Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
15 MINI ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
ΜΕ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Κ...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
1
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
2
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
3
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
5
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
6
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
7
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
8
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
9
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/
...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
10
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
11
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
12
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
13
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
14
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
15
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
16
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
17
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
18
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
19
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
20
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
21
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
22
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
23
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
24
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
25
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
26
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
27
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
28
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
29
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
30
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
31
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
32
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
33
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
34
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
35
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ
36
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/...
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου  'Ορια-συνέχεια
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου 'Ορια-συνέχεια

1,999 views

Published on

.

Published in: Education
  • Be the first to comment

Κριτήρια αξιολόγησης Γ λυκειου 'Ορια-συνέχεια

  1. 1. 15 MINI ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΕ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ υπάρχει… τουλάχιστον ένα…. Bernard Bolzano (1781-1848) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος
  2. 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΜΙΝΙ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Μικρά κριτήρια αξιολόγησης- της µιάµισης ώρας-στα Όρια–Συνέχεια ,προϊόντα θερινής ραστώνης «πατούν» αποκλειστικά στην σχολική ύλη ,και κυρίως στο σχολικό εγχειρίδιο, απαιτούν στιβαρό αλγεβρικό υπόβαθρο και κατανόηση των εννοιών. Όλα µε ενδεικτικές λύσεις γιατί απευθύνονται κυρίως σε µαθητές.
  3. 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1 ΟΡΙΑ ……………………………………………………………………….……σελ 22 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2 ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………………….σελ 25 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 3 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ……………………………………………………….…….σελ 28 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 4 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 32 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 5 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 35 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 6 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 38 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 7 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 41 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 8 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 44 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 9 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 47 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 10 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 50 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 11 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 53 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 12 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 56 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 13 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 60 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 14 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 64 ΚΡΙΤΗΡΙΟ 15 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ …………………………………………………………….σελ 68
  4. 4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1 ΟΡΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής για τις συναρτήσεις f,g,h αν ισχύει h(x)≤f(x) ≤g(x) κοντά στο x0. Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1.Αν η συνάρτηση f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής( ) ( )∪0 0 α,x x ,β τότε τα πλευρικά όρια της f στο 0 x είναι πάντοτε ίσα. 2.Αν <f(x) 0 κοντά στο 0 x τότε → < 0x x limf(x) 0 . 3.Αν ισχύει >α 1 τότε →+∞ = +∞χ x lim α . 4.Αν υπάρχει το →      0x x f(x) lim g(x) τότε κατ ‘ ανάγκη υπάρχουν τα όρια → 0x x limf(x) και → 0x x limg(x) . 5. Ισχύει → → →     ⋅ = ⋅ = =       x 0 x 0 x 0 1 1 lim x lim 0 lim 0 0 x x Α3.Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: « Αν δυο συναρτήσεις f ,g ορίζονται κοντά στο 0 x τότε ισχύει: ( )→ → → + = + 0 0 0x x x x x x lim f(x) g(x) lim f(x) limg(x) .» Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα ορίου συνάρτησης που να τον καταρρίπτει. Θέμα Β Δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : για την οποία ισχύει → − = 2 x 0 f(x) x lim 2 x . B1.Να βρείτε το →x 0 lim f(x) . B2. Να βρείτε το → + + + −x 0 f(x) x ημx lim x 1 1 . B3. Να βρείτε το πραγματικό αριθμό λ έτσι ώστε να ισχύει: → − = + 3 2 2x 0 xf(x) x lim 2 λx f (x) . Θέμα Γ Γ1. Δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : τέτοια ώστε → = x 0 limf(x) f(0) όπου ισχύει ≤xf(x) ημx για κάθε ∈ℝx .Να βρεθεί το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y'y . Γ2. Δίνεται η συνάρτηση f με (  + ∈    =  − ∈  − + 3 2 x 2,x 0,1 f(x) ημ(x 1) α ,x 1,4 x 5x 4 Να προσδιορίσετε το ∈ℝα ώστε να υπάρχει το όριο →x 1 lim f(x) . Θέμα Δ Δ1.Να υπολογίσετε το όριο →+∞  +  < ≠  +  χ x α 3 lim ,0 α 2 2α 1 Δ2.Έστω οι συναρτήσεις f,g και ∈ℝL .Αν − ≤ − 0 g(x) L x x κοντά στο ∈ℝ0 x και ( )→ − = 0x x lim f(x) g(x) 0 , να αποδείξετε ότι → = 0x x limf(x) L Δ3.Για τις διάφορες τιμές του ∈ℝλ , να βρείτε το όριο στο −∞ της συνάρτησης = + + +2 f(x) x 3x 5 λx
  5. 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1.Αν οι συναρτήσεις →ℝ ℝ, :f g είναι συνεχείς στο ∈Α0 x ,να δείξετε ότι η συνάρτηση −f g είναι συνεχής στο ∈Α0 x . Α2. Να χαρακτηρίστε ως σωστές ( Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: 1Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ( )α β, και α β <( ) ( ) 0f f τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )α β∈0 ,x τέτοιο ώστε =0 ( ) 0f x . 2.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α β  , τότε η f είναι 1-1 στο α β  , . 3.Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ≠( ) 0f x για κάθε ∈ ∆x τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. 4.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α β  , , τότε η f έχει ακρότατα. Θέμα Β Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η συνεχής στο ℝ συνάρτησης f με τύπο λ λ λ λ  − < = −  − + ≥ 3 2 2 , ( ) 2 2 1, x x x f x x x x x Β1. Να βρείτε τον λ. Β2.Aν λ=1. i)Να δείξετε ότι η εξίσωση − = 2 ( ) x f x e έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα λ λ−( ,2 ) ii)Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση δεν έχει ρίζα στο διάστημα (-λ, λ) Θέμα Γ Γ1.Δίνεται η συνεχής στο ℝ συνάρτηση f και η συνάρτηση = − −2 ( ) 2 (1) (2)h x x x f f η οποία έχει πεδίο ορισμού το ℝ . i)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου (1) (2)f f . ii)Να δείξετε ότι η εξίσωση =( ) 0f x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2). Γ2.Έστω συνάρτηση →ℝ ℝ:f , η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής .Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ∈ℝ0 x , ο οποίος μάλιστα ανήκει στο διάστημα ( )1,3 τέτοιος ,ώστε + + =0 (1) 2 (2) (3) ( ) 4 f f f f x Θέμα Δ Δ1. Έστω δυο συναρτήσεις →ℝ ℝ, :f g τέτοιες ώστε = − +2 ( ) ( ( ) ) 4f x g x x για κάθε ∈ ℝx Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής και ισχύουν οι σχέσεις <(1) 1g και >(2) 2g Να αποδείξετε ότι : i) υπάρχει ( )∈0 1,2x τέτοιο, ώστε − =0 0 ( ) 0g x x ii)η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Δ2. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει η σχέση = +2 2 ( ) 1f x x για κάθε ∈ ℝx i)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =( ) 0f x είναι αδύνατη στο ℝ . ii) Αν επιπλέον ισχύει = −(0) 1f να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Δ3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει > <(4) 3, (1) 7f f .Να δείξετε ότι: i. η εξίσωση = − 1 ( ) (25 4 ) 3 f x x έχει μια τουλάχιστον ρίζα. ii.αν Α(4,3),Β(1,7) και Μ(x,f(x)) τότε η συνάρτηση = +( ) ( ) ( )g x MA MB έχει ελάχιστη τιμή.
  6. 6. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 3 ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► ΘΕΜΑ Α Α1.Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε την γεωμετρική του ερμηνεία. Α2.Εστω μια συνάρτηση f και χο ένα σημείο του πεδίου ορισμού της .Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο χο; Α3.Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Αν για μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α ισχύει ( ) 0f x > κοντά στο 0x ∈Α τότε 0 lim ( ) 0 x x f x → > .» Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα ορίου συνάρτησης που να τον καταρρίπτει. A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1.Αν 1α > τότε lim 0x x α →−∞ = 2.Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. 3.Αν lim ( ) x f x →−∞ = +∞ ή lim ( ) x f x →−∞ = +∞ τότε 0 1 lim 0 ( )x x f x→ = 4.Καθε συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο μεταξύ δυο διαδοχικών ριζών της. Θέμα Β Β1.Να βρείτε τους ,α β ∈ ℝ ώστε 2 21 4 lim 1x x ax x β →− + + = ∈ − ℝ Β2. Αν 3 2 1 , 1 1 ( ) 3 2 4 , 1 1 x x x f x x x x x λ  − + + <  − =  + − > − Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε να υπάρχει το 1 lim ( ) x f x → . Β3. Να υπολογίσετε το όριο 2 9 1 15 lim 3 2x x x x x→−∞  + + −    +  Β4. Να υπολογίσετε το όριο ( )2 lim 16 16 1 4 x x x x →+∞ + + − Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: ( ) 2 9f x x xλ= + − − Οπού λ σταθερός πραγματικός αριθμός. Γ1. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,-1) να βρείτε την τιμή του λ. Γ2. Για λ=4 ,να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Γ3. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία καθώς επίσης και αν η f αντιστρέφεται. Γ4. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. Γ5 .Να λύσετε την ανίσωση : 2 2 2 4 9 2 4 9x x x x+ + − > + + − Γ6. Να υπολογίσετε το όριο: 1 1974 1 1 1973 (1 ( 1)) 4 2 lim ( ( ) ( )) 2019 2x f x x f f x xα β − − −→+∞ + − + + Λ = − + + , 11 22α β− < < < Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση ( ): 0,g +∞ →ℝ με τύπο ( ) ln 1g x x x= + − Δ1.Να αποδείξετε ότι η Cg τέμνει την ευθεία y=λ σε ακριβώς ένα σημείο για κάθε λ ∈ ℝ . Δ2.Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0g x = Δ3.Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης g. Δ4. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις ( ): 0,f +∞ →ℝ, οι οποίες ικανοποιούν την σχέση 2 2 ( ) ( )f x g x= για κάθε ( )0,x∈ +∞
  7. 7. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 4 ΟΡΙΑ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano. Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1.To 0 lim ( ) x x f x → έχει νόημα σε κάθε 0x του πεδίου ορισμού της f. 2.Αν f συνεχής στο [ ],α β και ( ) ( ) 0f fα β⋅ ≥ ,τότε η f δεν έχει ρίζα στο ( , )α β 3.Ισχυει lim ( ) lim ( ) x f x f α θ α θ → → = 4.Καθε συνεχής συνάρτηση έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Α3. Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Αν μια συνάρτηση f είναι ασυνεχής στο 0x του πεδίου ορισμού της τότε δεν υπάρχει το 0 lim ( ) x x f x → .» Είναι αληθής; Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα που να τον καταρρίπτει. Θέμα Β Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x είναι εγγεγραμμένο σε τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ=10 και ύψος ΑΔ=5.(σχημα) Έστω Ε(x) το εμβαδό του ορθογωνίου ΚΛΜΝ Β1.Να δείξετε ότι ( )25 25 ( ) 2( ) , 0,5 2 2 x x xΕ = − − + ∈ Β2.Να βρείτε την μέγιστη τιμή του εμβαδού Ε και για ποια τιμή του χ εμφανίζεται. Β3.Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )( ) , 0,1x x e x− Ε = ∈ έχει ακριβώς μια λύση Θέμα Γ Γ1.Αν 0 lim ( ) 0 x x f x → = και ( )g x κ≤ κοντά στο 0x , να δείξετε ότι: ( ) 0 lim ( ) ( ) 0 x x f x g x → ⋅ = (κ σταθερός πραγματικός αριθμός) Γ2. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση 2 1 , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ηµ  ≠ =   = είναι συνεχής στο ℝ . Γ3. Να βρείτε τα όρια lim ( ), lim ( ) x x f x f x →+∞ →−∞ και ακολούθως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση 1 , 1 ( ) ln , 1 x e x a x f x x x xβ −  − − ≤ =  + − > Η f είναι συνεχής στο ℝ και η Cf διέρχεται από το σημείο Α(1,-2). Δ1.Να βρείτε τις τιμές των α, β. Δ2. Αν α=2 και β=3 να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και ακολούθως να βρείτε το σύνολο τιμών της. Δ3.Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ακριβώς δυο σημεία. Δ4.Να δείξετε ότι ( ) 2 0f x + ≥ για κάθε x ∈ ℝ . Δ5. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2 ( ) 2 0 1 2 f f x x α β+ + + = − − έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (1,2) για κάθε , {1}α β ∈ −ℝ . Α Β Γ Ν Μ Κ ΛΔ Κ xx
  8. 8. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 5 ΟΡΙΑ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής. Α2.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1.Ισχυει ότι 0 lim 1 x x x ηµ → = 2.Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ],α β∆ = τότε [ ]( ) ( ), ( )f f fβ α∆ = 3.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ],α β ,τότε η f παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. 4. Η συνάρτηση f δεν μηδενίζεται στο διάστημα Δ και f(1)=1 τότε η f είναι παντού θετική στο Δ. Α3. Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Αν δεν υπάρχουν τα όρια 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x g x → → τότε δεν υπάρχει και το όριο ( ) 0 lim ( ) ( ) x x f x g x → + » Είναι αληθής; Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα που να τον καταρρίπτει. Θέμα Β Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα ( )1,8 , γνησίως φθίνουσα στο ( ]1,λ και γνησίως αύξουσα στο [ ),8λ , όπου ( )1,8λ∈ . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο ( , 1)λΑ − και ισχύει 1 lim ( ) 4 x f x → = και 8 lim ( ) 6 x f x → = ,Να βρείτε: Β1. το σύνολο τιμών της f. Β2. Σε πόσα σημεία η Cf τέμνει τον οριζόντιο άξονα x’x . Β3. Τέμνει η Cf την ευθεία 5y = ; Αν ναι, σε πόσα σημεία; Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) 1f x x x= + + , x ∈ ℝ Γ1.Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ2.Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε την εξίσωση 1 ( ) ( )f x f x− = . Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση :f →ℝ ℝ με τύπο: 2 ( ) 2 3 x x f x x   = − −    για κάθε x ∈ ℝ Δ1. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Δ2. Να υπολογίσετε το όριο: 0 1 ( ) lim ( )x f x f x→ Δ3. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2 23 2 2 0 2 x x x −  + − − <    Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 2 6 ( ) 3x x x x a− = + ⋅ έχει μοναδική ρίζα για κάθε a ∈ ℝ . Δ5. Δ5. Αν [ ]1 2, ,...., 0,1να α α ∈ , ν θετικός ακέραιος .Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 2 9 (2) .... 28 f x a x a x aν ν − + − + + − = − Έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [ ]0,1
  9. 9. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 6 ΟΡΙΑ–ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Αν οι συναρτήσεις , :f g Α → ℝ είναι συνεχείς στο 0x ∈ ℝ , να δείξετε ότι η συνάρτηση f g+ είναι συνεχής το 0x ∈ Α Α2. Να διατυπώσετε θεώρημα ενδιάμεσων τιμών . Α3.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1. x xηµ < για κάθε * x ∈ ℝ 2. 2 lim 1 x x xπ ηµ → = 3.Εστω συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα [ ],α β .Αν lim ( ) ( ) x a f x f α+ → = τότε η f είναι συνεχής στο α. 4. 0 lim(log ) , 1a x x a+ → = −∞ > Α4. Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Για την συνεχή συνάρτηση [ ]: ,f α β →ℝ είναι γνωστό ότι 0( ) 0f x = για ( )0 ,x α β∈ τότε ( ) ( ) 0f fα β < .» Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα που να τον καταρρίπτει. Θέμα Β Να υπολογίσετε τα όρια: Β1. 2 20 ln lim x x x x x xηµ→ + + Β2. 5 3 6 4 7 lim 1 4 2 6 5 x x x xx→ +∞ ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ Β3. ( )3 2 2 lim 1 2 x x x →+∞ + − + Θέμα Γ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :f →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: 2 4 2 2 4 ( )x x f x x x xηµ− ≤ ≤ + για κάθε x ∈ ℝ Γ1.Να βρείτε το (0)f Γ2. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )0 0,1x ∈ , ώστε: 0 0( ) 3f x x= ( 2 7 1 10 ηµ ≈ ) Γ3. Να δείξετε ότι για κάθε [ ]1,1x∈ − ισχύει: 2 ( ) 1f x x+ ≥ Θέμα Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν: • ( )2 2 f x x x 1= + + , για κάθε x ∈ ℝ • ( ) x 0 1 f x 1 lim x 2→ + = − Δ1. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x x′ . Δ2. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι. ( ) 2 f x x x 1, x=− + + ∈ℝ Δ3. Να βρείτε το όριο. ( )( )x lim x f x →−∞ − Δ4.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο ( ) ( )g x x f x= − , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( ),0−∞ .
  10. 10. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 7 ΟΡΙΑ–ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( ),a β και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [ ],a β του πεδίου ορισμού της. Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της; Α3.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1. x xηµ ≤ για κάθε x ∈ ℝ 2. Αν (1) 1974f = τότε 1 lim ( ) 1974 x f x → = 3. Αν 0 lim ( ) 10 x x f x → = τότε 1 lim ( ) 10 x f x → = ± 4. Αν η f έχει πεδίο ορισμού το (1, )+∞ και 1 lim ( ) 7 x f x+ → = τότε 1 lim ( ) 7 x f x → = . Α4. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο [ ]0,1∆= με (0) 1, (1) 0f f= = .Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις ως σωστές ή λάθος . 1.Υπαρχει [ ]0 0,1x ∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: 0( ) ( )f x f x≥ για κάθε [ ]0,1x∈ . 2. Υπάρχει [ ]0 0,1x ∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: 0 1 ( ) 2 f x = . 3. Υπάρχει [ ]0 0,1x ∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: 0 3 ( ) 2 f x = . 4. [ ]( ) 0,1f ∆ = . 5.Για κάθε [ ]0,1λ∈ η Cf τέμνει την ευθεία y xλ= σε ένα τουλάχιστον σημείο Α( x,y), ( )0,1x∈ . Θέμα Β Έστω f: →ℝ ℝ συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε x ∈ ℝ να ισχύει : 3 ( ) 2 ( ) 3 4f x f x xηµ+ = Β1. Να δείξετε ότι η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β2.Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 0x = . Β3.Να υπολογίσετε το όριο: ( ) 0 f x lim x x→ . Θέμα Γ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: ● ( ) 21 3ηµx 2xf x x 2 − ≤ για κάθε x ∈ ℝ . ● ( ) ( ) 2 4f x 3f x 1 2x 1974+ + = − , για κάθε x ∈ ℝ . Γ1. Να βρείτε το όριο ( )x 0 limf x → καθώς και το ( )f 1 Γ2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )g x x 1= − σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( )0x 0,1∈ . Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) 3 f x x x x x ηµ ηµ + = + Δ1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Δ2.Να δείξετε ότι ( ) 3 f x x x x x ηµ ηµ + = + , 0x ≠ Δ3. Να βρείτε το όριο ( )0 limf x x→ .
  11. 11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 8 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να αποδείξετε ότι για την ρητή συνάρτηση 1 0 1 0 ..... ( ) ..... a x a x f x x x ν ν µ µ α β β β + + + = + + + με 0, 0aν µβ≠ ≠ ισχύει: lim ( ) x a x f x x ν ν µ µβ→±∞ = Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1. Αν 0 ( ) lim ( )x x f x l g x→ = ∈ℝ και 0 lim ( ) 0 x x g x → = , τότε 0 lim ( ) 0 x x f x → = 2. Αν ( )P x πολυώνυμο περιττού βαθμού , τότε υπάρχουν αριθμοί ,α β ∈ℝ ,τέτοιοι ώστε: ( ) ( ) 0P Pα β⋅ < 3. Ισχύει 3 3 1 lim x x x ηµ →−∞   = −∞    4. Αν η συνάρτηση [ ] [ ]: , ,f α β α β→ είναι συνεχής τότε ( ) ( )f x f β≤ για κάθε [ ],x α β∈ . Α3.Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Aν 0 lim ( ) 0 x x f x+ → = τότε 0 1 lim ( )x x f x+ → = +∞ » Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα ορίου συνάρτησης που να τον καταρρίπτει. Θέμα Β Β1.H συνάρτηση :f →ℝ ℝ είναι συνεχής και ισχύει ότι 2 (2) (0) (1) 2 (3)f f f f< + < , (0) (1)f f≠ i.Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 ( ) (0) (1) 0f x f f− − = έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0,1) ii.Να δείξετε ότι η f δεν είναι αντιστρέψιμη. B2. Αν * 2 20 3 4 lim 1 , ( ) ( )x x x x x κ λ κ λ ηµ κ ηµ λ→ + = ∈ + ℝ ,να δείξετε ότι το μεταβλητό σημείο Μ(κ,λ) κινείται σε κύκλο από τον οποίο εξαιρείται ένα σημείο . Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. Θέμα Γ Η συνάρτηση f: →ℝ ℝ είναι συνεχής, περιττή , γνησίως αύξουσα και ισχύει: lim ( ) 3 x f x →−∞ = − Θεωρούμε την συνάρτηση ( ) ln ( )g x f x= . Να βρείτε: Γ1.το πεδίο ορισμού της g. Γ2.To σύνολο τιμών της g. Γ3.Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: ( ) ,g x α α= ∈ℝ Θέμα Δ Δ1.Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [ ]0,1 η οποία είναι συνεχής στο [ ]0,1 και είναι ( ) 0f x > στο [ ]0,1 .Δίνεται ακόμα και το σημείο Μ(2,0). i.Να βρείτε τον τύπο της απόστασης ( ) ( )d x MP= του σημείου Μ από το σημείο ( , ( ))P x f x της γραφικής παράστασης της f για κάθε [ ]0,1x ∈ . ii.Να δείξετε ότι η ( )d x είναι συνεχής στο [ ]0,1 . iii.Να δείξετε ότι υπάρχει ένα , τουλάχιστον, σημείο της Cf που απέχει από το Μ λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον σημείο της Cf που απέχει από το Μ περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της. Δ2.(Bonus) Αν ισχύει ln 1x x≤ − για κάθε 0x > να δείξετε ότι 1 ln lim 1 1x x x→ = −
  12. 12. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 9 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα (α,β) και πότε στο κλειστό διάστημα [α, β]; Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1.Αν η f είναι συνεχής στο x0, τότε 0 0 0 lim ( ) ( ) h f x h f x → + = 2. Αν η f είναι συνεχής στο [ ],α β και υπάρχει ( ),ξ α β∈ τέτοιο ώστε ( ) 0f ξ = τότε ( ) ( ) 0f fα β⋅ < . 3. 2 1 lim 1x xπ ηµ→ = +∞ − 4. Είναι δυνατόν μια συνάρτηση f να μην ορίζεται σε ένα σημείο 0x και να είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Α3.Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: « 0 0 lim ( ) lim ( ) , 0 x x x x f x l f x l l → → = ⇔ = ≠ » Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα ορίου συνάρτησης που να τον καταρρίπτει. Θέμα Β Ένα αεροπλάνο απογειώνεται την χρονική στιγμή t=0.Μετα από μια ώρα το αεροπλάνο σταθεροποιεί το ύψος στο οποίο πετάει, στα 5000 πόδια και συνεχίζει έτσι την πτήση επί δυο ώρες. Μισή ώρα πριν προσγειωθεί το αεροπλάνο αρχίζει την κάθοδο. Β1.Εστω h(t) το ύψος στο οποίο πετάει το αεροπλάνο ως συνάρτηση του χρόνου t σε ώρες .Είναι η συνάρτηση h(t) συνεχής για το χρονικό διάστημα πτήσης του αεροπλάνου; Β2.Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος χρονικών στιγμών που διαφέρουν κατά 2,5 ώρες και στις οποίες το αεροπλάνο πετούσε στο ίδιο ύψος. Θέμα Γ Μια συνάρτηση :f →ℝ ℝ έχει την ιδιότητα 3 2 3 ( ) 3 ( ) ( ) 2f x f x f x x+ − = − , για κάθε x ∈ ℝ Γ1.Να αποδείξετε ότι: i) Η f είναι περιττή ii) ( )f x x= , x ∈ ℝ Γ2.i) Να βρείτε το 41 ( 3) lim ( ( ) 1)x x f x→ − − ii) Να βρείτε το 3 3 2 (1 ) ( ) 1 lim ( 2) 2x x f x x x λ λ λ→+∞ + − + − + − για τις διάφορες τιμές του σταθερού πραγματικού αριθμού λ Γ3. Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σημείο Μ της διαγωνίου ΑΓ τέτοιο, ώστε: ΑΜ4=ΜΒ+ΜΔ Θέμα Δ Έστω συνεχής συνάρτηση :f →ℝ ℝ με την ιδιότητα: 2 4 2 ( ) 2 ( ) 1f x f x x x xηµ ηµ ηµ− = + + για κάθε x ∈ ℝ και ( ) 3 2 f π = Δ1.Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο , το οποίο και να βρείτε. Δ2.Να βρείτε το f(0). Δ3.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( ) ,g x f x x xηµ= − ∈ ℝ διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και να βρείτε. Δ4.Να βρείτε τον τύπο της f. Δ5.Να υπολογίσετε το όριο ( ) lim x f x x→+∞ Β(0,1) Α(0,0) Γ(1,1) Δ(1,0) M(x,x)
  13. 13. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 10 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής για τις συναρτήσεις f,g,h αν ισχύει h(x)≤f(x) ≤g(x) κοντά στο x0. Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1. Αν ( )P x πολυώνυμο περιττού βαθμού , τότε υπάρχουν αριθμοί ,α β ∈ℝ ,τέτοιοι ώστε: ( ) ( ) 0P Pα β⋅ < 2. Αν (1) 9f = τότε 1 lim ( ) 9 x f x → = 3. Αν f συνεχής στο [ ],α β και ( ) ( ) 0f fα β⋅ ≥ ,τότε η f δεν έχει ρίζα στο ( , )α β 4. 2 1 lim 1x xπ ηµ→ = −∞ − Θέμα Β B1.Να υπολογίσετε το όριο: 20 lim x x x x x ηµ εϕ εϕ→ − Β2.Δινονται οι συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι συνέχεις στο [3,10] και για τις οποίες ισχύει: 0 ( ) 5f x≤ ≤ 2 ( ) 7g x≤ ≤ Να δείξετε ότι η εξίσωση: ( ( )) ( ( )) 6 17f f x g g x x+ = − Έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (3,10). Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση 7 ( ) x f x e x λ= + − όπου λ σταθερός πραγματικός αριθμός .Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Γ1.Να βρείτε την τιμή του λ. Γ2.Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. Γ3.Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) το όριο: 70 lim 1xx x x e x ηµ συν → − + − Θέμα Δ Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα [0,4] με σύνολο τιμών f([0,4])=[1,2] και (1) (3)f f> Δ1.Να αποδείξετε ότι: i.Η f είναι γνησίως φθίνουσα. ii.Υπάρχει μοναδικό ( )0 0,4x ∈ τέτοιο ώστε 0 0 ( )f x e x = iii.Υπάρχει μοναδικό ( )0,4ξ ∈ τέτοιο ώστε : 1 3 1 10 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 ( ) 5 10 2 f f f fξ = + + Δ2.i.Να αποδείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση 1 f − και να βρείτε το πεδίο ορισμού της, και το σύνολο τιμών της. ii.Να αποδείξετε ότι η 1 f − είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. iii.Να λύσετε την εξίσωση 1 3 [ ( 3 2) 1] 4f f x x− − − − =
  14. 14. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 11 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών . Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1. Αν υπάρχει το →      0x x f(x) lim g(x) τότε κατ ‘ ανάγκη υπάρχουν τα όρια → 0x x limf(x) και → 0x x limg(x) . 2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ( ],α β ,τότε η f παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. 3. 0 1 lim 1 x x x συν → − = 4. Ισχύει lim ( ) lim ( ) x f x f α θ α θ → → = Θέμα Β Β1.Δινεται η συνάρτηση 4 2 1, 1 ( ) 6 , 1 ax x f x x xβ + ≤ =  > , ,α β ∈ ℤ Είναι η f συνεχής στο ℝ ; Β2.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0xν λ− = , * {1}, 0ν λ∈ − >ℕ Έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα. Θέμα Γ Γ1.Έστω η συνάρτηση 2 2 ( ) , 1 x f x x x = ∈ + ℝ Και μια περιττή και συνεχής συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το ℝ και (1) 1g = i.Να δείξετε ότι η συνάρτηση gof είναι συνεχής στο 1. ii.Nα βρεθεί ( )1 lim ( ) x gof x →− Γ2.Θεωρουμε συναρτήσει f, ορισμένη στο ℝ ,για την οποία ισχύει: 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x− < − (1) Για κάθε 1 2,x x ∈ℝ .Να αποδειχτεί ότι: i.Η f είναι συνεχής στο ℝ ii. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ),g x x f x x= − ∈ℝ ,να σχηματίσετε το λόγο μεταβολής 1 2 1 2 ( ) ( )g x g x x x λ − = − με 1 2 1 2, ,x x x x∈ <ℝ της συνάρτησης g(x). Με την βοήθεια του πρόσημου του λ να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ . Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση 21 ( ) 1 , 0f x x x x = − + > Δ1.Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Δ2.Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται , ποιο είναι το πεδίο ορισμού της 1 f − ; Δ3.Να δείξετε ότι η 1 f − είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Δ4.Αν η 1 f − είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε: Να υπολογίσετε τα όρια: 1 lim ( ) x f x− →+∞ , 1 lim ( ) x f x− →−∞ , 1 1 ( ) lim ( )x f x x f x x − −→+∞ − + ,
  15. 15. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 12 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano. Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], με ( ) ( ) 0f a f β⋅ < , τότε η εξίσωση ( )( ) 0, ,f x x a β= ∈ δεν έχει άπειρες λύσεις. 2. Αν ( ) 0f x > , τότε 0 lim ( ) 0 x f x → ≥ κοντά στο 0x . 3. 0 1 lim 1 1x x x ηµ → = 4.Για κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σημεία 0x του πεδίου ορισμού της τότε ισχύει: 0 0 0lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x+ − → → = = Θέμα Β Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης :f →ℝ ℝ δίνεται στο παρακάτω σχήμα Β1.Να βρείτε ,(αν υπάρχουν) τα όρια: i. 0 lim ( ) x f x → ii. 2 lim ( ) x f x → iii. 3 lim ( ) x f x → Β2.Να βρείτε ,εφόσον υπάρχουν τα όρια: i. 3 1974 lim ( )x f x→ ii. 3 1974 lim ( )x f x→− Β3.Να βρείτε τις τιμές των ,κ λ∈ℝ έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) 2 , 2 ( ) 2, 2 ( ), 2 f x x g x x f x x κ λ + <  = =  > Να είναι συνεχής στο 2. Β4.Αν 4 ( ) lim 2 ( 4)x A x x κ → = − − , 2 7 12 4 lim ( ) 2x x x x eλ− + → Β = και ( ) 0xΒ > για κάθε x ∈ ℝ να υπολογίσετε το ( ) 4 lim ( ) x x x Α → Β . ( όπου κ,λ οι τιμές που βρήκατε στο ερώτημα Β3) y 3 4 2 3-3 2 Χ’ Χ Cf
  16. 16. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ Θέμα Γ Γ1.i.Δίνεται η συνάρτηση 2 3 ( ) 4 f x x = − , να βρείτε το πεδίο ορισμού της καθώς και το σύνολο τιμών της. ii. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2 3 4 a x = − για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α. Γ2.Η συνάρτηση :f →ℝ ℝ είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο ( 2,0)Μ − .Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )4 3 2 0f x x x x− − − = Έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2). Θέμα Δ Δ1.i.Να υπολογίσετε τα όρια: α) 1 lim x x x x + →+∞ , β) 2 lim( 1 ) x x x →+∞ + − ii. Δίνεται ότι ln lim 0 x x x→+∞ = ,να υπολογίσετε το όριο: 1 2 lim ( 1 ) x x x x x x + →+∞   ⋅ + −    Δ2. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]2,8 με ( ) 0f x ≠ για κάθε [ ]2,8x∈ .Αν (5) 0f > και (2) (4) (6) (8)f f f f⋅ = ⋅ ,να αποδείξετε ότι: i. υπάρχει [ ]1 2,4x ∈ τέτοιο ώστε 2 1( ) (2) (4)f x f f= ⋅ ii. H f δεν αντιστρέφεται. iii.Να δείξετε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ, λ τέτοιοι ώστε να ισχύει: 2 ( ) ( ) ( )f x f xκ λ κλ≤ + −
  17. 17. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 13 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano. Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1. Αν 2 1 ( )x f x x x− ≤ ≤ + για κάθε x ∈ ℝ ,τότε το 0 lim ( ) x f x → δεν υπάρχει. 2. Κάθε συνεχής συνάρτηση έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 3. 0 1 lim 1 x x x συν → − = 4. Δεν υπάρχει συνάρτηση [ ]: 0,1f →ℝμε σύνολο τιμών το ( )0,1 . Α3.Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: « Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα[ ],α β και ( ) ( )f fα κ β< < τότε υπάρχει 0 ( , )x α β∈ με 0( )f x κ= .» Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα συνάρτησης που να τον καταρρίπτει. Θέμα Β Δίνεται στο ακόλουθο σχήμα η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Με την παρατήρηση του σχήματος να απαντήσετε στα ερωτήματα: Β1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. B2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη να χαράξετε την 1 Cf − και κατόπιν βρείτε τα σημεία τομής των 1 ,Cf Cf − . B3. Να βρείτε τα όρια i. 1 1 ( ) 2 lim ( ) 2x xf x f x − −→−∞ + − ii. ( ) 21 1 lim ( ) 4 ( ) x f x f x− − →−∞   + −    3 1 y Χ’ Χ Cf y=x 1 3
  18. 18. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) 7 5f x x x= + − Γ1.Να αποδείξετε ότι : i. Η f είναι 1-1 ii. Η εξίσωση ( ) 0f x = έχει μοναδική ρίζα στο ( )0,1 Γ2.Αν είναι 2 ( ) 3 , 1 ( ) 1 3 , 1 f x x g x x a a x − ≠ = −  + = Να βρείτε τον μη μηδενικό αριθμό α αν η g είναι συνεχής στο 0 1x = . Γ3.i. Να βρείτε τα όρια lim ( ), lim ( ) x x f x f x →−∞ →+∞ ii.Να δικαιολογήσετε το γεγονός ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x ∈ℝ τέτοιο ώστε ( ) 7f x = iii.Να βρείτε ένα διάστημα της μορφής ( ), 1λ λ+ μέσα στο οποίο θα ανήκει το παραπάνω 0x , όπου λ ακέραιος. Γ4.i.Να βρείτε το 4 ( ) lim x xf x x ηµ →+∞ . ii.Να βρείτε τον πραγματικό κ έτσι ώστε 3 ( 5 ) (2 6)f fκ κ κ− = − . Θέμα Δ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :f →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: ( ) 2xf x x xηµ= + ,για κάθε x ∈ ℝ Δ1.Να βρείτε το (0)f Δ2.Να αποδείξετε ότι ( ) 3f x < για κάθε 0x > και κατόπιν να υπολογίσετε το όριο 0 1974 lim 3 ( )x f x+ → − Δ3.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2f x = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο , 2 π π       . Δ4.Να βρείτε το 1( )f A όπου 1 3 , 2 A π π   =     . Δ5.Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )0 ,x π∈ +∞ τέτοιο ώστε να ισχύει: 0 0 0 9( ) 8 ( ) 8( ) 9 x f x x π π − + = − + Βαλε κανένα ερώτηµα ακόµα… Πινγκ Πονγκ προβληματισμένος στην θέση κριτήρια
  19. 19. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 14 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ► Θέμα Α Α1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( ),a β και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [ ],a β του πεδίου ορισμού της. Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1. Αν 0 1α< < τότε lim 0x x α →−∞ = 2. Αν η f είναι συνεχής στο x0, τότε 0 0 0 lim ( ) ( ) h f x h f x → + = 3. Αν η συνάρτηση [ ]: ,f α β →ℝ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα τότε ( ) ( )f x f β≤ για κάθε [ ],x α β∈ . 4. Αν ( )P x πολυώνυμο περιττού βαθμού , τότε υπάρχουν αριθμοί ,α β ∈ℝ ,τέτοιοι ώστε: ( ) ( ) 0P Pα β⋅ < . Α3. Ο Δημητράκης για να βρει το όριο →∞   +    x x 1 lim 1 x σκέφτηκε ως εξής: «Εφόσον → +∞x ισχύει → 1 0 x έχουμε ( )→∞ →∞ →∞   + = + = =    x x x x x x 1 lim 1 lim 1 0 lim1 1 x Από την άλλη ο Δημητράκης χρησιμοποίησε αριθμομηχανή τσέπης και υπολόγισε την τιμή της παράστασης   +    x 1 1 x για μεγάλα χ και διαπίστωσε ότι:   + ≈    100 1 1 2.70481 100 ,   + ≈    1000 1 1 2.71692 1000 ,   + ≈    10000 1 1 2.71814 10000 » Ποιο είναι το λάθος που έκανε ο Δημητράκης .Αιτιολογήστε. Θέμα B Έστω συνάρτηση :f →ℝ ℝ , η οποία είναι συνεχής ,τέτοια ώστε, 2 ( ) 2xf x x xηµ= + για κάθε 0x ≠ Β1.Να δείξετε ότι 2 , 0 ( ) 1 , 0 x x x f x x x ηµ + ≠ =   = Β2.Να αποδείξετε ότι 2 1 ( ) 2 1x f x x− ≤ ≤ + ,για κάθε x∈ℝ Β3.Να υπολογίσετε τα όρια: i. lim ( ) x f x →−∞ ii. lim ( ) x f x →+∞ Β4.Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )0 0,1x ∈ τέτοιος ώστε 0( ) 2f x =
  20. 20. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ Θέμα Γ Γ1. Να βρείτε το όρια: i. 10 10 10 10 10 ( 1) ( 2) ....... ( 1974) lim 1974x x x x x→+∞ + + + + + + + ii. ( ) 1974 ( 1)( 2).......( 1974) lim 1975x x x x x→+∞ + + + + Γ2.Δίνεται η συνάρτηση 2 ( ) 1f x x xηµω συνϕ= + + − , ( ), 0,ω ϕ π∈ Να βρείτε τις τιμές των ω ,φ ,ώστε: i. lim ( ) x f x →−∞ = +∞ ii. lim ( ) 0 x f x →−∞ = Θέμα Δ Έστω δυο συναρτήσεις , :f g →ℝ ℝ για τις οποίες ισχύει: 1974 ( ) ( ( )) x f x g g x e= + ,για κάθε x ∈ ℝ Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε 0x ∈ℝ το όριο 0 lim ( ) x x g x → υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός ,να αποδείξετε ότι: Δ1. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Δ2.Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο ℝ Δ3.Επιπλεον ισχύει ότι: 0 lim ( ) 1 x g x → = και ( ) 0g x ≠ για κάθε x ∈ ℝ Να δείξετε ότι: i. ( ) 1f x > για κάθε x ∈ ℝ ii. η εξίσωση 2 4 3 4 4 2 (1 ) (2 ) ( ) 1x g x x f x x f x− + + = Έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( )1,1− .
  21. 21. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 15 OΡIA-ΣΥΝΕΧΕΙΑ► Θέμα Α Α1. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano. Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1.Αν 0 lim ( ) x x f x l → = ∈ ℝ για κάθε 0 fx D∈ τότε η f είναι συνεχής στο 0x 2. Ισχύει → → →     ⋅ = ⋅ = =       x 0 x 0 x 0 1 1 lim x lim 0 lim 0 0 x x 3. 1 ( ) lim 1 1 ( ) x x x ηµ →+∞ − = − 4. Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση [ ]: 2,4f →ℝμε σύνολο τιμών το ( ]2,4 . Θέμα B Δίνεται η συνάρτηση = − + − + ∈ℝ4 3 2 f(x) x x 2x 3x α,x Όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός τέτοιος, ώστε 1 ( ) lim 1x f x x β → = ∈ − ℝ Β1.Να αποδείξετε ότι α=1. Β2.Να βρείτε την τιμή του β. Β3.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f όταν ( )0,1x∈ τέμνει τον οριζόντιο άξονα x’x σε ένα σημείο. Β4.Να υπολογίσετε το όριο: 1 2019 lim ( )lnx f x x→ Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 ( ) ln , 0,x f x x e e x= + − ∈ +∞ Γ1.Να βρείτε το πρόσημο της τιμής 1 2019 f       . Γ2.Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Γ3.Να δείξετε ότι : ( ) ( )3 3 1 1 2019 2019 2018 2019 f f f f            < . Γ4.Αν 0a > ,να δείξετε ότι : 5 2 4 ( ) 2019 lim 1 2019 x f a x x f x a →−∞ + + = +∞   +    Γ5.Να βρείτε τις πραγματικές τιμές κ,λ ( 1 2 λ > ) αν ισχύει: 2 2 2 2 2 1 ln( ) ln(2 1)e eκ λ λ κ λ λ+ − + + = + − . Θέμα Δ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:ℝ για τις οποίες ισχύει ( ) ( ) x f x g x e= − , για κάθε x ∈ ℝ . Δ1. Αν ( )f 2017 0> να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και g . Δ2. Να βρείτε το όριο ( ) ( ) ( ) 4 3 3x g 2017 x 3x 1 lim ,θ θ ηµθ x θ 1 x 1→+∞ + + ∈ − + − − ℝ . Δ3. Αν ( )f 1 e< και ( )g 2 2− > − ,να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g τέμνει την ευθεία y x= σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( )0x 2,1∈ − .
  22. 22. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΛΥΣΕΙΣ
  23. 23. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1 ΟΡΙΑ ► Θέμα Α Α2. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη. 1.Αν η συνάρτηση f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής( ) ( )∪0 0 α,x x ,β τότε τα πλευρικά όρια της f στο 0 x είναι πάντοτε ίσα. 2.Αν <f(x) 0 κοντά στο 0 x τότε → < 0x x limf(x) 0 . 3.Αν ισχύει >α 1 τότε →+∞ = +∞χ x lim α . 4.Αν υπάρχει το →      0x x f(x) lim g(x) τότε κατ ‘ ανάγκη υπάρχουν τα όρια → 0x x limf(x) και → 0x x limg(x) . 5. Ισχύει → → →     ⋅ = ⋅ = =       x 0 x 0 x 0 1 1 lim x lim 0 lim 0 0 x x Α2. 1.Λ 2.Λ 3. Σ 4.Λ 5.Λ Α3.Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: « Αν δυο συναρτήσεις f ,g ορίζονται κοντά στο 0 x τότε ισχύει: ( )→ → → + = + 0 0 0x x x x x x lim f(x) g(x) lim f(x) limg(x) .» Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα ορίου συνάρτησης που να τον καταρρίπτει. Α3.Όχι .Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις ;     = Α = ∪        f 1 π π f(x) / 0, ,π συνx 2 2 ,     = − + Α = ∪        g 1 π π g(x) 1 / 0, ,π συνx 2 2 ( ) → + ∈ ℝ π x 2 lim f(x) g(x) αλλά → → π π x x 2 2 lim f(x),limg(x) δεν υπάρχουν Θέμα Β Δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : για την οποία ισχύει → − = 2 x 0 f(x) x lim 2 x . Β1. Να βρείτε το →x 0 lim f(x) . Β2. Να βρείτε το → + + + −x 0 f(x) x ημx lim x 1 1 . Β2. Να βρείτε το πραγματικό αριθμό λ έτσι ώστε να ισχύει: → − = + 3 2 2x 0 xf(x) x lim 2 λx f (x) . Λύση Β1. Θέτουμε − = ⇔ = − ⇔ = + 2 2 2f(x) x g(x) xg(x) f(x) x f(x) xg(x) x x (1) Λαμβάνουμε όρια ( Υπάρχουν) ( )→ → → → = + ⇔ = ⋅ + ⇔ =2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 limf(x) lim xg(x) x limf(x) 0 2 0 limf(x) 0 Β2. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) → → → → → + + + + ++ + + + + = = = + − + − + − + + + + + + +    = = + + + + + =       2 2 x 0 x 0 x 0 2 2 x 0 x 0 xg(x) x x ημx x 1 1f(x) x ημx xg(x) x x ημx lim lim lim x 1 1 x 1 1 ( x 1 1) x 1 1 xg(x) x x ημx x 1 1 xg(x) ημxx x lim lim x 1 1 x x x x x
  24. 24. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ( ) ( )→ → →      + + + + + = + + ⋅ + + + = ⋅ + + + =           x 0 x 0 x 0 ημx ημx lim x 1 1 g(x) x 1 lim x 1 1 lim g(x) x 1 2 (2 0 1 1) 8 x x Β3. → → → → + −− = = = = + + + + + + + 2 3 2 23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0 x(xg(x) x ) x x g(x) x g(x)xf(x) x lim lim lim lim λx f (x) λx (xg(x) x ) λx x (g(x) x) x (λ (g(x) x) ) → = = = ++ + + +2 2x 0 g(x) 2 2 lim λ 4λ (g(x) x) λ (2 0) Αλλά = ⇔ = + ⇔ = − + 2 2 2 2λ 8 λ 3 λ 4 Θέμα Γ Γ1. Δίνεται η συνάρτηση →ℝ ℝf : τέτοια ώστε → = x 0 limf(x) f(0) όπου ισχύει ≤xf(x) ημx για κάθε ∈ℝx .Να βρεθεί το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y'y . Γ2. Δίνεται η συνάρτηση f με (  + ∈    =  − ∈  − + 3 2 x 2,x 0,1 f(x) ημ(x 1) α ,x 1,4 x 5x 4 Να προσδιορίσετε το ∈ℝα ώστε να υπάρχει το όριο →x 1 lim f(x) . Λύση Γ1. Ισχύει ≤xf(x) ημx για κάθε ∈ℝx Αν >x 0 τότε ≤ ημx f(x) x άρα + + + → → → ≤ ⇔ ≤ x 0 x 0 x 0 ημx lim f(x) lim lim f(x) 1 x (1) Αν <x 0 τότε ≥ ημx f(x) x άρα − − − → → → ≥ ⇔ ≥ x 0 x 0 x 0 ημx lim f(x) lim lim f(x) 1 x (2) Όμως →x 0 lim f(x) υπάρχει άρα − + →→ → = = x 0x 0 x 0 lim f(x) lim f(x) lim f(x) έτσι από (1),(2): − + → → ≤ = ≤ x 0 x 0 1 lim f(x) lim f(x) 1 συνεπώς → = x 0 limf(x) 1 Άρα =f(0) 1 τότε το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y'y είναι το Α(0,1) Γ2. Υπάρχει το όριο →x 1 lim f(x) άρα + − → → = x 1 x 1 lim f(x) lim f(x) (  + ∈    =  − ∈  − + 3 2 x 2,x 0,1 f(x) ημ(x 1) α ,x 1,4 x 5x 4 ● + + + + + + → → → → → →  −   −   −   −  = = = ⋅ = ⋅        − − − − − −− +        2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ημ(x 1) ημ(x 1) ημ(x 1) ημ(x 1)1 1 limf(x) lim α lim α lim α lim α lim (x 1)(x 4) x 1 x 4 (x 1) x 4x 5x 4 + + → →  −  = ⋅ = ⋅ + = −  − − − x 1 x 1 ημ(x 1) 1 1 α lim α lim α 1 (x 1) x 4 1 4 3 ( + + = − → → − = = − u x 1 x 1 u 0 ημ(x 1) ημu lim lim 1 (x 1) u ) ● − − → → = + =3 x 1 x 1 limf(x) lim(x 2) 3 Τελικά − = ⇔ = − α 3 α 9 3 Θέμα Δ Δ1.Να υπολογίσετε το όριο →+∞  +  < ≠  +  χ x α 3 lim ,0 α 2 2α 1 Δ2.Έστω οι συναρτήσεις f,g και ∈ℝL .Αν − ≤ − 0 g(x) L x x κοντά στο ∈ℝ0 x και ( )→ − = 0x x lim f(x) g(x) 0 , να αποδείξετε ότι → = 0x x limf(x) L
  25. 25. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ Δ3.Για τις διάφορες τιμές του ∈ℝλ , να βρείτε το όριο στο −∞ της συνάρτησης = + + +2 f(x) x 3x 5 λx Λύση Δ1. →+∞  +    +  χ x α 3 lim 2α 1 Διακρίνουμε περιπτώσειςq ● + > ⇔ ⇔ + α 3 1 ..... 2α 1 ( )∈α 0,2 τότε →+∞  +  = +∞  +  χ x α 3 lim 2α 1 ● ( ) + < < ⇔ ⇔ ∈ +∞ + α 3 0 1 .... α 2, 2α 1 τότε →+∞  +  =  +  χ x α 3 lim 0 2α 1 ● + = ⇔ ⇔ = + α 3 1 ..... α 2 2α 1 απορρίπτεται (από υπόθεση < ≠0 α 2 ) Δ2. Κοντά στο ∈ℝ0 x ισχύει − ≤ − ⇔ − − ≤ − ≤ − ⇔ − − + ≤ ≤ − +0 0 0 0 0 g(x) L x x x x g(x) L x x x x L g(x) x x L Αλλά ( ) ( )→ → − − + = − + = 0 0 0 0x x x x lim x x L L, lim x x L L από το κριτήριο της παρεμβολής → = 0x x limg(x) L ( ) ( ) ( ) → → − ∈ → → → → = − + = − + = + = ℝ x x x x0 0 0 0 0 0 lim f(x) g(x) , lim g(x) x x x x x x x x lim f(x) lim f(x) g(x) g(x) lim f(x) g(x) limg(x) 0 L L Δ3. ( )→−∞ →−∞ →−∞ →−∞       Α = + + + = + + + = + + + = − + + + =                  2 2 2 2 2x x x x 3 5 3 5 3 5 lim x 3x 5 λx lim x (1 λx lim x 1 λx lim x 1 λx x x xx x x →−∞     = − + + + = −∞ − +        2x 3 5 lim x 1 λ ( )( 1 λ) x x Διακρίνουμε περιπτώσεις για το − +( 1 λ) ● − + > ⇔ >1 λ 0 λ 1 τότε Α = −∞ ● − + < ⇔ <1 λ 0 λ 1 τότε Α = +∞ ● − + = ⇔ =1 λ 0 λ 1 τότε ( ) ( )( ) →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + + + + + − + + − + + − Α = + + + = = = = + + − + + − + + − 2 2 2 2 2 2 2 x x x x2 2 2 x 3x 5 x x 3x 5 x x 3x 5 x x 3x 5 x lim x 3x 5 x lim lim lim 3 5x 3x 5 x x 3x 5 x x 1 x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + + + + − + = = = = = − + + − − + + − − + + + − + + − 2 2 x x x x 2 2 2 2 5 5 x(3 ) 3 x 3x 5 x 3x 5 3x xlim lim lim lim 23 5 3 5 3 5 3 5 x 1 x x 1 x x( 1 1) 1 1 x x x xx x x x
  26. 26. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2 ΣΥΝΕΧΕΙΑ► Θέμα Α Α2. Να χαρακτηρίστε ως σωστές ( Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: 1.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ( )α β, και α β <( ) ( ) 0f f τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )α β∈0 ,x τέτοιο ώστε =0 ( ) 0f x . 2.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α β  , τότε η f είναι 1-1 στο α β  , . 3.Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ≠( ) 0f x για κάθε ∈ ∆x τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. 4.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α β  , , τότε η f έχει ακρότατα. Α2 1.Λ 2. Λ 3.Σ 4.Σ Θέμα Β Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η συνεχής στο ℝ συνάρτησης f με τύπο λ λ λ λ  − < = −  − + ≥ 3 2 2 , ( ) 2 2 1, x x x f x x x x x Β1. Να βρείτε τον λ. Aν λ=1. Β2.Να δείξετε ότι η εξίσωση − = 2 ( ) x f x e έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα λ λ−( ,2 ) Β3.Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση δεν έχει ρίζα στο διάστημα (-λ, λ) Λύση Β1. Υπάρχει το όριο →x λ lim f(x) άρα + − → → = x λ x λ lim f(x) lim f(x) + + + + → → → → − − = = = = − − 0 3 2 20 2 2 x λ x λ x λ x λ x λx x (x λ) limf(x) lim lim lim x λ x λ x λ + + → →  = − + = − +  2 2 x λ x λ lim f(x) lim 2x 2x 1 2λ 2λ 1 έτσι ( )= − + ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = 22 2 2 λ 2λ 2λ 1 λ 2λ 1 0 λ 1 0 λ 1 ii. Για λ=1 η συνάρτηση γίνεται :  < =  − + ≥ 2 2 , 1 ( ) 2 2 1, 1 x x f x x x x λ λ− = −( ,2 ) ( 1,2) Θεωρώ − = − 2 ( ) ( ) x h x f x e συνεχής στο −  1,2 και − − − − = − − = − < = − = − + − = > 2 1 2 2 ( 1) ( 1) 1 0 (2) (2) 8 4 1 1 4 0 h f e e h f e άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει − ∈ − = ⇔ = 02 0 0 0 ( 1,2) : ( ) 0 ( ) x x h x f x e Β2. − = − 22 ( ) , x h x x e ∈ −( 1,1)x Θα δείξουμε ότι − = − ≠ 22 ( ) 0 x h x x e για κάθε ∈ −( 1,1)x ● − < < ⇔ < ⇔ < 2 1 1 1 1 (1)x x x ● − − − < < ⇔ < ⇔ − > − ⇔ − > ⇔ > ⇔ − < − 2 2 1 1 1 1 2 1 (2) x x x x x x e e e e (1)+(2): − − < − ⇔ < − 2 2 1 ( ) 1 x x e e h x e άρα ≠( ) 0h x για κάθε ∈ −( 1,1)x
  27. 27. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 26 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ Θέμα Γ Γ1.Δίνεται η συνεχής στο ℝ συνάρτηση f και η συνάρτηση = − −2 ( ) 2 (1) (2)h x x x f f η οποία έχει πεδίο ορισμού το ℝ . i)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου (1) (2)f f . ii)Να δείξετε ότι η εξίσωση =( ) 0f x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2). Λύση Α.i.H h έχει πεδίο ορισμού το ℝ άρα − − ≥2 2 (1) (2) 0x x f f για κάθε ∈ ℝx άρα ( ) ( )∆ ≤ ⇔ − − − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − 2 0 2 4 (1) (2) 0 4 4 (1) (2) 0 (1) (2) 1f f f f f f έτσι η μέγιστη τιμή του γινομένου (1) (2)f f είναι το -1. ii.H f είναι συνεχής στο   1,2 , ≤ − <(1) (2) 1 0f f άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )∈0 1,2x τέτοιο ώστε =( ) 0o f x Γ2.Έστω συνάρτηση →ℝ ℝ:f , η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής .Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ∈ℝ0 x , ο οποίος μάλιστα ανήκει στο διάστημα ( )1,3 τέτοιος ,ώστε + + =0 (1) 2 (2) (3) ( ) 4 f f f f x H f γνησίως αύξουσα στο ℝ < < ⇔ < <(1) (2) (3) 2 (1) 2 (2) 2 (3)f f f f f f = <(1) (1) (3)f f f < =(1) (3) (3)f f f (+) + + < + + < ⇔ < < (1) 2 (2) (3) 4 (1) (1) 2 (2) (3) 4 (3) (1) (3) 4 f f f f f f f f f f Η f είναι συνεχής στο   1,3 και ≠(1) (3)f f τότε επειδή + + < < (1) 2 (2) (3) (1) (3) 4 f f f f f από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ( )∈0 1,3x τέτοιος ώστε + + =0 (1) 2 (2) (3) ( ) 4 f f f f x , λόγω της μονοτονίας η f είναι 1-1 άρα ο 0 x είναι μοναδικός. Θέμα Δ Δ1. Έστω δυο συναρτήσεις →ℝ ℝ, :f g τέτοιες ώστε = − +2 ( ) ( ( ) ) 4f x g x x για κάθε ∈ ℝx Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής και ισχύουν οι σχέσεις <(1) 1g και >(2) 2g Να αποδείξετε ότι : i) υπάρχει ( )∈0 1,2x τέτοιο, ώστε − =0 0 ( ) 0g x x ii)η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Λύση Δ1. i.Θεωρούμε την συνάρτηση = −( ) ( )h x g x x η οποία ικανοποίει τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα   1,2 άρα υπάρχει ( )∈0 1,2x τέτοιο, ώστε = ⇔ − =0 0 0 ( ) 0 ( ) 0h x g x x ii. Για κάθε ∈ ℝx ισχύει: − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥2 2 0 ( ( ) ) 0 ( ( ) ) 4 4 ( ) 4 ( ) ( )g x x g x x f x f x f x άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο
  28. 28. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 27 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ για = 0 x x το =0 ( ) 4f x Δ2. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει η σχέση = +2 2 ( ) 1f x x για κάθε ∈ ℝx i)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =( ) 0f x είναι αδύνατη στο ℝ . ii) Αν επιπλέον ισχύει = −(0) 1f να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Λύση i. = ⇔ = ⇔ + =2 2 ( ) 0 ( ) 0 1 0f x f x x αδύνατη . ii.H f είναι συνεχής στο ℝ και ≠( ) 0f x για κάθε ∈ ℝx άρα η f διατηρεί πρόσημο στο ℝ , όμως = − <(0) 1 0f έτσι <( ) 0f x για κάθε ∈ ℝx . Τελικά ,για κάθε ∈ ℝx < ∈ = + ⇔ = + ⇔ − = + ⇔ = − + ℝ( ) 0, 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 f x x f x x f x x f x x f x x Δ3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει > <(4) 3, (1) 7f f .Να δείξετε ότι: i. η εξίσωση = − 1 ( ) (25 4 ) 3 f x x έχει μια τουλάχιστον ρίζα. ii.αν Α(4,3),Β(1,7) και Μ(x,f(x)) τότε η συνάρτηση = +( ) ( ) ( )g x MA MB έχει ελαχίστη τιμή. Λύση Γ. i. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την συνάρτηση : = − − 1 ( ) ( ) (25 4 ) 3 h x f x x ii.Έχουμε = + ≥ ΑΒ =( ) ( ) ( ) ( ) 5g x MA MB (τριγωνική ανισότητα) =0 ( ) 5g x από το ερώτημα i. ΚΡΙΤΗΡΙΟ 3 ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ ►
  29. 29. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 28 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΘΕΜΑ Α Α3.Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Αν για μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α ισχύει ( ) 0f x > κοντά στο 0x ∈Α τότε 0 lim ( ) 0 x x f x → > .» Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα ορίου συνάρτησης που να τον καταρρίπτει. A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1.Αν 1α > τότε lim 0x x α →−∞ = 2.Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. 3.Αν lim ( ) x f x →−∞ = +∞ ή lim ( ) x f x →−∞ = +∞ τότε 0 1 lim 0 ( )x x f x→ = 4.Καθε συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο μεταξύ δυο διαδοχικών ριζών της. Απάντηση Α1. Σχολικό σελ Α2. Σχολικό σελ Α3.Δεν ισχύει. Ένα παράδειγμα: 2 ( )f x x= , 2 0x > κοντά στο 0 αλλά 2 0 lim 0 x x → = Α4. 1.Σ 2.Λ 3. Λ 4.Σ Θέμα Β Β1.Να βρείτε τους ,α β ∈ ℝ ώστε 2 21 4 lim 1x x ax x β →− + + = ∈ − ℝ Β2. Αν 3 2 1 , 1 1 ( ) 3 2 4 , 1 1 x x x f x x x x x λ  − + + <  − =  + − > − Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε να υπάρχει το 1 lim ( ) x f x → . Β3. Να υπολογίσετε το όριο 2 9 1 15 lim 3 2x x x x x→−∞  + + −    +  Β4. Να υπολογίσετε το όριο ( )2 lim 16 16 1 4 x x x x →+∞ + + − Λύση Β1. Θέτουμε 2 2 2 2 4 ( ) ( 1) ( ) 4 1 x ax g x x g x x ax x + + = ⇔ − = + + − (1) όπου 1 lim ( ) x g x β →− = ∈ℝ , λαμβάνουμε όρια στο -1 και στα δυο μέλη της (1) ( υπάρχουν) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 1 lim ( 1) ( ) lim 4 lim( 1) lim ( ) lim 4 0 1 4 5 x x x x x x g x x ax x g x x ax β α α →− →− →− →− →− − = + + ⇔ − = + + ⇔ ⋅ = − + ⇔ = Έτσι, 0 2 0 21 1 1 1 5 4 ( 1)( 4) 4 1 4 3 lim lim lim lim ( 1)( 1) 1 1 1 21x x x x x x x x x x x xx→− →− →− →− + + + + + − + = = = = − − + − − −− , άρα 3 2 β = − Β2. Υπάρχει το 1 lim ( ) x f x → άρα 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x− + → → = (2) 1 lim 2 1 3 0 x x− → + = > άρα κοντά στο 1 ισχύει 2 1 0x + > και 2 1 2 1x x+ = + έτσι 1 1 1 1 1 3 2 1 3 (2 1) 2 2) lim ( ) lim lim lim 1 1 1 2( 1) lim 2 1 x x x x x x x x f x x x x x x λ λ λ λ λ − − − − − → → → → →  − +  − + − +    = + = + = + =      − − −     − +  = + = +  − 
  30. 30. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 29 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ( ) 2 2 1 1 1 1 3 4 )3 2 ( 3 2 )( 3 2 ) lim ( ) lim4 lim4 lim4 1 ( 1)( 3 2 ) ( 1)( 3 2 )x x x x x xx x x x x x f x x x x x x x x+ + + + → → → → + −+ − + − + + = = = = − − + + − + + 2 1 1 1 1 3 3 4( 1)( ) 4( ) 3 4 4 4lim4 lim4 lim4 ( 1)( 3 2 ) ( 1)( 3 2 ) ( 3 2 ) 4 3 4 1 3 lim4 4 7 ( 3 2 ) ( 1 3 2) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + → → → → − − + − + + − = = = = − + + − + + + + − − − ⋅ − = = = − + + + + Από (2) 2 7 9λ λ+ = − ⇔ = − Β3. 2 2 2 1 1 1 1 9 15 9 15 9 1 15 lim lim lim 2 23 2 (3 ) (3 ) x x x x x x x x x x x xx x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ + + − − + + − + + − = = = + + + 2 1 1 ( 9 15) ( 9 0 0 15) 18 lim 6 2 (3 0) 3(3 ) x x x x →−∞ − + + + − + + + − = = = = − ++ Β4. ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 16 16 1 4 16 16 1 4 16 16 1 16 lim 16 16 1 4 lim lim 16 16 1 4 16 16 1 4x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ + + − + + + + + − + + − = = = + + + + + + 0 2 2 2 2 1 1 1 (16 ) (16 ) (16 ) 16 1 lim lim lim lim 16 1 16 1 16 116 16 1 4 16 4 16 4 ( 16 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αρα τελικα→+∞ > →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + + + + = = = = = + + + + + + + + + + + + 2 1 16 16 0 lim 2 16 1 16 0 0 4 16 4 x x x x →+∞ + + = = = + + + + + + Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: ( ) 2 9f x x xλ= + − − Οπού λ σταθερός πραγματικός αριθμός. α. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,-1) να βρείτε την τιμή του λ. β. Για λ=4 ,να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. γ. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία καθώς επίσης και αν η f αντιστρέφεται. ε. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. ζ .Να λύσετε την ανίσωση : 2 2 2 4 9 2 4 9x x x x+ + − > + + − η. Να υπολογίσετε το όριο: 1 1974 1 1 1973 (1 ( 1)) 4 2 lim ( ( ) ( )) 2019 2x f x x f f x xα β − − −→+∞ + − + + Λ = − + + , 11 22α β− < < < Λύση α. fCΑ∈ δηλαδή (0) 1 2 0 9 0 1 3 1 2 4f λ λ λ λ= − ⇔ ⋅ + − − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = β. ( ) 2 4 9f x x x= + − − .Πρέπει 2 4 0 2 9 0 9 x x x x + ≥ ≥ −  ⇔  − ≥ ≤  άρα [ ]2,9fΑ = − γ. Έστω [ ]1 2, 2,9x x ∈ − με 1 2x x<
  31. 31. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 30 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ 1 2 1 2 1 22 4 2 4 2 4 2 4x x x x x x< ⇒ + < + ⇒ + < + (1) 1 2 1 2 1 2 1 29 9 9 9 9 9x x x x x x x x< ⇒ − > − ⇒ − > − ⇒ − − < − − (2) (1)+(2): 1 2( ) ( )f x f x< άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ]2,9− κατά συνέπεια είναι και 1-1 Οπότε αντιστρέφεται. ε. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ]2,9− άρα έχει σύνολο τιμών [ ]( ) ( 2), (9) 11, 22f f f  Α = − = −  συνεπώς παρουσιάζει - Ελάχιστο για 2x = − το ( 2) 11f − = − -Μέγιστο για 9x = το (9) 22f = ζ. 2 2 2 2 2 2 4 9 2 4 9 2 4 9 2 4 9 ( ) ( )x x x x x x x x f x f x+ + − > + + − ⇔ + − − > + − − ⇔ > Πρέπει 2 2 3 32 9 2 92 9 xx x xx x − < < ∈ Α − < <  ⇔ ⇔   − < <∈ Α − < <   άρα 2 3x− < < (3) [ ] ( ) 2,9 2 2 ( ) ( ) .... 0,1 f f x f x x x x − > ⇔ > ⇔ ⇔ ∈ ր (4) Συναληθεύουμε (3) ,(4) και τελικά ( )0,1x∈ η. Έχουμε 1 1974 1 1974 1 1 1973 1 1 1973 1 1 (1 ( 1)) 4 2 (1 ( 1)) 1 lim lim lim ( ( ) ( )) 2019 2 ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))x x x f x x f x x f f x x f f x f fα β α β α β − − − − − − − −→+∞ →+∞ →+∞ + − + + + − Λ = = = − + + − − 1 (0) 1 0 ( 1)f f − =− ⇔ = − άρα 1 1 ( 1) 1f − + − = , Αναζητούμε το πρόσημο του αριθμού 1 1 ( ) ( )f fα β− − − Θα δείξουμε ότι η f-1 είναι γνησίως αύξουσα . Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε 1 2, ( ) 11, 22x x f  ∈ Α = −  με 1 2x x< ισχύει 1 1 1 2( ) ( )f x f x− − < . Έστω ότι υπάρχουν 1 2, ( )x x f∈ Α με 1 2x x< τέτοια ώστε [ ]2,9 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( )) f f x f x f f x f f x x x − − − − − < ⇔ < ⇒ ≥ ր ,άτοπο . Έτσι 1 11, 22 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f f f f fα β α β α β −  −  − − − − < ⇒ < ⇒ − < ր Τελικά 1 1 1 lim ( ( ) ( ))x x f fα β− −→+∞ Λ = = −∞ − Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση ( ): 0,g +∞ →ℝ με τύπο ( ) ln 1g x x x= + − i. Να αποδείξετε ότι η Cg τέμνει την ευθεία y=λ σε ακριβώς ένα σημείο για κάθε λ ∈ ℝ . ii.Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0g x = iii.Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης g. iv. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις ( ): 0,f +∞ →ℝ, οι οποίες ικανοποιούν την σχέση 2 2 ( ) ( )f x g x= για κάθε ( )0,x∈ +∞ Λύση i. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση ( )g x λ= έχει ακριβώς μια λύση για κάθε λ ∈ ℝ ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι η g έχει σύνολο τιμών το ℝ και για την μοναδικότητα της ρίζας ότι είναι γνησίως μονότονη. Θα εξετάσουμε την g ως προς την μονοτονία .Έστω ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ με 1 2x x< 1 2 1 2ln lnx x x x< ⇒ < (1)
  32. 32. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 31 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ 1 2 1 21 1x x x x< ⇒ + < + (2) (1)+(2): 1 2( ) ( )g x g x< άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ Η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ άρα έχει σύνολο τιμών ( )0 ( ) lim ( ), lim ( ) x x f g x g x → →+∞ Α = ( ( ) ( )0 0 lim ( ) lim ln 1 , lim ( ) lim ln 1 x x x x g x x x g x x x → → →+∞ →+∞ = + − = −∞ = + − = +∞ τελικά ( )f Α = ℝ ) ii. Παρατηρούμε ότι (1) 1 ln1 1 0g = + − = άρα 1 ρίζα της ( ) 0g x = και λόγω της μονοτονίας είναι μοναδική. iii. ( )0, 1 ( ) (1) ( ) 0 g x g x g g x +∞ < ⇔ < ⇔ < ր (**) ( )0, 1 ( ) (1) ( ) 0 g x g x g g x +∞ > ⇔ > ⇔ > ր Άρα ( ) 0g x < για κάθε ( )0,1x∈ , ( ) 0g x > για κάθε ( )1,χ∈ +∞ , iv.Έχουμε 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0f x f x g x g x= ⇔ = ⇔ = ⇔ = .Άρα , η f ως συνεχής διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα ( )0,1 ,( )1,+∞ .Και επειδή 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x= ⇔ = ⇔ = για κάθε ( )0,x∈ +∞ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις ● Αν ( ) 0f x > για κάθε ( ) ( )0,1 1,x∈ ∪ +∞ τότε ( ) ( ) ln 1f x g x x x= = + − για κάθε ( )0,x∈ +∞ ● Αν ( ) 0f x < για κάθε ( ) ( )0,1 1,x∈ ∪ +∞ τότε ( ) ( ) ln 1f x g x x x=− =− + − για κάθε ( )0,x∈ +∞ ● Αν ( ) 0f x < για κάθε ( )0,1x∈ και ( ) 0f x > για κάθε ( )1,x∈ +∞ τότε ( ) ( ) ln 1f x g x x x= = + − για κάθε ( )0,x∈ +∞ (**) ● Αν ( ) 0f x > για κάθε ( )0,1x∈ και ( ) 0f x < για κάθε ( )1,x∈ +∞ τότε ( ) ( ) ln 1f x g x x x= − = − − + για κάθε ( )0,x∈ +∞ (**)
  33. 33. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 32 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 4 ΟΡΙΑ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1.To 0 lim ( ) x x f x → έχει νόημα σε κάθε 0x του πεδίου ορισμού της f. 2.Αν f συνεχής στο [ ],α β και ( ) ( ) 0f fα β⋅ ≥ ,τότε η f δεν έχει ρίζα στο ( , )α β 3.Ισχυει lim ( ) lim ( ) x f x f α θ α θ → → = 4.Καθε συνεχής συνάρτηση έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Α2. 1.Λ 2.Λ 3.Σ 4.Λ Α3. Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Αν μια συνάρτηση f είναι ασυνεχής στο 0x του πεδίου ορισμού της τότε δεν υπάρχει το 0 lim ( ) x x f x → .» Είναι αληθής; Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα που να τον καταρρίπτει. Απάντηση Δεν ισχύει. Μπορεί να υπάρχει το όριο άλλα να μην ισούται με την τιμή στο 0x ,για παράδειγμα, η συνάρτηση 1, 3 ( ) 7 , 3 x x f x x − ≠ =  = είναι ασυνεχής στο 0 3x = αλλά υπάρχει το 3 lim ( ) x f x → Θέμα Β Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x είναι εγγεγραμμένο σε τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ=10 και ύψος ΑΔ=5.(σχημα) Έστω Ε(x) το εμβαδό του ορθογωνίου ΚΛΜΝ Β1.Να δείξετε ότι ( )25 25 ( ) 2( ) , 0,5 2 2 x x xΕ = − − + ∈ Β2.Να βρείτε την μέγιστη τιμή του εμβαδού Ε και για ποια τιμή του χ εμφανίζεται. Β3.Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )( ) , 0,1x x e x− Ε = ∈ έχει ακριβώς μια λύση Λύση Β1. Τα τρίγωνα ΑΝΜ και ΑΒΓ είναι όμοια ( Λ Α κοινή , Λ Λ ΑΝΜ = ΑΒΓ ως εντός εκτός και επί ταυτά ) άρα έχουμε τους λόγους ομοιότητας: 5 5 10 2 10 5 2 x x x ΝΜ ΑΚ ΝΜ Α∆ − Κ∆ ΝΜ − ΝΜ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ ΝΜ = − ΒΓ Α∆ ΒΓ Α∆ 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) (10 2 ) 10 2 2 10 2( 5 ) 5 5 5 5 25 2( 2 ) 2( ) 2 2 2 2 2 NM KN x x x x x x x x x x x ΚΛΜΝΕ = = − = − = − + = − + =     = − + ⋅ + − == − − +        ( 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0x x x< ΑΚ < ⇔ < − < ⇔ > − > − ⇔ > > ) Άρα ( )25 25 ( ) 2( ) , 0,5 2 2 x x xΕ = − − + ∈ Β2. Για κάθε ( )0,5x∈ ισχύει: ( )2 25 5 25 25 25 5 2( ) 0 2( ) ( ) ( ) ( ) , 0,5 2 2 2 2 2 2 x x x x x− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ Ε ≤ ⇔ Ε ≤ Ε ∈ ,άρα η συνάρτηση Ε(x) παρουσιάζει μέγιστο για 5 2 x = το 5 25 ( ) 2 2 Ε = . Α Β Γ Ν Μ Κ ΛΔ Κ xx
  34. 34. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 33 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ Β3. 2 25 25 5 25 ( ) 2( ) 2( ) 0 2 2 2 2 x x x x e x e x e− − − Ε = ⇔− − + = ⇔− − + − = .Θεωρούμε την συνάρτηση 25 25 ( ) 2( ) 2 2 x f x x e− = − − + − είναι συνεχής στο [ ]0,1 ως πράξεις συνεχών και 2 05 25 25 25 (0) 2(0 ) 1 1 0 2 2 2 2 f e= − − + − = − + − = − < 2 1 2 1 1 1 15 25 3 25 9 25 9 25 (1) 2(1 ) 2( ) 2 8 0 2 2 2 2 4 2 2 2 f e e e e e− − − − − = − − + − = − − + − = − ⋅ + − = − + − = − > Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )0 0,1x ∈ τέτοιο ώστε 0 0( ) 0 ( ) x f x x e− = ⇔Ε = Θα δείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,1 άρα και 1-1 οπότε το 0x είναι μοναδικό. Έστω ( )1 2, 0,1x x ∈ με 1 2 5 5 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 5 5 5 25 5 25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x − < − < − <−         < ⇒ − < − ⇒ − > − ⇒ − − + < − − +                (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x e e e e− − − − < ⇒ − >− ⇒ > ⇒− <− (1) (1)+(2): 1 2( ) ( )f x f x< η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,1 . Θέμα Γ Γ1.Αν 0 lim ( ) 0 x x f x → = και ( )g x κ≤ κοντά στο 0x , να δείξετε ότι: ( ) 0 lim ( ) ( ) 0 x x f x g x → ⋅ = (κ σταθερός πραγματικός αριθμός) Γ2. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση 2 1 , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ηµ  ≠ =   = είναι συνεχής στο ℝ . Γ3. Να βρείτε τα όρια lim ( ), lim ( ) x x f x f x →+∞ →−∞ και ακολούθως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Λύση Γ1.Για κάθε x κοντά στο 0x ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x κ⋅ = ≤ ή ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x f x f x g x f xκ κ κ≤ ⇔ ≤ ⋅ ≤ Όμως ( ) ( )0 0 lim ( ) 0, lim ( ) 0 x x x x f x f xκ κ → → − = = από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο. Γ2. Για 0x ≠ η f είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, θα εξετάσουμε την συνέχεια για 0x = . Ισχύει 2 0 lim 0, x x → = 1 1 x ηµ ≤ κοντά στο 0 άρα από το ερώτημα Β1 προκύπτει 2 0 1 lim 0 x x x ηµ →   =    ,δηλαδή 0 lim ( ) (0) x f x f → = άρα f συνεχής στο 0 , οπότε η f είναι συνεχής στο ℝ . Γ3. 2 1 1 lim lim ( ) 1 1x x xx x x x ηµ ηµ →−∞ →−∞ = ⋅ = −∞ ⋅ = −∞ ( 1 0 1 lim lim 1 1 u x x u ux u x ηµ ηµ = →−∞ → = = ) Ανάλογα προκύπτει 2 1 lim x x x ηµ → +∞ = +∞ Η πεπατημένη επιβάλλει να ελέγξουμε την μονοτονία της f για να βρούμε το σύνολο τιμών αλλά εφόσον lim ( ) , lim ( ) x x f x f x →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ δεν είναι απαραίτητο να το κάνουμε. Αρκεί να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών.
  35. 35. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 34 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ Έστωγ ∈ ℝ εφόσον lim ( ) , lim ( ) x x f x f x →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ υπάρχουν ,α β ∈ ℝ με α β< , ( )f α κ γ= < και ( )f β λ γ= > . Η f είναι συνεχής στο [ ],α β και ( ) ( )f fα γ β< < , συνεπώς η f παίρνει την τιμή γ άρα το σύνολο της f είναι όλο το ℝ . Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση 1 , 1 ( ) ln , 1 x e x a x f x x x xβ −  − − ≤ =  + − > Η f είναι συνεχής στο ℝ και η Cf διέρχεται από το σημείο Α(1,-2). Δ1.Να βρείτε τις τιμές των α,β. Δ2. Αν α=2 και β=3 να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και ακολούθως να βρείτε το σύνολο τιμών της. Δ3.Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x σε ακριβώς δυο σημεία. Δ4.Να δείξετε ότι ( ) 2 0f x + ≥ για κάθε x ∈ ℝ . Δ5. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2 ( ) 2 0 1 2 f f x x α β+ + + = − − έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (1,2) για κάθε , {1}α β ∈ −ℝ . Λύση Δ1. η Cf διέρχεται από το σημείο Α(1,-2) όπου 1 1 (1) 2 1 2 2 2f e a a a− = − ⇔ − − = − ⇔ − = − ⇔ = 1 2, 1 ( ) ln , 1 x e x x f x x x xβ −  − − ≤ =  + − > Η f είναι συνεχής στο ℝ άρα και στο 0 1x = 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) x x f x f x f− + → → = = έτσι 1 lim( ln ) 2 1 2 3 x x x β β β+ → + − = − ⇔ − = − ⇔ = Δ2. 1 2, 1 ( ) ln 3, 1 x e x x f x x x x −  − − ≤ =  + − > ● Έστω 1 2, 1x x ≤ με 1 21 1 1 2 1 2 1 2 1 21 1 x x x x x x x x x x e e− − < ⇒ < ⇒ − > − ⇒ − > − ⇒ > (1) 1 2 1 2 1 22 2x x x x x x< ⇒ − > − ⇒ − − > − − (2) (1)+(2):….. 1 2( ) ( )f x f x> άρα f γνησίως φθίνουσα στο ( ],1−∞ ● Έστω 1 2, 1x x > με 1 2 .....x x< 1 2( ) ( )f x f x< άρα f γνησίως αύξουσα στο ( )1,+∞ Η f συνεχής και γνησίως φθίνουσα ( ]1 ,1Α = −∞ άρα ) [ )1( ) (1), lim ( ) 2, x f f f x →−∞ Α = = − +∞  Η f συνεχής και γνησίως αύξουσα ( )2 1,Α = +∞ άρα ( ) ( )2( ) (1), lim ( ) 2, x f f f x →+∞ Α = = − +∞ Άρα [ )1 2( ) ( ) ( ) 2,f f fΑ = Α ∪ Α = − +∞ Δ3. ( )20 ( ) 2,f∈ Α = − +∞ άρα υπάρχει μοναδική ( λόγω μονοτονίας) ρίζα ( ]1 ,1x ∈ −∞ της ( ) 0f x = [ )10 ( ) 2,f∈ Α = − +∞ άρα υπάρχει μοναδική ( λόγω μονοτονίας) ρίζα ( )2 1,x ∈ +∞ της ( ) 0f x = Δ4. Αν ( ],1 1 ( ) (1) ( ) 2 ( ) 2 0 f x f x f f x f x −∞ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ + ≥ ց ( ) 2 0f x + ≥ για κάθε ( ],1x ∈ −∞ . Αν ( )1, 1 ( ) (1) ( ) 2 ( ) 2 0 f x f x f f x f x +∞ > ⇔ > ⇔ > − ⇔ + > ր ( ) 2 0f x + > για κάθε ( )1,x ∈ +∞ . Τελικά , ( ) 2 0f x + ≥ για κάθε x ∈ ℝ . (3) Δ5. ( )( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) 2 0 ( ) 2 2 ( ) 2 1 0 1 2 f f f x f x x x α β α β + + + = ⇔ + − + + − = − − Θεωρούμε την συνάρτηση ( )( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1g x f x f xα β= + − + + − ,είναι συνεχής στο [ ]1, 2 ( )( ) ( )( ) ( )(1) ( ) 2 1 2 ( ) 2 1 1 ( ) 2 0g f f fα β α= + − + + − = − + < ( από (3) καθώς το «=»ισχύει μόνο για α=1) ( )( ) ( )( ) ( )(2) ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) 2 0g f f fα β β= + − + + − = + > ( από (3) καθώς το «=»ισχύει μόνο για β=1) Συνεπώς (1) (2) 0g g < , από το θεώρημα Bolzano προκύπτει το ζητούμενο.
  36. 36. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 5 ΟΡΙΑ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ ► Θέμα Α Α2.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1.Ισχυει ότι 0 lim 1 x x x ηµ → = 2. Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ],α β∆ = τότε [ ]( ) ( ), ( )f f fβ α∆ = 3.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ],α β ,τότε η f παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. 4. Η συνάρτηση f δεν μηδενίζεται στο διάστημα Δ και -f(1)=1 τότε η f είναι παντού θετική στο Δ. Α2. 1. Σ 2. Λ 3.Σ 4.Λ Α4. Δίνεται ο ακόλουθος ισχυρισμός: «Αν δεν υπάρχουν τα όρια 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x g x → → τότε δεν υπάρχει και το όριο ( ) 0 lim ( ) ( ) x x f x g x → + » Είναι αληθής ;Αν όχι, δώστε κατάλληλο παράδειγμα που να τον καταρρίπτει. Είναι λάθος. δεν υπάρχουν τα όρια 0 0 lim ,lim x x x x x x→ →   −    αλλά υπάρχει το 0 lim x x x x x→    + −       Θέμα Β Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα ( )1,8 , γνησίως φθίνουσα στο ( ]1,λ και γνησίως αύξουσα στο [ ),8λ , όπου ( )1,8λ∈ . Αν η Cf διέρχεται από το σημείο ( , 1)λΑ − και ισχύει 1 lim ( ) 4 x f x → = και 8 lim ( ) 6 x f x → = ,Να βρείτε: Β1. το σύνολο τιμών της f. Β2. Σε πόσα σημεία η Cf τέμνει τον οριζόντιο άξονα x’x . Β3. Τέμνει η Cf την ευθεία 5y = ; Αν ναι, σε πόσα σημεία; Λύση Β1. f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ( ]1 1,λΑ = άρα ) [ )1 1 ( ) ( ), lim ( ) 1,4 x f f f xλ + → Α = = − f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ )2 ,8λΑ = άρα ) [ )2 8 ( ) ( ),lim ( ) 1,6 x f f f xλ → Α = = −  Τα σύνολο τιμών της f είναι [ )1 2( ) ( ) ( ) 1,6f f fΑ = Α ∪ Α = − Β2.Σε δυο σημεία. Πραγματικά, [ )10 ( ) 1,4f∈ Α = − , f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ( ]1 1,λΑ = άρα υπάρχει μοναδικό ( ]1 1 1,x λ∈Α = τέτοιο ώστε 1( ) 0f x = [ )20 ( ) 1,6f∈ Α = − , f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ )2 ,8λΑ = άρα υπάρχει μοναδικό [ )2 2 ,8x λ∈Α = τέτοιο ώστε 2( ) 0f x = Β3. [ )25 ( ) 1,6f∈ Α = − , f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ )2 ,8λΑ = άρα υπάρχει [ )3 2 ,8x λ∈Α = τέτοιο ώστε 3( ) 5f x = Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) 1f x x x= + + , x ∈ ℝ Γ1.Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ2.Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε την εξίσωση 1 ( ) ( )f x f x− = . Λύση Γ1. f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , ( )f =ℝ ℝ Γ2. f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ άρα 1-1 συνεπώς αντιστρέφεται
  37. 37. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 36 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δρούγας Αθανάσιος https://mathhmagic.blogspot.com/ 1 ( ) ( )f x f x− = Έστω x=α μια λύση της εξίσωσης τότε 1 ( ) ( )f fα α− = θέτουμε όπου 1 ( )f α β− = τότε θα ισχύει: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) f f f ff f α β α β α β α βα α β − −  = ⇔ = = ⇔  == =  Λύνουμε το σύστημα και προκύπτει μοναδική λύση α=1. Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση :f →ℝ ℝ με τύπο: 2 ( ) 2 3 x x f x x   = − −    για κάθε x ∈ ℝ Δ1. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Δ2. Να υπολογίσετε το όριο: 0 1 ( ) lim ( )x f x f x→ Δ3. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2 23 2 2 0 2 x x x −  + − − <    Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 2 6 ( ) 3x x x x a− = + ⋅ Έχει μοναδική ρίζα για κάθε a ∈ ℝ . Δ5. Αν [ ]1 2, ,...., 0,1να α α ∈ , ν θετικός ακέραιος .Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 2 9 (2) .... 100 f x a x a x aν ν − + − + + − = − Έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [ ]0,1 Λύση Δ1. Έστω 1 2,x x ∈ℝ με 1 2 1 2 2 2 3 3 x x x x     < ⇒ >        (1) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2x x x x x x< ⇒ < ⇒ − > − (2) 1 2 1 2x x x x< ⇒− > − (3) (1)+(2)+(3): ….. 1 2....... ( ) ( )f x f x⇒ > Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ Η f συνεχής στο ℝ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων ,επίσης 2 lim ( ) lim 2 3 x x x x f x x →+∞ →+∞    = − − = −∞      , 2 lim ( ) lim 2 3 x x x x f x x →−∞ →−∞    = − − = +∞      Άρα ( )f =ℝ ℝ Δ2. Η f είναι συνεχής στο 0 άρα 0 lim ( ) (0) 0 x f x f → = = ● Αν 0 ( ) (0) ( ) 0 f x f x f f x> ⇒ < ⇒ < ցℝ 0 1 lim ( )x f x+ → = −∞ , 1 0 1 lim ( ) lim ( ) u x ux f f u x+ = →+∞→ = = −∞ 0 0 1 ( ) 1 1 lim lim ( ) ( )( ) ( ) ( )x x f x f f x x f x+ + → →   = = −∞ −∞ = +∞   

×