Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

υπολογισμοί απο μνήμης

12,894 views

Published on

Ενημερωμένη νέα έκδοση:
https://mathhmagic.blogspot.com/2018/06/blog-post_24.html

Published in: Education

υπολογισμοί απο μνήμης

  1. 1. Νοεροί αριθµητικοί υπολογισµοί για τεµπέληδες ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ
  2. 2. •Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 125 πολλαπλασιάζεις με το 1000 και κατόπιν διαιρείς με το 8: 33*125=(33*1000):8=(33000:2):4=16500:4=(16500:2):2= 8250:2=4125 • Εναλλακτικά για τον υπολογισμό του τετραγώνου κάθε διψήφιου αριθμού. π.χ ο 27 2 . 1.Προσθέτουμε στον αριθμό το πλήθος των μονάδων του. 27+7=34 2.Πολλαπλασιάζουμε το άθροισμα με το 10. 10*30=340 3.Πολλαπλασιάζουμε το γινόμενο με το ψηφίο των δεκάδων του αρχικού αριθμού. 2*340=680 4.Προσθέτουμε στο γινόμενο το τετράγωνο του ψηφίου των μονάδων. 680 + 72= 680+ 49=729 •Για να υψώσεις στο τετράγωνο έναν διψήφιο αριθμό απομνημονεύεις τον πίνακα με τα πρώτα 25 τετράγωνα 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 11 2 12 2 13 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 2 20 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 -Για να υπολογίσεις τα τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού Α από το 26 μέχρι το 50.Αφαίρεσε από το Α το 25,αν χ είναι το αποτέλεσμα αφαίρεσε το από το 25 ,αν α είναι το αποτέλεσμα τότε θα ισχύει Α 2 =α 2 +100χ Για παράδειγμα, το τετράγωνο του Α=28 28-25=3 =χ 25-3=22=α τότε 28 2 =22 2 +100*3=484+300=784 -Για να υπολογίσεις τα τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού Α από το 51 μέχρι το 99 . Αν ο Α είναι ανάμεσα στο 50 και στο 100 τότε Α=50+x.Υπολόγισε το α=50-κ.Τοτε Α 2 =α 2 +200x Για παράδειγμα, το τετράγωνο του Α=68 Α=50+8 ,α=50-8=42 58 2 =42 2 +200*8=1764+1600=3364 •Για να αφαιρέσεις 5 από έναν αριθμό με τελευταίο ψηφίο μικρότερο από 5 είναι πιο εύκολο να προσθέσεις 5 και κατόπιν να αφορέσεις 5 :17-5=(17+5)-10=12 • Για να προσθέσεις 5 σε έναν αριθμό με τελευταίο ψηφίο μεγαλύτερο από 5 είναι πιο εύκολο να αφαιρέσεις 5 και κατόπιν να προσθέσεις 10 : 19+5=(19-5)+10=24 •Για να διαιρέσεις ένα αριθμό με το 5 πολλαπλασιάζεις με το 2 και κατόπιν διαιρείς με το 10 :143:5=(143*2):10=286:10=28,6 •Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 5 πολλαπλασιάζεις με το 10 και κατόπιν διαιρείς με το 2:256*5=(256*10):2=2560:2=1280 •Για να διαιρέσεις (πολλαπλασιάσεις ) ένα αριθμό με το 4 διαιρείς ( πολλαπλασιάζεις) διαδοχικά δυο φορές με το 2 : 3458:4=(3458:2):2=1729:2=864,5 ,3456*4=(3456*2)*2=6912*2=13824 •Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 25 πολλαπλασιάζεις με το 100 και κατόπιν διαιρείς με το 4: 256*25=(256*100):4=25600:4=(25600:2):2=12800:2=6400 •Για να πολλαπλασιάσεις ένα αριθμό με το 8 πολλαπλασιάζεις με το 2 και κατόπιν με το 4: 567*8=(567*2)*4=1134*4=(1134*2)*2=2268*2=4536 • Πως να υψώσεις ένα οποιοδήποτε αριθμό στο τετράγωνο Παράδειγμα τo 999 . -Βρίσκεις πόσες μονάδες απέχει ο αριθμός από την πλησιέστερη δύναμη του 10 . Η διαφορά του 999 από το 1000 είναι: (1000-999=1). -Προσθέτεις και αφαιρείς στον αρχικό αριθμό την διαφορά , βρίσκεις το γινόμενο τους (999-1)Χ(999+1)=998Χ1000=998000 -Προσθέτεις το τετράγωνο της διαφοράς 998000+1 2 =998001 Τελικά: 999 2 =998001 (χρησιμοποιούμε την ταυτότητα του 2 2 α β (α β)(α β)− = − + ) Άλλο παράδειγμα, το 920 . -Βρίσκεις πόσες μονάδες απέχει ο αριθμός από την πλησιέστερη δύναμη του 10 . Η διαφορά του 920 από το 1000 είναι: (1000-920=80). -Προσθέτεις και αφαιρείς στον αρχικό αριθμό την διαφορά , βρίσκεις το γινόμενο τους (920-80)Χ(920+80)= (840)Χ1000=860000 -Προσθέτεις το τετράγωνο της διαφοράς 840000+80 2 =840000+6400= Τελικά: 920 2 =846400 Νοεροί υπολογισµοί για τεµπέληδες • Πως να υψώσεις στο τετράγωνο ένα αριθμό που διαφέρει κατά μια μονάδα από ένα γνωστό σου τετράγωνο Παράδειγμα τo 121 2 . Γνωρίζεις το τετράγωνο του 120 ( 120 2 υπολογίζεται εύκολα είναι το τετράγωνο του 12 με δυο μηδενικά: 14400) Σε αυτή την περίπτωση προσθέτεις στο τετράγωνο του 120 το 120 και το 121 Δηλαδή 121 2 =120 2 +120+121=14641 • Πως να υψώσεις στο τετράγωνο ένα αριθμό που έχει τελευταίο ψηφίο το 5 Κάθε αριθμός Α που τελειώνει σε 5 γράφεται Α=10α+5 όπου α έχει ένα λιγότερο ψηφίο από το Α .Για να υπολογίσεις το Α 2 αρκεί να «κολλήσεις» το 25 στο γινόμενο α(α+1).Δειτε: Παράδειγμα τo 135 2 135=10*13+5 άρα α=13 υπολογίζουμε 13*14=13(13+1)=169+13=172 «Κολλάμε» στο τέλος του 172 τον 25 και έχουμε 17225 Άρα 135 2 =17225 http://mathhmagic.blogspot.gr/ Αυτό το «κολλάµε» είναι εξαιρετικά αδόκιµο σαν όρος Αντιδραστικό γοριλάκι Το 9202 υπολογίζεται πιο εύκολα αν βρούµε το τετράγωνο του 92 και προσθέσουµε µηδενικά. Αντιδραστικό γοριλάκι
  3. 3. Νοεροί υπολογισµοί για τεµπέληδες• Πώς να πολλαπλασιάσετε διαδοχικούς αριθμούς Έστω ο πολλαπλασιασμός 13x14 Υψώνουμε τον πρώτο αριθμό στο τετράγωνο και στην συνέχεια προσθέτουμε τον ίδιο τον αριθμό: 13x14 =13x(13+1) =13 2 + 1x13 = 169 + 13 = 182 • Διαίρεση Έστω ότι δίνεται η διαίρεση 432/18.Πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με πολλαπλάσια του 10 μέχρι να ξεπεράσουμε το διαιρετέο. 10X18=180 20X18=360 30X18=540 Γυρίζουμε ένα βήμα πίσω, θυμόμαστε το 20, και αφαιρούμε από το 432 το 360 : 432-360=72 Τώρα σκεπτόμαστε πόσες φορές «χωράει» το 18 στο 72 72/18=4.Αρα το αποτέλεσμα είναι 20+4=24. http://mathhmagic.blogspot.gr/ • Πώς να πολλαπλασιάσετε δυο διψήφιους μικρότερους του 20. Έστω το γινόμενο 19x13 Αρχικά προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό τις μονάδες του δευτέρου: 19+3=22 Βάζουμε ένα μηδενικό στο τέλος του αθροίσματος: 22->220 Πολλαπλασιάζουμε τα ψηφία των μονάδων: 9x3=27 Προσθέτουμε τα δυο αποτελέσματα : 220+27=247 • Πώς να πολλαπλασιάσετε δυο διψήφιους αριθμούς που βρίσκονται σε απόσταση μέχρι 9 μονάδων από το 100. Θα σας φανεί πολύπλοκο στην αρχή, αλλά με λίγη εξάσκηση μπορεί να γίνει νοερά πολύ γρήγορα. Έστω το γινόμενο 95x97 Αρχικά προσθέτουμε αριθμούς : 95+97=192 Σβήνουμε το ψηφίο της εκατοντάδας : 92 Βάζουμε δυο μηδενικά στο τέλος: 9200 Αφαιρούμε από το 100 τον καθένα από τους αρχικούς αριθμούς και πολλαπλασιάζουμε: (100-95)(100-97)=5*3=15 Προσθέτουμε τα δυο υπογραμμισμένα αποτελέσματα:9200+15=9215 • Πολ/σμος κάθε διψήφιου αριθμού με το 11 Έστω ένας διψήφιος π.χ το 54.Χωρίζουμε τον αριθμό νοερά αφήνοντας κενό ανάμεσα στο 5 και στο 4. (5___4 ) Προσθέτουμε τους δυο αριθμούς: 5+4=9 Τοποθετούμε το αποτέλεσμα ανάμεσα στο 5 και στο 4 (5_9_4) Τελικά: 54 Χ 11=594 ● Αν το άθροισμα των δυο αριθμών είναι μεγαλύτερο του 10 προσθέτουμε το κρατούμενο στον πρώτο αριθμό ,για παράδειγμα ο αριθμός 67. (6___7 ) 6+7=13 (7_3__7 ) 67Χ 11=737 • Πολ/σμος κάθε αριθμού με το 11 Για παράδειγμα , 51236 Χ 11 -Στην αρχή γράφουμε τον αριθμό με ένα μηδενικό στην αρχή σαν πρώτο ψηφίο 051236 -Τραβάμε μια γραμμή κάτω από τον αριθμό 0 5 1 2 3 6 Αφήνουμε το τελευταίο ψηφίο το 6 ως έχει ,και κινούμαστε από τα αριστερά προς τα δεξιά προσθέτοντας ανά δυο διαδοχικούς αριθμούς, κάθε αριθμό με το γείτονα του.Τα αποτελέσματα τοποθετούνται διαδοχικά . Δηλαδή: 0 5 1 2 3 6 (0+5)(5+1)(1+2)(2+3) (3+6) 6 5 6 3 5 9 6 -Τελικά 51236 Χ 11=563596 • Πώς να πολλαπλασιάσετε δυο οποιουσδήποτε διψήφιους αριθμούς αν η διαφορά τους είναι άρτιος Βρίσκουμε το μέσο όρο τους Μ και το μισό της διαφοράς τους Α τότε το γινόμενο θα είναι Μ 2 -Α 2 . Έστω 28*24=; Μ=(28+24)/2=26,Α=28-24=2 Έτσι: 28*24=26 2 -2 2 =676-4=672 Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι έκαναν κάτι παρόμοιο,έβρισκαν την διαφορά και το άθροισμα των δυο αριθμών αφαιρούσαν τα τετράγωνα τους και διαιρούσαν με το 4. 28+24=52,28-24=4 28*24=(52 2 -4 2 )/4=(52 2 -4 2 )/4=(2704-16)/4=2688/4=(2688/2)/2= =1344/2=672 ΤΩΡΑ ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΠΙΟ ΕΥΚΟΛΟ ΑΠ ΤΟ ΝΑ ΤΟ ΚΑΝΩ ΣTΟ ΧΑΡΤΙ; Αντιδραστικό γοριλάκι
  4. 4. •Στα γρήγορα Πολλαπλασιασμός με το 6:Πολλαπλασιαζουμε με το 3 και κατόπιν με το 2. Πολλαπλασιασμός με το 9:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και από το αποτέλεσμα αφαιρούμε τον αρχικό αριθμό. Πολλαπλασιασμός με το 12:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και στο αποτέλεσμα προσθέτουμε τα διπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 13:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και προσθέτουμε το τριπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 14:Πολλαπλασιαζουμε με το 7 και κατόπιν πολλαπλασιάζουμε με το 2. Πολλαπλασιασμός με το 15:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και κατόπιν προσθέτουμε το πενταπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 16:Διπλασιαζουμε τον αριθμό τέσσερεις φορές. Πολλαπλασιασμός με το 17:Πολλαπλασιαζουμε με το 7 και προσθέτουμε στο αποτέλεσμα το δεκαπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 18:Πολλαπλασιαζουμε με το 20 και αφαιρούμε το διπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 19:Πολλαπλασιαζουμε με το 20 και αφαιρούμε το αρχικό αριθμό. Πολλαπλασιασμός με το 24:Πολλαπλασιαζουμε με το 8 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με το 3. Πολλαπλασιασμός με το 27:Πολλαπλασιαζουμε με το 30 και αφαιρούμε το τριπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 45:Πολλαπλασιαζουμε με το 50 και αφαιρούμε το πενταπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 98:Πολλαπλασιαζουμε με το 100 και αφαιρούμε το διπλάσιο του αρχικού αριθμού. Πολλαπλασιασμός με το 99:Πολλαπλασιαζουμε με το 100 και αφαιρούμε τον αρχικό αριθμό. • Εξαγωγή πέμπτης ρίζας Ένα παλιό αριθμητικό τρικ γνωστό στους αριθμομνήμονες του περασμένου αιώνα που επιτελούσαν επί σκηνής υπολογιστικά θαύματα είναι η εξαγωγή της πέμπτης ρίζας ενός αριθμού.Παρ' οτι φαντάζει πολύ δύσκολο είναι πολύ πιο εύκολο από τον υπολογισμό ας πούμε της τετάρτης ρίζας. Βασίζεται στην ιδιότητα που έχει κάθε αριθμός όταν υψωθεί στην πέμπτη δύναμη το αποτέλεσμα να έχει το ίδιο τελευταίο ψηφίο με τον αρχικό αριθμό. Αρχικά θα πρέπει να απομνημονεύσετε τον παρακάτω πινάκα: Αριθμός Πέμπτη δύναμη 1 100.000 2 3.000.000 3 24.000.000 4 100.000.000 5 300.000.000 6 777.000.000 7 1.600.000.000 8 3.200.000.000 9 5.800.000.000 10 10.000.000.000 Ζητάτε από ένα φίλο σας να σκεφτεί έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 100 και να τον υψώσει με ένα κομπιουτεράκι στην πέμπτη δύναμη και να σας ανακοινώσει το αποτέλεσμα . Πχ 4.437.053.125 αμέσως συμπεραίνετε ότι ο αριθμός που αναζητάτε έχει τελευταίο ψηφίο το 5 .Από τον παραπάνω πίνακα διαπιστώνετε ότι ο αριθμός 4.437.053.125 βρίσκεται ανάμεσα στo 8 και στο 9.επιλέγουμε τον μικρότερο αριθμό το 8.Άρα η πέμπτη ρίζα είναι ο αριθμός 85. Ένα παράδειγμα ακόμα, έστω ο αριθμός 371.293, το τελευταίο ψηφίο είναι το 3 . Ο αριθμός βρίσκεται ανάμεσα στο 1 και στο 2 , επιλέγουμε τον μικρότερο το 1 άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι το 13.Αν δοθεί αριθμός κάτω από το 100.000 τότε ο αριθμός που ψάχνουμε είναι μονοψήφιος και πιο συγκεκριμένα το τελευταίο ψηφίο.Πχ αν δοθεί ο 59049 τότε είναι κάτω από 100000 άρα η πέμπτη ρίζα του είναι το 9. http://mathhmagic.blogspot.gr/ •Κανόνας του 72 Για να μπορείτε εύκολα να λύνετε προβλήματα ανατοκισμού,ο κανόνας του 72 είναι ένα γρήγορο σημείο αναφοράς, για να προσδιορίσετε πόσο καλή (ή όχι τόσο καλή) μπορεί να είναι μια επένδυση. Ο κανόνας του 72 ορίζει ότι, για να βρείτε τον αριθμό των χρόνων που χρειάζεται για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας με ένα δεδομένο επιτόκιο,μπορείτε απλώς να διαιρέσετε τον αριθμό 72 με το επιτόκιο. Για παράδειγμα, αν θέλετε να ξέρετε πόσο καιρό θα σας πάρει να διπλασιάσετε τα χρήματά σας με 8% επιτόκιο, διαιρείτε 72 δια του 8 και παίρνετε 9 χρόνια. Ο κανόνας του 72 είναι εξαιρετικά ακριβής, αρκεί το επιτόκιο να είναι λιγότερο από είκοσι τοις εκατό. Μπορείτε να κάνετε και το ανάποδο. Αν θέλετε να διπλασιάσετε τα χρήματά σας σε έξι χρόνια, απλώς διαιρέστε το 72 δια του 6, για να βρείτε ότι θα χρειαστεί ένα επιτόκιο γύρω στα 12 %. Νοεροί υπολογισµοί για τεµπέληδες Ένα αριθμητικό τρικ με την ακολουθία Φιμπονάτσι Ζητείστε από ένα φίλο σας (χωρίς εσείς να βλέπετε) σε ένα φύλλο χαρτί,να γράψει δυο οποιοσδήποτε θετικούς ακεραίους αριθμούς,τον ένα κάτω από τον άλλο,να τους προσθέσει για να έχει ένα τρίτο αριθμό,να γράψει τον τρίτο αριθμό κάτω από τον δεύτερο, να προσθέσει τους δυο τελευταίους αριθμούς για να έχει έναν τέταρτο, και να συνεχίσει με αυτόν τον τρόπο ώσπου να σχηματιστεί μια στήλη με 10 αριθμούς. Ουσιαστικά γράφει τους 10 πρώτους όρους μιας ακολουθίας Φιμπονάτσι, καθένας από τους οποίους είναι το άθροισμα των δυο προηγούμενων του αριθμών, με εξαίρεση τους δυο πρώτους οι όποιοι επιλέγονται τυχαία. Στην συνέχεια τραβάτε μια γραμμή στους αριθμούς που έγραψε και γράφετε αμέσως το άθροισμα των 10 αριθμών αφήνοντας άναυδο το υποψήφιο θύμα. Το μυστικό είναι να πολλαπλασιάσετε τον έβδομο αριθμό με το 11.Για παράδειγμα, αν επιλεγούν αρχικά οι αριθμοί 2 και 3.Τοποθετούνται ο ένας κάτω από τον άλλο: 1 ος 2 2 ος 3 3 ος 5=2+3 4 ος 8=5+3 5 ος 13=8+5 6 ος 21=8+13 7 ος 34=21+13 8 ος 55=21+34 9 ος 89=34+55 10 ος 144= 89+55 + 374 όμως 374 = 11x34(το 34 είναι ο έβδομος αριθμός ) Είναι αρκετά εντυπωσιακό αν επιλεγούν αρχικά διψήφιοι αριθμοί.Γιατί συμβαίνει αυτό; Η απόδειξη του τρικ είναι σχετικά απλή,αν θεωρήσουμε x ,y τους δυο αρχικούς αριθμούς τότε η παραπάνω διαδικασία γίνεται: 1 ος x 2 ος y 3 ος x + y 4 ος x+2y 5 ος 2x+3y 6 ος 3x+5y 7 ος 5x+8y 8 ος 8x+13y 9 ος 13x+21y 10 ος 21x+33y + 55x+88y =11(5x+8y) , όπου 5x+8y είναι ο έβδομος όρος . Αντιδραστικό γοριλάκι Είδες ο Φιµπονάτσι;
  5. 5. • Εξαγωγή κυβικής ρίζας Πως θα σας φαινόταν να υπολογίζατε την κυβική ρίζα ενός αριθμού σε λίγα δευτερόλεπτα.Αν μη τι άλλο θα ήταν εξαιρετικά εντυπωσιακό. Παρ ότι μοιάζει εξαιρετικά δύσκολο, δεν είναι.Αν το κάνετε μπροστά σε φίλους ,σίγουρα θα κλέψετε την παράσταση. Ζητείστε από έναν φίλο σας να επιλέξει οποιονδήποτε αριθμό από το 1 μέχρι το 100 χωρίς να σας τον αποκαλύψει ,στην συνέχεια να χρησιμοποιήσει την αριθμομηχανή του κινητού του και να τον υψώσει στην τρίτη δύναμη. Να σας ανακοινώσει το αποτέλεσμα και εσείς αμέσως να βρείτε τον αριθμό.Την κυβική ρίζα του αποτελέσματος. Δείτε πως θα το κάνετε , αρχικά θα πρέπει να μπορείτε να απομνημονεύσετε όλους τους κύβους από το 1 μέχρι το 10. 1 3 1 2 3 8 3 3 27 4 3 64 5 3 125 6 3 216 7 3 343 8 3 512 9 3 729 10 3 1000 Παρατηρώντας τον παραπάνω πινάκα διαπιστώνουμε ότι όλα τα τελικά ψηφία των κύβων είναι διαφορετικά άρα σίγουρα γνωρίζουμε το τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας. Παρατηρούμε επίσης ότι εξαιρώντας τα 2,3,7και 8 το τελευταίο ψηφίο του κύβου και του αριθμού που ψάχνουμε είναι το ίδιο. Ας δούμε συγκεκριμένα παραδείγματα , παρακαλείτε ένα φίλο σας να σκεφτεί έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 100 , το κάνει , στην συνέχεια τον υψώνει με το κομπιουτεράκι στην τρίτη δύναμη και σας ανακοινώνει το αποτέλεσμα π.χ ο αριθμός 250047 , το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το 7 ,κοιτάμε τον παραπάνω πίνακα και διαπιστώνουμε τότε το τελευταίο ψηφίο της κυβικής του ρίζας είναι το 3. Στην συνέχεια αγνοούμε από τον αριθμό τα τρία τελευταία ψηφία,ο 250047 γίνεται 250 ,κοιτάμε ξανά τον παραπάνω πινάκα το 250 βρίσκεται ανάμεσα στο 216 και το 343 άρα το ψηφίο που μας ενδιαφέρει βρίσκεται ανάμεσα στο 6 και το 7.Πάντα επιλέγουμε το μικρότερο αριθμό εν προκειμένω το 6. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι το 63. Ένα παράδειγμα ακόμη.Να βρεθεί η κυβική ρίζα του 704969.Από το τελευταίο ψηφίο καταλαβαίνουμε ότι το τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας είναι το 9.Αγνοούμε τα τρία τελευταία ψηφία του 704969 άρα μένει 704 . Από τον παραπάνω πίνακα το 704 βρίσκεται ανάμερα στο 8 και στο 9 ,παίρνουμε το μικρότερο , άρα κυβική ρίζα είναι το 89. Νοεροί υπολογισµοί για τεµπέληδες• Πολλαπλασιάζοντας τμηματικά Χωρίζουμε τους μεγάλους αριθμούς που αποτελούν τους όρους του γινομένου σε μικρότερα κομμάτια και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά «σταυρωτά». Για παράδειγμα το γινόμενο 326Χ28 μετατρέπεται σε (300+20+6)Χ(20+8)και συνεχίζουμε όπως στο σχήμα: Φαίνεται πολύπλοκο, όμως μετά από κάθε βήμα μόνο ένας παράγοντας πρέπει να κρατηθεί στην μνήμη για την συνέχεια . Σύμφωνα με τον Μάρτιν Γκαρντνερ στο Πανηγύρι των μαθηματικών του,την παραπάνω μέθοδο χρησιμοποιούσε επί σκηνής ο αριθμομνήμονας G.P.Bidder.Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ,ότι ο Bidder άρχισε τις εμφανίσεις του επί σκηνής από την ηλικία των 9 ετών με την συνοδεία του πάτερα του. Ο Γκαρντνερ αναφέρει χαρακτηριστικά ότι των ρωτούσαν ερωτήσεις του τύπου: Αν το φεγγάρι απείχε 123256 μίλια και ο ήχος ταξιδεύει με ταχύτητα 4 μιλίων το λεπτό , σε πόσο χρόνο θα ακούγαμε στην γη-αν ήταν δυνατόν-έναν ήχο από το φεγγάρι; Ο Bidder σε λιγότερο από ένα λεπτό απαντουσε:21 ημέρες,9 ώρες ,34 λεπτά! http://mathhmagic.blogspot.gr/ Ποσοστά… ● Για να βρούμε το 15% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το 10 και στο αποτέλεσμα προσθέτουμε το μισό του πηλίκου. Παράδειγμα: 15% του 20 ,20/10=2 ,2+2/2=2+1=3 ● Για να βρούμε το 20% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το 10 και διπλασιάζουμε το αποτέλεσμα. Παράδειγμα: 20% του 400,400/10=40 , 2Χ40=80 ● Για να βρούμε το 5% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το 10 και στην συνέχεια διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2. Παράδειγμα: 5% του 500 , 500/10=50 , 50/2=25 326Χ28 326=300+20+6 28=20+8 300 + 20 + 6 20 + 8 1. 20Χ300=6000 2.6000+(20Χ20)=6400 3.6400+(20Χ6)=6520 4.6520+(8Χ300)=8920 5.8920+(20Χ8)=9080 6.9080+(6Χ8)=9128 Αυτό το «κολλάµε» είναι εξαιρετικά αδόκιµο σαν όρος Αντιδραστικό γοριλάκι
  6. 6. •Εύρεση του τελευταίου ψηφίου ενός πολύ μεγάλου αριθμού Ένα πολύ γνωστό αριθμητικό τρικ αστραπιαίου υπολογισμού από αυτά που έκαναν επί σκηνής αριθμομνήμονες του παρελθόντος είναι η εύρεση του τελευταίου ψηφίου ενός πολύ μεγάλου αριθμού, χωρίς υπολογιστή τσέπης και σε μερικά δευτερόλεπτα. Για παράδειγμα,ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού της μορφής: 2345436267748089 46836537836488 Ζητάτε από ένα φίλο ή φίλη σας να σας πει ένα μεγάλο αριθμό της παραπάνω μορφής α β όπου α,β θετικοί ακέραιοι. ▪ Αν ο αριθμός α έχει τελευταίο ψηφίο 0,1,5 και 6 τότε απαντάτε άμεσα ότι το τελευταίο ψηφίο είναι το ίδιο με του αριθμού α β ανεξάρτητα από το β. Για παράδειγμα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 89754687476476 457604937067654466464 είναι το 6. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=89754687476476^4576 04937067654466464) ▪ Αν το τελευταίο ψηφίο του α δεν είναι 0,1,5 και 6 τότε από τον αριθμό α β αποκόπτουμε νοερά το τελευταίο ψηφίο (το ψηφίο των μονάδων) του α και τα δυο τελευταία ψηφία ( μονάδων, δεκάδων) του β. Για τον αριθμό που τέθηκε στην αρχή θα είχαμε: 2345436267748089 46836537836488 ->9 88 Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε τον έκθετη (88) ,αν είναι πολλαπλάσιο του 4 αρκεί να υψώσουμε τον αριθμό 9 στην τέταρτη δύναμη, το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος είναι το ζητούμενο. 9 88 ->9 4 Το να υψώσουμε ένα αριθμό στην τετάρτη όταν μας αφορά μόνο το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος δεν είναι τόσο δύσκολο όσο ακούγεται,υψώνουμε στο τετράγωνο και κατόπιν υψώνουμε πάλι στο τετράγωνο μόνο το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος και καταλήγουμε το αποτέλεσμα . 9 2 =81 1 2 =1 άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 2345436267748089 46836537836488 είναι το 1. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=2345436267748089^46 836537836488 ) ▪ Αν ο έκθετης δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 απλά αφαιρούμε από αυτόν το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 4 και υψώνουμε στον αριθμό που προκύπτει .Για παράδειγμα ο αριθμός 767866546354896365933578397423 47235920848473875007527 ->3 27 27-24=3 (24 το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 4) 3 27 ->3 3 =27 άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 767866546354896365933578397423 47235920848473875007527 είναι το 7. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=7678665463548963659 33578397423^47235920848473875007527) Μερικά παραδείγματα ▪ 7894378909763478 97367639076097837897563760789037 ->8 37 37-36=1 άρα 8 1 =8 άρα τελευταίο ψηφίο το 8 ▪908675894064 76539076307895607073774573747 ->4 47 47-44=3 4 3 =64 άρα τελευταίο ψηφίο το 4 http://mathhmagic.blogspot.gr/ Νοεροί υπολογισµοί για τεµπέληδες •Ένα και ένα και ένα…. «Μπορείς να κανείς πρόσθεση;» ρώτησε η Λευκή βασίλισσα. «Τι δίνει ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα;» «Δεν ξέρω»,είπε η Αλίκη, «Έχασα το μέτρημα». Λιούις Κάρολ,Μέσα στον καθρέπτη Μπορούμε να κάνουμε αφαίρεση προσθέτοντας; Η απάντηση είναι καταφατική.Δείτε πως γίνεται. Θέλουμε να εκτελέσουμε την αφαίρεση 123-34.Προσθέτουμε στο 123 τον αριθμό 99-34=65(τον αριθμό που προκύπτει από το συμπλήρωμα κάθε ψηφίου του 34 με το 9)Στο άθροισμα 188 αποκόπτουμε από το ψηφίο των εκατοντάδων 1 μονάδα και την προσθέτουμε στο ψηφίο των μονάδων 8 (σχήμα) με τελικό αποτέλεσμα το 89 που είναι και η διαφορά 123-34. Γιατί δουλεύει η παραπάνω διαδικασία; Η μέθοδος δουλεύει διότι αν έχουμε τον αριθμό Ν με ν ψηφία τότε το συμπλήρωμα του αριθμού Ν ως προς στο 9 είναι v (10 1) N− − .Στο δεύτερο βήμα της μεθόδου αφαιρούμε 1 από το πρώτο από αριστερά ψηφίο του αριθμού και το προσθέτουμε στο τελευταίο ψηφίο από αριστερά. Αν συμβολίσουμε με Μ τον αφαιρετέο τότε για να βρούμε την διαφορά Μ-Ν. Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα v M N M (10 1 N) 10 1ν − = + − − − + Η μέθοδος ουσιαστικά είναι βήμα–βήμα από αριστερά προς τα δεξιά η εκτέλεση πράξεων του Β μέλους. 1+8=9 89 123 + 65 188 Σχετικά βιβλία 1.Το πανηγύρι των μαθηματικών, Μάρτιν Γκάρντνερ 2.Secrets of Mental Math: The Mathemagician's Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks», Arthur Benjamin 3.Arithmetricks: 50 Easy Ways to Add, Subtract, Multiply, and Divide Without a Calculator, Edward H. Julius -Μπορείτε να επαληθεύετε τα αποτελέσματα σας στον ιστότοπο http://www.wolframalpha.com/ Περισσότερα τρικ υπολογισμών στον ιστότοπο: http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html -Για όσους κάνουν πρωταθλητισμό η ηλεκτρονική διεύθυνση του παγκοσμίου πρωταθλήματος αστραπιαίων υπολογισμών . http://www.recordholders.org/en/events/worldcup/index.htmlΑντιδραστικό γοριλάκι Καλά αυτό το κάνω και εγώ!! 123 -34 ??
  7. 7. Ο άνθρωπος της Βροχής Όλοι έχετε δει την ταινία «ο άνθρωπος της Βροχής». Ένας από τους χαρακτήρες του έργου,που τον υποδύεταιο Ντάστιν Χόφμαν παρ’ ότι αυτιστικός κάνει θαύματα με τον μυαλό του,εκτελώντας εν ριπή οφθαλμού πολύπλοκους νοερούς υπολογισμούς.Ο χαρακτήρας του έργου βασίστηκε σε υπαρκτά πρόσωπα.Στους αυτιστικούς διδύμους Τζων και Μάικλ.Την ιστορία τους μας διηγείται γλαφυρότατα ο διάσημος νευρολόγος Όλιβερ Σακς στο βιβλίο του «ο άνθρωπος που μπέρδεψε την γυναίκα του με ένα καπέλο». Το βιβλίο έχει σαν σημείο αναφοράς ιστορίες ανθρώπων που πάσχουν από περίεργες εκτροπές της αντίληψης και της νόησης. Η ιστορία που μας ενδιαφέρει λαμβάνει χώρα το 1966 όταν τα δυο δίδυμα αδέλφια ο Τζων και ο Μάικλ ήταν 26 χρονών.Από τα 7 τους χρόνια ζουν σε ψυχιατρεία με διαγνώσεις που κυμαίνονται από σοβαρά καθυστερημένοι ως αυτιστικοί και ψυχωτικοί.Έγιναν γνωστοί χάρη στην ικανότητα τους να λένε αμέσως τι μέρα της εβδομάδας έπεφτε μια ημερομηνία στο παρελθόν.Μοναδική όσο και ανεξήγητη όμως,υπήρξε η σχέση των δυο αδελφών με τους πρώτους αριθμούς. Ο Σακς λοιπόν ως κλινικός ψυχολόγος παρατήρησε ότι είχαν ιδιαίτερη αδυναμία σε ένα παιχνίδι που έπαιζαν οι δυο τους.Ο ένας από τους δυο αδελφούς ο Τζων έλεγε έναν εξαψήφιο αριθμό.Ο Μάικλ άκουγε τον αριθμό, κουνούσε το κεφάλι του και σκεφτόταν για λίγο.Ύστερα αυτός,με τη σειρά του, έλεγε ένα άλλο εξαψήφιο αριθμό και τώρα ήταν η σειρά του Τζων να τον δεχτεί και να απαντήσει με ένα νέο αριθμό.Ο Σακς κρυφάκουσε και σημείωσε τους αριθμούς που έλεγαν.Επέστρεψε σπίτι και έψαξε σε ένα βιβλίο μαθηματικών μήπως και καταφέρει να βρει τη σχέση που είχαν αυτοί, να καταλάβει το παιχνίδι τους.Το προαίσθημα που είχε δεν άργησε να επιβεβαιωθεί.Ήταν όλοι τους πρώτοι αριθμοί (πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα όπως το 13, το 29 κ.λπ.)! Την επόμενη μέρα τους βρήκε πάλι να παίζουν το ίδιο παιχνίδι.Κάθισε κοντά τους και, με το βιβλίο στο χέρι,ρίσκαρε να συμμετάσχει, λέγοντάς τους έναν επταψήφιο αριθμό. Γύρισαν και οι δύο έκπληκτοι προς το μέρος του, ύστερα ξαφνικά σώπασαν με ένα ύφος έντονης συγκέντρωσης.Υπήρξε μια μακριά παύση και ύστερα ξαφνικά, ταυτόχρονα, άρχισαν και οι δύο να χαμογελούν.Είχαν, μετά από κάποια αφάνταστη εσωτερική διαδικασία ελέγχου, αντιληφθεί ότι ο επταψήφιος αριθμός του Σακς ήταν πρώτος και αυτό τους χαροποίησε διπλά αφενός γιατί δεν είχαν συναντήσει ξανά τον αριθμό και αφετέρου γιατί αποκτούσαν νέο σύντροφο στο παιχνίδι τους.Οι δίδυμοι τραβήχτηκαν ελαφρά κάνοντάς χώρο στον Σακς ,σημάδι ότι τον αποδέχονταν στο παιχνίδι τους.Στην συνέχεια ο Τζων,που πάντα άρχιζε πρώτος, σκέφτηκε για αρκετή ώρα – τουλάχιστον πέντε λεπτά – και είπε ένα αριθμό εννιά ψηφίων.Και ύστερα από ανάλογο χρόνο, ο δίδυμος του, απάντησε με ένα ανάλογο αριθμό. Κατόπιν ο Σακς με σύμβουλο το βιβλίο του έδωσε και αυτός έναν αριθμό και η διαδικασία συνεχίστηκε μέχρι που οι δίδυμοι άρχισαν να εκφωνούν αριθμούς που ξέφευγαν από τα όρια του βιβλίου.Ο Σακς χαρακτηριστικά αναφέρει ότι "μια ώρα αργότερα τα δυο αδέρφια αντάλλασσαν εικοσαψήφιους πρώτους".Το εκπληκτικό είναι ότι οι πρώτοι αριθμοί παραμένουν μυστήριο για τους μαθηματικούς,δεν ξέρουν ούτε πως κατανέμονται,ούτε έχουν βρει έναν ικανοποιητικό τρόπο από πλευράς πλήθους υπολογισμών να ελέγχουν πότε ένας αριθμός είναι πρώτος.Τα δυο αδέρφια χωρίς να τους το έχει διδάξει κανένας το έκαναν και μάλιστα σε μεγάλη κλίμακα. http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΑΡΙΘΜΟΜΝΗΜΟΝΕΣ Brainman O Ντάνιελ Τάμετ γνωστός ως «Brainman», το 2004, κατέρριψε το ευρωπαϊκό ρεκόρ στην απαγγελία του π καθώς παρέθεσε χωρίς λάθη 22.514 ψηφία του αριθμού σε πέντε ώρες και εννέα λεπτά. Ο Ταμετ είναι ένας τριανταοχτάχρονος Βρετανός με σύνδρομο Ασπέργκερ αλλά και υπεράνθρωπες νοητικές ικανότητες.Μπορεί να κάνει υπολογισμούς με 100 δεκαδικά ψηφία, μιλάει πάνω από επτά γλώσσες, μεταξύ των οποίων γαλλικά, φιλανδικά, γερμανικά, ισπανικά, λιθουανικά και εσθονικά. Έχει την δυνατότητα να μάθει μία γλώσσα σε μία εβδομάδα. Ο Τάμετ παρά το σύνδρομο του Ασπεργκερ μπορεί να μιλήσει και να εξηγήσει με μεγάλη παραστατικότητα πώς σκέφτεται και τι συμβαίνει στο μυαλό του όσο πραγματοποιεί αυτούς τους θαυμαστούς υπολογισμούς ,αντιλαμβάνεται τους αριθμούς και τις λέξεις ως οπτικά ερεθίσματα,με χρώματα και επιμένει ότι αυτός είναι ο λόγος που έχει τόσο μεγάλες νοητικές δυνατότητες. Βιμ Κλαιν Γεννήθηκε στο Άμστερνταμ το 1912.Σε ολόκληρη την επαγγελματική του ζωή έδινε παραστάσεις σε ολόκληρη την Ευρώπη και τελικά πήγε να εργαστεί στο CERN.Το 1974, εξήγαγε την εικοστή τρίτη ρίζα ενός αριθμού με διακόσια ψηφία σε δεκαοκτώ λεπτά και επτά δευτερόλεπτα!! Απομνημόνευση ψηφίων Το παγκόσμιο ρεκόρ απομνημόνευσης ψηφίων του π κατέχει από το 2005 ένας Κινέζος, ο Chao Lu , σε 24 ώρες και 4 λεπτά απαρίθμησε 67890 ψηφία.Στον ιστότοπο http://www.pi-world-ranking-list.com/ γίνεται καταγραφή όλων των ρεκόρ απαγγελίας από μνήμης των ψηφιών του π .Βέβαια, για να είμαι ακριβής στον παραπάνω δικτυακό τόπο υπάρχουν και τα ρεκόρ που αφορούν την απομνημόνευση των ψηφίων του e και του 2 .Το πλέον αξιοπερίεργο ρεκόρ κατά την γνώμη μου έλαβε χώρα το 2004.Οταν, ο Γερμανός Andreas Lietzow απήγγειλε από μνήμης 316 ψηφία του e σε μόλις 3 λεπτά και 53 δευτερόλεπτα κάνοντας παράλληλα τον…ζογκλέρ με πέντε μπάλες. Χωρίς μπάλες, ο απόλυτος άρχων των ψηφίων του e είναι ο ινδός Bhaskar Karmakar με απαγγελία 5,002 ψηφίων του e σε 1 ώρα 29 λεπτά και 52 δευτερόλεπτα.Από την άλλη,ο γράφων αν αλλάξει αριθμό στο κινητό θα χρειαστεί σίγουρα πάνω από τρεις μέρες να απομνημονεύσει τον αριθμό!!
  8. 8. ΑΡΙΘΜΟΜΝΗΜΟΝΕΣ Shakuntala Devi Η Shakuntala Devi γεννήθηκε το 1939 στο Bangalore της Ινδίας.Παρ ότι οι γονείς της δεν διέθεταν μόρφωση εκδήλωσε έντονο ενδιαφέρον για τους αριθμούς από την ηλικία των 3 ετών.Δυο χρόνια αργότερα έδειξε τo ταλέντο της σε μια συγκέντρωση των σπουδαστών και των καθηγητών του Πανεπιστημίου του Mysore στην Ινδία. Κάτοχος ρεκόρ Γκίνες για τα υπολογιστικά επιτεύγματα της. Ενδεικτικά αναφέρουμε: Το 1977 στο πανεπιστήμιο Southern Methodist των Η.Π.Α εξήγαγε την 23η ρίζα ενός ακέραιου με 201 ψηφία σε μόλις 50 δευτερόλεπτα. Το 1980 στο Imperial College στην μεγάλη Βρετανία πολλαπλασίασε τους αριθμούς 7686369774870,2465099745779 υπολογίζοντας το εικοσαεξαψήφιο γινόμενο τους σε μόλις 28 δευτερόλεπτα. Οι αριθμοί που της δόθηκαν επελέγησαν τυχαία από πρόγραμμα υπολογιστή στο τμήμα υπολογιστών του πανεπιστήμιου.Το 1988 στο πανεπιστήμιο Stanford των Η.Π.Α : -εξήγαγε την κυβική ρίζα του 95443993,το 457 σε 2 δευτερόλεπτα. -υπολόγισε την κυβική ρίζα του 2373927704,το 1334 σε 10 δευτερόλεπτα. -υπολόγισε την 8η ρίζα του 20047612231936 ,το 46 σε 10 δευτερόλεπτα. Μπορούσε σε λίγα δευτερόλεπτα για οποιαδήποτε ημερομηνία του προηγουμένου αιώνα να πει σε λίγα δεύτερα ποια μέρα έπεφτε. Αντιπαθούσε τον χαρακτηρισμό που της απέδιδαν ανθρώπινος υπολογιστής και ισχυριζόταν ότι όφειλε την εξαιρετική ταχύτητα στις αριθμητικές πράξεις στα Βεδικά μαθηματικά (Vedic Maths) ένα σύστημα εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών το όποιο κατά την ίδια είναι 10 με 15 φόρες ταχύτερο από συμβατικό που χρησιμοποιούμε. Τζωρτζ Μπίντερ Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, η φήμη του παιδιού θαύματος Τζωρτζ Μπίντερ (George Parker Bidder),γιου ενός τεχνίτη από το Devonshire ,έφτασε στα αυτιά της Βασίλισσας της Αγγλίας Σάρλοτ. Κάλεσε το αγόρι στα ανάκτορα και του έθεσε την ερώτηση: «Από την Κορνουάλλη, μέχρι το Φάρετ στη Σκωτία, η απόσταση είναι 838 μίλια. Αν ένα σαλιγκάρι σέρνεται με ταχύτητα 8 πόδια την ημέρα, σε πόσο χρόνο θα καλύψει την απόσταση;» (1 μίλι=6.080 πόδια). Η απάντηση δόθηκε αυτόματα από τον μικρό Μπίντερ και είναι 553080 ημέρες .Μνημονεύεται στο δημοφιλές βιβλίο της εποχής «Συνοπτικός απολογισμός του Τζωρτζ Μπίντερ , διακεκριμένου ανθρώπινου υπολογιστή: με μια ποικιλία από τα πιο δύσκολα ερωτήματα που του τεθήκαν στις μεγαλύτερες πόλεις της Βρετανίας και οι αστραπιαίες απαντήσεις που έδωσε». Μικρός τίτλος ε; Στις σελίδες του βιβλίου καταγράφονται τα απίστευτα αριθμητικά κατορθώματα του Μπίντερ, ερωτήματα όπως «Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 119550669121;» Ο Μπίντερ απάντησε ορθά 345761 σε λιγότερο από μισό λεπτό.Ορισμένοι άνθρωποι είχαν ευλογηθεί με πραγματικά εκπληκτικές αριθμητικές ικανότητες. http://mathhmagic.blogspot.gr/ George Bidder (1806 -1878) Alexis Lemaire Στις 30 Ιουλίου 2007,ο Γάλλος Alexis Lemaire υπολόγισε την 13 η ρίζα ενός 200-ψηφιου αριθμού χωρίς την χρήση υπολογιστή ή άλλου μέσου μόλις σε 77 δευτερόλεπτα. Ο 200-ψηφιος αριθμός ήταν ο 85877066894718045 6025491448501585992027712477489608780231513903 1428428446584279837329024282657182315304503030 0932591615405929429773640895967991430381763526 613357308674592650724521841103664923661204223. Η 13 η ρίζα του είναι ο 45792573. Ο Alexis Lemaire είναι κάτοχος του παγκοσμίου ρεκόρ Γκίνες για την συντομότερη εξαγωγή 13 ης ρίζας σε 100- ψηφιο και 200-ψηφιο αριθμό.Το νοητικό κατόρθωμα του Lemaire μπορεί να επισκιάσει αντίστοιχα του παρελθόντος;Ο Alex Bellos γνωστός και μη εξαιρετέος,μαθηματικός-συγγραφέας παρατηρεί ότι ,όταν αναζητούμε την 13 η ρίζα ενός αριθμού αναζητούμε ένα δεκαεξαψήφιο αριθμό x που όταν πολλαπλασιαστεί 13 φορές με τον εαυτό παράγει το αρχικό. Το 13 δεν είναι τυχαίος αριθμός, καθένα από τα ψηφία 2,3,4,5,6,7,8,9 αν πολλαπλασιαστεί 13 φορές με τον εαυτό του προκύπτει αριθμός που λήγει στο ίδιο ψηφίο. Άρα, ο Lemaire αναζητά την 13 η ρίζα ενός αριθμού α αναζητά έναν δεκαεξαψήφιο αριθμό που το τελευταίο ψηφίο του είναι το ίδιο με το τελευταίο ψηφίο του α. Alexander Aitken. Ο ανθρωπινός υπολογιστής O Alexander Aitken γεννήθηκε στο Dunedin το 1895. Διακεκριμένος μαθηματικός, υπήρξε καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου. Το μοναδικό ταλέντο στους από μνήμης υπολογισμούς τον κατατάσσει στις πρώτες θέσεις των αριθμομνημόνων καθώς τα κατορθώματα του είναι καταγεγραμμένα με μαρτυρίες. Το 1920 κατά την διάρκεια ενός ψυχομετρικού τεστ εκτέλεσε τον πολλαπλασιασμό 987,654,321 x123,456,789 σε μόλις 30 δευτερόλεπτα .Στο ίδιο τεστ του ζητήθηκε να μετατρέψει το κλάσμα 4/47 σε δεκαδικό και σε 4 δευτερόλεπτα απάντησε 0.8510638297872340425531914 .Ο Aitken ήταν σε θέση να παραθέσει από μνήμης 100 ψηφία του π. Πέθανε το 1967 σε ηλικία 72 ετών. Αντιδραστικό γοριλάκι Μυαλά που δουλεύουν στο κόκκινο!!
  9. 9. Νοεροί υπολογισµοί για τεµπέληδες Ένα μαγικό τρικ με λίγη αλγεβρα Ξεκινάτε με μια εισαγωγή για τις καταπληκτικές τηλεπαθητικές ικανότητες σας και προτίθεστε να κάνετε μια μικρή επίδειξη.Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον τρεις παρευρισκόμενοι.Ζητείστε από το υποψήφιο θύμα τρία αντικείμενα, δεν έχει σημασία ποια, αρκεί να προσέξετε ο αριθμός των γραμμάτων του ονόματος του κάθε αντικειμένου να είναι διαφορετικός. Αν το θύμα επιλέξει αντικείμενα με τον ίδιο αριθμό γραμμάτων πρέπει τεχνηέντως με κάποια πρόφαση να τον πείσετε να αλλάξει επιλογή. Μια καλή επιλογή είναι ρολόι (5 γράμματα),ευρώ (4 γράμματα), κλειδιά (7 γράμματα). Κατόπιν του ζητάτε να σκεφτεί έντονα ένα από τα τρία αντικείμενα, και νοητά να το συλλαβίσει μετρώντας τα γράμματα.Να πολλαπλασιάσει - πάντα νοερά- τον αριθμό με το 5.Ας υποθέσουμε ότι διαλέγει το ρολόι τότε θα πολλαπλασιάσει 5x5=25. Στην συνέχεια με μια πρόφαση του τύπου «έχω δοκιμάσει το κόλπο στο παρελθόν μόνο τρεις φορές ,πρόσθεσε στο γινόμενο το 3».Αυτο τότε κάνει 25+3=28.Μετά του ζητάτε να διπλασιάσει το γινόμενο:28x2=56. Προτρέπετε το θύμα να επιλέξει τυχαία ένα παρευρισκόμενο και αυτός να του ψιθυρίσει στο αυτί το τελευταίο ψηφίο της αστυνομικής του ταυτότητας, αν είναι ανήλικος απλά έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 9.Θα πρέπει τώρα να προσθέσει το ψηφίο στο παραπάνω γινόμενο. Αν ψιθυρίσει το 9 τότε θα πρέπει πάλι νοερά να κάνει 56+9=66. Του ζητάτε να αποκαλύψει τον αριθμό που βρήκε τονίζοντας ότι το τελικό αποτέλεσμα είναι τελείως τυχαίο με τις αρχική του επιλογή αντικειμένου. Εσείς, τότε από τον αριθμό που θα ανακοινώσει θα αφαιρέσετε 6: 65-6=59, ο αριθμός που προκύψει μας δίνει το πρώτο του ψηφίο το πλήθος των γραμμάτων του αντικειμένου ενώ το δεύτερο ψηφίο το τελευταίο ψηφίο της αστυνομική ταυτότητας και με στόμφο κατονομάζεις ρολόι και 9. Γιατί δουλεύει το τρικ; Στοιχειώδης άλγεβρα. Αν Χ είναι ο αριθμός των γραμμάτων που επιλέγει το θύμα και Υ το τελευταίο ψηφίο της αστυνομικής ταυτότητας τότε η σειρά των πράξεων που εκτελούνται δίνει: 2(5Χ+3)+Υ=10Χ+6+Υ Αφαιρούμε το 6, έτσι 10Χ+Υ Η διαδικασία με εξάσκηση μπορεί να ολοκληρωθεί νοερά σε λίγα δευτερόλεπτα. Hans Bethe Ο Ριτσαρντ Φάινμαν στο βιβλίο του «Σίγουρα θα αστειεύεστε,κύριε Φάινμαν» αναφέρει μεταξύ άλλων και το εξής περιστατικό: …. Όταν βρισκόμουν το Λος Άλαμος, είχα διαπιστώσει ότι ο Hans Bethe έκανε πράξεις με το νου του σαν υπολογιστής. Για παράδειγμα, μια φορά αντικαθιστούσαμε τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών σε έναν τύπο, και έφτασα στο τετράγωνο του 48. Πήγα λοιπόν στη μηχανή Marchant γιανα το βρω, αλλά αυτός με έκοψε: «Άστο, είναι 2300».Άρχισα να πατώ τα κουμπιά, και αυτός συμπλήρωσε: «Αν το θέλεις ακριβώς είναι 2304». Η μηχανή έγραψε 2304. «Μπράβο! Πως έτσι;» απόρησα. «Δεν ξέρεις πώς να βρίσκεις το τετράγωνο αριθμών κοντά στο 50;Βρίσκεις το τετράγωνο του 50 και αφαιρείς το εκατονταπλάσιο της διαφοράς του αριθμού σου από το 50 (στην προκειμένη περίπτωση το 2), οπότε2500 – 200 = 2300 Αν θέλεις ακριβώς τον αριθμό, βρίσκεις το τετράγωνο της διαφοράς και το προσθέτεις (2300+4=2304)»….. Ένα αριθμητικό τρικ με το 12345679 Γράψτε τον αριθμό 12345679,επιλέξτε ένα ψηφίο από το 1 μέχρι το 9.Παρατηρήστε ότι λείπει το 8.Πολλαπλασιάσετε το, με το 4 και το γινόμενο με τον αριθμό 12345679 . Θα διαπιστώσετε ότι το αποτέλεσμα αποτελείται μόνο από το ψηφίο αυτό. Για παράδειγμα αν επιλέξετε το 4, τότε 4x9=36 12345679x36=444444444 Παγκόσμιο κύπελλο αστραπιαίων νοητικών υπολογισμών Το Παγκόσμιο κύπελλο αστραπιαίων νοητικών υπολογισμών( Mental Calculation World Cup) ιδρύθηκε το 2004, από τον Γερμανό επιστήμονα των υπολογιστών Ralf Laue, και λαμβάνει χώρα κάθε δύο χρόνια στο πανεπιστήμιο της Λειψίας, στην Γερμάνια. Το διαδίκτυο βοήθησε τον Laue δίνοντας του τη δυνατότητα να επικοινωνήσει ανά τον κόσμο με ανθρώπους προικισμένους στην αστραπιαία εκτέλεση πολύπλοκων αριθμητικών πράξεων,ιδιαιτέρους ανθρώπους που σε γενικές γραμμές δεν είναι και πολύ..εξωστρεφείς. Η παγκόσμια κοινότητα των ανθρώπων αριθμομηχανών, εκπροσωπείται στη Λειψία, με διαγωνιζόμενους από μια πανσπερμία χώρων όπως το Περού,το Ιράν, την Αλγερία και την Αυστραλία. Πώς γίνεται η μέτρηση των αστραπιαίων νοερών αριθμητικών δεξιοτήτων; Ο Laue θέσπισε τις κατηγορίες των αγωνισμάτων: πολλαπλασιασμός δύο οκταψήφιων αριθμών, πρόσθεση δεκαψήφιων αριθμών, εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας εξαψήφιου αριθμού με προσέγγιση οκτώ δεκαδικών, και τέλος την εύρεση της ημέρας της εβδομάδας οποιασδήποτε ημερομηνίας μεταξύ 1600 και 2100. Η τελευταία δοκιμασία είναι μια αναβίωση των παραστάσεων που έδιναν επί σκηνής οι αριθμομνήμονες του παρελθόντος καθώς ζητούσαν από κάποιο θεατή στο ακροατήριο την ημερομηνία γέννησης του και αμέσως ονόμαζαν την ημέρα. Δείτε τον ιστότοπο https://en.wikipedia.org/wiki/Mental_Calculation_World _Cup Και φυσικά δείτε και ΤΟΝ ιστότοπο http://mathhmagic.blogspot.gr/

×