negativo.VALOR ABSOLUTOLa distancia (no negativa) en Ia recta real entre cero y el nümero real a es el valorabsoluto de a, que se escribe I a I. En forma equivalente,I a sia0;al -a si a <0. (2)La notación a 0 significa que a es mayor que cero o igual a cero. La ecuación(2) implicaque a1 0paratodornimero reala y que a1 = 0 si y sólosi a = 0.EJEMPLO 1 Como lo muestra la figura 1.1.2,141=4 y =3Adernás, lo =0 y Hh-2 I =2-V,dondeestouiltimoescierto,pues2>Asi, f -2 <0 y entoncesHi-21 =-(-2)=2-i.Las propiedades siguientes de los valores absolutos se usan con frecuencia:al = al = /a2 0,ab I = a bHaIalal j(3)al<b siysólosi -b <a < b.La distancia entre los niimeros reales a y b se define como a - b (ob - a I; no existe diferencia). Esta distancia es simplemente la longitud delsegmento de recta de Ia recta real R con extremos a y b (figura 1.1.3).Las propiedades de las desigualdades y de los valores absolutos en lasecuaciones (1) a (3) implican ci siguiente e importante teorema.Desiguaidad dci triánguloPara todos los nümeros reales a y b,a+bIal+Ibl. (4)3Si a <b y b <c, entonces a <c.Si a <b, entorices a + c <b + c. (1)Si a <b y c> 0, entonces ac <bc.Si a <b y c <0, entonces ac> bc.
  23. 23. 0 a+b a=Ial IaI+lbIFigura 1.1.4 La desigualdad deltriángulo con a > 0, b <0 ybI < lal(1,3)(Co, 2)Figura 1.1.5 Algunos ejemplosde intervalos de nümeros realesDen:ostraciOn Hay que considerar varios casos, segün silos rnimeros a y b sonpositivos o negativos y cuál de ellos tenga el mayor valor absoluto. Si ambosson positivos, entonces también lo es a + b; por tanto,a + b = a + b = a + b. (5)Sia >Oyb<0,con b < aLentonces0 <a + b <a,de modo quea + b = a + b <a = I a < a + bI, (6)como se muestra en Ia figura 1.1.4. Los demás casos son similares. En particular,vemos que la desigualdad del triángulo es en realidad una igualdad (como en laecuación (5)) a menos que a y b tengan signos distintos, en cuyo caso es unadesigualdad estricta [como en Ia ecuación (6)]. 0INTER VALOSSupongarnos que S es un conjunto (colección) de niimeros reales. Es comtindescrihir S mediante Ia notacónS = {x : condición},donde Ia "condición" es verdadera para todos los nümeros x enS y falsa para todoslos ntimeros x que no estàn en S. Los conjuntos más importantes de nimeros realesen cálculo son los intervalos. Si a < b, entonces el intervalo abierto (a, b) sedefine como el conjunto(a, b) = {x a < x < b}de nürneros reales, y el intervalo cerrado [a, b] es[a, b] = {x:a < x b}.AsI, un intervalo cerrado contiene a sus extremos, mientras que an intervalo abiertono. También usaremos los intervalos semiabiertos[a, b) = {x:a x <b} y (a, b] = {x:a < x b}.AsI, el intervalo abierto (1,3) es e] conjunto de aquellos nümeros realesx tales queI <x <3 , el intervalo cerrado [-1,2] es el conjunto de nmeros realesx talesque 1 x 2 y el intervalo semiabierto (-1, 2) es el conjanto de nñmeros reales xtales que 1 x 2. En Ia figura 1.1.5 mostramos algunos ejemplos de talesintervalos, asi como algunos intervalos no acotados, que tienen formas tales como[a, cc) = {x : x a},(cc, a] = {x:x(a, cc) = : x > a} y(cc a) = {x:x < a}.El sImbolo 00 que denota infinito, es simplemente una convención de notación yno representa a un nmero real; Ia recta real R no tiene "extremos en infinito". Eluso de este sImbolo es motivado por Ia descripciOn breve y natural (J? oc) y (oo,2)para los conjuntos4 Capirulo 1 I Funciones y gráficas{x:xir} y {x : x <2}de todos los niimeros reales x tales que x iry x <2, respectivamente.
  24. 24. Figura 1.1.6 CIrculo: áreaA = irr2,circunferencia C =2,r r////1:2Figura 1.1.7 Esfera: volumenV= 4/3,r?, area de Ia superficieS = 4,r?FUNCIONESLa dave para el análisis matemático de una situación geométrica o cientIfica espor lo general el reconocimiento de las relaciones entre las variables que describenla situación. Tal relación puede ser una formula que exprese a una variable enfunción de otra. Por ejemplo, el area A de un cIrculo de radio r está dadapor A = lrr2 (figura 1.1.6). El volumen Vy area de la superficie S de una esfera deradio r están dados porV=irr3 y S=4r2,respectivamente (figura 1.1.7). Después de t segundos (s) que un cuerpo se dejacaer desde el reposo, éste ha caldo una distanciaS = gt2pies y tiene una velocidad de v = gi pies/seg (fils), donde g 32 pies/seg2 es Iaaceleración debida a la gravedad. El volumen Ven litros (L) de 3 gramos (g) debióxido de carbono (CO2) a 27°C está dado en términos de su presiOnp en atmósferas(atm) por V = I .68/p. Estos son ejemplos de funciones reales de variable real.Definición defunciónUna función realfdefinida en un conjunto D de námeros reales es unaregla que asigna a cada nümero x en D exactamente un nuimero real,denotado conf(x).El conjunto D de todos los nümeros reales para los quef(x) está definida esel dominio o dominio de definición de la funciOnj El nümerof(x), que se lee "fde x", es el valor defen el námero (o punto) x. El conjunto de los valores y =f(x)es el rango def Es decir, el rango defes el conjunto{y : y =f(x) pam algiin x en DEn esta sección nos ocuparemos más del dominio de ima función que de su rango.Con frecuencia, una función queda descrita mediante una formula que espe-cifica la forma de calcular el mimerof(x) en términos del nümero x. El sImbolof ( ) se puede considerar como una operaciOn a realizar siempre que se insertenñmero o expresión dentro de los paréntesis.EJEMIPLO 2 La formulaf(x)=x2+x-3 (7)es Ia regla de una funciónfcuyo dominio es toda Ia recta real R. Algunos valoresdefsonf(-2) = ] ,f(0) = 3 yf(3) = 9. Algunos valores más de Ia funcionf sonf(4) = (4)2 +4-3 = 17,f(c) = c2 + c 3,f(2+h)=(2+h)2+(2+h)-3=(4+4h+h2)+(2+h)-3=3+5h+h2 yf(t2) = (-t)2 + (-t2) 3 = - 3.Sección 1.1 / Funciones y nümeros reales 5
  25. 25. xrTdfFigura 1.1.8 Una "rnáquinafunción"Cuando describimos la funcionfcon Ia formula y f(x), liamamos a x lavariable independiente y ay la variable dependiente pues ci valor dey depende(mediantef) de la elección de x. Cuando x cambia, o varla, también lo hace y. Laforma en que y varIa con x queda determinada por Ia regla de la función f Porejemplo, sifes la funciOn de la ecuaciOn (7), entonces y = 1 cuando x = 2,y = 3 cuando x = 0 yy = 9 cuando x = 3.Tal vez sea Otil visualizar Ia dependencia del valory =f(x) con respecto de xpensando una función como una especie de máquina que acepta como entrada unnOmero x y que produce entonces como salida ci nñmerof(x), desplegándoio oimprimiéndoio (figura 1.1.8).Una máquina de este tipo es Ia caiculadora comán de bolsillo, con una teclapara la raIz cuadrada. Cuando se usa como dato un nOmero no negativo x y seoprime esta tecia, la caiculadora despliega (una aproximaciOn de) ci nimeroObserve que ci dominio de estafunción raIz cuadradaf(x) = x es ci conjuntode todos los nümeros reales no negativos, puesto que ningm nOmero negativotiene una raIz cuadrada real. Su rango es también ci conjunto de todos los námerosreales no negativos, pues ci sImbolo Ii siempre denota la raIz cuadrada nonegativa de x. La caiculadora ilustra su conocimiento del dominio, despiegandouna reacciOn adversa si pedimos quc calcule la raIz cuadrada de un nOmeronegativo (a menos que sea una de las calculadoras más sofisticadas, como la TI-85o Ia HP-48S, que pueden trabajar con nOmeros compiejos).No toda función tiene una regla dada por una inica fOrmula sencilla, comof (x) = Por ejemplo, si escribimosentonces hemos definido una función perfectamente válida, con dominio R.Algunos de sus valores sonf(-3) = 3,f(0) = 0 yf(2) = 4. La fimciOn del ejemplo3 se define inicialmente por mcdio de una dcscripción verbal en vez de utilizarformulas.EJEMPLO 3 Para cada nOmero real x, conf(x) se denota ci máximo entero quees menor o iguai que x. For ejemplo,f(2.5) = 2,f(0) = 0,f(-3.5) = 4 yf(r) = 3.Si n es un entero, entonces f (x) = n para todo nOmcro real x en ci intervalosemiabierto [n, n + 1). Esta funciOnfse llama la funciOn máximo entero y scdenota con frecuencia como(8)AsI, [ 2.5]]= 2, ([0]]= 0,l[-3.5]]= 4 y [[ir]]= 3. Observe que aunquel[ x]Iesta definidapara todo real x, ci rango de la función máximo entero sOlo consta dcl conjunto delos enteros.tCuái debcrIa ser ci domjnio de una funciOn si éste no ha sido especificado?Esta cs una situaciOri comOn y ocurre cuando damos una funcionfescribiendosolamente su fórmulay =f(x). Si no se especifica un dominio, se conviene que cidominio D es ci conj unto de todos los nOmeros reales x para los que la expresiónf(x) produce un námero real. For ejemplo, ci dominio def(x) = lIx es ci conjuntode todos los nümeros reales distintos de cero (pues 1/x está definido precisamentecuando x 0).6 CapItulo I I Funciones y gráficas
  26. 26. Figura 1.1.9 La caja delejemplo 5EJEMPLO 4 Determine el dominio de Ia función g con Ia formulag(x)=1I2x +4Solucibn Para que Ia raIz cuadrada Ti ± 4 esté definida, es necesario que-2x + 4 0. Esto es válido si 2x 4 y por tanto cuarido x Para que el recIproco1 / i 2x + 4 esté definido, también necesitamos que f2x + 4 y asI que x 2.En estos términos, el dominio de g es el intervalo D = (-2, oo).FUNCIONES V APLICACIONESEl estudio de un problema de aplicaciOn se basa con frecuencia en la definiciónde ima funciOn que capture Ia esencia de una situación geométrica o fisica. Losejemplos 5 y 6 ilustran este proceso.EJEMPLO 5 Una caja rectangular con base cuadrada tiene volumen 125.Exprese el area total de su superficie A como una función de Ia longitud de unaarista x de su base.Solución E] primer paso es hacer un dibujo y etiquetar las dimensiones adecua-das. La figura 1.1.9 muestra una caja rectangular con base cuadrada con longitudde aristax en la base y alturay. Tenemos que el volumen de Ia caja esV = x2y = 125. (9)Tanto la tapa como el fondo de la caj a tienen area x2 y cada uno de sus cuatro ladosverticales tiene area xy, por lo que el area total de su superficie esA = 2x2 + 4xy. (10)Pero ésta es una formula para A en términos de las dos variables x y y, antes queuna función de la sola variable x. Para eliminary y obtener entonces A solamenteen términos dex, despejamosy en la ecuación (9) pam obtenery= 125/x2 y despuéssustituir este resultado en Ia ecuación (10), obteniendoA=2x2+4xAsI, el area de Ia superficie, dada como una funciOn de la longitud x de una aristaes500A(x)=2x2+, 0<x<co. (11)xEs necesario especificar el dominio, pues los valores negativos de x tienen sentidoen lafórmula de Ia ecuación (11) pero no pertenecen al dominio de lafuncion A.Esto se debe a que todo x> 0 determina una de estas cajas, el dominio si contienea todos los nñmeros positivos.COMENTARLO En el ejemplo 5, nuestro objetivo era expresar la variable depen-dienteA comofuncion de lavariableindependientex. Enunprincipio, lasituacióngeometrica nos proporcionaba1. Lafórniula de Ia ecuaciOn (10) que expresa A en términos de x y la variableadicional y, ySección 1.1 / Funciones y nimeros reales 7
  27. 27. xFigura 1.1.10 El corral para losanimales2. La relación de la ecuación (9) entre x y y, que usamos para eliminar y y conello obtener A como función ünicamente de x.Veremos que éste es un patron comün en muchos problemas diversos deaplicación, como el siguiente.EL PROBLEMA DEL CORRAL DE LOS ANIMALES Usted debe construir un corralrectangular para animales. Para ahorrar material, usará una pared como uno de loscuatro lados. El pie de cerca pam los otros tres lados cuesta $5 y debe gastar $1por cada pie de pintura para la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral.Si puede gastar $180, cuáles dimensiones maximizan el area del corral que puedeconstruir?La figura 1.1 .10 muestra el corral para los animales y sus dimensiones x y y,junto con el costo por pie de cada urio de sus cuatro lados. Cuando nos enfrentamosa un problema de aplicación expresado de manera verbal como éste, nuestraprimera pregunta es, por dónde debemos comenzar? El concepto de función esla dave para poder manejar esta situación. Si expresamos la cantidad por maxi-mizar (Ia variable dependiente) como una función de alguna variable inde-pendiente, entonces tenemos una tarea tangible por realizar: Determinar el valormáximo que alcanza Ia función.EJEMPLO 6 En relación con el problema del corral para los animales, expreseel area A del corral como función de la longitud x de su lado en la pared.Solución El area A del corral rectangular de longitud x y ancho y esA = xy. (12)Cuando multiplicamos la longitud de cada lado en la figura 1.1.10 por su costopor pie y sumamos los resultados, tenemos que el costo total C del corral estádado porC = x + 5y + 5x + 5y.Dc modo que6x + lOy = 180, (13)puesto que tenemos dado que C = 180. Elegimos x como la variable indepen-diente y usarnos la relaciôn en Ia ecuación (13) para eliminar Ia variableadicional y de Ia formula del area en Ia ecuación (12). Despejamos y en laecuación (13) y sustituimos el resultadoy=j(180-6x)=(30x) (14)en Ia eciiaciOn (12). AsI, obtenemos Ia funciOn deseadaA(x) = (30x x)que expresa el area A como función de Ia longitud x.Además de esta formula pam la función A, también debemos especificar sudominio. Solo si x > 0 obtenemos rectángulos reales, pero vemos que es másconveniente incluir también el valor x = 0. Este valor de x corresponde a un"rectangulo degenerado" de base nula y alturay = 30 = 18,8 Capitulo 1 / Funciones y gráficas$5y $5 $5 y$1x Pared
  28. 28. TEXAS INSTRUMENTh TI-Of +TEXAS INSIKtMENTS ri-al 4x A(x)0 05 7510 12015 135-20 12025 7530 0Figura 1.1.12 Mãs indicios deque x = 15 proporciona un areamaximalA = 135.5C.Figura 1.1.13 Una calculadoraprogramada para evaluarA(x)=0.6.(30xx2)1 cfiIFigura 1.1.14 Cálculo delaparente valor máxirnoA(15)= 135que es consecuencia de la ecuación (14). Por razones análogas, tenemos larestriccióny 0. Comoy = (30 - x),esto implica que x 30. AsI, la definición completa de la función area esA(x) (30x - x2), 0 x30. (15)El ejemplo 6 ilustra una parte importante de Ia solución de un problema tIpicorelacionado con las aplicaciones de las matemáticas. El dominio de una funciónes una parte necesaria de su definición, y para cada función debemos especificarel dominio de valores de Ia variable independiente. En las aplicaciones, usamoslos valores de la variable independiente adecuados para el problema en cuestión.ESTUDIO NUMERICOArmados con el resultado del ejemplo 6, podriamos atacar el problema del corralpara animales calculando una tabla de valores de Ia función area A(x) en laecuación (15). Tal tabla aparece en la figura 1.1.11. Los datos de esta tabla sugierenenfáticamente que el area maxima esA = 135 pies cuadrados, valor que se alcanzacon una longitud del lado x = 15 pies, en cuyo caso Ia ecuación (14) day = 9 pies.Esta conjetura parece corroborarse con los datos más refinados de la figura 1.1.12.AsI, parece que el corral para animales con area maximal (y un costo de $180)tiene un largo x = 15 pies y ancho y = 9 pies. Sin embargo, las tablas de las figuras1.1.11 y 1.1.12 muestran solarnente valores enteros de x, por lo que sigueexistiendo Ia posibilidad de que la longitud x del corral con area maximal no seaun entero. En consecuencia, las solas tablas numéricas no concluyen el tema. Senecesita una nueva idea matemática para demostrar que A(15) = 135 es el valormáximo deA(x)=(30x_x2), 0x30para toda x en su dominio. Atacaremos el problema de nuevo en la sección 1.3después de un repaso de las coordenadas rectangulares en la sección 1.2.NOTA Muchas calculadoras cientIficas permiten al usuario programar unafunción dada para evaluarla varias veces y con ello calcular sin problemastablascomolasdelasflguras 1.1.11 yl.1.12.Porejemplo,lafigural.1.l3muestrala pantalla de una calculadora TI-81 programada para evaluar Ia variabledependienteYl = A(x) = (0.6)(30x x2)cuando el valor deseado x = x de Ia variable independiente se guarda y se introduceel nombre de Ia variable dependiente (figura 1.1.14).TABULACION DE FUNCIONESEl uso de una calculadora para tabular los valores de una función (como en lasfiguras 1 .1.11 y 1 .1 .12) es una técnica sencilla con una cantidad sorprendente deaplicaciones. Aqui ilustramos un método para resolver una ecuación de la formaf(x) = 0 mediante Ia tabulación repetida de los valoresf(x) de la funciónfSección 1.1 / Funciones y námeros reales 9Figuracorral1.1.11 Area A(x) de uncon lado de longitud xx A(x)10 12011 125.412 129.613 132.614 134.415 135 -16 134.417 132.618 129.619 125.420 120
  29. 29. Figura 1.1.15 Valores def(x)en [5, 10]Figura 1.1.16 Valores def(x)en [7, 8]Figura 1.1.17 Valores de.f(x)en [7.3, 7.4]10Esta es una ecuación cuadrática que se podrIa resolver mediante la formulacuadrática del algebra básica, pero queremos dar un punto de vista más directo ynuménco. La razón es que ci enfoque numérico se puede aplicar aunque no sedisponga de una formula sencilla (como la formula cuadrática).Los datos de la figura 1.1.11 sugieren que un valor de x para el que A(x) = 100está en a1gin lugar entre x = 5 y x = 10 y que un segundo valor de este tipo estáentre x = 20 y x = 25. De hecho, al sustituir en la ecuación (16) obtenemosf(S) = -25 <0 y f(10) = 20> 0.El hecho de quef(x) sea negalivo en un extremo del intervalo [5, 10] peropositivoen ci otro extrerno sugiere quef(x) se anula en algün punto entrex = 5 yx = 10.Para ver dó;ide, tabulamos valores def(x) en [5, 10]. En la tabla de la figura1 .1.15 vemos quef(7) = -3.4 < 0 y f(8) = 5.6 > 0,asI que nos centramos ahora en el intervalo [7, 8].Al tabularf(x) en [7, 8] obtenernos la tabla de la figura 1.1.16, donde vernosquef(7.3) = -0.574 < 0 y f(7.4) = 0.344 > 0.Por tanto, tabularnosf(x) irna vez más, ahora en el intervalo [7.3, 7.4]. En la figura.1.17 vemos quef(7.36) -0.02 y f(7.37) 0.07.Comof(7.36) está mucho más cerca de cero quef(7.37), concluimos que lasolución deseada de la ecuaciOn (16) está dada aproximadamente por x 7.36, conuna precision de dos cifras decimales. Si se necesita más precisi.i, podrIamoscontinuar calculandof(x) en intervalos cada vez más pequeiiosSi partiéramos del intervalo [20, 25] y procediéramos de manera análoga,encontrariarnos el segundo valorx 22.64 tal quef(x) = 0. (lJsted debe verificarlocomo práctica.)Por iiltimo, vamos a calcular los valores colTespondientes del ancho y delcorral tales que A = xy = 100:U Six7.36,entoncesy 13.59.U Six 22.64, entonces y 4.42.Asi, bajo Ia restricción de costo del problema del corral, podemos construir unrectángu]o de 7.36 por 13.59 pies o uno de 22.64 por 4.42 pies, ambos de area 100pies cuadrados.Este inétodo de tabulación repelida se puede aplicar a un amplio rango deecuaciones de la formaf(x) = 0. Si el intervalo [a, b] contiene una solución y losCapirulo 1 / Funciones y gráficasx f(x)7.0 -3.4007.1 -2.4467.2 -1.5047.3 -0.5747.4 0.3347.5 1.2507.6 2.1447.7 3.0267.8 3.8967.9 4.7548.0 5.600x f(x)7.30 -0.57407.31 -0.48177.32 -0.38947.33 -0.29737.34 -0.20547.35 -0.11357.36 -0.02187.37 0.06997.38 0.16147.39 0.25277.40 0.3440x f(x)5 -25.06 -13.67 -3.48 5.69 13.410 20.0Para dar un ejemplo especIfico, suponga que preguntamos cuál valor dcx enla ecuación (15) proporciona un corral para animales de area A = 100. Entoncesnecesitamos resolver La ecuaciónA(x) = (30x - x2) = 100,que es equivalente a la ecuaciónf(x) = (30x - x2) - 100 = 0. (16)
  30. 30. 1.1 ProblemasSimpl/Ique cada expresión en los problemas 1 a 10, escri- En 1993, el costo era de 29 centavos de dólar por Ia primerabiéndoia sin usar sImbolos de valor absoluto. onza, más 23 centavos por cada onza adicional o fracción deésta.En los problemas 11 a 14, determiney simplfique cada unode los siguientes va/ores: (a)f(-a); (b)f(a); (c)f("I);(d)f(a2)11. f(x) 12. f(x) = x2 + 513. f(x)x2 + 5En los problemas 15 a 20, determine iodos los va/ores de atales que g(a) = 5.15. g(x) = 3x + 4 16. g(x) =2x -17.g(x)=Vx2+16 18.g(x)=x3-319.g(x)=/x+25 20.g(x)=2x2-x+4En los problenias 21 a 26, ca/cu/c y simplj/ique después Iacanticladf(a + h) -f(a).21. f(x) = 3x - 2 22. f(x) = 1 - 2x23. f(x) = ,2 24. f(x) = x2 + 2x25. f(x) =! 26. f(x)2x x+1En los problemas 27 a 30, determine ci rango de va/ores de/afunción dada.27. f(x)={1 :::28. f(x) = [3x11(Recuerdc que x]Jes el rnáxirno entero queno excede a x.)29. f(x) = (-1 )1V130. fx) es el costo (en centavos) pore! envio en primera c!asede una carla en los Estados Unidos que pesa x onzas, 0 <x < 12.Sección 1.1 / Funciones y námeros realesvalores extremosf(a) yf(b) difieren en signo, entonces podemos aproximar estasolución tabulando valores en subintervalos cada vez más pequenos. Los proble-mas 61 a 70y los proyectos al final de esta sección son aplicaciones de este métodonumérico concreto para la solución aproximada de ecuaciones.14. f(x) = Vi + x2 + x4En los pro blemas 31 a 45, determine el dominio más amplio(de ntmeros rca/es) en donde lafórm u/a dada determina unafuncion (real).31. f(x) = 10 - x233. f(t) = v?35. f(x) = V3 - 537. f(t) Vi - 2t239. f(x) =3-x41. f(x) = V2 + 943. f(x) = V4 - 44. f(x)Ix + 1= - 1g(t)=Exprese ci area A de un cuadrado como una función desu perimetro P.Exprese Ia circunferencia C de Un circulo como unafunción de su area A.Exprese el volumen Vde una esfera como una funcióndel area de su superficie S.Dado que 0°C es igual a 3 2°F, y un canibio de temperaturade 1°C es igual a un cambio de 1.8°F, exprese Ia temperaturaCelsius C como una función de Ia temperatura Fahrenheit F.Muestre que Si mi rectánguio tiene base x y perimetro 100(figura 1.1.18), entonces su area A est dada por Ia funciónA(x) = x(50 - x), 0 x50.xFigura 1.1.18 A = xy (prob!ema 50)111. 3 - 1713.l-0.25-15. (-5)(4 - 9)17. (-3)l9 22ITI2.6.8.10.4.151-31 - 171l71-6141 +1-213 --17-4132. f(x) = x3 + 534. g(t)36. g(t) = /t + 438. g(x)1(x + 2)2/ 2 1/240. g(t)- (3 -42. h(z)1V4 - z2
  31. 31. 51. Un rectángiilo con base de longitud x está inscrito en uncirculo de radio 2 (figura 1.1.19). Exprese el area del rectán-gulo como una función de x.12Figura 1.1.19 A =xy(problema 51)Un campo petrolero con 20 pozos ha estado produciendo4000 barriles diarios. Por cada nuevo pozo que se perfore, laproducción diana de cada pozo decrece en 5 barriles. EscribaIa producción diana total del campo petrolero como unafunción del námero x de nuevos pozos perforados.Suponga que una caja rectangular tiene un volumen de324 centImetros cübicos y una base cuadrada de longitud xcentirnetros. El material de la base de la caja cuesta 2 centavosci centImetro cuadrado y el material para la tapa y los cuatrolados cuesta un centavo el centImetro cuadrado. Exprese elcosto total de la caja como una función de x. Véase Ia figura1.1.20.Figura 1.1.20 V=x2y(problema 53)54. Un rectángulo de perImetro fijo igual a 36 se rota en tornode uno de sus lados S para generar un cilindro circular recto.Exprese el volumen V de este cilindro como tma fimción dellargo.x del lado S. Véase la figura 1.1.21.Figura 1.1.2 1 V= iry2 (problema 54)55. Un cilmdro circuiar recto tiene volumen 1000 pulgadascábicas y ci radio de su base tiene r pulgadas. Exprese el areatotal de la superficie A como una función de r. Véase Ia figura1.1.22.IIFigura 1.1.22 V= jrr2h (problema 55)Una caja rectangular tiene un area de Ia superficie de 600centimetros cuadrados y una base cuadrada con una longitudde arista de x centimetros. Exprese ci volumen V de Ia cajacomo una función de x.Una caja sin tapa se construye a partir de una piezacuadrada de carton de lado 50 pulgadas. En primer lugar, secortan cuatro cuadrados, cada uno con una longitud de ladoigual ax pulgadas, de las cuatro esquinas del carton (figura1.1.23). Entonces, las pestañas resultantes se voltean ha-cia arriba (se doblan a lo largo de las lineas punteadas) paraformar los cuatro lados de Ia caja, que tendrá entonces una basecuadrada y una profundidad dcx pulgadas. Exprese el volu-men Vcomo una funciOn dcx.-vT? IFigura 1.1.23 Se doblan las aristas para tbrmar una caja(problema 57)Contirnie ci problema 50 estudiando en forma numérica elarea de un rectángulo de perimetro 100. Cuáles dimensiones(largo y ancho) parecen maximizar ci area de tal rectángulo?Determine numéricamente el niimero de nuevos pozospetroleros que deben perforarse para maximizar Iaproduccióndiana total del campo petrolero del problema 52.Analice numéricamente el area total de Ia superficieA deIa caja rectangular del ejemplo 5. Suponga que x I yy 1.,Cuãles dimensiones dcx yy parecen minimizar A?En los problemas 61 a 70, se dan una ecuación cuadráticaax2 + bx + c = Oy un intervalo [p, q] que contiene a una deCapItulo 1 / Funciones y gráficas5050
  32. 32. I .0) 3@*-54"-a----sus soluciones. Use el método de tabulación repetida paraaproximar esta solución con dos cjfras decimales correc-tas o correctamente redondeadas. Verfique que sus resulta-dos coinciden con una de las dos soluciones dadas por Iaformula cuadrática.b ± Vb2 - 4acx=1.1 Proyectos63.x2+2x-4=0, [1,2]64.x2+2x-4=0, [-4,-3]67.x2llx+25=0, [3,4]x2 - lix + 25 = 0, [7,8]3x2+23x-45=O, [1,2]3x2 + 23x 45 = 0, [-10, 9]En los proyectos aqul descritos, usted va a aplicar ci método de la tabulaciónrepetida usando uiia calculadora cientIfica o una computadora. La figura 1.1.24muestra una calculadora HP-48 preparada para definir la función A(x) = (30x -x2) cuando usted oprima la tecla (DEFINE] . Entonces, el valor deA(x) se puedecalcular escribiendo el valor deseado de x y oprimiendo Ia tecia .....Algunos sistemas de cómputo tienen "directivas en ilnea" para la tabulaciónde funciones. La tabla de Ia figura 1.1.25 enumera los comandos pam variossistemas comunes que pueden usarse para tabular valores de la funciónf(x) en elintervalo [a, b] con subintervalos de longitud h. La formula que definef(x) y losn(imeros a, b y h se introducen como en el comando tIpicotable(0.6*(30*x - xA2), x7 tox8 step 0.1)para tabular Ia funciónf(x) = (30x x2) en ci intervalo [7, 8].PRO VECTO A Suponga que necesita encontrar la raIz cuadrada (positiva) de2 con una precision de tres cifras decimales, pero que su calculadora no tiene Iatecla de raIz cuadrada, sino solamente las tecias para las cuatro operacionesaritméticas +, x y A pesar de eso, ,podrIa aproximar con precision [usandoma calculadora tan sencilla?Simplemente está buscando un nümero x tal que = 2; es decir, que cumplax2 2 = 0. Asi x = es una solución de Ia ecuaciónf(x)=x2-2=0. (17)Aun con una calculadora simple de cuatro funciones, puede calcular fácilmentecualquier valor deseado def(x): solo multiplique x por x y reste después 2. Enconsecuencia, puede tabular con facilidad los valores de la funciOnf(x) = x2 - 2.Aplique el método de tabulación repetida para aproximar con unaprecisiOn de tres cifras decimales. Use cualquier calculadora o computadoradisponible, pero no use su funciOn raIz cuadrada.BASIC FORx=atobSTEPh PRINTx.f(x) : NEXTDeriveMaple[VECTOR(x,x,a,b,h) .VECTOR(f(x) ,x,a,b,h)Tforxfromabyhtobdoprint(x.f(x))odMathematica MatrixForm[ Table[ {x.f[x]) , (x,a.b.h) ](X)PLORE table ( f(x) . x = a to x = b step h2a61. x2 - 3x + 1 = 0,[0, 1]62. x2 - 3x + 1 = 0, [2, 3]65. 2x2 - 7x + 4 = 0, [0, 1]66. 2x2 - 7x + 4 = 0, [2, 3]Sección 1.1 / Funciones y nimeros reales 13Figura 1.1.24 Una calculadorapreparada para definir la funciónA(x) =(30x x2)Figura 1.1.25 Comandos paraIa tabulación de Ia funciónf(x)
  33. 33. VIFigura 1.1.26 Area rectangularcon corredor1.2El piano coordenadoy las Imneas rectas14De manera similar, podrIa aplicar el método de tabulación repetida paraencontrar aproximaciones de tres cifras decimales para las ralcesLi I l7comounasolucióndex2=17,Li como una soluciôn de x3 = 25, oLi 100 como una solución de x5 = 100.PROYECTO B La figura 1.1.26 muestra un area rectangular de 50 por 100 piesque usted planea encerrar con un corredor de ancho x que cuesta 25 centavos porpie cuadrado. Si tiene $250 para pagar el corredor, determine el valor de x con .maaproximación de 0.01 pies. Exprese primero el area del corredor como la diferenciade las areas de los rectángulos exterior e interior de la figura 1.1.26. Despuésmuestre que(2x + 100)(2x + 50) - 5000 = 1000. (18)Finaimente, aproxime x por tabulación repetida.Para otras posibilidades más interesantes, puede reemplazar el area rectangu-lar conLi Un area en forma de L,Li Un area en forma de triángulo rectángulo isósceles, un triángulo equilátero oun triángulo rectángulo 3-4-5,Li Un area en forma de ventana normanda (un rectángulo coronado por unsemicIrculo), oLi Un hexágono regular.Para comparar resultados, haga que el area en cada caso tenga un perImetroaproximado de 300 pies.Imagine el piano liso y liano bidimensional de la geometria de Euclides. Instaleuna copia de Ia recta numérica real R, con la lInea horizontal y los námerospositivos ala derecha. Aiada otra copia deR perpendicular ala primera, de modoque las dos lIneas se intersequen en sus respectivos ceros. La Ilnea vertical debetener sus niimeros positivos por arriba de la lInea horizontal, como en Ia figura1 .2.1; los niimeros negativos deben estar por debajo de ésta. La lInea horizontalse llama ejexy la lInea vertical se llama ejey.y4-32-3 -2 -I 1 2 3 X-2-3Figura 1.2.1 El piano coordenadoCapItulo I I Funciones y gráficas
  34. 34. 12(x2, y)TY2Y11P1(x1,IP3(x2. Yi)I.- 1X2R(-2, 3)yy¡ ----------~P(X¡,y¡)IIIX¡ xFigura 1.2.2 El punto P tienecoordenadas rectangulares(XI> YI)BaA .c;;...----b---....IC(ángulorecto)Figura 1.2.3 El teorema dePitágorasAl agregar estas características, obtenemos el plano coordenado, ya queentonces es posible localizar cualquier punto dado mediante un par de númerosllamados coordenadas delpunto. He aquí cómo: Si P es un punto en el plano, traceperpendiculares de P a los ejes coordenados, como se muestra en la figura 1.2.2.Una perpendicular interseca al eje x en la coordenada x (o abscisa) de P,etiquetada como XI en la figura 1.2.2. La otra interseca al eje yen la coordenaday (u ordenada) YI en P. El par de números (XI> Y¡), en ese orden, se llama el parcoordenado de P, o simplemente las coordenadas de P. Para ser concisos,hablamos de "el punto P (XI> y¡)".Este sistema de coordenadas se llama sistema de coordenadas rectangula-res, o sistema de coordenadas cartesianas (pues su uso en geometría fuepopularizado en la década de 1630 por el matemático y filósofo francés RenéDescartes [1596-1650]). El plano con estas coordenadas se denota RZ, ya queusamos dos copias de R; se conoce también como plano cartesiano.Las coordenadas rectangulares son fáciles de usar, ya que P(XI> Y¡) y Q(Xz, yz)señalan al mismo punto si y sólo si XI = Xl YY¡ = Yl Por tanto, si usted sabe que Py Qson puntos diferentes, debe concluir que P y Qtienen diferentes abscisas,diferentes ordenadas, o ambas.El punto de simetría (O, O) donde se cruzan los ejes coordenados se llamaorigen. Todos los puntos en el ejex tienen coordenadas de la forma (x, O). Aunqueel número real X no es lo mismo que el punto geométrico (x, O), hay situacionesen que es más útil pensarlos como lo mismo. Observaciones similares se aplicana los puntos (O, y) en el eje y.El concepto de distancia en el plano coordenado se basa en el teorema dePitágoras: Si ABe es un triángulo rectángulo con su ángulo recto en el punto eehipotenusa e, como en la figura 1.2.3, entonces(1)yxEl recíproco del teorema de Pitágoras también es cierto: Si los tres lados de untriángulo dado satisfacen la relación de Pitágoras en la ecuación (1), entonces elángulo opuesto alIado e debe ser un ángulo recto.La distancia d(PI> Pl) entre los puntos PI y Pl es, por definición, la longi-tud de la línea recta que une aP¡ y Pl. La fórmula siguiente da d(PI> Pl) en términosde las coordenadas de los dos puntos.Fórmula de la distanciaLa distancia entre los dos puntos p¡(XI> Y¡) y PzCXl Yl) esFigura 1.2.4 Use este triángulopara deducir la fórmula de ladistancia(2)Q(5,4)yP(I, O)Figura 1.2.5 ¿Es éste untriángulo rectángulo (ejemplo l)?xDemostración Si XI -¡:. Xl YY¡ -¡:. Yl, entonces la fórmula de la ecuación (2) esconsecuencia del teorema de Pitágoras. Use el triángulo rectángulo con vérticesPI> Pl YPJCXl,YI) que se muestra en la figura 1.2.4.Si XI = Xl, entonces PI y Pl están en una línea vertical. En este casod(P¡, Pz) = IY2 - y¡ I = V(yz - YI)2.Esto concuerda con la fórmula de la ecuación (2) ya que X¡ = Xz. El caso restante,en donde Y¡ = Yl es similar. OEJEMPLO 1 Muestre que el triángulo PQR con vértices P(l, O), Q(5, 4) YR(-2,3) es un triángulo rectángulo (figura 1.2.5).Sección 1.2 / El plano coordenado y las líneas rectas 15
  35. 35. 16yFigura 1.2.6 El punto medio MxFigura 1.2.7 La pendiente deuna Ilnea rectaxSolución La formula de la distancia daLINEAS RECTAS Y PENDLENTESQ ueremos definir lapendiente de una ilnea recta, una medida de su elevación odescenso de izquierda a derecha. Dada una recta no vertical L en el planocoordenado, elegimos dos puntos P1(x1, Yi) y P2(x2, Y2) en L. Consideramos losincrementos & y ty (que se leen "delta x" y "deltay") en las coordenadas x yyde P1 a P2, que se definen cornoOtra aplicación de Ia formula de Ia distancia es una expresión para lascoordenadas del punto medio M del segmento de recta P1P2 con puntos extremosP1 y P2 (figura 1.2.6). Retomando de Ia geometrIa que M es el (ünico) punto delsegmento de recta P1P2 que está a la misma distancia de P1 y P2. La siguientefOrmula nos dice que ]as coordenadas deMson lospromedios de las coordenadascorrespondientes de P1 y P2.Formula para el punto medioEl punto medio del segmento de recta con extremos P1(x, Yi) y P2(x2, .Y2)es el punto M(, 3) con coordenadasYr(YIY2) (3)Denzostración Si sustituye las coordenadas de P1, My P2 en la fOrmula de Iadistancia, vera que d(P1, M) d(P2, M). Todo lo que resta es mostrar que M seencuentra en el segmento de recta P1P2. En el problema 31, le pedimos hacerestoy asI completar Ia demostración.elevación"pendiente - IcarreraCapitulo 1 / Funciones y gráficasy YY2Yl. (4)Los ingenieros (y otros) ilaman a & la carrera de P1 a P2 y Ly la elevaciOn de P1ya P2 como en la figura 1.2.7. La pendiente m de una recta no vertical L es entoncesP2(x2, )) la razón entre la elevaciOn y la carrera:Elevación YYi (5)m& x2xlP1(x1,y1) Y=Y2YICarreta P3(x2,y1) Esto también es la definición en ingenierla civil y otras areas (incluyendo el& = x2 -cálculo). En un texto de agrimensura encontrará la idea nemotécnicab2 = [d(P, R)]2 = (-2 - 1)2 + (3 - 0)2 = 18 y= [d(Q, R)]2 = (-2 5)2 + (3 4)2 = 50.Ya que a2 + b2 = c2 el recIproco del teorema de Pitágoras implica que RPQ es unángulo recto. El ángulo recto está en P ya que P es el vértice opuesto al lado máslargo, QR.
  36. 36. Figura 1.2.8 El resultado delcálculo de Ia pendiente no dependede los puntos de L que se usenRecordemos que los lados correspondientes de triangulos semejantes (esdecir, con angulos iguales) tienen razones iguales. Por tanto, Si P3(x3, y) yP4(x4, y) son dos puntos distintos en L, entonces la semejanza de los triángulosde la figura 1.2.8 implica queY4 - Y3 Y2 - YiX4 - X3 X2 - XjEn consecuencia, la pendiente m definida en la ecuación (5) no depende de unaelección particular de P1 y P2.Si larectaL es horizontal, entonces zy= 0. En este caso la ecuación(5)dam = 0. Si L es vertical, entonces & = 0 y la pendiente de L no está definida. Porlo que tenemos las siguientes proposiciones:Las rectas horizontales tienen pendiente nula.Las rectas verticales no tienen pendiente definida.EJEMPLO 2 (a) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, 2) y(-1, 4) es 4 - (-2) 6 34Los puntos (3, 2) y (7, 2) tienen la misma coordenaday. AsI, la recta quepasa a través de ellos es horizontal y entonces tiene pendiente nula.Los puntos (3, 2) y (3,4) tienen la misma coordenadax. Por lo tanto, Ia rectaque pasa a través de ellos es vertical y entonces su pendiente no está definida.ECUACIONES DE LINEAS RECTASNuestra meta inmediata es poder escribir las ecuaciones de imneas rectas dadas. Esdecir, si L es una Imnea recta en el plano coordenado, deseamos construir unenunciado matemático, una ecuación, acerca de los puntos (x, y) en el piano.Queremos que esta ecuación sea verdadera cuando (x, y) sea un punto sobre L yfalsa cuando (x, y) no lo sea. Es claro que esta ecuaciónutiiizará ax y ay, asI comoaigunas constantes numéricas determinadas por la propia L. Para escribir estaecuación, el concepto de pendiente de L es esencial.Supongamos, entonces, que P(x0, Yo) es un punto fijo de una rectaL no verticalcon pendiente rn. Sea P(x, y) cualquier otro punto en L. Aplicamos la ecuación(5) conPyPo en vez deP1 yP2 para ver quey - Yomx - xoSección 1.2 / El piano coordenado y las lineas rectas 17
  37. 37. xFigura 1.2.9 La ]inea recta conecuacióny = mx + b tienependiente m y ordenada al origen b.18es decir,y - yo = m(x - xo). (6)Como el punto (x0, y) satisface Ia ecuación (6), a! igual que cada punto deL, y yaque ning otro punto del piano puede satisfacer dicha ecuación, (6) es realmenteuna ecuación para la recta dada L. En resumen, tenemos el siguiente resultado.La ecuación puntopendienteEl punto P(x, y) está en Ia recta con pendiente m y pasa por el punto fijo(x0,y0) Si y solo si satisface la ecuaciOnyyom(xx0) (6)La ecuación (6) es Ia ecuación punlopendiente de L, debido en parte a quelas coordenadas del punto (x0, y) y I a pendiente m deL se pueden leer directamentede la ecuación.EJEMPLO 3 Escriba una ecuación para la recta L que pasa por los puntosP1(l, 1) yP2(3, 5).Solución La pendiente m de L se puede obtener de los dos puntos dados:5 - (-1)m3-1Cualquiera de los puntos P1 o P2 puede servir como el punto fijo. UsaremosP(1, 1). Entonces, con Ia ayuda de Ia ecuación (6), Ia ecuación puntopendientede L esy + 1 = 3(x - 1).Si es adecuada la simplificacióri, escribimos 3x y= 4.y = mx + b, (7)y = mx + bRecta: pendiente m donde b = - mx0 es una constante. Como y = b cuando x = 0, Ia ordenada aIorigen deL es el punto (0, b) que se muestra en la figura 1.2.9. Las ecuaciones (6)(0, b): ordenada al origen 1, y (7) son formas diferentes de Ia ecuación de una lInea recta.La ecuación puntoordenada a! origenEl punto P(x, y) está en Ia recta conpendiente m y ordenada al origen bsi y solo silas coordenadas de P satisfacen Ia ecuacióny = mx + b (7)Probablemente haya notado que ambas ecuaciones (6) y (7) se pueden escribiren Ia forma de la ecuación general linealAx+By=C, (8)donde A, By C son constantes. Reciprocanente, Si B 0, entonces la ecuación (8)se puede escribir en Ia forma de la ecuaciOn (7) si dividimos cada término entreB. En consecuencia, Ia ecuación (8) representa una lInea recta con pendiente dadaCapitulo 1 / Funciones y gráficasyLa ecuación (6) se puede escribir de la forma
  38. 38. Figura 1.2.10 6Cómo serelaciona el ánguio de inclinación0 con la pendiente m?Figura 1.2.11 Dos rectasparalelaspor el coeficiente de x despué.s de despejar y en la ecuación. Si B = 0, entonces laecuación (8) se reduce a Ia ecuación de una recta vertical: x = K (donde K es unaconstante). Si A =0, Ia ecuación (8) se reduce a la ecuación de una recta horizontaly = H (H una constante). AsI, vemos que en todos los casos la ecuación (8) es Iaecuación de una linea recta, a menos que A = B =0. RecIprocamente, toda linea rectaen el piano coordenado (incluso una vertical) tiene una ecuación de laforma (8).RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARESSi Ia recta L no es horizontal, debe cruzar a! eje x. Entonces, su angulo deinclinación es el ángulo q medido en dirección contraria a la de las manecillasdel reloj, desde el eje x positivo hasta L. Esto implica que 00 < 0< 180° si 0 semide en grados. La figura 1.2.10 aclara el hecho de que este ángulo 0 y la pendientem de una recta no vertical estãn relacionados mediante la ecuacióni.ym==ztanct. (9)Esto es cierto, pues si 0 es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entoncestan 0 es la razón entre el cateto opuesto a 0 y el cateto adyacente al mismo ángulo.La intuición le mdicará correctamente que dos rectas son paralelas si y solo sitienen el mismo angulo de inclinación. AsI, la ecunciOn (9) implica que dos rectasparalelas no verticales tienen la misma pendiente y que dos rectas con la mismapendiente deben ser paralelas. Esto termina la demostraciOn del teorema 1.Teorema 1 Pendientes de rectas paralelasDos rectas no verticales son paralelas si y sOlo si tienen la mismapendiente.El teorema 1 se puede demostrar también sin el uso de la función tangente.Las dos rectas que se muestran enla figura 1.2.11 son paralelas si y solo silos dostriángulos rectángulos son semejantes, lo que es equivalente al hecho de que laspendientes de las rectas sean iguales.EJEMPLO 4 Escriba una ecuaciOn de la recta L que pasa por el pu.nto P(3, 2)y es paralela a la recta L que tiene la ecuación x + 2y 6.Solución Cuando despejamos y en la ecuación de L, obtenemos y = - . x + 3,por lo que L tiene pendiente m = -. Como L tiene Ia misma pendiente, su ecuaciOnpuntopendiente es entoncesy + 2 = (x - 3),0, Si lo prefiere, x + = 1.Teorema 2 Pendientes de rectas perpendicularesDos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2, respectivamente, son perpen-diculares si y solo sim1m2=-1 (10)Es decir, la pendiente de cada una es el recIproco negativo de Ia pendientede la otra.Sección 1.2 / El piano coordenado y las Ilneas rectas 19
  39. 39. Figura 1.2.12 Ilustración de Iademostración del teorema 2Figura 1.2.13 Pendientespositiva y negativa; efecto sobre 0Demoslración Si las dos rectas L1 y L2 son perpendiculares y Ia pendiente de(x2, Y2) cada una existe, entonces ninguna de elias es horizontal o vertical. AsI, la situaciónse parece a Ia de la figura 1.2.12, donde las dos rectas se intersecari en el puntoV2 Yo(x0, yo). Es fácil ver que los dos triángulos rectãngulos son semejantes, por 10 quela igualdad de razones de lados correspondientes se escribeY2YO X0X1 1- = - =X2X0 YYo Yyo mAsi, Ia ecuación (10) es válida silas dos rectas son perpendiculares. Este argu-mento se puede invertir para demostrar ci recIproco, que las rectas son perpendi-culares Si !fl11fl2 = 1. UEJEMPLO 5 Escriba una ecuación de la rectaL que pasa por el punto P(3, 2)y que es perpendicular a Ia recta L con la ecuación x + = 6.Solución Como virnos en ci ejemplo 4, la pendiente de L es = - . Por elteorema 2, la pendiente de L es in = i/in = 2. AsI, L tiene la ecuación puntopen-dienteen forma equivalente, 2x = 8.Será titil recordar que ci signo de la pendientein de la rectaL indica si la rectase inclina hacia arriba o hacia abajo cuando los ojos la recorren de izquierda aderecha. Si in> 0, entonces el ángulo de inclinación Øde L debe ser u.n ánguloagudo, pues in tan 0. En este caso, L "sube" a la derecha. Si m <0, entonces Øesobtuso, de modo que L "baja". La figura 1.2.13 muestra Ia geometrIa detrás deestas observaciones.ESTUDIO GRAFICOMuchos probiernas matemáticos requieren Ia solución simultánea de un par deecuaciones lineales de Ia forrnaa1x + biy =a2x + by = C2.Las gráficas de estas dos ecuaciones son un par de rectas en ci piano xy. Si estasdos rectas no son paralelas, entonces deben intersecarse enun tinico puntoPcuyasPendientepositivaagudoPendientenegativaobtuso20 CapItulo 1 I Funciones y gráficas
  40. 40. TE,us IMftRLMKiTh 7741 4=(i-Figura 1.2.14 Una calculadorapreparada para graficar las rectasde Ia ecuación (12) (Ejemplo 6)Figura 1.2.15 -5 x 5,-SyS (Ejemplo6)21.81.6>1.41.2i .r./(81)/18:1coordenadas (x0, y) conforman Ia solución de (11). Es decir, x = x0 y y = yo son los(inicos) valores dex yy pam los cuales ambas ecuaciones en (11) son verdaderas.En el algebra elemental, usted estudió varios métodos de eliminación ysustitución para resolver sistemas lineales como (11). El ejemplo 6 ilustra unmélodo grafico alternativo que a veces es más 6til cuando se dispone de una utilerIagráfica (una calculadora grafica o una computadora con u.n programa de grafica-cion).EJEMPLO 6 Queremos analizar la solución simult.ánea de las ecuacioneslinealeslOx - = 1715x + l8y = 67.(12)Para muchas calculadoras gráficas, es necesario despejar primero y en cadaecuación:y = (17 - lOx)/(-8)y = (67 - 15x)/18. (13)La figura 1.2.14 muestra una calculadora preparada para graficar las dos rectasrepresentadas por las ecuaciones en (12), y Ia figura 1.2.15 muestra el resultadoen Ia venlana de vision-S x 5,-S y 5.Antes de continuar, observe que en Ia figura 1.2.15, las dos rectasparecenperpendiculares. Pero sus pendientes, (-10)/(-8) = y (-15)118 = -, no sonreciprocos negativos entre Si. El teorema 2 implica que las dos rectas noson perpendiculares.Las figuras 1.2.16, 1.2.17 y 1.2.18 muestran aproximaciones sucesivas delpunto de intersección de las dos rectas. El recuadro punteado de cada figura es laventana de vision de Ia siguiente. Si observamos Ia figura 1.2.18, vemos que elpunto de intersección está dado por Las aproximacionesx 2.807, y 1.383, (14)redondeado a tres cifras decimales.El resultado en (14) se puede verificar al igualar los miembros derechos en(13) y despejarx. Esto nos dax = 421 /150 2.8067. La sustitución de este valoren cualquiera de las ecuaciones (13) nos day 83 / 60 1.3833.Figura 1.2.17 2.75 x 2.85.1.35 y 1.45 (Ejempio 6)1.391.3881.3861.3841.3 821.382.8 2.802 2.804 2.806 2.808 2.81Figura 1.2.18 2.80x2.8l,1.38 1.39 (Ejemplo 6)Sección 1.2 / El piano coordenado y las Ilneas rectas 21Figura 1.2.16 2I y2(EjempIo6)2.2 2.4 2.6x2.8
  41. 41. 1.2 ProblemasTrespuntos A, By C están en una misma lInea recta si y solosi Ia pendiente de AB es igual a Ia pendienle de BC. En losproblemas I a 4, graJlque los Irespuntos dados y determineentonces Si están o no en una so/a recta.A(-1, 2), B(2, 1), C(4, 3)A(-2, 5), B(2, 3), C(8, 0)4(-1,6),B(1,2),C(4, 2)A(-3, 2), B(l, 6), C(8, 14)En los problemas 5 y 6, use el con cepto de pen diente paramostrar que los cuatro pun tos dados son los vertices de unparalelogramo.A(1, 3), B(5, 0), C(7, 4), D(1, 7)A(7, B(-2, 2), C(1, 4), DUO, 1)En losproblemas ?y 8, muestre que los trespuntos dados sonlos vertices de un triO ngulo rectOngulo.A(-2, B(2, 7), C(4, 4)A(6, 1), B(2, 3), C(-3, 2)En los problemas 9 a 13, determine la pendiente (m) y Iaordenada al origen (b) de la recta con Ia ecuaciOn dada.Grafique después dicha recta.9.2x=3y 10.x+y=l11.2xy+30 12.3x+4y62x = 3 -En los problemas 14 a 23, escriba una ecuación de Ia rectaL descrita.L es vertical y su abscisa al origen es 7.L es horizontal y pasa por (3, 5).L tiene abscisa a! origen 2 y ordenada al origen 3.L pasa por (2, 3) y (5, 3).L pasa por (-1, 4) y tiene pendiente 1/2.Lpasapor(4, 2) ytieneunángulo de inclinación de 135°.L tiene pendiente 6 y ordenada al origen 7.L pasapor (1, 5) y es paralela a Ia recta con ecuación2x+y 10.22El método gráfico ilustrado por el ejemplo 6 produce por lo general solucionesaproximadas que son lo bastante precisas para propósitos prácticos. Pero ci métodoes particularmente titil para las ecuaciones no lineales, para las que no se disponede técnicas algebraicas de solución.L pasa por (-2, 4) y es perpendicular a Ia recta conecuación x + 2y = 17.L es la niediatriz del segmento de recta con extremos(-1,2) y (3, 10).Determine Ia distancia perpendicular desde ci punto (2, 1)hasta la recta con ecuación y = x + 1.Determine Ia distancia perpendicular entre las rectasparalelasy=5x+ 1 yy5x+9.Los puntos A(-1, 6), B(0, 0) y C(3, 1) son tresvertices consecutivos de un paralelogramo. Determineci cuarto vértice. (,Qué ocurre si se omite Ia palabraconsecutivo?)Demuestre que las diagonales del paralelogramo delproblema 26 se bisecan entre si.MuestrequelospuntosA(-1, 2); B(3, 1), C(6, 3)y D(2, 6) son los vertices de un rombo (un paralelogramocon todos los lados de igual longitud). Demuestre des-pues que las diagonales de eSte rombo son perpendicu-lares entre si.Los puntosA(2, I), B(3, 5) y C(7, 3) Son los vertices deun triángulo. Demuestre que Ia recta que une los puntosmedios deAB yBCes paralela aAC.Una mediana de un triángulo es una recta que une unvértice con el punto medio del lado opuesto. Demuestre quelas tres medianas del triángulo del problema 29 Se intersecanen un solo punto.Complete Ia demostración de Ia formula para el puntomedio, en Ia ecuaciOn (3). Es necesario mostrar que elpunto M está en el segmento P1P2. Una forma de hacer eStoes mostrar que Ia pendiente de P1Mes igual a Ia pendiente deMP2.Sea P(x(), y) un punto del circulo con centro C(0, 0) yradio r. Recuerde que Ia recta tangente al cIrculo en P esperpendicular al radio CP. Demuestre que Ia ecuaciOn de estarecta tangente es xr + y0y = r2.La temperatura FahrenheitFy la temperatura absoluta Ksatisfacen una ecuación lineal. Además, K = 273.16 cuandoF= 32 y K= 373.16 cuando F = 212. Exprese Ken términosde F. ,Cuál es el valor de F cuando K = 0?La longitud L (en centImetros) de una varilla de cobre esuna función lineal de su temperatura Celsius C. Si L = 124.942cuandoC=2OyL=125.l34cuandoC=11O,expreseLentérminos de C.La propietaria de una tienda determina que puede vender980 galones de leche cada semana, a $1.69 ci galOn, y 1220galones de leche cada semana a $1.49 el galón. Suponga queexiste una relación lineal entre el precio y las ventas. Cuántosgalones esperarIa vender a $1.56 el galOn?CapItulo 1 / Funciones y gráficas
  42. 42. 36. La figura 1.2.19 muestra las gráficas de las ecuaciones>17x - lOy = 5725x - l5y = 17.-10 -5 0 5 10Figura 1.2.19 Las rectas del problema 361.3Gráficas cleecuaciones yftincionesEn los pro blemas 37 a 46, use una calculadora grajIca 0 unacomputadora para aproximar de manera grajIca (con tresdecimales correclos o correclamente redondeados) Ia solu-ción del sislema lineal dado. Después, verijIque su soluciónaproximada resolviendo el sislema tnediante Un método a!-gebraico preciso.38.6x+4y=58x-6y=1340.2x+3y=172x+5y=2042.4x+3y=155x+5y=21 5x+5y=2943.5x+6y=16 44.5x+lly=217x+lOy=29 4x+lOy=1945.6x+6y=31 46. 7x+6y=319x+lly=37 llx+lly=47Justifique la frase "ningim otro punto del plano puedesatisfacer" que va después de la ecuación (6).El anáiisis de Ia ecuación lineal Ax + By = Cen la ecuación(8) no incluye una descripción de Ia gráfica de esta ecuaciónsi A = B = 0. ,Cuál es Ia gráfica en este caso?En Ia seccion 1.2 vimos que los puntos (x, y) que satisfacen Ia ecuación lineal Ax+ By = C forman un conjunto muy simple: una lInea recta (si A y B no se anulanen forma simultánea). En contraste, el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen Iaecuación- 4x3 + 3x2 + 2x2y2 = y2 + 4xy2 - y4forman Ia curva exótica de la figura 1.3.1 (jAunque esto noes obvio!)Pero lailnearecta y esta curva complicada son ejemplos de graJicas.Figura 1.3.1 La gráfica de Ia ecuaciónx4 4x+3x2+2x2y2y2+4xy2 y4Definición Grafica de una ecuaciónLa gráflca de una ecilación en dos variablesx yy es ci conjunto de todoslos puntos (x, y) en el pIano que satisfacen Ia ecuación.Por ejemplo, Ia formula de Ia distancia nos dice que Ia gráfica de Ia ecuaciónx2 + y2 = r2 (1)Sección 1.3 / Grálicas de ecuaciones y funciones 23,Son paralelas estas rectas? En caso contrario, determine supunto de intersección. Si tiene una utileria de graficación,determine Ia solución mediante una aproximación gráfica y37.2x+3y=52x+5y=12mediante métodos algebraicos precisos. 39.3x+3y=173x+5y=1641.4x+3y=l7
  43. 43. y es el cIrculo de radio r con centro en el origen (0, 0). Más en general, la gráfica dela ecuación(x - h)2 + (y - k)2 = (2)Figura 1.3.2 Un circulotrasladado84-4-8-IG -5Figura 1.3.3ejemplo 224.(2, -3)0x5El cIrculo delI0es el circulo de radio r con centro (h, k). Esto es consecuencia de la formula de ladistancia, pues la distancia entre los pulflos (x, y) y (h, k) de Ia figura 1.3.2 es r.EJEMPLO 1 La ecuación del cIrculo con centro (3, 4) y radio 10 es(x 3)2+ (y 4)2 = 100,que también se puede escribir en Ia formax2 + y2 - 6x - 8y - 75 = 0.Podemos considerar el cIrculo general, ecuación (2), como una traslación delcIrculo con centro en el origen de Ia ecuación (1): Cada punto del primero seobtiene mediante una traslación (desplazamiento) de cada purito del piano xy hunidades a Ia derecha y k unidades hacia arriba. (Un valor negativo de h corres-ponde a una traslaciOn h unidades a Ia izquierda; un valor negativo de k indicauna traslación hacia abajo.) Usted puede ver que la ecuación (2) del cIrculotrasladado con centro (/i, k) se puede obtener mediante Ia ecuación (1), reempla-zando x con x - h y y con y - k. Veremos que este principio se aplica a curvasarbitrarias:Cuando Ia gráfica de una ecuación se trasiada h unidades hacia la derecha yk unidades hacia arriba, Ia ecuación de la curva trasladada se obtiene de Iaecuación original mediante el reempiazo de x con x - h yy cony - k.Observe que podemos escribir la ecuaciOn de un cIrculo trasladado en laecuación (2) de Ia forma generalx2 + y2 + ax + by = c. (3),Qué podemos hacer entonces cuando encontrernos una ecuación que ya está enla forma de Ia ecuación (3)? Pnmero reconocemos que es una ecuaciOn de uncIrculo. A continuaciOn, podemos descubrir su centro y radio por medio de latécnica de completar el cuadrado. Para esto, observemos que/ a2 a2x2 + ax = x + - -,lo que muestra que x2 + ax se puede completar para obtener un cuadrado perfectoagregándole el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.EJEMPLO 2 Determine el centro y radio del cIrculo que tiene por ecuaciónx2 + y2 - 4x + 6y = 12.Solución Completamos el cuadrado por separado para cada variablex yy. Estonos da(x2-4x+4)+(y2+6y+9)= 12+4+9;(x-2)2+(y+3)2=25.Por lo tanto, el cIrculo, que se muestra en la figura 1.3.3, tiene centro (2, 3) yradio 5. Al despejary de la Oltima ecuación obtenemosy = 3 ± V25 - (x - 2)2.Capitulo I I Funciones y gráficas
  44. 44. 4IraKL%3RAR3SN1sV%ajYi=-3+.f(25(X-2:y :3..f(25--(X-2:y1=IFigura 1.3.5 La grãlica de Iafunción valor absolutoy = xdel ejernplo 3AsI, el cIrculo consta de las gráficas de las dos funcionesSolución Recuerde queDefinición Grafica de unafunciónLa gráfica de la funciOnfes la gráfica de la ecuación y =f(x).AsI, la gráfica de Ia funcionfes el conjunto de puntos en el plano que tienenIa forma (x, f(x)), donde x está en el dominio def Puesto que Ia segunda coorde-nada de tal punto está determinada de manera iinica por su primera coordenada,obtenemos el siguiente y ütil principio:Ninguna recta vertical puede intersecar la gráfica de una función en más deUn punto.Otra alternativa esCada recta vertical que pasa por un punto del dominio de una función intersecasu gráfica en exactamente un punto.Si examina Ia figura 1.3.1, por estas observaciones vera que Ia grafica que ahIaparece no puede ser Ia gráfica de unafunción, aimque si es la grafica de unaecuación.EJEMPLO 3 Construya la gráfica de Ia función valor absolutof(x) = I x I.Si x 0;Si x < 0.De modo que ]a gráfica de y = I x consta de Ia mitad derecha de Ia recta y = xjunto con Ia pane izquierda de Ia rectay = x, corno se muestra en la figura 1.3.5.EJEMPLO 4 Haga an bosquejo de Ia gráfica de Ia función recIprocaf(x) =Solución Exarninaremos cuatro casos naturales.U Cuando .i es positivo y numénicamente grande, f(x) es pequeflo y positivo.U Cuando x es positivo y cercano a cero, f(x) es grande y positivo.Sección 1.3 / Gráficas de ecuaciones y funciones 25Figura 1.3.4 Una calculadora GRAFICAS DE FUNCIONESgráfica preparada para graficar elcIrculo del ejemplo 2 La gráfica de una función es un caso particular de Ia gráfica de una ecuación.y(x) = 3 + /25 - (x - 2)2yy2(x) = 3 - V25 - (x - 2)2que describen sus semicIrculos superior e inferior. La figura 1.3.4 muestra unacalculadora grafica preparada para graficar este cIrculo.
  45. 45. Figura 1.3.6 La gráfica de Iafunción reciprocay 1/x delejemplo 4-3Figura 1.3.7 La gráfica de lafunción (escalera) máximo enterofix) [[x]Idel ejemplo 5U Cuando x es negativo y numéricamente pequefIo (negativo y cercano a cero),f(x) es grande y negativo.U Cuando x es grande y negativo (x es negativo pero I x es grande), f(x) espeque?io y negativo (negativo y cercano a cero).Para comenzar con Ia gráfica, podemos localizar unos cuantos puntos, como(1, 1), (-1, 1), (10, 0.1), (0.1, 10), (-10, 0.1) y (-0.1, 10). El resultado de lainformación desplegada aqul sugiere que la gráfica real se parece mucho a la quese muestra en Ia figura 1.3.6.La figura 1.3.6 tiene un "hueco", o "discontinuidad" en la gráfica dey= 1/xcuando x = 0. De hecho, el hueco se llama discontinuidad infinita puesto que ycrece sin lImite cuando x tiende a cero por Ia derecha, mientras quey decrece sinlImite cuando x tiende a cero por Ia izquierda. Este fenómeno es indicado por logeneral por Ia presencia de denorninadores que se anulan en ciertos valores dex,como en el caso de las funcionesf(x)=y f(x) =que le pedirernos grafique en los probleinas.EJEMPLO 5 La figura 1.3.7 muestra Ia gráfica de la función máximo enterof(x) =xjIdel ejemplo 3 de Ia sección 1 .1. Observe los "saltos" que aparecen en losvalores enteros de x. En las calculadoras, la función máximo entero se denotausualmente con [ NT; en algunos lenguajes de programación, es FLOOR.EJEMPLO 6 Grafique Ia función con Ia formulaf(x) = x - tx]] -Solución Recuerde que x]J= n, donde ii es el mãximo entero que no excede ax: a x <a + 1. Por lo tanto, si a es un entero, entoncesf(n) = n - n - =Esto implica que el punto (a, - -) está en ]a gráfica para cada entero n. AcontinuaciOn, Si fl x < a + 1(donde, de nuevo, a es un entero), entoncesf(x) = x - n -Comoy =xn --tiene coino gráfica uia lInea recta de pendiente 1, esto implicaque Ia griitica deftiene Ia forma que se muestra en Ia figura 1.3.8. Estafuncióndie,ite de sierra es otro ejemplo de función discontinua. Los valores de x donde elvalor def(x) tiene un salto son los puntos de discontinuidad de la funcionf AsI,los puntos de discontinuidad de Ia timción diente de sierra son los enteros. Cuandoxtiende al enteron porla izquierda, el valor def(x) tiende a + 1/2, perof(x)saltaFigura 1.3.8 La gráfica de Ia funcióndiente de sicrraf(x) = x - ix]]-dcl ejemplo 626 Capittilo 1 / Funciones y grãlicasy32 --3 -2 -1 2 3x

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