Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Bài giãng sá 13
BUüNE THANE TRIJNE MAT PHANE

'Bài toán vê dtràng thãng Ià mót chü dê chính thuàng xuyên có mãt trong các
...
Nhu váy,  |1ai yéu tó cãn xác dinh 1à: 

1/ Vectc chi phuomg b cüa duàng thãng.  Nguài ta hay s1`r dung các phuong
pháp sa...
Nhán xét: 
Lài giái nói trén minh hoa r6 nét cho phuong háp dã trinh bày (rong phàn mà dàu. 

rm dy 2.- (Dà thi zuyén sinh...
Tça d6 (x;  y) cüa I là nghíém cüa hé phuomg trinh: 

- 1=0 = O
x y* <: > x 1(0;1). 
x+y-1=0 y=1

. ' . - =2 - s - =  -1

...
Viét phuong trinh duàng thãng qua P và cát dhdg tuong (mg tai A,  B sao cho
P là trung aiém cüa AB. 
Giái

 G C113? A= (X[...
Tin' dy I: 
Trong nrãt pháng toa dó cho hai diênn M(l;4) vá N(6;2).  Láp phuong trinh
duànlg tháng qua M sao cho khoáng cá...
VithêAcódang:  ax+by~a~4b=0.
Tacó:  d(N,  A)=5<: >-___-_'6a+2b`a'4b'

Jaz + b2
<: > 2lb2+ 20ab =  0c> b(2lb + 2021) =  o. ...
Vidqua M(l;2), nêntacó:  l+ã= l.(l)
a

Do OAB là tam giác vuóng cãn dinh O,  nên ta có: 
OA =  OB <: > [a] =  [b] (2)
l 2
...
_ Tir hé thírc tim duqc,  dua vào díêu kién (12 + (350. chon giá n;  thích hçrp
cüa u,  B. 
Tlu' dy I:  (963 thi nqén sin/...
Phucmg pháp giái các bài toán thuóc Ioai này ngoài viéc sf:  dung các kién thüc
vê duóng thãng trong hinh hoc giái tích,  ...
v Qi!  A
Vi AC J_ BH mà BH có phuong trinh
x + 3y - 5 =  O,  nên AC có phucmg trinh: 
3x - y + m =  O. 
Do AC qua C(-1; -2...
Buàng thãng qua B vuóng góc vói OA có phuorng trinh y =  -1; diràrng thãng
qua A và vuóng góc vóri OB có phuorng trinh y: ...
AB= AC <: > (x. -2)*+x,2=(x, -2)2+(6-x, )3 c> xf-zx,  +2=xã -8x2+20

<à(x. -1)2-(x2-4)2= 3. (2)
Dãt u =  xi-1;v =  x2-4. K...
Ta có f(O,  6) =  -l0»và f(2, 5) =  -6 nên
suy ra f(0, 6). f(2, 5) > 0 vãy A,  B ó cüng
m6t phía cüa d.  '

Gçi A' là diêm...
_l_.5|4x0+3y0-4|: lñ| xO-4y0+l7[
2 5 2 Jr? 

<= > 14m» + syo- 4I= Ixo- 4yo+1 71 .  <2)

<: >

: _, :2
Tü(l)(2)suyra:  x0 3...
5,41 TAP nmu? 

Bài I. '

Mót hinh thoi có m6t duórng éhéo có phuong trinh là x + 2y - 7 =  O,  mót canh
có phLrong trinh ...
:m:  7.- (Dê : ni _Dgi Ilçc : m6t B -2003)
Trong mãt phãng vói hé toa d6 Oxy,  cho tam giác ABC có AB =  AC, 

iíAC =  90”...
Baigiang13 duong thang trong mat phang
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Baigiang13 duong thang trong mat phang

530 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Baigiang13 duong thang trong mat phang

  1. 1. Bài giãng sá 13 BUüNE THANE TRIJNE MAT PHANE 'Bài toán vê dtràng thãng Ià mót chü dê chính thuàng xuyên có mãt trong các d? : thi toán vào các trtróng Dai 110e và Cao ding, {rong Ilhfmg nãm 2002 ~ 2009. Bài giáng dê cáp dên các phuong pháp chính giái các bài loán Iiên quan dên phuong trinh duóng thãng cila hinh 110e giái tich phãng. 51. cAc BAI ToAN THIéT LAP PHUONG TR1NH BUONG TH/ XNG Nguài ta hay düng các dang sau dãy cüa phuong trinh duóng thãng. ~ 1311u0ng trinh chính tãc cüa duàng thãnng di qua diênx M(xo: yo) vó'i vecto chi phuong m1 = (a: b) (a ; é 0. b 96 0) là: x _JO : - Phuong trính tham só cüa duàxxg thãng qua diém M(x. ,,y(, ) vóri vector chi phuong 11 = (a; b) (15+ b3> O) 151 {x = x, , + at y = yo + bt. ~ Phlrong trinh duüng 11151111; di qua diêm M(xg; yo) và 1111311 vector pháp ñ: (a. b) (az+ b3>0) Ià: a(x ~ xo) + b(y - yo) = O. - P1urong trinh tóng quál cüa duàng thãng Ià: ax + by + c = 0 (ó dáy 28+ b2> o). Duói dang nlày dtràng IIIãIIg 11112311 :1 = (agb) làm vector pháp tuyén. cón 11 = (-b; a) Iàunyecto chi pIIEFUIIg. y Duóng thãng di qua diém M(. u; yo) có hé só góc k sê có phlrong trinh y, = k(x ~ xo) *yo , _ - Phuong trinh theo doan chãn: Duàng thãng cãt hai true Ox, Oy tai hai diêm A(a; 0), aw; b) (a ; e 0. b ; e 0) có dang'. 3 41%- = 1. a Các dang bài tãp co' bán: v Lagi l: Viêt phuong trinh duàxig thãng biét vecto chi phuorng u = (a; b) và mêt diêm M(x(, ,yo) cüa nó. I _ , _ BáyIIà n1ó_t trong nhüng plnrong pháp cor bàn nhãt dê viêt phuorng trinh duàng thãng. Rf! ! : Ihiétl bài toáq quy dtroc vê truórng hçp này (dãc biét Ià truórng hqp duàng thãng di qua hai diênn M(x0; yo) và N(x, ; y. ). 243
  2. 2. Nhu váy, |1ai yéu tó cãn xác dinh 1à: 1/ Vectc chi phuomg b cüa duàng thãng. Nguài ta hay s1`r dung các phuong pháp sau dê xác djnh 1.1: - Tim hai aiém M, N phãn biêt thuóc duàng thãng. Khi dó G: W . - Xác dinh xem duàng thãng cãn tim có song song hoãc vuóng góc vó'i mót duàng lhãng cho truórc nào hay khóng. y 2/ Diêm M thuóc duàng thãng càn tim duqc xác dinh là giao díêm cüa 11ai duàng thãng biét truàc nào dãy, hoãc là các diêm có mót tí11h chát nào dó (nhu trung diênn cüa mót doan thãng, hinh chiéu cüa mót diêm trén mót duàng thãng. .. ) Xét các thí du 111in11 hoa sau dãy: Tiu' 1111 1.- (Dê thi myén sin/ r Dai hgc khói D - 2009) C110 ta1n giác ABC. Diêm M (2;0) Ià trung diêm cüa AB. Duàng trung tuyén và duàrng cao ké tir A 15111 Iuqt có phuong trinh Ià: 7x ~ 2y -3 = O và 6x - y - 4 =0. Viét phuong trinh d11à11gt11ãng AC. A Toa di) (x; y) cüa A Ià nghiêm cüa hé phuorng trinh: {7x-2y-3 =0 {F1 c> 6 x - y - 4 - 0 y = 2. M Váy A (22) , V1 M Ià trung diêm cüa AB, nên toa d6 B duqc xác dinh 1111u sau: B H N C {xB=2xM-xA©{xB=3 ya =2yM _YA ys = -2- _ Váy 81-32) Duàrng thãng BC vuóng góc vói duàng cao AH: 6x - y - 4 = 0, nên có dang: x + 6y + m = O. Do qua B(3; ~2) nên ta có: 3 - 12 + m = 0 : >1n = 9. -VãyBC: x+6y+9=0. _ Toa dó (x; y) cüa trung diêm N cüa BC 1à nghiém cüa hê phuorng trinh: {x+6y+9=0 xzo <: > 7x-2y-3=0 y= -E. . I 3 Vêy N = (Oã-E 1- 11: dó W = (-2;-%J; R = 2571@ = (~4;-3). Duàng thãng AC có vecto chi phuang G: (-4;-3) và qua A(1; 2) nên có dang: x- l y - 2 -= :<z> -3x+3=~4y+8 c>3x-4y+5=0. -4 -3 244
  3. 3. Nhán xét: Lài giái nói trén minh hoa r6 nét cho phuong háp dã trinh bày (rong phàn mà dàu. rm dy 2.- (Dà thi zuyén sinh Dgi ! npc kIwiA - 2009) Cho hinh chü' nhát ABCD có l(6; 2) là giao cüa hai duàng chéo AC và BD. Diêm M(1; S) thu6c duàng thãng AB. Trung díém E cüa canh CD _nãm trén duàng thãng x + y - 5 = O. Viét phuong trinh canh AB. Gçi N là diêun <161 xímg cüa M qua 1. A M DQ M e AB, nên N e CD. Toa d6 cüa diêm N xác dinh nhu sau: ` {xN =2x, -xM c>{xN :11 YN=2YFYM M13*]- VáyN (1`1;-1). _ Vi E nám trén duàng thãng ' x+y+5=0,nênE= (xo;5-xo). D E N C Tir dó: 11:2 : (110 -6;3-x0);1_1-B= (x0 -Ikó-xo). D0 E Ià trung diêm cüa DC 11ê11 có: E _L NB B xo =6 1g, =7. + Néu xo = 6 thi i! :) = (-5;0), Váy AB có vector chi phuang chí1111 là 11 = NE = (-5; 0). Do AB qua M(1;5) nên có dang: {x=1-5t <: >y=5. y=5 c> <xo-6>(xo-H>+13-xo><6-xo) 437x412- 13xo+42=0c>1 +Néuxo=7,thi ü = (-4;-1). Khí dó AB l/ NE nên AB có vector chi phuorng 11 = (- 4; -1). Váy AB có phucmg tr`111h: x - 4y + 19 =0. Tlu' dy 3.- (Dê glxi xuyên sin/ t Cao dãng Su' phgm Hà Nêi - 2005) Trong mat phàng vóri hé toa d6 Oxy, cho tam giác ABC có dinh A(1;2), duàng trung A tuyén BM và duàng phãn giác irong CD có phuong trinh taong {xng 1à 2x + y + l = 0; x + y - 1 = 0. Hãy viét phucmg trinh duàng thãng BC. M D Qua A ké duàng vuóng góc vóí CD cát BC tai E. Già s1`r duàng vuóng góc này cãt CD tai 1. v1 CD 11 phãn giác cüa ê : o lA =11~: . Do B E CD có phuorng trinh: x + y +1 = 0 nên, ãuàng thãng AE có phuong trinh x + y + m = 0. MàAE1aiquaA(1;2), nêntacó: l +2 +m=0 : > m= ~1. Vãy AE có phuong trinh: x - y ~l = 0. 245
  4. 4. Tça d6 (x; y) cüa I là nghíém cüa hé phuomg trinh: - 1=0 = O x y* <: > x 1(0;1). x+y-1=0 y=1 . ' . - =2 - s - = -1 Tirdó suy ra: 1"' x' x^ <: >{`E c>s= (-1;o). . . V1:=3y1”>') 31:0 Vi C 1151111 trén duàng phãn giác x+y+1=0 11ê11 ta có: C(x1,; l-xn). T1`r dó d0 M Iá trung diê111 cüa AC, 11ê11 M= (x0 +1:l-x, ,+2]= [x0+l_3-xo). 2 '7 4. 916111 M 11ã111trê11tru11gtuyé11 BM: 2x + y '+1 = O nên ta có: 2(x"+l)+3`0xt) +1=O<: >x(, =-7:> C= (-7; 8). 2 D1r1`1r11gthá11g BC q11a E (-1; 0) và (-7; 8) 11ê11 có pI11r011gtr11111: 4x + 3y + 4 = 0 T l11' dy 4: (D0 II1i 1107511 sin/ I C110 1111113; Bén T re - 2005) Trong n1àt pháng vói 116 top d6 Oxy, biêt dín11 A <4; -1). phuong tri11h n16t duàng cao, 11161duévngtrungtuyên vê tü' cüng 1n6t dí1111 15111 11161 Ià 2x - 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = (1. Viêt p111r011gtri1111các canh cüa tam giác. A Rã ràng d1`11I1 A (4;-1) khóng t11u6c hai H duàng l11ã11g 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0, nên các duàng cao và trung tuyên ãy khóng di M q11a A. Ta có thé gíá s1`r chüng 1_à phuong trinh c_üa các duóng cao và trung tuyên vê tir B. Dé tháy toa d6 (x; y) cüa B Ià nghiêm cüa hé phuong trinh: B C {2x-3y+l2=0c>{x= -3 2x + 3 y = 0 y = 2 Vãy ca11l1 AB có p11u011gtr11111: 3x + 7y - 5 = 0 (q11a A(4;-1) và B(~3;2)). D0 AC J. BH nên 031111 AC có phuorng trinh: 3x + 2y + m = 0. D0quaA(-4; 1) : > 12-2+n1=0 : a m= -10. Váy canh AC có phu011gtr`1n11 dang: 3x + 2y - 10 = O. Toa d6 (x; y) cüa M 1à 11g11íé111 c1`1a hé phuong trinh: {3x+2y 10-0C>{x-6 D Mmm. 2x + 3 y = 0 y = -4 v1 M là Irung diêm c1`1a AC : > C = (8; -7). Do dó d1rc`711gt11ã11g BC qua B (-3; 2) và C (8;-7)11ên phuong tr1n11 cüa 11ó 1à: 9x + 1 1y + 5 = 0. Tlu' 1111 5: (Dd II11' tuyên sinh Dai hpc Hái Phàng - 2004) Trê11 màt pháng vói hé toa d6 Oxy, cho I1ai duàng thãng d. :x-y+1= 0,113: 2x+y- 1 = Ovàdiêm P(2; 1). B = (-3;2). 246
  5. 5. Viét phuong trinh duàng thãng qua P và cát dhdg tuong (mg tai A, B sao cho P là trung aiém cüa AB. Giái G C113? A= (X[; X[+ B Edz i B = (X2;1-2X2). Ta có: BA = (Ixl - 2;x1); P_B : (x; -2;-2x2). v1 1> Ià trung diêm cüa AB, nên ta có: 4 __ . _ x, -2=2-xq x2'3 P = -PB<: > '<: > x, =2x-, 8 ' x, =-. 3 , 811 _ 4 -5 Dodo: A -; - vaB -; - . 3 3 3 3 Vi thé du1`111gt11ã11g AB có p|1u0'11gtr`11111: 4x - y - 7 = 0. T lu' dy 6: (D0 thi luyêvlt sin/ t Cao ding Slrphgm V1`11I1 Long - 2005) Trong mãt phãng vóri hé toa d6 Oxy, cho tam giác ABC vói A(l;3) và 11a1 duàng trung tuyên xuãt p11át ti: B và C Iãn 11161 có phuong trinh là x-2y+1=0 và y-1=0. Lãp p111r011gtr1nh các canh cüa tam giác ABC. Giái Toa d6 (x; y) cüa trong tãm G 1à nghiêm ^ cüa hé phuong trinh: - 2 1 = 0 '= 1 x y* <: > ` = >0(1;1). N M y-1=0 y=1 Vê 1111111 b1nI1 hành BGCE. T11eo t1'1111 chãt cüa các duàng trung tuyên trong tam giác ta có: GE = GA. B T1`r dó suy-ra ngay: E (1;-1) . Do EC/ / BG, nên EC có dangx-2y+m= O. E Nó lai qua E (1;-1) nên ta có: 1 + 2 +1n = 0 : > m = -3 2 EC có phuorng tr1n11: x - 2y - 3 = 0. Vi thê toa d6 cüa C là nghiém cüa hé phuong trinh: -2 -3=0 = s x y c> x ; c(5;1). y-1=0 y=1 Láp luán hoàn toán tuovng tu, ta có: B(-3; -1). Biét ba dinh cüa tam giác nên dã thãy các canh AB, BC, CA 1àm Iuçt có phucmg trinh: x-y+2=0;x-4y+1=0;x+2y-7=0. Logi 2: Viét phuorng trinh duórng thàng di qua díém M(xo; yo) và có hé $6 góc k. Phucmg pháp này thuémg düng dé giáí các bài toán viet phucng trinh duàng thãng di qua m6t diêm M(xo; yo) và thóa mãn m6t yêu cãu nào dó (thuàng Ià yêu cãu Iiên quan dén khoáng cách). Chü y rãng duàng thàng di qua diêm M(xo; yo) có hai dang x = xo và y = k(x-xo)+yo. Khi 1àm bài, tn`r truàng hop cho sãn dang: y= k(x-xo), néu khóng phài xét dü hai dang nói trén. 247
  6. 6. Tin' dy I: Trong nrãt pháng toa dó cho hai diênn M(l;4) vá N(6;2). Láp phuong trinh duànlg tháng qua M sao cho khoáng cách tü' N tórí nó bàng 5. Giãi DUàIIg thãng A qua M( l ;4) nên có hai dang sau: 1/ x = 1. Khi ao d(N, A) = s, vãy x = 1 là Inót duàng thãng càn 'tim. 2/Acódangy= k(x- I)+4 <: >kx-y+4-k=0. Khi dó d(N, A) = 5 <3 =5 <: > (5k+2)2=25(k2+I)<: >k= -2-]. / k“+I 20 Khi dó A có phuong trinh: 2lx - 20y _+ 59 = O. Nhu thé M có hai dUàIIg thãng càn tim: x =1 và 2lx _ 20y + 59 = o. Tiu' (lu 2: Trong mãt phãng toa dó cho hai diêln A(1;2) và B(5;~1) Viét phuomg trinh duàng thãng qua (3;5) và cách dêu A, B. QE Duàng thãng A qua P(3;5) có hai dang: I/ x=3. Khi dód(A, A)=3- I =2;d(B, A)=5-3=2. Váy x = 3 Ià duóng thãng càn tim. 2/Acódang: y=k(x-3)+5 c> kx-y+5-3k=0 Khidótacó: d” Ma@ A)©]k. -2+5-3k| =|5k+l+5-3k| ~}k2+1 xlkz+l 3 <: >|3-2k]= |6-2k] <: > k= -Z. Khi dó A có phuoxag trinh: 3x + 4y - 29 = 0. Váy có haí duàng thãnug x = 3 và 3x + 4y - 29 = 0 thóa mãn yêu cãu dàu bài. Nhán xél: Qua các thí du trén ta dã thãy r6 néu khóng xét truàng hop x = xo thi có thê sé dãn dén khà nãng làm nnãt nghiêm cüa bài toán. Logi 3: Sü dung phuomg trinh tóng quát dé viét phuong trinh duóng thing. Nhu dã biét: Ax + By + C = O, vói A2 + B2> O, là phuorng trinh têng quát cüa duàng thãng. Khi sir dung phuang trinh duói dang này bài toán quy vê tim A, B, C. Thóng thuàng tü các díêu kiên ban dàu ta sê có m6t hoãc hai phuorng trinh dé tim ba àn A, B, c. Vi thé ta phái sü' dung aaêu kién A* + B2 > o, aé tü' mót hê thüc giüa A, B sê cho A (hoãc B) là mót giá tri cu thê, tü' dó sê tim duqc B (hoãc A). Luu y ràng, dó chính là quy tãc chung dê giái m6t hê phuong trinh mà sá phuong trinh ít hon só ãn. Sir dun phucng pháp này sê thích hop cho viêc giái các bài toán thuóc loai 2, mà khóng can xét hai truàng hop x = xo và y = k(x - xo) + yo_ Tlaítly 1: I Trong màt phãng tQa d6, cho hai diêm M(1; 4) và N(6; 2). Láp phuong trinh duóng thãng qua M sao cho khoàng cách tir N tói duàng thãng dó bãng 5. Giãi Goi duàng : hàng A phái tim na ax + by + c = 0, vó'i a*+ b* > 0. DoAquaM nêntacó: a+4b+c=0 c= -a-4b. 248
  7. 7. VithêAcódang: ax+by~a~4b=0. Tacó: d(N, A)=5<: >-___-_'6a+2b`a'4b' Jaz + b2 <: > 2lb2+ 20ab = 0c> b(2lb + 2021) = o. -Nêu b=0. D0a2+ b2> O, nên chona= l : > c= ~l : > A: x= l. ~_-Néu 21h + 20a = 0. D0 a3+ b2>0, nên clíçn a=2l : t> b= -20 : > c= 59 : > A=2Ix-20y+59=0. Ta thu lai két quá cüa thí du 1, Ioai 2 ótrén. Tlzidy 2: Troxgg màt pháng toa dó, chç hai diém A(I; 2) và B(5; -I ). Viét phuorng trinh mg tháng qua (3; S) và cách dêu A, B. @i Duàng thãng A qua P có dang: ax + by + c = 0, vói a2+ b2> O. Do qua P(3;5) nên ta có 3a + Sb + c = 0 c = -3a - Sb. Vi thé A có dang: ax + by ~ 3a ~ Sb = 0. Tacó: dok A)___d(B, M@ | a+2b~3a~5b| :ISa-b-3a-SbI _ Jaz + b2 Jaz + b2 <: > (-2a - sbf = (2a - 6h): <: > b(3b - 4a) = 0 -Nêru b=0. D0a2+ b2> 0, nên chona= l A: x=3. -Néu 3b-4a= 0. D0a2+ b2>0, nênchon a=3, b=4 c= -29 A: 3x+4y-29=0. Ta thu lai két quá cüa thí du 2, Ioai 2 ór trén. pogi 4: Phu0ngtrinl1 dbràng : iláng theo dean chãn: Nguài ta sü dung cách viêt phuang trinh theo doan clmánl (rong nhüng bài toán mà các yêu càu dàu bài dói hói tính toán các giao diêm (a;0) cüng nhu (0;b) cüa duàng thãng vói truc hoành, tmc tung. Chi cãn luu y rãxlg: xxéu A = (ag O), B = (0; b) thi OA = la! , OB = |b| . Xét các thí du sau: Thi dy I: Trén Inãt phãng xOy, cho diém M( l;2). Viét phuong trinh duànlg thàng qua M sao cho OAB là tam giác vuóng cãn, ó dãy A. B lãn ! um là gíao diêm cüa duómg thãnag dó vói true hoành và truc tung. = 5 c: > (Sa - zbf = 25(a2+ b2) Giái Giá sü d là aubng zbáng qua M. Goi A (aç o), B(0; b) Iàn lugr: là giao aiém cüa d vói truc hoành và truc tung. Lüc này theo phuorng trinh doan chán, d có dang: 35 +~ã = 1 a 249
  8. 8. Vidqua M(l;2), nêntacó: l+ã= l.(l) a Do OAB là tam giác vuóng cãn dinh O, nên ta có: OA = OB <: > [a] = [b] (2) l 2 _ _:1 = b:3 ' Vãytacóhé: a+b c>[: __l_b_] | al= |bl ' ' Nhu vày có hai duàngthãng cãn tim: ã+ã= l và -? +Ty= l. Tiu' (Iy_2: ' _ Cho diênn M(4; 3). Viêt phuang trinhxíuàng thãng d qua M sao cho nó tao vóri hai truc toa dó mót tam giác có dién tích bãng 3. Giãi Giá sü' d n Ox = A(a; 0), d nOy = B(O; b). Khi dó theo phuorng tr-inh doun chán thi d có dang: 3 +ã = l . _ a . . 4 3 Dodqua M (3;I), nen ta co: ~+-= I . (1) a b d2 d] Ta có: so, ., : ào/ xos = ' a' " h'. Theo gíá thiét suy ra: |a]. |b| = 6 (2) l Giái hé (l) (2) ta có: (ban doc tu làm) a = 2;b = -3 a = -4; b = 2 Váy có hai duàng thãnng càn tim: E-Ln và Jil: . 2 3 _ Lagi S: Sü' dung phuorng trinh “chüm duàng thãng"z Sü' d1.' A| X + B| y + C] = O Và d2: Azx + B; y + Cg = 0 Ià hai duàng thãng cát nhau tai l. Khi dó moi dLrórIIg thãng d qua 1 có dang : a(A. x+B. y+C. ) +B(A3x + Bgy + Cg) = 0 (l), vóvi (42+[32>O. (l) gçi là phuorng trinh chüm duàng thãng sinh bài d, , d3. Nguàri ta sü dung phuong trinh "chüm duàng thãng" dê giàí các bài toán có dang sau: - Viêt phuong trinh duàng thàng di qua mót díêm l là giao diênn cüa hai duàng thãng d. và d; cho truóc và thóa mãn mót diêu kién nào dó. Phuang pháp giái nhu' sau: - Viêt phuorng trinh (l). - Dua vào diêu kién dãu bài lãp duqc m6t hé thírc giüa a và B. 250
  9. 9. _ Tir hé thírc tim duqc, dua vào díêu kién (12 + (350. chon giá n; thích hçrp cüa u, B. Tlu' dy I: (963 thi nqén sin/ r Dai hgcflái Pltàng - 2004) Trong mãt phãn); Oxy cho hai duàng thãpg dp x - y + l = 0 và qz: 2x + y - l = 0 và diêln P(2;1). Viêt phlrong trinh duàng thãng di qua P và giao diê_m cüa d. , d3. Giái Duàng thãng d qua gíao diêm cüa al, nên nó thuóc chüm: u(x-y+1)+B(2x+y-1)=0 (I) D0 d qua P021). nên thay x = 2, y = I vào (1)và có: a(2-1+1)+ B(4+1-1)=0c>a+2p=0 (2) D0 a3+B3>0 nên tir(2)chor1 a = 2, [3 = -I thay lai vào (I) và có: y = l. Tlrirly 2.' _ Cho tam giác ABC. Ba canh AB, BC, CA lãn lugt có phrrmag trinh là 4x+yj12=0,4x+ 5y-20=0vàx~y-3 =0. Viêt phuong trinh ba duàng cao cüa tam giác. ` Giái _ Chiéu cao AA' di qua A là giao diêm cüa AB, AC, nên tlmóc “chüm dtróng thãng" sau: a(4x+y- I2)+ B(. -y~3)=0 c: >(4u+[3)x+(u+[3)y~12u-3B=0(1) Vecto pháp cüa AA: Ià Inn, . = (4u + Bm - B). Vector pháp cüa BC Ià: = (4; 5). D0 AA` A BC nên ta có ni] . ni, =0 <: > 4(4a + B)+5(u ~ B) =0 c» 2 lu - B = O (2) D0 a3+B2>0, x1ênch0nu = l: B = 21. Thay lai vào (l) có: AA`= 25x-20y-75 =0 <: >5x-4y- 15 =0. Floàn toàn taong tu. hai chiêu cao BB' và CC' có phumrg trinh Ià: 2x+2y-9=0và2x- 12y- l =0. 52. cAc BAI TOAN xAc DINH anim NHO PHUONG TRINH BUONG THANG Các bài toán xác dinh diênn nhà phtrmrg trinh duóng thãnmg Ià mót Irong hai nói dung chính cüa chuyên muc duóng tIIãIIg Irong hinh hoc giài lích phãng. Horn thé nfra, trong các cáu Inói thi có nói dung vê duóng thãng trong các dê thi tuyên sinh vào Dai hQC Irong Ilhfrng : Iãln 2002-2009, thi các bài toán thuóc Ioai này chiém u Ié tói 85%. 251
  10. 10. Phucmg pháp giái các bài toán thuóc Ioai này ngoài viéc sf: dung các kién thüc vê duóng thãng trong hinh hoc giái tích, cón sir dung nhíêu dén các phép tính vê tga dó vecto' trên mãt phãng. - Lagi l: Xác dinh diém nhà tuong giao cüa haí duàng thãng: Dáy là lnót Irong nhüng phuomg pháp chính dê xác dinh díêm trên mãt phãng. Nguài ta dua vào diêu kién dãu bài quy diém cãn tim là giab diém cüa haí duàng thãng xác dinh nào dó. Các duémg thãng này hoãc dã có sãn, hoãc phài tim phuomg trinh cüa duóng thãngdó (mà ta dã biét rãt nhiêu cách giài aa trinh bày trong êl). ' Tiu' dy 1.- (Dê thi tuyên sinh Dai lipc knái B - 2008) Cho'tam giác ABC, biét hinh chiêu vuóng góc cüa C trên AB là H(-1; 1). Duàng phãn giác trong cüa A có phucng trinh x - y + 2 = 0, duàng cao ké tü B có phuorng trinh 4x + 3y - 1 = O. Tim tga dó dinh C. Goi K là diêm dói xírng cüa H qua phãn giác cüa góc A. Giá sf: HK cát dubng phãn giác này tai diéln M(xo; yo). Do M thuóc duémg thãng' x - y + 2 = 0 nên M(xo; xo+ 2). Ta có HM : (x0 + l; x(, +3). Duórng phãn giác góc A Ià 7 ----------- -' x - y + 2 = 0, nên có vector chi phuomg ü= (1;1). vimé am15 <: > íñü =0 <: >x0+1+xu+3=0¢: >xo= -2 : > M(-2; 0) Do M là Irung diêm cüa HK, mà H(-1; -1) nên K(-3; l). Duimg cao BP có phuong trinh 4x + 3y - 1 = 0, nên canh AC có phuorng trinh: 3x - 4y + m = 0 Mãt khác AC qua K(-3; l) nên ta có: 3(-3)-4.1+In = 0 <: > m= 13. Vi thé AC có phuorng trinh: 3x-4y+l3=0. Toa dó giao díêm A là nghiém cüa hé phuong trinh: 3x+4y+7=0 xz-Jà 10 3 <3 3 : CK--a-J. 3x-4y+l3=0 3 3 4 Y= Z Tltítlu 2: (D0 ! Ili tuyên sinh Cao dting khóí A - 2009) Cho tam giác ABC có C(-1; -2). Duàngjrung tuyên ké tü A và duàng cao ké tír B làn Iuot có phuong trinh Ià: 5x + y - 9 = 0 và x + 3y - 5 = 0. Tim toa dó các dinh A, B. 252
  11. 11. v Qi! A Vi AC J_ BH mà BH có phuong trinh x + 3y - 5 = O, nên AC có phucmg trinh: 3x - y + m = O. Do AC qua C(-1; -2), nên có: -3+2+m=0 3 m=1. Vãy AC có phuong trinh: 3x -y + 1 = 0. D0 dó toa d@ (x; y) cüa A Ià nghiêm cüa hê phuorng trinh: B M {5x+y-9=0 {x=1 ' <: > 3 x - y + 1 = 0 y = 4 Goi toa dó cüa B là (xo: yo). Do B eBH : > xo+ 3yg- 5 = 0 (l). TaCóM= 2 ' 2 Vi M nãm trén duàng trung tuyên AM: 5x + y - 9 = 0, nên ta có: a(x” "j+[y0 `2j-5=0. (2) 2 2 Tü' hê (l) (2) suy ra: x_o= S; yo= 0 B(5; 0). TIN' tlg( 3: (Dê ! Ili tuyên sinh Dai hqc khàri A - 2004) Trong mãt phãng Oxy cho A(0;2) và B(x/3;-l). Tim toa dó truc tãm và toa dó tãm duàng trón ngoai tiêp tam giác OAB. Giãi * Toa dó tãm duàng trón i1goai tíép tamEi-c: Duóng thãng OB có hê só góc là: k : -1 -0 2 L ' -ñ -0 J? ' Do dó duàng trung truc cüa OB có hé só góc k; = -s/3. Trung diêm M cüa J? 1 OB có toa dó M[~-~; --j. Vãy, 2:» A(1;4). 2 2 duóng trung truc cüa OB có phuong trinh: y= -~/3[x+{_j-%<: >y= -J3x~2. Trung truc OA of; phuorng trinh y = 1. Goi 1 Ià tãm duórng trón ngoai tiép AOAB, thi 1 là giao díêm cüa I1ai duàng trung truc nói trên. Tt`r dó suy ra toa d6 diém 1 là nghiém cüa hé: {y= -~/3x-2c>{x= ~s/3 y : l y z *Toa dó truc tãm cüa tam giác: : >1(-x/3;I). 253
  12. 12. Buàng thãng qua B vuóng góc vói OA có phuorng trinh y = -1; diràrng thãng qua A và vuóng góc vóri OB có phuorng trinh y: -x/3(x-O)+ 2 hay y= -/3x+2. Giao cüa y = 1 và y= -x/3x+ 2 chính Ià truc tãm H cüa tam giác. Vi váy, toa d6 H Ià (x/3;~1) Logii 2: Xác dinh diêm nhó' các phép tính Vector Trong muc này_ xét các bài toán xác dinh diêm xác dinh các phép tính vector nhu các cóng thfrc vê khoàhg cách, tích vó huórng cüa hai vector Thi dy I: (Dêjhí tuyên sinh Dai ! roc khàti B - 2004) _ _ Trong mãt phãng Oxy cho A(l;1), B(4; -3). Tim toa d6 diêm thu6c duàrng thãng d: x-2y-1=0 sao cho khoáng cách tír C dên duóng thãng AB bãng 6. Giãi Duórng thãng AB có phuong trinh: x- 1 v-l -_ = v ~4 -1 = 3 - I 4 _3_, © (K ) (y ) <: > 4 x + 3 y - 7 = 0 . Goi C(xo; y0) Ià diêm trên d, khi dó ta có: xo-Zyo- 1 = 0 : > xn= 2yq+ l : >C`(2yu+1;yn). Khoáng cách tir C dên AB bãng 6_t1'rc Ià: 4 2 1 3 ~7 $6 Cg 1 iyo 41:30 @P 1y. . 4:30 C yo a? ” 43 11 _3=-30 : --; =__' Yo Yo I 1 Xo l I Váy có hai diêm C cãn tim là C. (7;3) _và T In' dy 2: (D0 thi tuyên sinh Dgi hgc khái B - 2007) Trên mát phãng toa d6 cho diêm A(2;2) và hai duàrng thãng d. : x + y - 2 = O, d3: x + y - 8 = 0. Tim B, C taong ung Irong d. và d; sao cho tam giác ABC Ià tam giác vuóng cãn tai A. Gíà 51': B(x. ;y, )ed1. thi B(x. ; . . - xl); C(x3; yg) e d2, thi C(x3; 8 - x3). Ta có: AB= (x, -2;y, -2)= (x, -2;-xl) AC = (x2 -2;6-x2) Do ABC Ià tam giác vuóng cãn tai A, nên truóc hét ta phái có: AB _L AC <: > AB. AC = 0 <: > (x. - 2)(x3- 2) - x. (6 - x3) = 0<: > x. x3 - (x. + x3) +2 -3x. = 0 <3x. xg~4x1-x3+4=2<: >(x. -I)(x; -4)=2. (I) Mãt khác, ta cón có: 254
  13. 13. AB= AC <: > (x. -2)*+x,2=(x, -2)2+(6-x, )3 c> xf-zx, +2=xã -8x2+20 <à(x. -1)2-(x2-4)2= 3. (2) Dãt u = xi-1;v = x2-4. Khi dó, tü' (l) và (2) ta có hê: UV=2 u=2;v=1 x, =3;x2=5 2 2 <3 C” - :3 u= -2;v= -l x, =-l; x2 :3 u - v Váy có hai cãp diêm B, C thóa mãn yêu cãu bài toán: B. (3; -1), Ci(5; 3) và B2(-I; 3). C2(3; 5)- _ ni! dy 3.- (Dêírhi tuyên sinh on: Ilac knái A - 2006) Trong mãt phãng vói 116 toa d6 Oxy cho các duàng thãng d. : x + y + 3 = 0 và d2: x - y - 4i= 0, dy: x - 2y = 0. Tim toa d6 các diêm M nàm trên d3 sao cho khoàng cách : i: M dén d. bãng 2 iàn khoáng cách : i: M dén d2. Già sir M e d2 M(2ya; yo), theo bài ra ta có: z. , 13Y0+y0+31= Izyo-yo-“il Yo= '“ d(M, d,) . .d(M, d2)<: > . J? 2 Ji okz! . Váy trên d; có hai diêm cãn tim: M. (-22;-1 l) và M2(2;I) Thi da 4.- (pê un' tuyên Sin/ I Dai Ilac khói A - 2005) Troiig mãt phíing cho hai duàiig thãng d. :x-y=0vàd2:2x+y-1=0.Timt6ad6các d2 dinh hinh vuóng ABCD, biét A thu6c d. , C thu6c d2, cón B. D thu6c truc hoành. Giá sü' Iioành d6 cüa A Ià x0. Do A e d. nên A(xo; x0). Vi B, D nàm trên Ox nên A và C ddi xirng vóí nhau qua truc hoành; do dó C(xo; -xo). Mãt khác, Ced2, nên ta có: Zxo- xg-1= 0 <: > xo= l. Ti`r dó A (1;1), C(1;-l). Gçi 1 Ià trung diém cüa AC, thi l( 1 ;0). D0 ABCD là hinh vuóng, nên: lA = lB = IC =1D. Tirdó, suy ra duçrc toa d6 cüa B và D là: B(O; O), D(2; 0) hoãc B(2; O), ^ B(O; 0) Tliitla 5: (D3 ! Iti tro-dit sin/ i Dai hae kindi B - 2009) Cho tam giác ABC dinh A(l;4), hai dinh B, C nãin trên duàng thãng A: x - y - 4 = 0. Biét ràng dién tích cüa AABC bàng 18. Tim toa d6 các dinh B, C. Giài B H C Khoàng cách tit A tóii duàng thãng A Ià: 255
  14. 14. Ta có f(O, 6) = -l0»và f(2, 5) = -6 nên suy ra f(0, 6). f(2, 5) > 0 vãy A, B ó cüng m6t phía cüa d. ' Gçi A' là diêm dói xüng cüa A qua d; H Ià hinh chiéu cüa A trên d, vecta pháp tuyên cüa d Ià ñ = (1~, -2). Giá sü' toa dó cüa H là H(xo; yo). thé thi: x0- 2yo+ 2 = 0 : >xo = 2y. , ~ 2. Suy ra: H(2yo - 2;yo) và m = (2yo - 2; yg ~ 6). Vi Ai cüng phuong vói ñ, nên ta có: 2y 0 ' 2 = hi? . 1 -2 <: > yo=2 : > H(2;2). <: >-4y0+4=y0-6 ` _ _ , `_ XA~=2XH-XA x^. =4 , _ VI vay, toa doA la. <: > <: > A (4,~2). YA' =2YH 'YA YA' = “2 Duórng thãng nói A'(4;-2) và B(2;5) có phucng trinh: x-4 y+2 = 7 -4 = -2 2 7 2 -24=0. _2_4 5+2c> (x ) (y+ )<: > x+ y Toa d6 diénn M là nghién} cüa hé: x = H {x-2y+2=0 Q 4 3M[1_1;_12 7x+2y~24=0 _19 4 B ` s Chzí y; Qua thí du trén, nói ríêng ta dã biét duqc cách tim hinh chiéu cüa m6t diêm trén mót duàrng thãng. Th! tlg: 6: Trong mãn pháng tça di) cho bén diêm A(I;0), B(-2;4), C(-I;4) và D(3;5). Gíá sü' A Ià duàng thãng có phuong trinh 3x-y-5=0. Tim diêm M trên A sao cho hai tam giác MAB và MCD có dién tích bàng nhàu. Ta có AB=5, CD = Gçí (xag/ o) là tça dó cüa diêm M nãm trên A. Khi dó ta có: 3x0-yo=5 (l) Dê thãy các dxràng thãng qua A, B và C, D làn ! um có phuong trinh: 4x+3y~4 = 0 và x-4y+l7=0. Tü' dóí SMAB= SMCD 257
  15. 15. _l_.5|4x0+3y0-4|: lñ| xO-4y0+l7[ 2 5 2 Jr? <= > 14m» + syo- 4I= Ixo- 4yo+1 71 . <2) <: > : _, :2 Tü(l)(2)suyra: x0 3 y” x0 : -9;y0 : - -32 Vày trên A có hai diêm càn tim: M. ($2) và M; (-9;-32). T lu' dy 7: Cho tam giác ABC có díén tích bàng à và hai diêm A(2;-3) và B(3;-2). Trong tám G cüa tam giác nãm trên duàng thãng 3x - y ~ 8 = 0. Tim toa dó dinh C cüa tam giác. . A Goi M Ià trung diêm cüa AB : > Míãg-ã). Duórng thãng nói A(2;-3) và M B(3; -2) d3 tháy có phuong trinh: x - y - 5 = 0. Vi G là trçng tám AABC 1 1 B C nên SABG = ESABC = "2" . Giá sü' G (x0 ; yo), nên ta có: 3xo-y0-8=0 (I) Ta có AB= JE nên khoáng cách t: : 0 tói AB Ià: d (G, AB) = zíüêí* = l? . , , x -y -5 J? Tudntaco: = T<3|x0-y0-5|= l.(2) :5 G: TCr(I)(2)suyra: [x0 y” <: > ( _) (3) _ x0 = 2;y0 : -2 G = (2', -2) , C= (2;-2) Ap dung cóngthüctínhtoa dótrong tãm, tir (3) suy ra: C_(l_ I) 258
  16. 16. 5,41 TAP nmu? Bài I. ' Mót hinh thoi có m6t duórng éhéo có phuong trinh là x + 2y - 7 = O, mót canh có phLrong trinh x + 3y - 3 = 0, m6t dinh Ià (0;i). Viêt phuorng trinh ba canh cón lai và duómg chéo thi} hai cüa hinh thoi. ~ Dáp - Duàng chéo thü' hai: 2x - y + i = 0 -Bacanhz x+3y- 17=0; 9x+ i3y-83=O; 9x+ i3y- i3 =0. Bài 2: Trong mãt phãng xOy, cho hai diêm M(l;4) và N(6;2). Láp phuong trinh duàng thãng qua N sao cho khoàng cách tf: M tóri nó bãng 2. D . _a y=2 apso. 20x+2ly~i62=0. Bài 3: Trong mãt phãng Oxy, cho diêm M(3;I). Viêt phuong trinh duàng thãng qua M và cãt hai nüa truc Ox, Oy taong üng tai A, B sao cho OA+OB dat giá tri bé nhát. x y 3+Jã+i+sf3 Dáp . s'ó': = l . Bài 4: Trong mãt phãng vói hé toa d6 Oxy, cho tam giác ABC có dinh A(l;0) và hai duóng thãng iãniuqt chüa duàng cao ké ti: B và C có phuomg trinh: x-2y+i=0 và 3x+y+I=0. Tính dién tích tam giác ABC. Dáp sa; 14 (dvdt). Bài 5: Trong mãt phãng vóri hé toa dó Oxy, cho duàng thãng d có phuomg trinh: 2x+3y+i=0 và diêm M(i; i). Viêt phuomg trinh cüa các duàng thãng qua M và tao vói d mót góc 45”. . 5. - 6 = 0 Dáp só: H y x - 5 y - 4 = 0. Bài 6: Trong mãt phãng vói hé toa d6 Oxy, cho tam giác ABC vói A(1;2). Duàng trung tuyên BM và duàng phãn giác irong CD tirang img có phuang trinh Ià 2x + y + i = 0, x + y - i = O. Viêt phuang trinh duóng thãng BC. Dápsó:4x+3y+4=0. 259
  17. 17. :m: 7.- (Dê : ni _Dgi Ilçc : m6t B -2003) Trong mãt phãng vói hé toa d6 Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC, iíAC = 90”. Biêt M(1;-I ) Ià trung diêm cüa BC và egw) Ià Irong tãm cüa tam giác ABC. Tim toa dó các dinh A, B, C. , A(0;2), B(-2;-2), C(4;0) Dáp só: A(0;2), B(4;0), C(-2;-2). Bàí 8: Trong mãt pháng vóri hé toa dó Oxy, cho tam giác cãn ABC dinh A, có trong tãm G Phuorng trinh duàng thãng BC Ià x - 2y - 4 = 0, phuong trinh duàng thãng BG Ià 7x - 4y - 8 = 0. Tim toa dó các dinh A, B, C. Dáp A(0; 3), B(O; -2), c(4; o). Bài 9: (Dê thi tuyên sinh Dai [mc kltói B - 2002) Trong mát pháng Oxy, cho hinh chü Iihát có tãm Ií-àw). Phuaiigtrinli duàng thãng AB ià x ~ 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tim toa dó cüa dinh A, B, C, D biét ràng dinh A có hoành dó ãm. 1 Dáp so'. - A(-2; o), B(2; 2), c(3; o), D(-i, _2). Bài 10: _ Trong mãt phãng Oxy cho A(0;2) và duàng thãng d: x - 2y + 2 = O. Tim trên d hai diém B, C sao cho tam giác ABC vuóng à B và AB =2BC. 2 6 « 4 7 D' B -; - ` C0;i h C -; ~. apw (5 Sjcon ( ) oãc [s S) 260

×