Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)

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Conceptos básicos y ejercicios de aplicación de Máximo Común Divisor y de Mínimo Común Múltiplo.
Tips para solución de problemas:
1. Si buscas un número mayor que los números dados, estás buscando un múltiplo, por tanto se debe usar el m.c.m.
2. Problemas de coincidencia se resuelven con el m.c.m.
3. Si buscas un número menor que los números dados, estás buscando un divisor, por tanto usas el m.c.d.
4. Siempre que se trata de repartir, es dividir, por tanto se busca un divisor.

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Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)

  1. 1. 1 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Autores: José Luis Hernández Domínguez Germán Chiock Cuadros Profesor: Mg. Rogelio Contreras Infante Universidad Peruana de Ciencias e Informática Programa ESPEL 2013
  2. 2. 2 INDICE Introducción ............................................................................................... 3 Conceptos generales ………………………………………………………. 4 Número Primo ………………………………………………………. 4 Número Compuesto ..................................................................... 4 Múltiplo de un número ……………………………………………… 4 Propiedades ………………………………………………………. 4 Submúltiplo, Factor ó Divisor de un número ………………………. 5 Propiedades de los divisores de un número ………………… 5 Número de divisores de un número ................................................. 5 Parte Alícuota ………………………………………………………….. 6 Número Par ……………………………………………………………… 6 Número Impar ………………………………………………………….. 6 Números Perfectos ......................................................................... 6 Números amigos ………………………………………………………. 6 Propiedades Fundamentales de los números primos ……………… 6 Descomposición en factores primos ………………………………….. 7 Propiedad de la descomposición en factores primos ……….. 7 Regla para descomponer un número en sus factores primos ……. 7 Manera de conocer si un número es primo o no ………………… 7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR ………………………………………………… 9 Cálculo del M.C.D. …………………………………………………… 9 Método abreviado para hallar el M.C.D. ……………………………. 9 Ejemplos prácticos 1, 2, 3 …………………………………………… 10 Ejemplos prácticos 4 …………………………………………………. 11 Ejemplos prácticos 5,6 …………………………………………………. 12 Ejemplos prácticos 7,8 …………………………………………………. 13 Ejemplos prácticos 9 …………………………………………………. 14 Ejemplos prácticos 10 …………………………………………………. 15 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO .................................................................. 16 Cálculo del M.C.M. .......................................................................... 16 Propiedades básicas .......................................................................... 17 Método abreviado para hallar el M.C.M. …………………………….. 18 Ejemplos prácticos 1 ......................................................................... 19 Ejemplos prácticos 2, 3, 4, 5 ......................................................... 20 Ejemplos prácticos 6, 7, 8 ................................................................. 21 Ejemplos prácticos 9 …………………………………………………. 22 Ejemplos prácticos 10 …………………………………………………. 22 Otros usos del M.C.M. ..................................................................... 23 Ejemplos de aplicación del M.C.D. y del M.C.M. …………………… 24 CONCLUSIONES …………………………………………………………….. 25 Anexo I – Propiedades de la divisibilidad ………………………………….. 27 BIBLIOGRAFÍA ……………………………………………………………… 31
  3. 3. 3 INTRODUCCION El presente trabajo tratará sobre dos temas muy importantes dentro de la aritmética: el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor. Cabe mencionar que para poder trabajar y entender las operaciones que se realizan dentro de estos dos temas es necesaria la revisión de conceptos previos de la teoría de la divisibilidad; la teoría de los números primos así como de los múltiplos y de los divisores los cuales nos permitirán realizar relaciones entre ellos. Es dentro de este contexto en que se hace necesario aplicar reglas y procedimientos prácticos haciendo uso de las reglas de potenciación, así como el uso de operaciones básicas en las resoluciones de los problemas propuestos en los cuales se ha procedido de manera lo más asertiva posible para lograr un enfoque didáctico para una mejor comprensión y si obtener un aprendizaje significativo
  4. 4. 4 Conceptos generales Número Primo Absoluto ó simple Es el número que sólo es divisible entre sí mismo y la unidad Número Compuesto Es el número que además de ser divisible entre sí mismo y la unidad lo es con otros números. Múltiplo de un número Es el número que contiene a este número un número exacto de veces. Por ejemplo: 14 es múltiplo de 2 porque 14 contiene al número dos en 7 veces. Los múltiplos de un número se forman multiplicando al número por la serie infinita de números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces. Propiedades: El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos. El número 0 es múltiplo de todos los números. Todos los números son múltiplos de 1 Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8. En los múltiplos de 3, la suma de los valores de sus cifras es también múltiplo de 3. Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5.
  5. 5. 5 Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 3. En los múltiplos de 9, la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 9. Submúltiplo, Factor o Divisor de un número: Es el número que esta contenido en el primero un número exacto de veces. A los divisores también se les denomina Factores Ejemplo: 4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces Ejemplo: Si 12 ÷ 4 = 3 entonces 4 es divisor de 12 Si (4) (3) = 12 entonces 12 es múltiplo de 4 Propiedades de los divisores de un número: Todo número "a", distinto de 0, es divisor de sí mismo. El 1 es divisor de todos los números. Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto, el número de divisores es finito. Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia. Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste. Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Número de divisores de un número: Procedimiento: • Descomponer el número en sus factores primos. • Luego se identifican los exponentes de los factores primos considerando que si un factor no tiene exponente, éste será la unidad • A cada exponente se le suma la unidad • Cada resultado se multiplican entre sí Ejemplo: Consideremos el número 2 520: Su descomposición en factores es 2 520 = 23 · 32 · 5 · 7
  6. 6. 6 El número de divisores de 2 520 es: (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 4 Parte Alícuota: Parte alícuota de un número es una de las partes iguales en la que se puede dividir un número. Los divisores de un número se denominan partes alícuotas (iguales) de ese número. Por ejemplo: 8 es factor ó divisor de 64 porque esta contenido en 64 la cantidad de 8 veces. Por lo tanto la parte alícuota es 8. Número Par: Es todo número múltiplo de 2 La fórmula general de los número pares es 2n Número Impar: Es todo número que NO es múltiplo de 2. La fórmula general de los números impares es 2n±1 Números perfectos: Son los números que son iguales a la suma de todos sus factores, excepto el mismo número. 6, 28 y 496 son números perfectos. Números amigos: Son dos números tales que cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro. Ejemplo, 220 y 284. Propiedades Fundamentales de Números Primos o Todo número compuesto tiene por lo menos un factor primo mayor que 1. o La serie de números primos es ilimitada, o sea que por más grande sea un número primo, siempre existirá otro primo mayor. o Si un número primo no divide a otro, necesariamente es primo con el. Por ejemplo: El número primo 5 no divide a 11; por lo tanto, 5 y 11 son primos entre sí. o Todo número que divide a un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, necesariamente divide al otro factor. Por ejemplo: 5 divide al producto de 8 x 10 = 80. Es primo con 8 entonces divide a 10. o Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de ellos.
  7. 7. 7 Por ejemplo: 3 divide al producto de 2 x 5 x 9 = 90. Es primo con 2 y 5 pero divide a 9. o Todo número primo que divide a una potencia de un número tiene que dividir a este número. Por ejemplo: El número primo 2 divide a 16 que es 42 y también divide 4. o Si dos números son primos entre sí, entonces todas sus potencias también son números primos entre sí. Por ejemplo: 2 y 3 son primos entre sí entonces dos potencias cualesquiera de ambos serán primos entre si; es decir, 8(=23 ) 243(=35 ) son primos entre sí. Descomposición en factores primos Es convertirlo en un producto de factores primos. o Propiedad de la descomposición en factores primos: Todo número es igual a un producto de factores primos. Regla para descomponer un número en sus factores primos o Se divide el número dado entre el menor de sus divisores primos; el cociente se divide también entre el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se dividirá entre sí mismo. Por ejemplo: Descomponer en sus factores primos el número 12740 • Solución: o Se divide el número dado 12740 entre el menor de los divisores primos, el número 2 y así sucesivamente hasta que se llega al número 3185 cuyo divisor menor es 5; a continuación se divide entre 7. Manera de conocer si un número es primo o no. Se divide el número entre todos los números primos menores que él y si se llega, sin obtener cociente exacto a una división inexacta en que el cociente sea menor ó igual que el divisor, el número dado es primo. Si alguna división es exacta, el número dado NO es primo.
  8. 8. 8 MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1) Se descomponen los números en factores primos. 2) Se toman los factores comunes con menor exponente. 3) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d. Método abreviado para hallar el M.C.D. El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos se puede hallar rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados entre un factor común; los cocientes nuevamente entre un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre sí. El m.c.d. es el producto de los factores comunes. Por ejemplo: Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980, 4410 3430 2450 980 4410 10 343 245 98 441 7 49 35 14 63 7 7 5 2 9 m.c.d. = 10 X 7 2 = 490
  9. 9. 9 Ejemplo práctico 01: Hallar el M.C.D. de (72, 90,120) Solución: 1. Factorizamos cada número 72=23 x 32 90=2 x 32 x 5 120=23 x 3 x 5 2. Factores comunes a todos elevados al menor exponente Los factores son 2 y 3 3. M.C.D. (72, 90,120)=2 x 3=6 Respuesta: M.C.D. (72, 90,120) = 6 Ejemplo práctico 02: Hallar el M.C.D. de (24,36) Solución: Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12 Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18 Como 24 y 36 tienen varios divisores en común: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y el mayor de ellos es 12, por tanto el M.C.D. (24,36)=12 Respuesta: M.C.D. (24,36)=12
  10. 10. 10 Ejemplo práctico 03: Hallar el M.C.D de 1800, 420, 1260 y 108 1800 2 420 2 1260 2 108 2 900 2 210 2 630 2 54 2 450 2 105 3 315 3 27 3 225 3 35 5 105 3 9 3 75 3 7 7 35 5 3 3 25 5 1 7 7 1 5 5 1 1 1800 = 2 3 X 3 2 X 5 2 420 = 2 2 X 3 1 X 5 1 X 7 1 1260 = 2 2 X 3 2 X 51 X 7 1 108 = 2 2 X 3 3 Factores comunes = 2 2 x 3 Respuesta: El M.C.D. es 22 x 3 = 12 Ejemplo práctico 04: María quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en cuadrados iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo de cartulina. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado? Solución.- 1º Para que no le sobre ningún trozo, calculamos los divisores del 40 y del 30: divisores del 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 divisores del 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 2º Como el ancho y el largo de un cuadrado son iguales, buscamos los divisores comunes: Divisores comunes del 40 y del 30: 1, 2, 5 y 10
  11. 11. 11 3º Para que el cuadrado sea tan grande como se pueda, escogemos el máximo divisor común. m.c.d. (30, 40) = 10 Respuesta: Cada cuadrado hará 10 cm. de lado. Ejemplo práctico N° 5 Carlos y Luis tienen 25 cuencas blancas, 15 cuencas azules y 90 cuencas rojas y quieren hacer el mayor numero de collares iguales sin que sobre ninguna cuenca. ¿Cuantos collares iguales pueden hacer? ¿Que numero de cuencas de cada color tendrá cada collar? Solución: El número de collares iguales será el m.c.d. ya que se busca un divisor común a 25, 15 y 90. Entonces 25 5 15 3 90 2 5 5 5 5 45 3 1 1 15 3 5 5 1 25 = 52 15 = 3 X 5 90 = 2 x 3 X 5 El M.C.D. = 5 Se pueden hacer 5 collares iguales. Para hallar el número de cuentas en cada collar se tiene: 25 : 5 = 5 cuencas blancas 15 : 5 = 3 cuencas azules 90 : 5 = 18 cuencas rojas Ejercicio práctico N° 06 Se compra en una florería 24 rosas y 36 claveles. ¿Cuantos centros de mesa se puede elaborar si se coloca la máxima cantidad de flores sin que sobre ninguna?¿Cuantas rosas y claveles se colocan en cada centro de mesa?
  12. 12. 12 Si todos los centros de mesa son iguales, el máximo número de centros que podemos realizar utilizando ambas flores son 12. Para buscar el número menor a 24 y 36 y que sea divisible por ambos, se utiliza el M.C.D. Hemos utilizado el m.c.d. ya que buscamos un número menor a 24 y 36 y que sea divisible entre ambos. 36 ÷12 = 3 claveles en cada centro 24÷12 = 2 rosas en cada centro 24 2 36 2 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 24 = 2 3 x 3 36 = 2 2 x 3 2 Ejercicio práctico N° 07 En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 lts., 360 lts. y 540 lts. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. Solución: 250 2 360 2 540 2 125 5 180 2 270 2 25 5 90 2 135 3 5 5 45 3 45 3 1 15 3 15 3 5 5 5 5 1 1 250 = 2 X 5 3 360 = 2 3 X 3 2 X 5 540 = 2 2 X 3 3 x 5 M.C.D. = 2 X 5 = 10 Capacidad de las garrafas = 10 litros. Número de garrafas de T1 = 250/10 = 25
  13. 13. 13 Número de garrafas de T2 = 360/10 = 36 Número de garrafas de T3 = 540/10 = 54 Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas. Ejercicio práctico N° 08 Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. Solución: Calculamos el máximo común divisor. 12028 2 12772 2 6014 2 6386 2 3007 31 3193 31 97 97 103 103 1 1 12028 = 2 2 X 31 X 97 12772 = 2 2 X 31 X 103 M.C.D. = 2 2 X 31 = 124 m. c. d. (12 028, 12 772) = 124 El M.C.D. nos da el número de naranjas que entrará en cada caja. El valor es 124 naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103 Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97 Respuesta: Cajas necesarias = 103 + 97 = 200 Ejercicio práctico N° 09 Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? Solución: a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y además debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcular el m.c.d. (256, 96).
  14. 14. 14 256 2 96 2 128 2 48 2 64 2 24 2 32 2 12 2 16 2 6 2 8 2 3 3 4 2 1 2 2 1 256 = 28 36 = 25 x 3 M.C.D. = 25 = 32 La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm. b) Área de la plancha de madera 256 x 96 = 24.576 cm2 Área de uno de los cuadrados 32 x 32 = 1.024 cm2 De la plancha de madera se obtienen 24 576 ÷ 1.024 = 24 cuadrados Ejercicio práctico N° 10 El m.c.d de 600 y 1000 es : a. 100 b. 200 c. 250 d. 500 e. 600 Se tiene: 600 y 1 000 600 2 1000 2 300 2 500 2 150 2 250 2 75 3 125 5 25 5 25 5 5 5 5 5 1 1 600 = 23 x 3 x 52 1000 = 23 x 53 M.C.D. = 23 x 52 = 200
  15. 15. 15 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Mínimo común múltiplo (MCM) es un concepto que se utiliza en la matemática. El MCM de dos ó más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos. En algunos casos, obtener el MCM es muy sencillo. El primer paso es calcular los múltiplos de los números y luego buscar la primera equivalencia, yendo de menor a mayor (es decir, el número más pequeño que es múltiplo de los dos y que, por lo tanto, aparece en las dos listas de múltiplos que calculamos previamente). Cálculo del M.C.M. Para números pequeños, tiene que ser el múltiplo del mayor de ellos mirándose si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás. Si es así, el mayor es el MCM. Si no los contiene, se busca cuál es el menor múltiplo del número mayor que los contenga exactamente y éste será el m.c.m. buscado Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 8 y 4 El número mayor es 8 y contiene exactamente a 4, por lo tanto 8 es el m.c.m. de 8 y 4. Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4 El número mayor 8 contiene a 4 pero no contiene exactamente a 6 Por lo tanto se deben hallar los múltiplos de 8 que contengan a 6 y a 4; es decir: 8 x 2 = 16 contiene exactamente a 4 pero NO a 6 8 x 3 = 24 contiene exactamente a 4 y a 6. Por lo tanto, 24 es el m.c.m. de 8,6 y 4. Ejemplo: Hallar el MCM de 3 y 5. Los múltiplos de cada uno son: 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33… 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55…
  16. 16. 16 El primer múltiplo común de 3 y 5 es 15 y éste es el valor del M.C.M. pues contiene exactamente a ambos. Propiedades básicas: • El m.c.m. de dos números es igual a su producto dividido entre su m.c.d. o En efecto, el producto de los dos números es múltiplo de ambos y los contiene exactamente El mínimo común múltiplo de dos números primos es el producto de ambos. o Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1. El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. o Un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor. El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo común múltiplo. El m.c.m. de varios números descompuestos en sus factores primos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes afectados por su mayor exponente. Ejemplo: Si A= 23 x 33 x 5 B= 24 x 32 x 52 x 7 C= 2 x 32 x 11 Hallar el M.C.M. Solución.- 24 x 33 x 52 x 7 x 11 es común múltiplo de A, B y C porque contiene todos los factores primos con iguales o mayores exponentes y es el menor múltiplo común de A. B y C porque cualquier otro producto menor
  17. 17. 17 debería tener: a) Algún factor primo de menos en cuyo caso no sería múltiplo del número que contiene a ese factor ; por ejemplo: 24 x 32 x 52 x 7 es menor que 2 4 x 33 x 52 x 7 x 11 pero no será múltiplo de C porque no contiene al factor primo 11 presente en la descomposición de factores de C Ó b) Teniendo los mismos factores primos, alguno estaría elevado a algún exponente menor , en cuyo caso no sería múltiplo del número que contiene ese factor elevado a un exponente mayor; por ejemplo: 23 x 33 x 52 x 7 x 11 no sería múltiplo de B porque el factor primo está sólo elevado al cubo y no a la cuarta potencia como es uno de los factores de B. Por lo tanto, sin ningún otro número menor que el producto 2 4 x 33 x 52 x 7 x 11 puede ser común múltiplo de A, B y C; entonces 2 4 x 33 x 52 x 7 x 11 es el valor del m.c.m. de los números dados. Método abreviado para hallar el M.C.M. El m.c.m. por descomposición de factores se puede hallar más rápido dividiendo cada uno de los número dados entre su menor divisor y así sucesivamente con los cocientes hasta obtener como cociente el valor de 1. El M.C.M. es el producto de todos los divisores primos. Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 30, 60 y 190. Dado que 30 es divisor de 60, sólo se considera para el cálculo a 60 y a 190. 60 190 2 30 95 2 15 95 3 5 95 5 1 19 19 1 M.C.M. = 2 2 x 3 x 5 x 19 = 1140
  18. 18. 18 Hallar el m.c.m. de 24, 48, 56 y 168 Como 24 es divisor de 48 y 56 de 168 entonces se puede prescindir de ellos. Entonces de hallará el m.c.m. de 48 y de 168 porque todo múltiplo de éstos números será múltiplo de sus divisores 24 y 56. Ejemplo Práctico N°01 Tres avisos luminosos encienden sus luces de la siguiente manera: el primero cada 6 segundos, el segundo aviso cada 9 segundos y el tercero cada 15 segundos. Pregunta: ¿a los cuantos segundos de iniciadas las secuencias encenderán los tres avisos de forma simultánea? Solución: 6 9 15 2 3 9 15 3 1 3 5 3 1 1 15 5 1 1 1 A continuación se tiene: 2 * 3* 3* 5= 90 Los tres avisos se encenderán simultáneamente 90 segundos después de encendido. 48 2 168 2 24 2 84 2 12 2 42 2 6 2 21 3 3 3 7 7 1 1 48 = 2 4 x 3 168 = 2 3 x 3 x 7 M.C.M. = 2 4 x 3 x 7 = 336
  19. 19. 19 Ejemplo práctico N°02 Hallar el Mínimo Común Múltiplo de 6, 12 y 18 Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36 ... Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 ... Los múltiplos de 18 son: 18, 36, 54, 72, 90 ... El menor múltiplo común a los tres números es 36. Entonces el m.c.m. (6, 2,18) es 36. Ejemplo práctico N°03 Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. Solución.- Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en segundos. 12 = 22 x 3 18 = 2 x 32 60 = 22 x 3 x 5 m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 x 32 x 5 = 180 180 ÷ 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos siguientes sólo coinciden una vez. Sólo a las 6.33 h. Ejemplo práctico N°04 Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? Solución.- 18 = 2 x 32 24 = 23 x 3 m. c. m. (18, 24) =23 x 32 = 72 Los viajeros se encontrarán nuevamente dentro de 72 días. Ejemplo práctico N°05 ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da resto 9? Solución m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 24 x 32 x 5 = 720 720 + 9 = 729
  20. 20. 20 Ejemplo práctico N° 06 Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuantas horas volverá a tomárselos a la vez ? Solución.- Se busca un número de horas que sea mayor ó igual a 12 horas y que sea múltiplo de 8 y 12 a la vez. De todos los múltiplos que cumplen esta condición se requiere el más pequeño por lo tanto, se desea hallar el m.c.m. (8,12) 8 = 23 12 = 22 x 3 M.C.M.= 23 x 3 = 8 x 3 = 24 Juan volverá a tomar sus medicinas dentro de 24 horas. Ejemplo práctico N° 07 Luis y Ana visitan a su abuela cada cierto tiempo. Luis la visita cada 12 días y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de su abuela? Solución.- Se busca un número mayor que 15 y que es múltiplo de (contenga exactamente a) 12 y 15. De todos los múltiplos que cumplen la condición escogemos el valor más pequeño, por lo tanto, buscamos el m.c.m. 12 = 22 x 3 15 = 3 x 5 M.C.M. (12, 15) = 22 x 3 x 5 = 60 Luis y Ana volverán a coincidir en casa de su abuela dentro de 60 días. Ejemplo práctico N° 08 Un autobús A sale cada 6 minutos, el B cada 8 minutos y el C cada 10 minutos. Si los tres han coincidido en la parada a las 7:00, ¿cuándo volverán a estar los tres juntos? Solución.- Se trata de calcular el mínimo común múltiplo de los tres números: 6 = 2 x 3 x 1 8 = 2 x 3 x 1 10 = 2 x 5 x 1 M.C.M. = 23 x 3 x 5 x 1 = 120 12 2 15 3 6 2 5 5 3 3 1 1
  21. 21. 21 Por lo tanto, los tres autobuses vuelven a coincidir 120 minutos (2 horas) después, es decir, a las 9:00. Ejemplo práctico N° 09 El m. c. m de 18; 24 y 15 es: A. 150 B. 200 C. 300 D. 360 E. 180 Solución: 18 2 24 2 15 3 9 3 2×32 12 2 23×3 5 5 3×5 3 3 6 3 1 1 2 2 1 M.C.M. (18, 24, 15) = (23 )(32 )(5) = 8×9×5 = 360 Ejemplo práctico N° 10 Tres ómnibus salen de la misma estación terminal en tres direcciones distintas. El primero tarda 1h 45 minutos en volver al punto de partida, y permanece 15 minutos en la estación. El segundo tarda 1h 5 minutos y permanece 7 minutos en la estación. El tercero tarda 1h 18minutos y permanece 12 minutos en la estación. Se sabe que la primera salida ha tenido lugar a las 6 de la mañana, determine: a) A que hora volverán a salir juntos de la estación b) El número de viajes efectuados por cada uno. Solución.- En problemas de coincidencia en el tiempo se utiliza el M.C.M. pues se busca un múltiplo de los números dados. 1º Se desea hallar los tiempos que tardan cada uno de los ómnibus en hacer el recorrido incluyendo el tiempo de parada y se convertirá a una sola unidad de medida; es decir a minutos: Ómnibus 1 = 1h 45' + 15' = 1 h 60' = 2 h = 120 minutos Ómnibus 2 = 1h 5’ + 7’ = 60’ + 5’ + 7’ = 72 minutos Ómnibus 3 = 1h 18’ + 12’ = 60’ + 18’ + 12’ = 90 minutos Se hallará el m.c.m. de (120, 72, 90). m.c.m. (120, 72, 90) = 360'
  22. 22. 22 lo pasamos a horas: 360/60 = 6 horas a) por tanto, si salieron a las 6 de la mañana, le sumamos 6 horas y volverán a salir juntos de la estación a las 12 de la mañana. b) el número de viajes... ¿se entiende en un día completo? si es así, 24 horas son 1440 minutos, por tanto: el primero hará 1440/120 = 12 viajes en un día el segundo hará 1440/72 = 20 viajes en un día el tercero hará 1440/90 = 16 viajes en un día Otros usos del Mínimo Común Múltiplo: El MCM puede utilizarse para la suma de fracciones de distinto denominador. Lo que debemos hacer es considerar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones y, tras convertirlas en fracciones equivalentes, sumarlas. En otras palabras, supongamos que debemos sumar las fracciones 7/15 y 4/10; a simple vista se aprecia que sus denominadores son diferentes, por lo cual no es posible proceder a sumar sus numeradores. Para resolver dicha operación, tal y como se ha expresado anteriormente, será necesario en primer lugar volver compatibles ambas fracciones. Con ese objetivo, deberemos buscar el mínimo común múltiplo de sus denominadores, que en este caso es 30. Luego, para convertir sus numeradores, dividiremos este valor por cada denominador y multiplicaremos su cociente por el numerador: (30 / 15) * 7 = 14 y (30 / 10) * 4 = 12. Así, con las fracciones 14/30 y 12/30, sólo queda sumar sus numeradores, lo cual nos devuelve la fracción 26/30 (nótese que el denominador permanece intacto). Otro uso del MCM se encuentra en el ámbito de las expresiones algebraicas. El MCM de dos de estas expresiones equivale a aquélla con el coeficiente numérico más pequeño y grado inferior que es susceptible de división por todas las expresiones dadas sin que quede resto.
  23. 23. 23 Ejemplo de aplicación del MCM y el MCD. Hallar el m.c.d y el m.c.m de 24 y de 180 Solución: Primer Paso: se descompone factorialmente aplicando reglas de divisibilidad: 180 2 24 2 90 2 12 2 45 3 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 Por lo tanto se tiene: 180: 22 x 32 x 5 x 1 24: 23 x 3 x 1 En este caso para hallar el m.c.d se tendrá que escoger “factores comunes de menor exponente “, del ejemplo se tiene que estos factores son el 2, 3 y 1. Por lo tanto el m.c.d (24, 180) es : 22 x 3 x 1= 12 En este caso para hallar el m.c.m se tendrá que escoger los “factores comunes de mayor exponente y no comunes”. En este caso el factor no común es el 5 El m.c.m (24, 180) es : 23 x 32 x 5 = 360
  24. 24. 24 CONCLUSIONES Las abreviaturas empleadas para designar al Mínimo Común Múltiplo pueden ser el M.C.M o también m.c.m. El método más intuitivo para saber cual es el mínimo común múltiplo de varios números, consiste en calcular los múltiplos de cada número y, el menor múltiplo común a dichos números será su Mínimo Común Múltiplo. Ejemplo demostrativo: Mínimo Común Múltiplo de 6, 12 y 18 Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36 ... Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 ... Los múltiplos de 18 son: 18, 36, 54, 72, 90 ... El menor múltiplo común a los tres números es 36 Por lo que el m.c.m. (6 , 12 , 18) = 36 Otro procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue: Realizamos la factorización de los números. Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. El m.c.m. será el producto de los factores anteriores. Ejemplo demostrativo: Por ejemplo hallar el Mínimo Común Múltiplo de 36, 84 y 120 Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32 Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7 Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5 Factores comunes y no comunes, con mayor exponente: 23 x 32 x 7 x 5 = 8 x 9 x 7 x 5 = 2.520 Por tanto, el m.c.m. (36, 84, 120) = 2.520 Por lo tanto se verifica que: MCD (a, b) x mcm (a , b) = a x b
  25. 25. 25 De la igualdad anterior se desprende que también podemos calcular el mínimo común múltiplo de dos números, dividiendo el producto de los mismos por su máximo común divisor. Otro concepto que se aceptaría para hallar el m.c.d. seria el siguiente: El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d. (12, 18), se seguirían estos pasos: 1.°Se descompone cada número en producto de factores primos. 2.°El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados. 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 Por lo tanto se tiene que : 12= 22 x 3 18= 2 x 32 m.c.d. (12, 18) = 2 x 3 = 6
  26. 26. 26 Anexo I Propiedades de la Divisibilidad Todo número que divide a otros varios, divide a su suma Por ejemplo: Sea al número 3 que divide a 6, 9 y 12 6 = 3 x 2 9 = 3 x 3 12 = 3 x 4 Sumando ambos miembros de la igualdad, se tiene: 6 + 9 + 12 = (3 x 2) + (3 x 3 ) + (3 x 4) = 3 (2 + 3 + 4) = 3 (9) Esto implica que la suma de (6 + 9 + 12 = 27) contiene al número 3 nueve veces. Por lo tanto, 3 divide a la suma de los números. Todo número que NO divide a otros varios, divide a su suma; si la suma de los residuos que resultan de dividir entre el número que no los divide, es divisible entre este número Por ejemplo: 7 no divide a 15, ni 37 ni 46 El residuo de dividir 15 entre 7 es 1 El residuo de dividir 37 entre 7 es 2 El residuo de dividir 46 entre 7 es 4. La suma de los residuos (1+2+4=)7 es divisible por 7 Entonces: 15 = 7 x 2 + 1 37 = 7 x 5 + 2 46 = 7 x 6 + 4 Sumando las igualdades: 15 + 37 + 46 = (7 x 2 + 1) + (7 x 5 + 2) + (7 x 6 + 4) = (7 x 2) + (7 x 5) + (7 x 6) + (1 + 2+ 4) = 7(2 + 5 + 6) + 7 = 7 (13) + 7 En el segundo miembro de la igualdad, 7 divide a (7 x 13) porque éste es múltiplo de 7 y tambien a 7 porque todo número es divisible por sí mismo. Entonces, 7 divide a la suma de los números dados.
  27. 27. 27 Si un número divide a todos los sumandos de una suma, menos a uno de ellos, no divide a la suma; y el residuo que se obtiene al dividir la suma entre el número, es el mismo que se obtiene dividiendo el sumando no divisible entre dicho número. Sea el número 5 que divide a 10 y a 20 pero no a 22. El residuo de dividir 22 entre 5 es 2 10 = 5 x 2 20 = 5 x 4 22 = 5 x 4 + 2 Sumando miembro a miembro 10 + 20 + 22 = (5 x 2 ) + (5 x 4 ) + (5 x 4 + 2) 10 + 20 + 22 = 5 ( 2 + 4 + 4) + 2 10 + 20 + 22 = (5 X 10) + 2 El segundo miembro de la igualdad nos indica que el número 5 esta contenido 10 veces pero no exactamente siendo el residuo de la división el número 2. Todo número que divide a otro, divide a sus múltiplos Sea el número 3 que divide a 30 Un múltiplo cualquiera de 30 es 30 x 3 = 90 Es decir 30 x 3 = 30 + 30 + 30 En el segundo miembro de la igualdad 3 divide a todos los sumandos por lo tanto dividirá a su suma. Por lo tanto 3 divide a 30. Todo número que divide a otros dos, divide a su diferencia Sea el número 5 que divide a 10 y a 25 Entonces: 25 = 5 x 5 10 = 5 x 2 Restando miembro a miembro: 25 – 10 = (5 x 5) – (5 x 2) = 5 (5 – 2) = 5 ( 3 ) Este resultado indica que la diferencia de (25 – 10 = 15) contiene a 5 tres veces; es decir, 5 divide a 15.
  28. 28. 28 Todo número que no divide a otros dos, divide a su diferencia si los residuos por defecto que resultan de dividir estos dos números entre el número que no los divide son iguales. Sea el número 5 que no divide a 24 ni a 19. El residuo por defecto de dividir 24 entre 5 es 4; es decir 24 = 5 x 4 + 4 El residuo por defecto de dividir 19 entre 5 es 4; es decir 19 = 5 x 3 + 4 Restando miembro a miembro 24 – 19 = (5 x 4) + 4 – {(5 x 3) + 4} = 5 (4 – 3) 24 – 19 = 5 (1) Por lo tanto la diferencia de (24 – 19 = 5) contiene a 5 en 1 vez; por lo tanto 5 divide a la diferencia. Todo número que divide a la suma de dos sumandos y a uno de estos, tiene que dividir al otro sumando Sea la suma 8 + 10 = 18. El número 2 divide a 18 y a 10 Por la propiedad de que Todo número que divide a otros dos, divide a su diferencia entonces: 8 + 10 – 10 = 18 – 10 8 = 18 – 10 Entonces como 2 divide a la diferencia entonces divide a 8 Todo número que divide a uno o dos sumandos y no divide al otro, no divide a la suma Sea la suma 4 + 13 = 17. El número 2 divide 4 pero NO a 13 Entonces 17 – 4 = 13. Si 2 dividiera a 13 como lo hace con 4 entonces tendría que dividir a la diferencia y es no lo es pues 2 no divide a 13. Todo número que divide al dividendo y al divisor de un a división inexacta, divide al residuo Sea la división 24 = (9 x 2) + 6, donde 24 es el dividendo; 9 es el divisor; 2 es el cociente; 6 es el residuo El número 3 divide al dividendo y al divisor Entonces 24 – (9 x 2) = 6 Si 3 divide 24 y a 9 entonces 3 divide a los múltiplos de 9 es decir a (9x2) que es un múltiplo de 9. Si 3 divide a la diferencia (24 – 18) entonces divide a 6 el resultado de esa diferencia.
  29. 29. 29 Todo número que divide al divisor y al resto de una división inexacta, divide al dividendo. Sea la división: 28 = 8 (3) + 4 El número 2 divide al divisor (=8) y al residuo (=2) Si 2 divide al divisor 8 también divide a sus múltiplos en este caso a 8(3) Y 2 divide a 4 porque es múltiplo de él. Y por la propiedad que Todo número que divide a otros varios, divide a su suma; entonces 2 divide a 28. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 cuando termina en cero ó en cifra par. Divisibilidad por 3: Todo número entero es igual a un múltiplo de 3 más la suma de los valores absolutos de sus cifras. Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son cero ó forman un múltiplo de cuatro. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 cuando termina en cero ó en cinco. Divisibilidad entre 7: Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que le queda a izquierda y así sucesivamente, da cero ó múltiplo de 7. Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de a derecha son ceros ó forman un múltiplo de 8 Divisibilidad entre 9 Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9.
  30. 30. 30 Divisibilidad entre 11 Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero ó múltiplo de 11. Divisibilidad entre 13 Un número es divisible por 13 cuando, separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que le queda a izquierda y así sucesivamente, da cero ó múltiplo de 13. Divisibilidad entre 17 Un número es divisible por 17 cuando, separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que le queda a izquierda y así sucesivamente, da cero ó múltiplo de 17. Divisibilidad entre 19 Un número es divisible por 19 cuando, separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que le queda a izquierda y así sucesivamente, da cero ó múltiplo de 19. Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros ó forman un múltiplo de 25 Divisibilidad por 125 Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ceros ó forman un múltiplo de 25 BIBLIOGRAFÍA: “Matemática Superior”. Autor : Editorial Santillana, 2012. Lima, Perú. “La matemáticas básicas” . Autor: Editorial Corefo, 2012 . Lima, Perú. “Matemática fácil con Baldor – Aritmética. Autor: Editorial Septiembre, 2010, Lima, Perú Webgrafía: http://matematica1.com/category/aritmetica-de-baldor/

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