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Funciones

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Presentación adaptada a partir de una presentación del profesor

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Funciones

  1. 1. Álgebra Moderna – FuncionesFunción (Definición 1)Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B dondea cada elemento del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elementodel conjunto B.-Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H, etc.Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es unafunción, entonces f AXB, y se denota: f: AB se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B” A f B a f(a) =f(b) b c f(c) x f(x)A: conjunto de partida D(f)=A “dominio de la función f”B: conjunto de llegada o codominio.- I(f)B “Imagen de la función f”
  2. 2. Álgebra Moderna – FuncionesFunción (Definición 2):La relación fAXB es una función si cumple con las siguientes condicionesde existencia y unicidad:ExistenciaTodo elemento de A se relaciona con algún elemento de B xA,yB/(x,y)fUnicidadLos elementos de A tienen una sola imagen en B (x,y)f  (x,z)f  y = zFunción (Definición 3):Se define función como la relación entre las variables “x” e “y”, donde a cada unode los valores que pueda tomar “x”, lo relaciona con uno y solo un valor de “y” y=f(x)
  3. 3. Álgebra Moderna – FuncionesCLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONESFUNCIÓN INYECTIVAf:AB es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienenimágenes distintas. O sea:f : A  B es inyectiva  x1 , x2 : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )f : A  B es inyectiva  x1 , x2 : f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2
  4. 4. Álgebra Moderna – FuncionesFUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVAf:AB es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominiotienen preimagen. O sea:f : A  B es sobreyecti  y  B, x  A / f ( x)  y va
  5. 5. Álgebra Moderna – FuncionesFUNCIÓN BIYECTIVAUna función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.CONCLUSIÓN: Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemosconcluir que:• Una función puede ser inyectiva, solamente• Una función puede ser sobreyectiva, solamente• Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)• Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva
  6. 6. Álgebra Moderna – FuncionesCOMPOSICIÓN DE FUNCIONESSean dos funciones, f:AB  g:BC, se llama composición de lasfunciones f y g a la función gof:AC/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista unelemento yB tal que y=f(x), y z=g(y), con zC y xA, A B C f g x y=f(x) z=g[f(x)] gof
  7. 7. Álgebra Moderna – FuncionesPOR EJEMPLOSean las funciones 1 f : R  R / f ( x)  x  2 g : (2, )  R / g ( x)  log( x  2) 3Determinar gof:(2,)R gof ( x)  g  f x  gof ( x)  log f ( x)  2 1  gof ( x)  log  x  2  2  3  1  gof ( x)  log  x  4  3 
  8. 8. Álgebra Moderna – FuncionesPROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN 1. ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición de funciones es asociativa. H) Sean las funciones f :A B g:BC h:C  DT) ho( gof )  (hog)ofD) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dosfunciones, debemos trabajar éstas para poder aplicar dicha definición para las tresfunciones. Para ello desarrollamos ambos miembros de la igualdad de la Tesis: gof : A  C    ho( gof )(x)  hog  f x   hg  f x  (A) h:C  D  f : A B    (hog )of ( x) (hog ) f ( x)  hg  f x  (B) hog : B  D ho(gof)=(hog)of
  9. 9. Álgebra Moderna – Funciones 2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVAS La composición de funciones inyectivas es inyectiva H) Sea f:AB  g:BC inyectivas T) gof:AC es inyectiva D) Teniendo en cuenta que y=f(x) y z=g(y) son inyectivas, entonces:x1 , x2 : f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 y1 , y 2 : g ( y1 )  g ( y 2 )  y1  y 2 Ahora gof ( x1 )  gof ( x2 ) g  f ( x1 )  g  f ( x2 ) f ( x1 )  f ( x2 ) x1  x 2  gof:AC es inyectiva (por definición de inyectividad).-
  10. 10. Álgebra Moderna – Funciones3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVASLa composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectivaH) Sea f:AB  g:BC sobreyectivasT) gof:AC es sobreyectiva D) Como y=f(x) y z=g(y) son sobreyectivas, entonces: y  B, x  A / f ( x)  y z  C, y  B / g ( y)  zAhora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis ypor las aseveraciones hechas anteriormente, tenemos: z  C , x  A / g  f ( x)  g ( y)  z Pero, g  f ( x)  gof ( x) por definición de composición de funciones, lo que se tiene que gof ( x)  z Luego, gof:AC es sobreyectiva
  11. 11. Álgebra Moderna – Funciones4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVASLa composición de funciones biyectivas, es biyectivaH) Sea f:AB  g:BC biyectivasT) gof:AC es biyectivaD) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva ysobreyectiva, y teniendo en cuenta las demostraciones de composición defunciones inyectivas y composición de funciones sobreyectivas, sedemuestra esta propiedad.-
  12. 12. Álgebra Moderna – FuncionesTEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSASUna función admite inversa si y sólo si es biyectivaf:AB admite inversa  es biyectivaPara demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o seaH) f:AB admite inversaT) f es biyectivaD) Como la función admite inversa (hipótesis), entonces:gof(x)=iA(x)=x  fog(y)=iB(y)=yHacemos: gof ( x1 )  gof ( x2 ) i A ( x1 )  i A ( x 2 ) x1  x 2 Lo que significa que f es INYECTIVA
  13. 13. Álgebra Moderna – Funciones Ahora:y  i B ( y)  fog ( y)  B, x  i A ( x)  gof ( x)  A / f ( x)  f gof ( x)   f ( x)   fo gof ( x)Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda: f ( x)  ( fog )of ( x)Y aplicando la definición de composición, se tiene: f ( x)  ( fog ) f ( x) f ( x)  ( fog)( y) f ( x)  yEsto demuestra que la función f es SOBREYECTIVALuego, la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva)
  14. 14. Álgebra Moderna – FuncionesDemostremos ahora la segunda parte:H) f:AB es biyectivaT) f admite inversaD) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar unafunción g:BA, siempre que exista f:AB de tal forma que x=g(y), siy=f(x).-Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones deexistencia y unicidad.-Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y enparticular sobreyectiva, entonces todos los elementos de B tienenantecedente en A por f, lo que significa que todos los elementos de Btienen imagen en A por g (existencia).Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienenimagen distinta en B por f, lo que significa que por g, los elementos de Btienen una y sólo una imagen (unicidad).Luego g:AB es función
  15. 15. Álgebra Moderna – FuncionesAhora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas yobtener una conclusión: gof ( x)  g  f ( x)Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces: gof ( x)  g ( y) Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces gof ( x)  x  i A ( x) Por otro lado se tiene: fog ( y)  f g ( y) Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces: fog( y)  f ( x) Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces fog ( y)  y  i B ( y) Luego la función f admite inversa, y es la función g Habiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.-
  16. 16. REALIZACION Prof. LUIS ERNESTO VALDEZ Departamento de MatemáticaInstituto de Estudios Superiores de Andalgalá 2008 - 2012

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