Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Προβλήματα ιστολογίου τομος ΙΙ

1,483 views

Published on

.

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Προβλήματα ιστολογίου τομος ΙΙ

  1. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ, ΣΠΑΖΟΚΕΦΑΛΙΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ∆ΟΞΑ ΓΙΑ ∆ΥΣΚΟΛΕΣ ΩΡΕΣ Μετά υποδείξεων Ευρετικής ΤΟΜΟΣ II ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 2019-2020
  2. 2. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 1 «Αυτό είναι µάλλον ένα πρόβληµα για τρεις πίπες,Γουάτσον,και θα σε παρακαλούσα να µη µου µιλήσεις για πενήντα λεπτά.» Άρθουρ Κόναν Ντόυλ,1859-1930 II Σπαζοκεφαλιές και µαθηµατικοί γρίφοι για δύσκολες ώρες ΙΙ 2019-2020 Για την ελληνική γλώσσα: Copyright:∆ρούγας Αθανάσιος Email:tdrougas11@gmail.com Υποστηρικτικός δικτυακός τόπος: http://mathhmagic.blogspot.gr/ Επιστηµονική επιµέλεια:Κώτσος Μπούρµπακι,πίθηκος Πινγκ Πονγκ
  3. 3. 2 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr Συλλογή προβληµάτων,γρίφων και παραδόξων που κατά καιρούς έχουν αναρτηθεί στο ιστολόγιο ΜΑΘΗ..ΜΑΓΙΚΑ.Στα περισσότερα,δεν απαιτείται άλλο µαθηµατικό υπόβαθρο πέρα από τα µαθηµατικά του γυµνασίου και των πρώτων τάξεων του λυκεί- ου.∆εν υπάρχει κατηγοριοποίηση,είναι αυτό που λέµε ατάκτως ερριµένα προβλήµα- τα,όπως αναρτήθηκαν χρονολογικά στο ιστολόγιο.Τα περισσότερα είναι παραλλαγµέ- να διαγωνιστικά προβλήµατα,µερικά ανήκουν στην κατηγορία των έξυπνων προβλη- µάτων που απαιτούν έµπνευση και τέλος υπάρχουν και κλασσικοί γρίφοι-σταθµοί στην ιστορία των ψυχαγωγικών µαθηµατικών.Στο παράρτηµα στον πρώτο τόµο ,τα απολύ- τως βασικά για την συνδυαστική απαρίθµηση,την αρχή της περιστεροφω- λιάς,αναλλοίωτο,επίλυση οπισθοπορείας και λοιπές ψηφίδες ευρετικής καθώς δεν υ- πάρχει αναφορά τους στα σχολικά µαθηµατικά. Ευρετήριο λύσεων στην σελίδα 56 Χωρίς λόγια 20 16 32 ;;
  4. 4. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 3 Συντοµογραφίες Αριθµ.:Αριθµητική Αλγ.:Άλγεβρα Αναλ.:Αναλλοίωτο Βελτιστ.:Βελτιστοποίησης Γεωµ.: Γεωµετρία ∆ιακρ.:∆ιακριτά µαθηµατικά Εµπν.: Έµπνευσης Επαγωγ.:Τέλεια Επαγωγή Ζυγ.:Ζυγίσεις Θεωρ.Αρ.: Θεωρία αριθµών Θεωρ.Παιγν.: Θεωρία.Παιγνίων,νικηφόρες στρατηγικές Στατ.:Στατιστική Κρυπτ.Αριθµ.:Κρυπτάριθµοι,αριθµογράµµατα Λογ.: Λογικής Οριγκ.Οριγκάµι Πιθ.:Πιθανότητες Συνδ.: Συνδυαστική Συνδ.Γεωµ.: Συνδυαστική γεωµετρία Τριγωνοµετρ.Τριγωνοµετρία Μαγ.Τετρ.:Μαγικά τετράγωνα Μεταπρ.:Μεταπροβλήµατα Περιστ.:Αρχη του περιστερώνα Παραδ.: Παράδοξο Πρ.Μοιρ.:Προβλήµατα µοιρασιάς Αν.Μοτ.:Αναγνώριση Μοτίβου Πληρ/µα.: Πληροφοριοπρόβληµα Κατατµησ.:Κατατµήσεις
  5. 5. 4 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Α/Α Τίτλος Προβλήµατος Σελίδα Κατηγορία 1. Πρόβληµα του σωρού 6 Θεωρ.Αρ 2. ∆ιαδοχικοί I 6 Θεωρ.Αρ 3. ∆ιαδοχικοί ΙΙ 6 Θεωρ.Αρ 4. Τραπέζιο 6 Γεωµ. 5. IQ 7 Στατ. 6. Αριθµόγραµµα 7 Κρυπτ.Αριθµ. 7. Κέρµατα 8 Συνδ.Γεωµ. 8. Η κορνίζα 8 Θεωρ.Αρ.,Γεωµ. 9. Ο Μήτσος και το παπάκι του 8 Στατ. 10. Βάψιµο 9 Αριθµ. 11. Ποιος είναι στο κελί; 9 Αριθµ. 12. Εσωτερικό; 9 Γεωµ. 13. Η βόλτα. 9 Αριθµ. 14. Αρτιότης 10 θεωρ.Αρ. 15. Σηµεία 10 Συνδ.Γεωµ. 16. Οι αριθµοί της Μαρίας 10 Θεωρ.Αρ 17. Σειρά 10 Θεωρ.Παιγν. 18. Ο Τοκογλύφος. 10 Γεωµ.,Πιθ 19. ∆έκα 10 Θεωρ.Αρ 20. Σειρά Pythagoras 11 Γεωµ. 21. Τετραγωνο 11 Γεωµ. 22. Το νησί στρογγύλι 12 Λογ. 23. ∆υο τετράγωνα 12 Γεωµ. 24. Ξανθά µαλλιά 13 Αλγ. 25. To pin του Μήτσου 13 Θεωρ.Αρ. 26. Μπιλιάρδο 13 Βελτιστ. 27. Κάπελα 13 Αλγ. 28. Επτά 14 Θεωρ.Παιγν. 29. Πεντάγωνο 14 Συνδ.Γεωµ. 30. Εµβαδό 14 Γεωµ. 31. Η Άννα και η Βαρβάρα 14 Αλγ. 32. Τουρνουά 14 Συνδ. 33. Εµβαδό 15 Γεωµ. 34. Τετραγωνίσιος 15 θεωρ.Αρ. 35. Τα σκυλιά 15 Αλγ. 36. Αχ και Ωχ . 16 Κρυπτ.Αριθµ 37. Καλοκαιρινός κρυπτάριθµος 16 Κρυπτ.Αριθµ. 38. Η γειτονια του Όιλερ 17 ∆ιακρ./Γεωµ. 39. Μουντιάλ 2035 18 Πληρ/µα. 40. Μουντιάλ 2045 19 Πληρ/µα. 41. Λατινικό πρόβληµα θεωρίας αριθµών 20 Θεωρ.Αρ.
  6. 6. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 5 42. Ένα τετράγωνο 19x19 20 Συνδ.Γεωµ. 43. 20 σηµεία 20 Συνδ.Γεωµ. 44. Πιθανότητα 21 Πιθ. 45. Το στεγαστικό του ∆ιογένη 21 Λογ. 46. Ένα λογικό πρόβληµα ανάπτυξης 21 Λογ. 47. Ένα εταιρικό πρόβληµα….ηµισφαιρίων 21 Πιθ. 48. Με κανόνα και διαβήτη 22 Γεωµ. 49. Ποια µέρα 22 Λογ. 50. Μπάλες 23 Εµπν. 51. Τεστ για τοκογλύφους 23 Λογ. 52. Το λαχείο 24 Θεωρ.Αρ. 53. ∆υο πόρτες έχει η ζωή Ι 25 Λογ. 54. ∆υο πόρτες έχει η ζωή ΙΙ 26 Λογ. 55. Εµβαδά 26 Γεωµ. 56. Βιντεοπαιχνίδι 27 Αλγ. 57. Μοτίβο 27 Αν.Μοτ. 58. Άµα έχεις λόγο.. 27 Γεωµ. 59. Μόνο µε χάρακα 27 Εµπν. 60. Γρανάζια 28 Λογ. 61. Μια λίστα πρώτων αριθµών 28 Θεωρ.Αρ. 62. Τι µέρα 28 Αλγ. 63. Η στέρηση 28 Αλγ. 64. Το κέικ 28 Λογ. 65. Ένα µη ελευθέρας πρόβληµα βοσκής 29 Γεωµ. 66. Ο Λόφος 29 Γεωµ. 67. Μια σειρά αριθµών 29 Θεωρ.Αρ. 68. Xάπια 29 Εµπν. 69. Χωρίς λόγια 30 Γεωµ. 70. Χωρίς λόγια II 30 Γεωµ. 71. Ο αριθµός 30 Θεωρ.Αρ. 72. Μήτσος 30 Εµπν. 73. Τρίγωνο 30 Γεωµ. 74. Πεντάγωνο 30 Γεωµ. 75. Είσαι ότι δηλώσεις 31 Λογ. 76. Εύκολος Γρίφος εντόµων 31 Λογ. 77. Τροχοί 31 Τριγωνοµετρ. 78. Μυρµήγκι 31 Γεωµ. 79. Muppet show 32 Γεωµ. 80. Παρτέρι 33 Συνδ.Γεωµ 81. Έξι II 33 Θεωρ.Αρ. 82. Ουρανοξύστες (Skyscrapers) 33 Εµπν. 83. 2019 34 Θεωρ.Αρ. 84. Παρταλιακός-Τσίρκουλα 34 Θεωρ.Αρ. 85. Τετράγωνο 35 Γεωµ.
  7. 7. 6 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 86. Ο Ιππότης Σερ Τόρος και το κοµπιουτεράκι 38 Θεωρ.Αρ./ Γεωµ. 87. Το παιχνίδι 38 Θεωρ.Παιγν. 88. Ο Λεκές 38 Γεωµ. 89. Οι δίδυµοι 38 Λογ. 90. Οι λύκοι 39 Γεωµ. 91. Ποτήρια 39 Αναλ. 92. Το τρένο 40 Αλγ. 93. Τάκης, Μάκης, Λάκης … 40 Λογ. 94. Τετριµµένο;; 41 θεωρ.Αριθ. 95. Ένα παράδοξο πιθανοτήτων και κουτσαβάκηδων 41 Πιθ. 96. Είναι ζάχαρη και µέλι τα πορτοκάλια του Βαγγέλη 42 Αλγ. 97. Το παράδοξο µε το µαλλί! 43 Λογ. 98. ∆ύο αεροπλάνα 43 Αλγ. 99. Malba Tahan 44 Αλγ. 100. Εξίσωση Ι 44 Αλγ. 101. Θερισµός 44 Αλγ. 102. Μονοκοντυλιά 44 Εµπν. 103. Θέµατα εξετάσεων για φάπες 45 Εµπν. 104. Επετειακό emoji προβληµατάκι 46 Αλγ. 105. Οι νάνοι 46 Αλγ. 106. Φάροι 47 Θεωρ.Αρ. 107. Στα γρήγορα… 47 Θεωρ.Αρ. 108. Φωτογράφε τράβα µια φωτογραφία! 47 Αλγ. 109. Προβοκάτσια 47 Αλγ. 110. Μια φανταστική ιστορία 48 Αλγ. 111. Η σηµαία της Αραχνούπολης 48 Γεωµ. 112 Τροµοκρατική οργάνωση Μπουµ κεφτές 49 Λογ. 113 Περίπτερο 49 Θεωρ.Αρ. 114 Ο πιο κοντός 49 Λογ. 115 Αριθµοί 49 Θεωρ.Αρ. 116 Πράσινο και πορτοκαλί 50 Θεωρ.Αρ. 117 ∆υοενα.Cars 50 Θεωρ.Αρ. 118 Σκαλάκια 50 Αλγ. 119 Η πράξη 51 Αλγ. 120 Ποιος λείπει; 51 Εµπν. 121 Τα βέλη 52 Περιστ. 122 Εξίσωση 52 Αλγ.:Άλγεβρα 123 Ο πολλαπλασιασµός της σοκολάτας 52 Γεωµ. 124 1729 52 Θεωρ.Αρ. 125 Περιοδικός; 54 Θεωρ.Αρ. 126 Μηδενικά 54 Θεωρ.Αρ. 127. 100 54 Θεωρ.Αρ. 128. Τετράγωνα 54 Θεωρ.Αρ.
  8. 8. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 7 129. Το στηµένο παιχνίδι 55 Θεωρ.Παιγν. 130. Τελευταίο ψηφίο 55 Θεωρ.Αρ. 131. Φρούτα 55 Αναλ. 132 Βόλοι 55 Θεωρ.Αρ. 133 Πόσα ψηφία 55 Θεωρ.Αρ. 134 Ν; 56 Γεωµ
  9. 9. 8 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 1.Πρόβληµα του σωρού (Θεωρ.Αρ) Έστω ότι έχουµε τρεις σωρούς από βώλους.Στον πρώτο σωρό έχουµε 12 βώλους ,στον δεύτερο σωρό έχουµε 123 βώλους και στον τρίτο σωρό έχουµε 1234 βώλους. Θεωρούµε ως µια κίνηση: ● Είτε να αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό βώλων από κάθε ένα από τους τρεις σωρούς. ● Είτε να χωρίσουµε έναν από τους σωρούς (µε άρτιο πλήθος βώλων) σε δυο υποσω- ρούς µε ίδιο πλήθος βώλων,να αφαιρέσουµε τον ένα υποσωρό και να προσθέσουµε τους βώλους του άλλου υποσωρού σε ένα από τους δυο άλλους σωρούς. Είναι δυνατό να βρεθεί κατάλληλη ακολουθία κινήσεων η οποία να οδηγεί στις καταστάσεις: i . Να µην µείνει κανένας βώλος στον 1ο και στον 2ο σωρό. ii. Να µην µείνει κανένας βώλος στον 1ο και στον 3ο σωρό. iii. Να µην µείνει κανένας βώλος στον 2ο και στον 3ο σωρό. iv. Να µην µείνει κανένας βώλος στους τρεις σωρούς 2.∆ιαδοχικοί I (Θεωρ.Αρ) α)Είναι δυνατό να βρείτε τέσσερεις θετικούς ακεραίους τέτοιους ώστε τα έξι αθροί- σµατα τους ανά δυο να αποτελούν διαδοχικούς ακεραίους; β) Είναι δυνατό να βρείτε πέντε θετικούς ακεραίους τέτοιους ώστε τα δέκα αθροίσµα- τα τους ανά δυο να αποτελούν διαδοχικούς ακεραίους; 3.∆ιαδοχικοί ΙΙ(Θεωρ.Αρ) -Ο αριθµός 42 µπορεί να γραφεί ως άθροισµα δυο ή περισσότερων διαδοχικών θετι- κών ακεραίων αριθµών µε τρεις τρόπους: 42=13+14+15=9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9 Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορείτε να γράψετε τον αριθµό 105 ως άθροισµα δυο ή περισσότερων θετικών ακέραιων; Αν δεν περιοριστούµε σε θετικούς ακεραίους αλλά απαιτούµε µόνο να είναι διαδοχι- κοί ακέραιοι οι προσθετέοι, ποιες είναι οι λύσεις του παραπάνω προβλήµατος; 4. Τραπέζιο (Γεωµ.)
  10. 10. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 9 5. IQ (Στατ.) Ο δείκτης IQ µιας χώρας ορίζεται σαν το µέσο IQ του συνολικού πληθυσµού της. Υ- ποθέτουµε ότι ο συνολικός πληθυσµός µιας χώρας και τα ατοµικά IQ των κάτοικων της παραµένουν σταθερά. α)i.Μια οµάδα ανθρώπων από την χώρα Α µεταναστεύει στην χώρα Β. Να δείξετε ότι είναι δυνατό, τα IQ των δυο χωρών να αυξηθούν. ii.Μετά την παραπάνω µετανάστευση µια οµάδα ανθρώπων από την χώρα Β , η οποία µπορεί να περιέχει και µετανάστες από την χώρα Α, µεταναστεύει στην χώρα Α. Είναι δυνατό το IQ και των δυο χωρών να αυξηθεί πάλι; β) Μια οµάδα ανθρώπων από την χώρα Α µεταναστεύει στην χώρα Β και µια οµάδα από την χώρα Β µεταναστεύει στην χώρα Γ. Είναι γνωστό ότι το IQ και των τριών χω- ρών αυξήθηκε. Στην συνέχεια, µια οµάδα ανθρώπων από την χώρα Γ µεταναστεύει στην χώρα Β και µια οµάδα ανθρώπων από την χώρα Β µεταναστεύει στην Α. Είναι δυνατό το IQ και των τριών χωρών να αυξηθεί πάλι; (Θεωρούµε ότι το IQ µπορεί να φτάσει το πολύ 800) 6. Αριθµόγραµµα (Κρυπτ.Αριθµ.)
  11. 11. 10 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 7. Κέρµατα (Συνδ.Γεωµ.) Το διπλανό σχήµα δηµιουργήθηκε από 10 κόκκινες,10 µπλε και 10 µαύρες ευθείες γραµµές, ονοµάζουµε σηµείο τοµής κάθε σηµείο του σχήµατος στο οποίο τέµνονται τουλάχιστον δυο ευθείες.Το σχήµα έχει 66 σηµεία τοµής . Ποιος είναι ο µέγιστος αριθµός από κέρµατα που µπορούµε να τοποθετήσουµε σε σηµεία τοµής –ένα κέρµα σε κάθε σηµείο τοµής-έτσι ώστε κανένα ζεύγος δυο κερµάτων να µην βρίσκεται στην ίδια γραµµή. 8.Η κορνίζα (Θεωρ.Αρ.,Γεωµ.) Η κορνίζα ΑΒΓ∆ ενός πίνακα ζωγραφικής είναι ορθογωνίου σχήµατος και συνίσταται από 8 ίσα τραπέζια .Οι διαστάσεις ΑΒ και ΒΓ έχουν µήκη (σε cm) θετικούς ακεραί- ους. Το εµβαδό κάθε τραπέζιου είναι επίσης ακέραιος και µάλιστα πρώτος αριθµός . Το εµβαδό του πίνακα είναι λιγότερο από 2000 cm2 . Ποιο είναι το µέγιστο εµβαδό που έχει ο πίνακας; 9. Ο Μήτσος και το παπάκι του (Στατ.) Ο Μήτσος µε το παπάκι του διάνυσε την απόσταση των 400 χλµ από την Αθήνα στα Ιωάννινα σε 10 ώρες µε ταχύτητα 40 χλµ ανά ώρα.Στο ταξίδι της επιστροφής που διαρκεί 8 ώρες, ο Μήτσος µε το παπάκι του κινήθηκε µε µεγαλύτερη ταχύτητα, 50 χλµ την ώρα.Όταν επέστρεψε ο Μήτσος αναρωτήθηκε ποια είναι η µέση ταχύτητα του τα- ξιδιού.Σκέφτηκε ότι η προφανής απάντηση είναι 45 χλµ/ώρα ο αριθµητικός µέσος του 40 και του 50.Όµως,από την άλλη ο Μήτσος µε το παπάκι του διένυσε το ταξίδι µετ’ επιστροφής σε 18 ώρες µε συνολική απόσταση 800 χλµ δηλαδή µε µέση ταχύτητα 800/18=44,444.. χλµ/ώρα. Τι συνέβει; ΒΑ Γ∆
  12. 12. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 11 10.Βάψιµο( Αριθµ.) Για να βάψω το φράκτη του σπιτιού µου αγόρασα 15 κιλά χρώµα (λευκό και µαύρο) και πλήρωσα 18,4 ευρώ. Το λευκό χρώµα κοστίζει-το κιλό - 10 λεπτά λιγότερο από το µαύρο και η τιµή εκάστου είχε ένα δεκαδικό ψηφίο. Τα δοχεία των δυο χρωµάτων περιείχαν ποσότητες που ήταν πολλαπλάσια του κιλού. Πόσα κιλά χρώµα αγόρασα από κάθε χρώµα; 11. Ποιος είναι στο κελί;(Αριθµ.) Η Μαρία τοποθέτησε τους αριθµούς 1,2,3,4,5,6,7,8,9,στα κενά κελιά του παρακάτω πινάκα 3x3 χωρίς να χρησιµοποιήσει ένα ψηφίο δυο φορές. Υπολόγισε το γινόµενο κάθε γραµµής ,και το έγραψε στο πλάι της γραµµής, υπολόγισε το γινόµενο κάθε στή- λης και το έγραψε κάτω από αυτήν (σχήµα). Κατόπιν έσβησε τους αριθµούς στα κελιά. Ποιος αριθµός ήταν γραµµένος στο κελί Α. 12. Εσωτερικό;(Γεωµ.) Ο Γιάννης σχεδίασε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆ και τοποθέτησε ένα σηµείο Ε στο επίπε- δο. Tα τρίγωνα ΑΕ∆, ΑΕΒ και ΒΕΓ έχουν περιµέτρους 4,7 cm , 5,7 cm και 4,3 cm αντίστοιχα. 1.Να υπολογίσετε την περίµετρο του τρίγωνου ∆ΕΓ. 2.Το σηµείο Ε είναι στο εσωτερικό του τετραγώνου; 13. Η βόλτα(Αριθµ.) Όταν ο Γιάννης βγήκε από το σπίτι του το πρωί,κοίταξε το ψηφιακό ρολόι του είδε την ένδειξη 4:56.Πήγε για τρέξιµο, κατόπιν κάθισε σε ένα εστιατόριο για πρωινό, έφα- γε, πήγε να πιει ένα καφέ στο καφενείο στην συνέχεια πέρασε από το γραφείο του και τέλος γύρισε µε τα πόδια στο σπίτι του. Όταν µπήκε στο σπίτι του κοίταξε το ρολόι του και παρατήρησε για την ένδειξη της ώρας ότι όλα τα ψηφία είναι διαδοχικά κατά αύ- ξουσα σειρά. Πόση ώρα ήταν έξω από το σπίτι ο Γιάννης;
  13. 13. 12 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 14.Αρτιότης(Θεωρ.Αρ.) Με τον συµβολισµό Αρ(ν) συµβολίζουµε το άθροισµα των αρτίων ψηφίων του αριθ- µού ν. Για παράδειγµα, Αρ(2345)=2+4=6 Να υπολογίσετε το Αρ(1)+Αρ(2)+Αρ(3)+….Αρ(100) Αν είστε µερακλήδες µπορείτε να υπολογίσετε και το Αρ(1)+Αρ(2)+Αρ(3)+….Αρ(1000) 15. Σηµεία (Συνδ.Γεωµ.) Σε µια ευθεία παίρνουµε ένα πλήθος σηµείων. Θεωρούµε όλα τα ευθύγραµµα τµήµα- τα µε άκρα τα σηµεία. Κάποιο από τα σηµεία είναι στο εσωτερικό (δηλαδή όχι σε ά- κρο) σε 27 από αυτά τα ευθύγραµµα τµήµατα. Κάποιο άλλο από τα σηµεία είναι στο εσωτερικό σε 35 από αυτά τα ευθύγραµµα τµήµατα. Πόσα είναι τα σηµεία; 16. Οι αριθµοί της Μαρίας (Θεωρ.Αρ) Η Μαρία επέλεξε δυο αριθµούς από το σύνολο {1,2,3,…,16,17}.Το γινόµενο των δυο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των υπολοίπων δεκαπέντε αριθµών του συνό- λου. Ποιο είναι το άθροισµα των δυο αριθµών που επέλεξε η Μαρία; 17. Σειρά (Θεωρ.Παιγν.) O Γιάννης έγραψε ένα θετικό ακέραιο Ν στον πίνακα (Ν>1).Ο ∆ηµήτρης µε πρώτο αριθµό τον Ν γράφει µια σειρά από αριθµούς στον πίνακα ακολουθώντας το µοτίβο: Λαµβάνει ένα διαιρέτη µεγαλύτερο του 1 του προηγούµενου αριθµού και είτε τον προσθέτει είτε τον αφαιρει από τον αριθµό. Είναι δυνατό για τον ∆ηµήτρη ανεξάρτητα από τον αριθµό που θα επιλέξει ο Γιάννης να καταλήξει στον αριθµό 2018; 18. Ο Τοκογλύφος (Γεωµ.,Πιθ.) Ο Μπρούνο είναι επαγγελµατίας τοκογλύφος έχει σωµατοδοµή γορίλλα ,ξέρει προπαί- δεια και ακολουθεί πρακτικές πιστωτικού ιδρύµατος. ∆ανείζει λεφτά και τα παίρνει πίσω πολλαπλάσια σε βάθος χρόνου. Αν δεν εισπράξει εγκαίρως, γίνεται ανυπόµονος, εκνευρί- ζεται και κάνει επίµονο µασάζ στα ούλα των πελατών του µε λοστό, ενίοτε τους σπάει και κανένα κόκκαλο. Σε µια τέτοια επαγγελµατική του συναναστροφή έχει στριµώξει, σε ένα στενό, έναν από τους πελάτες του και τον απειλεί. -«Αν δεν πάρω το χρήµα θα σου σπάσω το κόκκαλο του βραχίονα σε τρία σηµεία!! Θα το κάνω τυχαία ποτέ δεν είχα προτιµήσεις σε τέτοιου είδους πράγµατα;» Το ερώτηµα είναι:Αν ο Μπρούνο σπάσει τυχαία το οστό του βραχίονα σε τρία σηµεί- α.Ποια είναι η πιθανότητα τα τρία κοµµάτια να αποτελούν πλευρές τριγώνου; 19. ∆έκα (Θεωρ.Αρ) Ο καθηγητής των µαθηµατικών στο σχολείο της Αννούλας και του Γιάννη έγραψε στον πίνακα δέκα διαδοχικούς φυσικούς αριθµούς.Το κάθε παιδί πρέπει να χωρίσει τους δέκα αριθµούς σε πέντε ζεύγη ,να υπολογίσει τα πέντε γινόµενα τους (ανά ζεύ- γος) και στην συνέχεια να προσθέσει τα πέντε γινόµενα. Είναι δυνατόν να διαιρεθούν οι αριθµοί από το κάθε παιδί µε διαφορετικό τρόπο αλλά τα αθροίσµατα να είναι ίσα.
  14. 14. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 13 20.Σειρά Pythagoras (Γεωµ.) Η Ευανθία ζήτησε από τον σύζυγο της,τον Μήτσο να της αγοράσει όλη την νέα σει- ρά µενταγιόν Pythagoras του γνωστού οίκου κοσµηµάτων Hippasus. Κάθε µενταγιόν της σειράς αποτελείται από ένα ορθογώνιο τρίγωνο (σχήµα) µε µήκος µεγαλύτερης πλευράς 10 mm και τα µήκη των άλλων δυο πλευρών ακέραια σε mm.Η σειρά έχει τόσα διαφορετικά µενταγιόν όσα και τα ορθογώνια τρίγωνα µε τα παραπάνω µεγέθη, το καθένα σε τρία διαφορετικά υλικά κατασκευής (χρυσό, ασήµι, πλατίνα). Κάθε µε- νταγιόν κοστίζει 500 ευρώ και ο Μήτσος αγόρασε όλη την σειρά. ii.Πόσα χρήµατα πλήρωσε; ii.Ποιο θα ήταν το κόστος αν 10 mm ήταν το µήκος µια κάθετης πλευράς; 21.Τετραγωνο ( Γεωµ.) Ένα τετράγωνο περιέχει δυο τετράγωνα Β και Α µε εµβαδό 16 τετραγωνικά µέτρα και 9 τετραγωνικά µέτρα αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήµα. Να βρείτε την περίµετρο του κόκκινου σχήµατος. B A
  15. 15. 14 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 22.Το νησί στρογγύλι (Λογ.) Στην Λοξολάνδη δυτικά του Μεσαίου πελάγους βρίσκεται το νησί Στρογγύλι. Αν το δούµε στον χάρτη πρόκειται για ένα νησί µε κυκλικό σχήµα. Είναι χωρισµένο σε επτά δήµους. Κάθε δήµος έχει έναν ακέραιο αριθµό. Οι αριθµοί δοθήκαν από την κεντρική διοίκηση της Λοξολάνδης κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο αριθµός του κάθε δήµου ισούται µε το άθροισµα όλων των αριθµών των γειτονικών του δήµων. Στο σχήµα έχουµε συ- µπληρώσει τον αριθµό τεσσάρων δήµων. Να βρείτε τον αριθµό των υπολοίπων δήµων. (ερωτηµατικά) (∆υο δήµοι λέγονται γειτονικοί αν έχουν κοινό σύνορο.) 23. ∆υο τετράγωνα (Γεωµ.) ∆υο τετράγωνα µε εµβαδό Ε1,Ε2 είναι εγγεγραµµένα σε ηµικύκλιο, όπως φαίνεται στο σχήµα. Να βρείτε πόσες φορές µεγαλύτερο είναι το Ε1 από το Ε2. 6 -4 2 -4 ?? ? Ε2 Ε1
  16. 16. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 15 24.Ξανθά µαλλιά (Αλγ.) Σε µια παρέα παιδιών γνωρίζουµε ότι επτά παιδιά έχουν ξανθά µαλλιά ,ο συνολικός αριθµός των αγοριών είναι κατά δυο µικρότερος από τα κορίτσια που έχουν ξανθά µαλλιά, την ίδια εκείνη στιγµή που ο συνολικός αριθµός των κοριτσιών είναι κατά τρία µεγαλύτερος από τα αγόρια που έχουν καστανά µαλλιά. Πόσα είναι τα αγόρια στην παρέα; 25.To pin του Μήτσου (Θεωρ.Αρ.) Ο τετραψήφιος κωδικός εισόδου (PIN) του Μήτσου στο κινητό του τηλέφωνο είναι ένας τετραψήφιος αριθµός ΑΒΓ∆ όπου τα ψηφία του βρίσκονται σε αύξουσα σειρά (0<Α<Β<Γ<∆).Ποια είναι η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η διαφορά Β∆-ΑΓ των διψήφιων Β∆ και ΑΓ; 26. Μπιλιάρδο (Βελτιστ.) Ένα τραπέζι µπιλιάρδου έχει σχήµα ορθογωνίου και διαστάσεις 2x1 µέτρα. Έχουµε 6 τρύπες µια σε κάθε κορυφή και οι άλλες δυο ,στο µέσο καθεµίας από τις πλευρές του µήκους 2 µέτρων. Ποιο είναι ο ελάχιστος αριθµός από µπάλες που πρέπει να τοπο- θετήσουµε στο τραπέζι έτσι ώστε κάθε τρύπα να είναι στην ίδια ευθεία µε τουλάχι- στον δυο µπάλες; (Θεωρούµε τρύπες και µπάλες σαν σηµεία στο επίπεδο) 27.Καπέλα (Αλγ.) Η Νίτσα -λάτρης των καπέλων-στο κατάστηµα ΧΧΧ αγόρασε καπέλα των 5 ευρώ, των 10 ευρώ, των 20 ευρώ και των 40 ευρώ ως εξής: Τα καπέλα των 10 ευρώ είναι ίσα το πλήθος µε τα 2/5 των καπέλων των 5 ευρώ, ενώ τα κάπελα των 20 ευρώ είναι ίσα στον αριθµό µε τα 3/4 των καπέλων των 10 ευρώ. Η Νίτσα αγόρασε και πέντε καπέλα των 40 ευρώ. Πλήρωσε µε ένα χαρτονόµισµα και δεν πήρε ρέστα. Πόσα καπέλα από κάθε τιµή αγόρασε η Νίτσα; 28. Επτά (Θεωρ.Παιγν.) Ο Γιάννης και η Μαρία-µε το Γιάννη να ξεκινά- γράφουν εναλλάξ, από αριστερά προς τα δεξιά ,ένα-ένα τα ψηφία ενός εξαψήφιου αριθµού. Αν ο αριθµός που θα προκύψει είναι πολλαπλάσιο του 7, κερδίζει η Μαρία, αλλιώς ο Γιάννης.Ποιο από τα δυο παιδιά έχει νικηφόρα στρατηγική; 1m 2 m
  17. 17. 16 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 29.Πεντάγωνο (Συνδ.Γεωµ.) Είναι δυνατόν να αριθµήσουµε τις δέκα συνολικά πλευρές και διαγώνιους ενός πεντά- γωνου µε τους δέκα ακεραίους 1,2,3…,10 έτσι, ώστε για κάθε τρίγωνο που έχει κορυ- φές τρεις από τις κορυφές του πενταγώνου, το άθροισµα των αριθµών στις πλευρές του να είναι το ίδιο; 30.Εµβαδό (Γεωµ.) Το ορθογώνιο ΑΒΓ∆ έχει εµβαδό 1 cm2 .Τα Ζ,∆,Ε είναι µέσα των ευθυγράµµων τµη- µάτων ∆Γ,ΖΒ,Α∆, αντίστοιχα. Πόσο είναι το εµβαδό του τριγώνου ΖΕ∆; 31.Η Άννα και η Βαρβάρα (Αλγ.) Η Άννα και η Βαρβάρα σήµερα συγκρίνουν τις ηλικίες τους.∆ιαπίστωσαν ότι σήµερα η Βαρβάρα είναι τόσων ετών όσο ήταν η Άννα την χρονιά που η Βαρβάρα είχε την ίδια ηλικία µε την Άννα και η Βαρβάρα είχε την µισή σηµερινή ηλικία της Άννας. ☺☺ Αν το άθροισµα των ηλικιών των σηµερινών ηλικιών τους είναι 44 ετών, ποια είναι σήµερα η ηλικία της Άννας; 32. Τουρνουά (Συνδ.) Σε ένα τουρνουά τένις λαµβάνουν µέρος ν γυναίκες και 2ν άνδρες, και κάθε παί- κτης/παίκτρια παίζει ακριβώς µια φορά µε κάθε άλλο παίκτη/παίκτρια. Αν είναι γνω- στό ότι δεν υπήρξαν ισοπαλίες και ο λόγος του αριθµού των παιχνιδιών που κέρδισαν γυναίκες προς τον αριθµό των παιχνιδιών που κέρδισαν οι άνδρες είναι 7/5. Οι γυναίκες που έλαβαν µέρος στο τουρνουά ήταν: α) 2 β) 4 γ) 6 δ) 7 ε) Κανένα από τα προηγούµενα Α Β Γ∆ Ζ Ε ∆
  18. 18. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 17 33. Εµβαδό I (Γεωµ.) Στο παρακάτω σχήµα το ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο και το ΑΒΕ εις ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά 1 3+ cm να βρεθεί το εµβαδό το τριγώνου ΑΖΒ. 34.Τετραγωνίσιος (Θεωρ.Αρ.) Ένας θετικός ακέραιος εξαψήφιος αριθµός ΑΒΓ∆ΕΖ ονοµάζεται Τετραγωνίσιος-κατά το βουνίσιος ☺- όταν έχει τις εξής ιδιότητες: -Αποτελείται από µη µηδενικά ψηφία. -Είναι τέλειο τετράγωνο. -Οι διψήφιοι αριθµοί ΑΒ,Γ∆,ΕΖ είναι τέλεια τετράγωνα. Να βρείτε όλους τους τετραγωνίσιους αριθµούς. (Πάντα µιλάµε για το δεκαδικό αριθµητικό σύστηµα) 35.Τα σκυλιά (Αλγ.) ∆υο σκυλιά ξεκινούν να τρέχουν ταυτόχρονα από τα σηµείο Α µια κυκλικής πίστας κινούµενα κατά αντίθετες φορές µε ταχύτητες 5 βήµατα/sec και 9 βήµατα/sec. Σταµα- τούν να τρέχουν όταν ξανασυναντηθούν στο σηµείο Α .Πόσες φορές έχουν συναντηθεί κατά την διάρκεια του αγώνα αν δεν λάβουµε υπόψη την αρχή και το τέλος του αγώνα; Α Β Γ∆ Ε Ζ
  19. 19. 18 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 36.Αχ και Ωχ (Κρυπτ.Αριθµ.) Στην ακόλουθη εξίσωση διαφορετικά γράµµατα αντιστοιχίζονται σε διαφορετικά αριθµητικά ψηφία στο δεκαδικό αριθµητικό σύστηµα (ΑΧ)(ΩΧ)=ΤΤΤ Να βρείτε µε ποιο αριθµό ισούται το Α+Χ+Ω+Τ 37. Καλοκαιρινός κρυπτάριθµος (Κρυπτ.Αριθµ.) Καλοκαιρινός κρυπτάριθµος Μπορείτε να αποκωδικοποιήσετε το µή- νυµα 360 3296 756998 αν είναι γνωστό ότι ισχύει: ΜΙ x SI=SOL και LA x DO=RE x FA Όπου διαφορετικά γράµµατα αντιστοιχούν σε διαφορετικά αριθµητικά ψηφία και «x» το σύµβολο της πράξης του πολλαπλασιασµού, επίσης κανένας αριθµός ( MI,SI,SOL,…) δεν έχει πρώτο ψηφίο το 0.
  20. 20. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 19 38.Η γειτονιά του Όιλερ(∆ιακρ./Γεωµ.) Η γειτονιά του Όιλερ Η γειτονιά του Όιλερ δεν αποτελείται από οικοδομικά τετράγωνα αλλά από οικοδομικά ορθογώνια (!) διαστάσεων 2x1 χλμ (σχήμα). Να βρείτε το μήκος της μέγιστης διαδρομής από το σημείο Α στο σημείο Β έτσι ώστε καμιά πλευρά (δρόμος) ορθογωνίου να εμφανίζεται δυο φορές. Να αποδείξετε ότι η διαδρομή που θα βρείτε είναι μέγιστη. A B
  21. 21. 20 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 39.Μουντιάλ 2035;( Πληρ/µα.) Στο Μουντιάλ 2035 έχουν προκριθεί στα ηµιτελικά τέσσερεις χώρες:Αγγλία,Βέλγιο, Γάλλια, Κροατία. Κάθε οµάδα έπαιξε έναν αγώνα µε κάθε άλλη,(6 αγώνες). Τα στοι- χεία µε τα γκολ που δέχτηκαν, έβαλαν καθώς και η βαθµολογία φαίνεται στον ακόλου- θο πίνακα. Η νίκη στον αγώνα δίνει 3 βαθµούς,η ισοπαλία 1 βαθµό και 0 βαθµούς η ήττα. Γκολ υπέρ τα γκολ που πέτυχε µια οµάδα στους αγώνες και γκολ κατά τα γκολ που δέχτηκε. Είναι γνωστό η Αγγλία κέρδισε την Κροατία 3-0.Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τους έξι αγώνες που πραγµατοποιηθήκαν. ΑΓΓΛΙΑ –ΚΡΟΑΤΙΑ 3 – 0 ΑΓΓΛΙΑ-ΓΑΛΛΙΑ ΑΓΓΛΙΑ-ΒΕΛΓΙΟ ΚΡΟΑΤΙΑ-ΒΕΛΓΙΟ ΚΡΟΑΤΙΑ-ΓΑΛΛΙΑ ΒΕΛΓΙΟ -ΓΑΛΛΙΑ …..–….. …..–….. …..–….. …..–….. …..–….. 9 0 4 4 17ΑΓΓΛΙΑ ΓΑΛΛΙΑ ΒΕΛΓΙΟ ΚΡΟΑΤΙΑ ΒΑΘΜΟΙΓΚΟΛ κατάΓΚΟΛ Υπέρ 2 3 1 6 3 3
  22. 22. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 21 40.Μουντιάλ 2045; ( Πληρ/µα.) Στο Μουντιάλ 2045 έχουν προκριθεί πλαι στα ηµιτελικά τέσσερεις χώ- ρες:Αγγλία,Βέλγιο, Γάλλια, Κροατία. Κάθε οµάδα έπαιξε έναν αγώνα µε κάθε άλλη,(6 αγώνες). Τα στοιχεία µε τα γκολ που δέχτηκαν, έβαλαν καθώς και η βαθµολογία φαί- νεται στον ακόλουθο πίνακα.Η νίκη στον αγώνα δίνει 3 βαθµούς ,η ισοπαλία 1 βαθµό και 0 βαθµούς η ήττα. Γκολ υπέρ τα γκολ που πέτυχε µια οµάδα στους αγώνες και γκολ κατά τα γκολ που δέχτηκε. Είναι γνωστό η Αγγλία κέρδισε την Κροατία 3-0.Ειναι δυνατο να συµπλη- ρώσετε τον πίνακα µε τους έξι αγώνες που πραγµατοποιηθήκαν. (Παπαδηµητρίου Θανάσης) 9 4 4 0 17ΑΓΓΛΙΑ ΓΑΛΛΙΑ ΒΕΛΓΙΟ ΚΡΟΑΤΙΑ ΒΑΘΜΟΙΓΚΟΛ κατάΓΚΟΛ Υπέρ 1 3 2 3 3 6 ΑΓΓΛΙΑ –ΚΡΟΑΤΙΑ 3 – 0 ΑΓΓΛΙΑ-ΓΑΛΛΙΑ ΑΓΓΛΙΑ-ΒΕΛΓΙΟ ΚΡΟΑΤΙΑ-ΒΕΛΓΙΟ ΚΡΟΑΤΙΑ-ΓΑΛΛΙΑ ΒΕΛΓΙΟ -ΓΑΛΛΙΑ …..–….. …..–….. …..–….. …..–….. …..–…..
  23. 23. 22 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 41.Λατινικό πρόβληµα θεωρίας αριθµών (Θεωρ.Αρ.) Να βρεθεί εξαψήφιος αριθµός ΑΒΓ∆ΕΖ (Α,Β,Γ,∆,Ε,Ζ διαφορετικά µη µηδενι- κά αριθµητικά ψηφία) τέτοιος ώστε όταν συµπληρωθεί ο παρακάτω κίτρινος πίνακας 6x6 στην κάθε γραµµή i να βρίσκεται ο αριθµός i x ΑΒΓ∆ΕΖ τότε να προκύπτει Λατινικό τετράγωνο. Ο κίτρινος πίνα- κας είναι Λατινικό τετράγωνο αν σε κάθε γραµµή και στήλη να υπάρχουν τα ίδια έξι ψηφία (Α,Β,Γ,∆,Ε,Ζ) άλλα κανένα δεν επαναλαµβάνεται σε γραµµή ή στήλη. Πόσοι τέτοιοι αριθµοί υπάρχουν; 42.Ένα τετράγωνο 19x19 (Συνδ.Γεωµ.) Ένα τετράγωνο 19x19 αποτελείται από 192 µικρότερα ίσα µη επικαλυπτόµενα τετράγωνα. Είναι δυνατό να τοποθετήσουµε σε κάθε µικρό τετράγωνο από δυοσηµεία µε τους εξής κανόνες: 1.Κάθε σηµείο να ανήκει σε πλευρά του µικρού τετραγώνου όχι σε κορυφή του. 2.Τα σηµεία δεν πρέπει να τοποθετηθούν σε πλευρά του µεγάλου τετραγώνου, µόνο σε "εσωτερικές" θέσεις. 43.20 σηµεία(Συνδ.Γεωµ.) ∆ίνεται ένα σύνολο από 20 σηµεία στο χώρο. Συνδέουµε τα σηµεία αυτά µε 101 ευ- θύγραµµα τµήµατα.Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον µια τριάδα από αυτές τις συνδέσεις σχηµατίζει τρίγωνο.Να αποδείξετε ότι αν είχαµε συνδέσει 20 σηµεία στο χώρο µε 100 ευθύγραµµα τµήµατα θα ήταν δυνατό να µην σχηµατιστεί ούτε ένα τρίγωνο . Χ 6 Χ 5 Χ 4 Χ 3 Χ 2 Β Γ ∆ Ε ΖΑ Χ 1
  24. 24. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 23 44.Πιθανότητα (Πιθ.) Aν διαλέξουµε στην τύχη τρεις από τις κορυφές του κανονικoυ 17-γωνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο που σχηµατίζουν να είναι οξυγώνιο; (Θ.Παπαδηµητρίου) 45. Το στεγαστικό του ∆ιογένη (Λογ.) Ένα σούρουπο, ο ∆ιογένης αφού έγινε εξωστέος από το πιθάρι –δεν πλήρωνε τα δη- µοτικά τέλη-πήρε το φανάρι του και βάδιζε στο δάσος .Εκεί συναντάει την θεά Αθηνά που τον ρωτά: -«Τι ψάχνεις;» Ο φιλόσοφος ντράπηκε-πάντα µιλάµε για τον ∆ιογένη- να πει ότι έµεινε άστεγος και απάντησε: -«Γυρεύω τον άνθρωπο!!» -«Μµµ… εδώ κοντά υπάρχει ένας.» Είπε η θεά και συνεχίζοντας «το πρόβληµα είναι ότι δεν φτάνει το φως από το φανάρι σου για να τον αναγνωρίσεις, επειδή συνοδεύεται από δυο φαύνους µε ανθρώπινη µορφή,ο ένας από τους δυο λέει πάντα ψέµατα, ενώ ο άλλος λέει πάντα αλήθεια.Όσο για τον άνθρωπο όπως το περιµένει κάνεις άλλοτε λέει αλήθεια, άλλοτε λέει ψέµατα αλλά είναι άγνωστο µε ποια σειρά.Οι τρεις ονοµάζονται Υπερίδης ,Νέαρχος και Καλλίνικος και µπορεί να τους κάνεις δυο ερωτήσεις,από εκείνες που µπο- ρούν να απαντηθούν µε ένα ΝΑΙ ή µε ένα ΟΧΙ ,τις δυο ερωτήσεις µπορείς να τις κάνεις είτε στον ένα από τους δυο είτε µια στον έναν και µια στον άλλο. Αν µε αυτόν τον τρόπο εξακριβώσεις ποιος είναι ο άνθρωπος θα σε βοηθήσω να εγκριθεί η αίτηση που έκανες πέρυσι για στεγαστικό για την αγορά νέου πιθαριού.» Μπορείτε να βοηθήσετε τον ∆ιογένη να βρει τον άνθρωπο και να πάρει και το στεγα- στικό; 46.Ένα λογικό πρόβληµα ανάπτυξης (Λογ.) Αν ένας κάτοικος της Λοξολάνδης είναι πάνω από 40 ετών δεν µπορεί να προταθεί για το βραβείο «Μακρόχρονης επαγγελµατικής σταδιοδροµίας» .Όµως γνωρίζουµε ότι κάθε σηµαντικό πρόσωπο στην Λοξολάνδη είτε έχει προταθεί για το βραβείο «Μα- κρόχρονης επαγγελµατικής σταδιοδροµίας» είτε έχει προταθεί για το βραβείο «Καινο- τόµου ιδέας» είτε έχει προταθεί και για τα δυο. Μόνο αν κάποιος κάτοικος της Λοξο- λάνδης είναι νέος επαγγελµατίας µπορεί να προταθεί για το βραβείο «Καινοτόµου ιδέας». ∆εν µπορεί όµως κάποιος να µην είναι κάτω από 30 ετών και ταυτόχρονα να είναι νέος επαγγελµατίας. Ο Παπαδόπουλος είναι σηµαντικό πρόσωπο της Λοξολάνδης και δεν είναι κάτω από 30. Τι µπορούµε να συµπεράνουµε για αυτόν; (Για ποια βραβεία έχει προταθεί και αν είναι νέος επαγγελµατίας;) 47.Ένα εταιρικό πρόβληµα….ηµισφαιρίων (Πιθ.) Ο Γιώργος ,ο Νίκος και ο Μιχάλης ανήκουν στο στελεχιακό δυναµικό της πολυεθνι- κής εταιρείας «BarbaNicosInternational” .Οι τρεις τους είναι ικανοί πωλητές και η ε- ταιρεία ανά πάσα στιγµή µπορεί να τους στείλει όλους µαζί ή τον καθένα ξεχωριστά σε επαγγελµατικό ταξίδι σε οποιοδήποτε σηµείο του κόσµου. Για παράδειγµα ο ένας µπορεί να βρίσκεται στην Κίνα , ο άλλος στην Λατινική Αµερική και ο τρίτος στην Ελλάδα.Αν επιλέξουµε τυχαία µια χρονική στιγµή, ποια είναι η πιθανότητα και οι τρεις υπάλληλοι να βρίσκονται στο ίδιο ηµισφαίριο; (Υποθέτουµε για τις ανάγκες του προβλήµατος ότι η Γη είναι σφαιρική )
  25. 25. 24 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 48.Με κανόνα και διαβήτη (Γεωµ.) Έχουµε σχεδιάσει ένα ευθύγραµµο τµήµα µήκους 2 3 5+ + cm, µε την χρήση κα- νόνα και διαβήτη να κατασκευάσετε ευθύγραµµο τµήµα µήκους 1 cm. 49. Ποια µέρα (Λογ.) Χθες, ο παππούς Παπαδόπουλος δεν ήταν σίγουρος, ποια µέρα ήταν. -«Παρασκευή», του είπε ο ∆ηµήτρης. -«Σαββάτο», του είπε η δίδυµη αδελφή του η ∆ώρα. -«Τι µέρα είναι αύριο;», είχε τότε ρωτήσει ο παππούς φανερά µπερδεµένος. -«∆ευτέρα», είπε η ∆ώρα. -«Τρίτη», είπε ο ∆ηµήτρης. Ο παππούς είχε ξαναρωτήσει: -«Τι µέρα ήταν χθες; » -«Τετάρτη»,του είπε ο ∆ηµήτρης. -«Πέµπτη»,του είχε πει η ∆ώρα. Ο πατέρας Παπαδόπουλος ,τότε είχε διακόψει την συζήτηση και είπε στα δυο παιδιά . -«Ο καθένας σας έδωσε µια σωστή απάντηση και δυο λάθος. » Τι µέρα είναι σήµερα; Α Β 2 3 5+ + cm Υπόδειξη: ∆είτε το συνδεσµο ☺ ☺ https://www.dezeen.com/2014/05/30/bcxsy- create-linear-clock-for-designers-days/
  26. 26. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 25 50.Μπάλες (Εµπν.) Κατά µήκος µιας ευθείας, µια οµάδα από 25 µπάλες κυλάνε από αριστερά προς τα δε- ξιά και άλλη µια οµάδα από 35 µπάλες κυλάνε από δεξιά προς τα αριστερά. Οι ταχύτη- τες όλων των µπαλών είναι ίσες σε µέτρο. Κάποια στιγµή, οι δύο οµάδες συναντιού- νται και οι µπάλες αρχίζουν να συγκρούονται µεταξύ τους ελαστικά. Πόσες συγκρού- σεις θα γίνουν συνολικά και ανάµεσα σε ποιες µπάλες θα γίνει η τελευταία; (Θανάσης Παπαδηµητρίου) 51. Τεστ για τοκογλύφους (Ζυγ.) Ο Κλεόβουλος είναι χρυσοχόος –τοκογλύφος ,ξέρετε από εκείνους του τύπους µε το µειλίχιο βλέµµα, την τσαχπινιά στο µάτι και το γεµάτο περίστροφο στο συρτάρι. Οι δουλειές πάνε καλά δεν έχει παράπονο όµως τελευταία αισθάνεται µια κόπωση και ο γιατρός του συνέστησε να να δουλεύει λιγότερο.Αποφάσισε να προσλάβει υπάλληλο. Ο Κλεόβουλος όµως ήθελε να προσλάβει υπάλληλο εύστροφο και πονηρό σαν ελόγου του.Έτσι επινόησε ένα τεστ για κάθε υποψήφιο.Όταν ο υποψήφιος υπάλληλος έφτανε στο γραφείο του, του έδειχνε ένα γεµάτο πουγκί και µια ζυγαριά µε δυο δίσκους και λέγοντας: «Νέε µου,στο πουγκί βρίσκονται 101 λίρες πανοµοιότυπες εξωτερικά,50 από αυτές να είναι κάλπικες. Η κάλπικη λίρα είτε θα είναι ελαφρύτερη είτε βαρύτερη κατά ένα γραµµάριο. Βλέπεις εκείνη την ζυγαριά;Ναι, αυτή.Μπορεί να δείξει την διαφορά βαρών ανάµεσα στους δυο δίσκους της ζυγαριάς.Πάρε στην τύχη µια λίρα από το πουγκί.Έτσι µπράβο.Αν µε µια µόνο ζύγιση καταφέρεις να εξακριβώσεις αν είναι κάλπικη ή γνήσια, τότε η δουλειά είναι δική σου.» Πως είναι δυνατό να γίνει η εξακρίβωση µε µια µόνο ζύγιση; Α Β ∆=Α-Β
  27. 27. 26 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 52.Το λαχειο (Θεωρ.Αρ.) Το λαχείο Στο κρατικό λαχείο της Λοξολάνδης κληρώθηκε το κολοσσιαίο ποσό των….1984 ευρώ, αφορο- λόγητο παρακαλώ. Υπήρξαν περισσότεροι του ενός νικητές .Και παρατηρήθηκε ότι κέρδισαν όλα τα λαχεία – και µόνο αυτά-στα οποία ο πε- νταψήφιος αριθµός του λαχείου ήταν τέλειο τε- τράγωνο µε τα δυο τελευταία ψηφία ίσα. Πόσα χρήµατα πήρε καθένας από τους νικητές;
  28. 28. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 27 53. ∆υο πόρτες έχει η ζωή Ι (Λογ.) Οι δυο πόρτες οδηγούν η καθεµία σε ένα δωµάτιο. Είναι γνωστό ότι είτε και στα δυο δωµάτια υπάρχει ένα χρηµατικό ποσό 1000 ευρώ είτε και στα δυο ένας εξαγριωµένος έφορος έτοιµος να ρίξει πρόστιµα είτε στο ένα δωµάτιο το χρηµατικό ποσό και στο άλλο o έφορος. Σε κάθε πόρτα έχει αναρτηθεί µια πινακίδα. Είτε οι δηλώσεις και στις δυο πινακίδες είναι αληθινές είτε και στις δυο είναι ψευδείς . Τι υπάρχει πίσω από κάθε πόρτα στα δυο δωµάτια; Είτε σε αυτό το δωµάτιο υπάρχει ο έφορος είτε στο άλλο το χρηµατι- κό ποσό. ∆ΩΜΑΤΙΟ 1 ∆ΩΜΑΤΙΟ 2 Στο άλλο δω- µάτιο υπάρχει το χρηµατικό ποσό.
  29. 29. 28 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 54.∆υο πόρτες έχει η ζωή ΙΙ (Λογ.) Οι δυο πόρτες οδηγούν η καθεµία σε ένα δωµάτιο. Είναι γνωστό ότι είτε και στα δυο δωµάτια υπάρχει ένα χρηµατικό ποσό 1000 ευρώ είτε και στα δυο ένας εξαγριωµένος έφορος έτοιµος να ρίξει πρόστιµα είτε στο ένα δωµάτιο το χρηµατικό ποσό και στο άλλο έφορος.Σε κάθε πόρτα έχει αναρτηθεί µια πινακίδα. Είτε οι δηλώσεις και στις δυο πινακίδες είναι αληθινές είτε και στις δυο είναι ψευδείς . Τι υπάρχει πίσω από κάθε πόρτα στα δυο δωµάτια; 55.Εµβαδά (Γεωµ.) Στο παρακάτω τρίγωνο το σηµείο Ε είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΒΓ και το µήκος του ΑΓ ισούται µε 1 cm.Να δείξετε ότι το εµβαδό του τρίγωνου ΑΒΓ συν το διπλάσιο του εµβαδού του τριγώνου ∆ΕΓ ισούται µε √3/8. Σε ένα τουλά- χιστον δωµάτιο υπάρχει χρη- µατικό ποσό. ∆ΩΜΑΤΙΟ 1 ∆ΩΜΑΤΙΟ 2 Στο άλλο δω- µάτιο βρίσκε- ται ο έφορος Β Α Γ Ε ∆ 100ο 60ο 80ο 20ο
  30. 30. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 29 56.Βιντεοπαιχνίδι (Αλγ.) Τέσσερα παιδιά αγόρασαν ένα βιντεοπαιχνίδι που κοστίζει 60 ευρώ. Το πρώτο παιδί πλήρωσε τα µισά από όσα πλήρωσαν συνολικά τα άλλα τρία παιδιά. Το δεύτερο παιδί πλήρωσε το ένα τρίτο από όσα πλήρωσαν συνολικά τα άλλα τρία παιδιά. Το τρίτο παιδί πλήρωσε το ένα τέταρτο από όσα πλήρωσαν συνολικά τα άλλα τρία παιδιά. Πόσα χρήµατα πλήρωσε το τέταρτο παιδί; 57.Μοτίβο ∆ιατάσσουµε όλους τους θετικούς ακεραίους µεγαλύτερους του 1 κατά τον εξής τρό- πο: ….. 2 3 4 5 9 8 7 6 …… …… 10 11 12 13 17 16 15 14 …… …… 18 19 20 21 . . . Σε ποια από τις πέντε στήλες βρίσκεται ο αριθµός 2024; 58.Άµα έχεις λόγο..(Γεωµ.) Χωρίζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα σε δυο άνισα ευθύγραµµα τµήµατα κατά τέτοιο τρόπο ωστ ο λόγος του µικρότερου προς το µεγαλύτερο να είναι ίδιος µε το λόγο του µεγαλύτερο προς το όλο .Αν συµβολίσουµε το λόγο µε Λ µε τι ισούται η παράσταση: 2 1 1 1 −Λ +Λ − Λ +Λ − Λ + Λ 59.Μόνο µε χάρακα (Εµπν.) ∆ιαθέτετε τρία πανοµοιότυπα -τόσο σε σχήµα όσο και σε διαστάσεις –τούβλα.Να βρείτε το µήκος της διαγωνίου ενός τούβλου µε την χρήση µόνο ενός χάρακα χωρίς να χρησιµοποιήσετε κανενός είδους µαθηµατικό τύπο.
  31. 31. 30 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 60.Γρανάζια (Λογ.) Έχουµε ένα σύστηµα από γρανάζια όπως φαίνεται στο σχήµα.Σε κάθε γρανάζι είναι γραµµένος ο αριθµός των δοντιών του. Αν το γρανάζι Α κάνει µια πλήρη περιστροφή το Β πόσες περιστροφές θα κάνει; 61.Μια λίστα πρώτων αριθµών (Θεωρ.Αρ.) Ο καθηγητής της Ιστορίας-ερασιτέχνης µαθηµατικός-ρωτάει τον Τοτό. -«Ποτέ έγινε η Άλωση της Κωνσταντινούπολης από τους Σταυροφόρους;» Ο Τοτός- κολοσσός στην ιστορία- απάντησε: -«Το 1204 µ.χ, Κύριε» -«Ποια χρονιά άρχισε ο Ελληνοιταλικός πόλεµος;» Ο Τοτός απήντησε:«Το 1940, κύριε.» -«Ποια είναι η διαφορά των δυο αριθµών,Τοτέ;» Ακαριαία ο Τοτός - κολοσσός και στην αριθµητική - απήντησε «736 κύριε.» -«Είναι πρώτος αριθµός;» -«Όχι κύριε,είναι σύνθετος διότι είναι πολλαπλάσιο του 2.» Ο καθηγητής τότε γυρίζει στην τάξη και λέει: -«Να βρείτε την µεγαλύτερη λίστα ετών από τα έτη 0,1,2,3,…,2020 τέτοια ώστε για κάθε ζεύγος ετών η διαφορά τους να µην είναι πρώτος.» 62. Τι µέρα (Αλγ.) Την χρονιά Ν, η τριακοσιοστή µέρα του χρόνου είναι Τρίτη. Την επόµενη χρονιά η διακοσιοστή µέρα του χρόνου είναι Τρίτη επίσης.Τι µέρα πέφτει η εκατοστή µέρα της προηγούµενης χρονιάς του Ν; 63. Η στέρηση (Αλγ.) Στο ινστιτούτο αδυνατίσµατος Η στέρηση τον µήνα Ιανουάριο για να χάσουν τα κιλά των εορτών κατέφυγαν συνολικά 1000 παντρεµένα ζευγάρια. Στο τέλος του έτους οι στατιστικές που έγιναν έδειξαν ότι τα 2/3 των συζύγων που είναι ψηλότεροι από τις κυρίες τους, ζυγίζουν και περισσότερα κιλά από αυτές.Επίσης τα 3/4 των συζύγων που ζυγίζουν περισσότερα κιλά από τις κυρίες τους ,τυγχάνει να είναι και ψηλότεροι από αυτές.Αν τώρα υπάρχουν 120 κυρίες που είναι ψηλότερες και βαρύτερες από τους συζύγους τους, να βρείτε πόσοι σύζυγοι είναι ψηλότεροι και βαρύτεροι από τους συ- ζύγους τους; 64. Το κέικ (Εµπν.) Τι σχήµα θα είχε ένα κέικ το οποίο µε ένα ευθύ κόψιµο µε το µαχαίρι διαιρείται σε 5 ίσα κοµµάτια.
  32. 32. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 31 65. Ένα µη ελευθέρας πρόβληµα βοσκής (Γεωµ.) Έχετε µια κατσίκα και ένα λιβάδι. Το λιβάδι έχει το σχήµα ενός ισόπλευρου τριγώ- νου, κάθε πλευρά του οποίου έχει µήκος 100 µέτρα. Η κατσίκα είναι δεµένη σε ένα στέρεο ξύλινο στύλο στη µια γωνία του λιβαδιού. Πόσο µακρύ θα πρέπει να είναι το µήκος του σχοινιού που έχουµε δέσει την κατσίκα έτσι ώστε να έχει πρόσβαση µόνο στο µισό λιβάδι. 66.Ο Λόφος (Στερεοµ.) 67. Μια σειρά αριθµών (Θεωρ.Αρ.) Γράφουµε όλους τους θετικούς ακεραίους από το 1 µέχρι το 2018.Μπορουµε να επι- λέξουµε οποιουσδήποτε δυο αριθµούς και να τους αντικαταστήσουµε µε το µέσο όρο τους. Για παράδειγµα , µπορούµε να αντικαταστήσουµε το 5 και το 6 µε το 10,5 ή το 4 και το 6 µε ένα δεύτερο 5. Υπάρχει ακολουθία κινήσεων που θα οδηγεί τελικά σε ένα µόνο αριθµό το 2; Υπάρχει ακολουθία κινήσεων που θα οδηγεί τελικά σε ένα µόνο αριθµό το 1000; 68. Xάπια (Λογ.) Σε ένα δωµάτιο βρίσκεται ένας τυφλός άνδρας. Μπροστά του υπάρχουν δύο κόκκινα και δύο µπλε χάπια.Τα χάπια είναι πανοµοιότυπα, µε εξαίρεση το χρώµα. Πρέπει να πάρει ένα κόκκινο και ένα µπλε χάπι.Αν δεν πάρει χάπι ή αν πάρει περισσότερα χάπια ή αν πάρει δύο χάπια ίδιου χρώµατος... πεθαίνει! Tι πρέπει να κάνει; Το σχήµα δεν είναι σε κλίµακα Το σχήµα δείχνει ένα“κωνικό” λόφο.Ένας δρόµος έχει κατα- σκευαστει γύρω από το λόφο από το σηµειο Α στο σηµειο Β µε το ελάχιστο µήκος διαδρο- µής.Ανεβαίνει µέχρι το σηµείο Γ και κατόπιν κατεβαίνει στο ση- µείο Β.Να υπολογίσετε το µήκος του δρόµου από το Γ στο Β. (Corean S.A.T) Α Β 60 m 10 m 20 m Γ
  33. 33. 32 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 69. Χωρίς λόγια (Γεωµ.) 70. Χωρίς λόγια ΙΙ (Γεωµ.) 71. Ο αριθµός (Θεωρ.Αρ.) Να βρεθεί ο τριψήφιος ΑΒΓ (Α,Β,Γ µη µηδενικά αριθµητικά ψηφία) έτσι ώστε να ισχύει: Α!+Β!+Γ!=ΑΒΓ (Όπου Ν!=1*2*3*4*…*(Ν-1)*Ν) 72. Μήτσος (Εµπν.) Ο Μήτσος κάθε ηµέρα παίρνει δύο διαφορετικά χάπια, τα οποία ωστόσο είναι ολόιδια µεταξύ τους. Ένα πρωί συνειδητοποιεί ότι κατά λάθος έβγαλε ένα χάπι από το πρώτο µπουκαλάκι και δύο χάπια από το δεύτερο, αλλά δεν έχει ιδέα ποιο χάπι προέρχεται από το πρώτο µπουκαλάκι και ποια από το δεύτερο. Μπορείτε να βοηθήσετε το Μήτσο, ώστε να έπαιρνε τα σωστά χάπια χωρίς να πετάξει τα τρία χάπια που κρατούσε στα χέρια του; 73. Τρίγωνο (Γεωµ.) Μπορείτε να κατασκευάσετε τρίγωνο µε ύψη 6, 12 και 13; Αν ναι πώς, αν όχι γιατί; (Θανάσης Παπαδηµητρίου) 74. Πεντάγωνο (Γεωµ.) Το λογότυπο της πολυεθνικής BabisCorporation συνίσταται από ένα κυρτό πεντάγω- νο όπου κάθε διαγώνιος του είναι παράλληλη σε µια πλευρά του.Ο Θεοχάρης,ο θυρω- ρός στο κεντρικό κτίριο της εταιρείας- αδιόριστος µαθηµατικός- ισχυρίζεται ότι ο λό- 20 16 32 ;; 7 24 x; x;15
  34. 34. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 33 γος µήκους µιας διαγωνίου,προς την αντίστοιχη της παράλληλη πλευρά είναι ο ίδιος και για τις πέντε διαγώνιους.Έχει δίκιο; Αν ναι, ποιος είναι ο λόγος αυτός; 75.Είσαι ότι δηλώσεις (Λογ.) Ποια από τις παρακάτω απαντήσεις είναι αληθής στην ερώτηση που σου κάνω τώρα; 1.Ολες οι παρακάτω. 2.Καµία από τις παρακάτω. 3.Ολες οι παραπάνω. 4.Μια από τις παραπάνω. 5.Καµια από τις παραπάνω. 6.Καµια από τις παραπάνω. 76. Εύκολος Γρίφος εντόµων (Λογ.) Τρεις αράχνες µε τα πρωτότυπα ονόµατα κ.Οκτώ, κ.Εννέα, και κ. ∆έκα ζουν στο υπό- γειο ενός σπιτιού. Κάποια από τις τρεις αράχνες έχει 8 πόδια, άλλη αράχνη έχει 9 πόδια και αυτή που µένει έχει 10 πόδια. Οι αράχνες κουβεντιάζουν (στους γρίφους ακόµα και ταέντοµα µπορούν να µιλήσουν!!) -«Νοµίζω ότι είναι ενδιαφέρον », λέει ο κ. ∆έκα,«ότι καµία αράχνη από εµάς δεν έχει τον ίδιο αριθµό από πόδια που υποδηλώνει το όνοµα της ». -«Πολύ καλή η παρατήρηση που έκανες». Απάντησε η αράχνη µε τα 9 πόδια. Πόσα πόδια έχει η αράχνη κ. Εννέα; 77.Τροχοί (Τριγωνοµετρ.) Στο σχήµα ο κυκλικός τροχός Β εφάπτεται στον κυκλικό τροχό Α και στον κυκλικό τροχό Γ.Ο τροχός Α έχει ακτίνα 35 cm , ο τροχός Β έχει ακτίνα 20 cm και ο τροχός Γέχει ακτίνα 8 cm.Αν ο τροχός Α περιστραφεί τότε θέτει σε κίνηση τον τροχό Β , τον περιστραφεί (θεωρούµε ότι οι τροχοί δεν γλιστρούν). Όταν οτροχός περιστραφεί κατά µια γωνία 72ο ,κατά ποια γωνία θα περιστραφεί ο τροχός Γ; 78.Μυρµήγκι (Γεωµ.) Ακάµατο µυρµήγκι κινείται στην κοινή µεσοκάθετο των βάσεων ισοσκελούς τραπεζίου ,βάσεις Β, β και ύψος h ,το µυρµήγκι παρότι ακάµατο κάνει στάση σε σηµεία ή σηµείο P τέτοιο ώστε να φαίνεται υπό ορθή γωνία από τις µη παράλληλες πλευρές του τραπε- ζίου. Να προσδιορίσετε τα σηµεία ή το σηµείο που σταµάτησε το µυρµήγκι. Υπό ποιες συνθήκες (συναρτήσει β, Β,h) το σηµείο ή τα σηµεία P υπάρχουν; Β Α Γ
  35. 35. 34 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 79.Muppet show (Γεωµ.) 80.Παρτέρι (Συνδ.Γεωµ) Σε ένα παρτέρι σχήµατος ισόπλευρου τριγώνου, µπορούµε να τοποθετήσουµε τρεις αυτόµατες µηχανές ποτίσµατος στις πλευρές αλλά αν θέλουµε και στις κορυφές του τριγώνου. Αν ονοµάσουµε Σ το σύνολο όλων των πιθανών θέσεων των µηχανών ποτί- σµατος και το διαµερίσουµε τυχαία σε δυο ξένα µεταξύ τους σύνολα τότε να δείξετε ότι πάντα µπορούµε να τοποθετήσουµε τις τρεις µηχανές σε θέσεις µόνο του ενός συνόλου έτσι ώστε αυτές να αποτελούν κορυφές ορθογωνίου τρίγωνου. (Εργαζόµαστε στο επίπεδο και οι µηχανές ποτίσµατος συνιστούν σηµεία.)
  36. 36. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 35 81.Έξι II(Θεωρ.Αρ.) Ποιος είναι ελάχιστος φυσικός αριθµός του οποίου το τελευταίο ψηφίο είναι το 6 και αν µετακινήσουµε το τελευταίο 6 στην αρχή ο αριθµός που προκύπτει είναι τετραπλά- σιος του αρχικού. 82. Ουρανοξύστες (Skyscrapers) (Εµπν.) Ουρανοξύστες (Skyscrapers) ονοµάζεται ένα δηµοφιλές είδος λογικού γρίφου από την Ιαπωνία.Μοιάζει µε το Σουντόκου µε την διαφορά ότι για να λυθεί πρέπει να σκε- φτούµε «τρισδιάστατα». ∆ίνεται ένας πίνακας 5x5, πρέπει να τον συµπληρώσετε µε τους ακεραίους αριθµούς από το 1 µέχρι το 5 έτσι ώστε σε κάθε στήλη ή γραµµή κάθε αριθµός να εµφανίζεται α- κριβώς µια φορά (όπως στο Σουντόκου).Όµως, κάθε πίνακα τον βλέπουµε ως κάτοψη 25 ουρανοξυστών,στο κάθε κελί ο αριθµός παριστάνει το ύψος-σε κάποια µονάδα µέτρη- σης-του ουρανοξύστη.Οι αριθµοί έξω από τα κελιά παριστάνουν το πλήθος των ουρανο- ξυστών που είναι ορατοί από κάποιον παρατηρητή αν καθόταν στην θέση του εξωτερι- κού αριθµού κατά µήκος της γραµµής ή της στήλης.Ένας ουρανοξύστης είναι ορατός από την θέση του παρατηρητή µόνο αν µπροστά του βρίσκεται ουρανοξύστης µε µικρότερο ύψος ή δεν βρίσκεται ουρανοξύστης. Τρεις γρίφοι (Skyscrapers) κλιµακούµενης δυσκολίας για να δοκιµάσετε τις δυνάµεις σας. 83.2019 (Θεωρ.Αρ.) Σε ένα πίνακα –καλή ώρα- έχουν γραφεί οι αριθµοί 1 και 2.Επιτρέπεται να γραφούν συµπληρωµατικοί αριθµοί ως εξής:Αν στον πίνακα υπάρχουν οι αριθµοί Α και Β µπο- ρεί να γραφεί ο αριθµός ΑΒ+Α+Β. Είναι δυνατό να προκύψει ο αριθµός 2019; 84.Παρταλιακός-Τσίρκουλα (Θεωρ.Αρ.) Ο αριθµός ενός εισιτήριου για τον ποδοσφαιρικό αγώνα Παρταλιακός-Τσίρκουλα είναι εξαψήφιος. Τα εισιτήρια που έχουν έκπτωση 13% είναι αυτά που το άθροισµα των τριών τελευταίων ψηφίων ισούται µε το άθροισµα των τριών πρώτων ψηφίων. Να δεί- ξετε ότι το άθροισµα όλων των δυνατών αριθµών εισιτηρίων µε έκπτωση είναι πολλα- πλάσιο του 13.Τα εισητήρια έχουν αύξοντα αριθµό από 000000 εως 999999.
  37. 37. 36 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 85. Ο Ιππότης Σερ Τόρος και το κοµπιουτεράκι (Θεωρ.Αρ./ Γεωµ.) Στην βάση ενός απο- λύτως κυλινδρικού λόφου βρίσκεται ο Σερ Τόρος, ο Ιππότης της στρογγυλής τρα- πέζης ή της τραπέζης Πειραιώς,η αλήθεια χάνεται στα βάθη του χρόνου. Έχει ως απο- στολή να ανεβεί τον σπειροειδή δρόµο που περιελίσσεται ακρι- βώς τέσσερις φορές γύρω από τον κυλιν- δρικό λόφο και να σκοτώσει τον φοβερό δράκο Ζοχάδα. Η πε- ριφέρεια του λόφου είναι 40 µέτρα και το ύψος του είναι 120 µέτρα. Α. Ποιο είναι το µή- κος του ανηφορικού σπειροειδή δρόµου; Β. Κατά την διάρκεια της ανάβασης ο Σερ Τόρος βλέπει χαραγ- µένο σε ένα βράχο ένα πρόβληµα που αν το λύσει ο ∆ράκος πε- θαίνει. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να το λύσει;
  38. 38. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 37 86. Τετράγωνο(Γεωµ.) Τετράγωνο ∆ιπλώνουµε το διπλανό χάρτινο τετράγωνο ΑΒΓ∆ έτσι, ώστε η κορυφή Α να βρεθεί στην πλευρά ∆Γ όπως φαίνεται στο σχήµα. Να αποδείξετε ότι η περίµετρος του τετραγώνου είναι διπλάσια από την περίµετρο του τριγώνου ΖΗΓ. ∆ Ζ Ε Θ A Β Γ Η I
  39. 39. 38 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 87.Το παιχνίδι (Θεωρ.Παιγν.) O Μήτσος και η Μαρία παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι, ο Μήτσος σχεδιάζει ένα τυ- χαίο σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ,κατόπιν η Μαρία επιλέγει ένα σηµείο στο επίπεδο, ο Μή- τσος το χρωµατίζει είτε κόκκινο είτε κίτρινο. Σε κάθε γύρο το ίδιο, η Μαρία επιλέγει ο Μήτσος χρωµατίζει (κόκκινο ή κίτρινο) .Αν σχηµατιστεί σε κάποιο γύρο τρίγωνο ό- µοιο µε το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές στο ίδιο χρώµα κερδίζει η Μαρία. Υπάρχει στρα- τηγική νίκης για την Μαρία ανεξάρτητα από το πώς θα παίξει ο Μήτσος; Αν υπάρχει, ποιος ο ελάχιστος αριθµός κινήσεων για να νικήσει η Μαρία; 88.Ο Λεκές (Γεωµ.) Προβληµατάκι από Καναδικό µαθηµατικό διαγωνισµό. Σε ένα κοµµάτι ύφασµα χύθηκε σάλτσα και έγινε λεκές. Θεωρούµε τον λεκέ ως επίπεδο σχήµα. Μετρήσαµε για κάθε σηµείο του λεκέ, την µικρότερη και την µεγαλύτερη απόστα- ση του σηµείου από το σύνορο του λεκέ. Έστω ρ η µεγαλύτερη από τις µικρότερες απο- στάσεις και Ρ η µικρότερη από της µεγαλύτερες. Ποια είναι η µορφή (γεωµετρικά) του λεκέ αν ρ= Ρ; 89. Οι δίδυµοι (Λογ.) Υποθέτουµε ότι έχουµε δυο διδύµους, χάριν ευκολίας θα τους ονοµάσουµε Μάκη και Τάκη χωρίς να είναι αυτά τα πραγµατικά τους ονόµατα. :) Οι δίδυµοι µοιάζουν εξωτερικά σαν δυο σταγόνες νερό- κλισεδάκι-αλλά έχουν τις ε- ξής διαφορές: -Ο Μάκης λέει πάντα την αλήθεια ενώ ο Τάκης λέει πάντα ψέµατα. -Ο Μάκης έχει σωστή αντίληψη των γεγονότων και είναι πάντα ακριβής- αληθινός σε ότι πιστεύει, από την άλλη, ο Τάκης κάνει πάντα λάθος και είναι πάντα ανακριβής στις πε- ποιθήσεις του. ∆ηλαδή, πιστεύει ότι κάθε αληθής πρόταση είναι ψευδής και κάθε ψευδής ότι είναι αληθής. Το ενδιαφέρον στην ιστορία είναι ότι µε βάση τα παραπάνω τα δυο αδέρφια σε ερω- τήσεις µε µονοσήµαντη απάντηση «ΝΑΙ» ή «ΟΧΙ» θα δίνουν πάντα την στην ίδια ερώ- τηση την ίδια απάντηση. Εξηγούµαι. Υποθέτουµε ότι ρωτάµε τον καθένα τους: «Ισχύει ότι 1+1=2 ;» Ο Μάκης ως ακριβής και απόλυτα αληθινός θα απαντήσει «ΝΑΙ». Ο Τάκης -πάντα ανακριβής- για την πρόταση 1+1=2 νοµίζει ότι είναι ψευδής και επει- δή λέει πάντα ψέµατα θα απαντήσει και αυτός «ΝΑΙ». Ο Ιορδάνης συνάντησε τους δυο διδύµους και τον ρώτησαν αν είναι δυνατό µε µια σειρά από ερωτήσεις που έχουν απαντήσεις «ΝΑΙ ή ΟΧΙ να εξακριβώσει ποιος είναι ο Μάκης και ποιος ο Τάκης. Αν η απάντηση είναι καταφατική ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός ερωτήσεων; Ο Ιορδάνης αφού σκέφτηκε για λίγο αποφάνθηκε ότι είναι αδύνατο καθώς ότι ερώτηση και να τους τεθεί θα απαντήσουν το ίδιο. Συµφωνείτε µαζί του; (Οι ερωτήσεις και οι απαντήσεις αφορούν λογικές προτάσεις δηλαδή που προτάσεις που χαρακτηρίζονται ως αληθής ή ψευδείς και µόνο!)
  40. 40. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 39 90. Οι λύκοι (Γεωµ.) Στο κέντρο µιας περιοχής που έχει µορφή τετραγώνου βρίσκεται ένας λύκος και στις κορυφές του τετραγώνου τέσσερις σκύλοι. Ο λύκος µπορεί να κινείται σε όλη την πε- ριοχή, ενώ οι σκύλοι επί των πλευρών του τετραγώνου. Είναι δεδοµένο ότι ο λύκος εκδιώκει ένα σκύλο, ενώ δύο σκύλοι εκδιώκουν τον λύκο. Η ταχύτητα κάθε σκύλου είναι 1,5 φορά µεγαλύτερη από τη µέγιστη ταχύτητα του λύκου.Να αποδείξετε ότι οι σκύλοι έχουν τη δυνατότητα να µην αφήσουν τον λύκο να βγει από το τετράγωνο. 91.Ποτήρια (Αναλ.) ∆υο προβλήµατα παραγγελιά µε ποτήρια,ένα από την θεωρία αριθµών και ένα που λύ- νεται µε την ιδιότητα του αναλλοίωτου. 1. Αναποδογυρίσµατα Τριανταπέντε πλαστικά ποτήρια έχουν τοποθετηθεί σε ένα τραπέζι µε το στόµιο προς τα πάνω.Θεωρούµε ως µια κίνηση το ταυτόχρονο αναποδογύρισµα ακριβώς έξι ποτη- ριών.Υπάρχει ακολουθία κινήσεων που να έχει ως τελικό αποτέλεσµα να έχουµε και τα τριανταπέντε ποτήρια µε το στόµιο προς τα κάτω.(σχήµα) 2.Αναποδογυρίσµατα ΙΙ Εικοσιέξι πλαστικά ποτήρια έχουν τοποθετηθεί σε ένα τραπέζι µε το στόµιο προς τα πάνω. Ο Γιάννης αναποδογυρίζει τα ποτήρια από το πρώτο µέχρι το τελευταίο. Κατό- πιν αναποδογυρίζει κάθε δεύτερο ποτήρι. Στην συνέχεια αναποδογυρίζει κάθε τρίτο ποτήρι κ.ο.κ µέχρι το εικοστό έκτο .Όταν τελειώσει ο Γιάννης ποια ποτήρια (αύξοντας αριθµός 1ο ,2ο ,…) θα έχουν το στόµιο προς τα κάτω.
  41. 41. 40 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 92.Το τρένο (Αλγ.) Σε ένα τρένο που αποτελείται από 18 βαγόνια ταξιδεύουν 700 επιβάτες .Σε κάθε πέ- ντε διαδοχικά βαγόνια υπάρχουν συνολικά 190 επιβάτες. Πόσοι επιβάτες υπάρχουν στα δυο µεσαία βαγόνια του τρένου; 93. Τάκης, Μάκης, Λάκης ….(Λογ.) Στην ταβέρνα «Τα τρία αδέλφια» οι ιδιοκτήτες τρία αδέλφια, ενώ έχουν διαφορετικές ηλικίες, µοιάζουν τόσο πολύ ώστε είναι αδύνατο να καταλάβει κανείς την σειρά της ηλικίας τους. Έχουν όµως το εξής χαρακτηριστικό γνώρισµα.Ο µεγαλύτερος (ο πρώ- τος) λέει πάντα την αλήθεια. Ο µεσαίος (ο δεύτερος) λέει πάντα ψέµατα.Ο µικρότε- ρος (τρίτος) λέει άλλοτε ψέµατα και άλλοτε αλήθεια. Ποτέ όµως δεν λέει δυο συνε- χόµενες φορές ψέµατα ή δυο συνεχόµενες φορές αλήθεια. ∆εν γνωρίζουµε, όµως, αν η πρώτη του απάντηση είναι αληθής ή ψευδής. Κάποτε ο Παπαδόπουλος πήγε στην ταβέρνα να φάει και του παρουσιαστήκαν τα τρία αδέλφια προκαλώντας τον να βρει ποιος είναι πρώτος, ο δεύτερος και ο τρίτος. Ο Παπαδόπουλος διάλεξε ένα από τα αδέλφια και άρχισε να ρωτά: -Πως σε λένε; -Τάκη. -Ποια σειρά ηλικίας έχεις ; -Είµαι ο δεύτερος. -Τον πρώτο σου αδελφό πως τον λένε; -Μάκη. -Ποιος από τους αδελφούς ονοµάζεται Λάκης; -Ο τρίτος. Μετά από τις ερωτήσεις αυτές ο Παπαδόπουλος κατάταξε κατά σειρά ηλικίας τα α- δέλφια. Εσείς;
  42. 42. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 41 94. Τετριµµένο;; (θεωρ.Αριθ.) Τις περισσότερες φορές προβλήµατα σαν το ακόλουθο είναι τετριµµένα,, το συγκεκρι- µένο όµως ….. 95. Ένα παράδοξο πιθανοτήτων και κουτσαβάκηδων ∆υο κουτσαβάκηδες (*) συναντιούνται και ο καθένας εγκωµιάζει το κοµπολόι του άλλου.«Τι µόρτικο κοµπολόι » λέει ο ένας, «σίγουρα είναι πολύ ακριβό» Και ο άλλος απαντάει «Μου φαίνεται άτι το δικό σου είναι πιο ακριβό». Μετά από µια σύντοµη διαφωνία µε αµοληµένα τα ζωνάρια ,λίγο πριν βγουν τα µαχαίρια , αποφασίζουν να αποκαλύψουν τις αντίστοιχες τιµές των κοµπολογιών τους, και ο κάτοχος της πιο α- κριβού να το χαρίσει στον άλλο. Και ο καθένας από τους δυο σκέπτεται: «Είναι θέµα τζόγου. Πρόκειται για ένα συµφέρον στοίχηµα, αφού έχω τόσες πιθανότητες να κερδίσω όσες και να χάσω ,και στην περίπτωση που κερδίσω θα πάρω ένα µπάνικο και πιο ακρι- βό κοµπολόι που θα αξίζει περισσότερο από αυτό που µπορώ να χάσω.» Πως είναι δυνατόν το στοίχηµα να είναι συµφέρον και για τους δυο; (*) Με τη χαρακτηριστική προσωνυµία κουτσαβάκης, ή και κουτσαβάκι (το), (πληθυ- ντικός: κουτσαβάκηδες ή κουτσαβάκια) φέρονταν στη Παλιά Αθήνα, περί το τέλος της Βασιλείας του Όθωνα και αρχές της Βασιλείας του Γεωργίου του Α΄ διάφοροι επιδει- κνυόµενοι ως δήθεν παλληκαράδες κοινώς "ψευτόµαγκες".Η προσωνυµία αυτή κατά την επικρατέστερη άποψη προέρχεται εκ του "κουτσά" + "βαίνω", δηλαδή περπατώ σαν κου- τσός χωλός, και αυτό επειδή οι κουτσαβάκηδες χάριν επίδειξης βάδιζαν αργά χαµηλώνο- ντας εναλλάξ τους ώµους τους κατ΄ αντίστοιχο πόδι, γυρνώντας οµοίως ελαφρά κατά πλευρά, το κεφάλι.
  43. 43. 42 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 96. Που βρίσκεται το υπολειπόµενο ευρώ;; Πούλησα όλα τα πορτοκάλια και στο ταµείο είναι τα 15 ευρώ που εισέπραξα. Μα αυτά είναι όλα τα χρήµατα που πήρα.Και έκανα τους υπολογισµούς µου προσεκτικά.Ήρθε ένας κύριος που ήθελε να αγοράσει όλα τα πορ- τοκάλια.Έτσι αντί να κάθοµαι αν ξεχωρίσω τα µεγάλα πορτοκάλια από τα µικρά,του χρέωσα την µέση τιµή,δηλαδή του έδωσα τέσσερα πορτοκάλια γα ένα ευρώ.Το 60 περιέχει 15 τετράδες.Έτσι, πήρα 15 ευρώ. Η Μαρία έχει πάγκο µε φρούτα στην λαϊκή.Πουλάει τρία µεγάλα πορτοκάλια για ένα ευρώ ή πέντε µικρά πορτοκάλια για ένα ευρώ.Την ώρα του µεσηµεριανού φαγητού,η Μαρία αφήνει τον γιο της,τον Βαγγέλη στον πάγκο.Προτού φύγει γνωρίζει ότι στον πάγκο έχει 30 µεγάλα πορτοκάλια και 30 µικρά.Όταν η Μαρία επιστρέφει… Είναι ζάχαρη και µέλι τα πορτοκάλια του Βαγγέλη!! Κάποιο λάθος έκανες,τριάντα µεγάλα πορτοκά- λια,τρία για ένα ευρώ κάνουν 10 ευρώ.Τριάντα µικρά πορτοκάλια,πέντε για ένα ευρώ µας κά- νουν 6 ευρώ..Θα έπρεπε να έχεις 16 ευρώ!!
  44. 44. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 43 97. Το παράδοξο µε το µαλλί! (Λογ.) Η Νάντια έχει τελειώσει το µαθηµατικό το 2010, σε καιρούς χαλεπούς.∆ιορισµοί δεν γί- νονταν την εποχή εκείνη έτσι αποφάσισε να ανοίξει κοµµωτήριο,καθώς από µικρή, µια έφεση µε αυτήν την υψηλή τέχνη την είχε. Με την Νάντια είχα την εξής στιχοµυθία: -«Βαφές κάνεις;» -«Ναι, προφανώς, γιατί ρωτάς» -«Τι νόηµα έχει;Εφόσον όλες οι γυναίκες έχουν το ίδιο χρώµα µαλλιών, και µπορώ να σου το αποδείξω!!» Μειδίασε. -«Να σου πω.Ας πούµε ότι παίρνουµε ως δείγµα ένα τυχαίο σύνολο δέκα γυναικών.Είναι εφικτό να αποδείξουµε ότι και οι δέκα έχουν το ίδιο χρώµα µαλλιών;» -«Είναι εφικτό;».Τόνισε µε ειρωνεία η Νάντια. -«Θα µπορούσαµε να κάνουµε µια τέτοια απόδειξη, εάν ήταν δυνατό να αποδείξουµε ότι ένα οποιοδήποτε σύνολο εννέα γυναικών έχουν το ίδιο χρώµα µαλλιών .Θα αποµονώναµε ,λοιπόν, οποιεσδήποτε εννέα γυναίκες από το σύνολο των δέκα και θα ξέραµε ότι έχουν το ίδιο χρώµα µαλλιών. Εποµένως και οι δέκα γυναίκες έχουν το ίδιο χρώµα µαλλιών.» -«Συνέχισε!» Είπε η Νάντια που φάνηκε να το διασκεδάζει. -« Ωστόσο, υπάρχει κάποιος τρόπος να αποδείξουµε ότι ένα οποιαδήποτε σύνολο από εννέα γυναίκες έχουν το ίδιο χρώµα µαλλιών; Ναι, εφόσον είναι δυνατό να αποδείξουµε ότι οποιο- δήποτε σύνολο οκτώ γυναικών αποτελείται από γυναίκες µε το ίδιο χρώµα µαλλιών. Αυτό µπορεί να αποδειχτεί εάν αποδείξουµε ότι ένα οποιαδήποτε σύνολο επτά γυναικών αποτε- λείται από γυναίκες µε µαλλιά ίδιου χρήµατος.Και συνεχίζουµε έτσι µέχρι ότου φτάσουµε σε σύνολα αποτελούµενα από έξι, πέντε, τέσσερεις, τρεις, δυο γυναίκες ,και στο σύνολο που απο- τελείται από µια γυναίκα.Όµως,σε ένα σύνολο που αποτελείτε από µια µόνο γυναίκα σίγου- ρα έχει το ίδιο χρώµα µαλλιών. Άρα αποδείξαµε ότι ένα οποιοδήποτε σύνολο δέκα γυναικών αποτελείται από γυναίκες µε το ίδιο χρώµα µαλλιών .Θα µπορούσαµε να έχουµε ξεκινήσει από οπουδήποτε σύνολο γυναικών και να αποδείξουµε το ίδιο πράγµα. Άρα όλες οι γυναίκες έχουν το ίδιο χρώµα µαλλιών.» Η Νάντια γέλασε,λέγοντας:«Κοίτα έχω ξανθό µαλλί και η Μαρία η βοηθός µου είναι µελα- χρινή,άρα κάτι πάει λάθος στη απόδειξη σου.» Ποιο είναι το λάθος; 98.∆ύο αεροπλάνα (Αλγ.) ∆ύο αεροπλάνα ξεκινούν την ίδια στιγµή το ένα από την Αθήνα και το άλλο από την Θεσσαλονίκη. Η απόσταση µεταξύ τους είναι 512 χιλιόµετρα. Το πρώτο αεροπλάνο πετάει µε ταχύτητα 300 χιλιοµέτρων την ώρα, το δεύτερο λόγω ισχυρών αντίθετων ανέµων δεν ξεπερνά τα 150 χιλιόµετρα την ώρα. Όταν συναντηθούν στον αέρα, ποιο αεροπλάνο θα είναι κοντύτερα στην Αθήνα; Λύση ανάποδα από το αεροπλάνο
  45. 45. 44 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 99.Malba Tahan (Αλγ.) Τα βιβλία αποτελούν πληθυντικό µοναξιάς αλλά προσφέρουν στιγµές πραγµατικής ζωής.Ο Μάλµπα Ταχάν (Malba Tahan) ψευδώνυµο του Julio Cesar de Mello e Souza , διηγείται ένα όµορφο πρόβληµα στο βιβλίο του Ο άνθρωπος που µετρούσε που δηµο- σιεύτηκε το 1949. «Ένας βασιλιάς άφησε στις κόρες τους έναν ορισµένο αριθµό µαργαριταριών και διέ- ταξε να γίνει η µοιρασιά µε τον ακόλουθο τρόπο: στην µεγαλύτερη θα αντιστοιχούσε ένα µαργαριτάρι συν το ένα έβδοµο από αυτά που παρέµεναν. Η δεύτερη θα έπαιρνε δυο µαργαριτάρια και το ένα έβδοµο των υπολοίπων.Η τρίτη θα λάµβανε τρία µαργαριτάρια και το ένα έβδοµο από αυτά που έµεναν.Και ούτω καθεξής για τις άλλες κόρες .Οι νεώ- τερες κατέφυγαν στον δικαστή διαµαρτυρόµενες ότι µε αυτό το περίπλοκο σύστηµα θα αδικούνταν κατάφωρα.Ο δικαστής-λέει η παράδοση- που ήταν καλός στην επίλυση προ- βληµάτων,απάντησε γρήγορα ότι οι προσφεύγουσες είχαν άδικο και ότι η διαίρεση που πρότεινε ο βασιλιάς ήταν δίκαιη και τελεία.Ο δικαστής είχε δίκιο.Μόλις έγινε η διαίρεση, κάθε µια από τις αδελφές έλαβε τον ίδιο αριθµό µαργαριταριών.» Η ερώτηση είναι ποιος είναι ο αριθµός των µαργαριταριών και πόσες κόρες είχε ο βασιλιάς; 100. Εξίσωση Ι (Αλγ.) Να βρείτε µια λύση ☺ της εξίσωσης (64+65)(642 +652 )(644 +654 )(648 +658 )(6416 +6516 )(6432 +6532 )(6464 +6564 )=65x -64x 101.Θερισµός (Αλγ.) Σε µια οµάδα θεριστών ανατέθηκε ο θερισµός δύο λιβαδιών.Η έκταση του ενός ήταν διπλάσια της έκτασης του άλλου.Για µισή µέρα η οµάδα εργάστηκε στο µεγάλο. Κατόπιν χωρίστηκε σε δύο ισοπληθείς οµάδες.Η πρώτη παρέµεινε στο µεγαλύτερο λιβάδι και ολοκλήρωσε το θερισµό ως το βράδυ.Η άλλη θέρισε το µικρότερο λιβάδι, αλλά όταν βράδιασε της απέµεινε ένα τµήµα για να ολοκληρώσει το θερισµό. Το τµή- µα αυτό το αποτελείωσε την επόµενη µέρα ένας εργάτης,εργαζόµενος όλη τη µέρα. Πόσους θεριστές είχε η οµάδα; (∆εχόµαστε, βεβαίως, ότι όλοι οι θεριστές δουλεύουν µε τον ίδιο ρυθµό.) 102. Μονοκοντυλιά (Εµπν.) Κλασσικός γρίφος από τον συγγραφέα της Αλίκης στην χώρα των θαυµάτων, Lewis Carroll. Μπορείτε να σχεδιάσετε µονοκοντυλιά χωρίς να σηκώσετε τα µολύβι από το χαρτί και χωρίς να περάσετε δυο φορές από την ίδια γραµµή:
  46. 46. Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι II 45 103. Θέµατα εξετάσεων για φάπες (Αλγ.) Θέµα εξετάσεων;Ελέγχεται αλλά έχει την πλάκα του. Να συµπληρώσετε στα κουτιά µε τους αριθµούς 1,3,5,7,9,11,13,15, έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα: Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε τους αριθµούς όσες φορές θέλετε Μπορείτε να το λύσετε; 30
  47. 47. 46 Μαθη..Μαγικοι Γρίφοι http://mathhmagic.blogspot.gr 104.Επετειακό emoji προβληµατάκι (Εµπν.) Προς τιµή της 50ης επετείου από την ηµέρα που ο άνθρωπος πάτησε στο φεγγάρι, η Nasa «ανέβασε» στα κοινωνικά µέσα δικτύωσης το ακόλουθο προβληµατάκι.Τρεις από τους αστροναύτες που έλαβαν µέρος την αποστολή του Apollo 11 γεννηθήκαν τον ίδιο χρόνο. 105.Οι νάνοι (Θεωρ.Αρ.) Τρεις νάνοι ζυγίζουν ο καθένας ένα ακέραιο αριθµό από κιλά.Ο καθένας τους εχει διαφορετικό βάρος από τους άλλους δυο.Το συνολικό βάρος τους είναι 97 κιλα. Ποιο είναι το µεγαλύτερο βάρος που µπορεί να έχει ο πιο ελαφρύς από τους νάνους;

×