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Competencia 4

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Competencia 4

  1. 1. 1 Competencia 4: Expresiones algebraicas racionales y raices de polinomios. (Duracion 11.5 hrs.) 1.1 iC-19 Suma y/o resta expresiones algebraicas racionales, simpli…cando el resultado. ( 2hrs.) Ejercicios: 3xy (x + y) (x 1.2 2x 3y 5z + 3yz 5xz 7xy 2b 5c a + 3b2 c 9ac2 18a2 b a b b b2 + a a + b a (a + b) 2 x 3xy 4xy + 2y) (x y) (x 2y) (x + y) (x y) 3 2 2 x 3x + 2 x (3x + 2) = = = = = 70x2 + 63y 2 75z 2 xyz 6a3 c 4ab3 + 5bc3 18a2 b2 c2 a 2b a x3 3x2 y + 2xy 2 (x + y) (x y) (x 2y) 1 x iC-20 Multiplica y/o divide expresiones algebraicas racionales, simpli…cando el resultado. (2hrs.) Pasos para multiplicar expresiones racionales: Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números racionales. 1. Multiplicar los numeradores. 2. Multiplicar los denominadores. 3. Simpli…car el resultado si es posible. x2 x2 2x4 y 5 3x2 3x 10 4x + 4 15x2 8x3 y 2 x 2 x 5 = = 5xy 3 4 x+2 x 2 Pasos para multiplicar expresiones racionales: Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números racionales. 1. Se multiplica el numerador de la primera expresión por el denominador de la segunda expresión. 2. Se multiplica el denominador de la primera expresión por el numerador de la segunda expresión. 1
  2. 2. 3. Se simpli…ca el resultado si es posible. 3x + 3 x2 1 15x2 5x2 3 6 x+1 x2 2x + 1 = 6x2 = 3x 3 x+1 Ejercicios: 3x5 y 3 10x3 y 4 2x3 y 7 9x2 y 5 x+2 x+4 3x + 12 x 4 x+5 x 3 4x + 20 x2 9 x2 2x x + 1 x2 1 x 2 2 x 2x 8 x + 4 x2 16 x+2 3x + 6 5x + 10 8 6 4a 12 8a2 5a + 15 a2 + 31a x2 9 x+3 2 x 4 2x 4 x2 9 2x2 + 5x 3 2x2 6x 4x2 1 2 2 x 6x + 9 x 2x 3 x2 3x 3x2 + 3x 6a3 c 15ab 7ab2 2 2b 2bc 21a 3bc2 1.3 = = = = = = = = = 5x3 3y 5 1 3x 6 1 4x + 12 x x 1 1 9 20 a 3 10a 2x 6 x+2 x 2 3x2 = 3 = ac 5 iC-21 Simpli…ca expresiones algebraicas racionales, incluyendo fracciones complejas. (2.5 hrs.) Ejercicios: 2
  3. 3. 1 x 2 1 x 3 x 2 x2 2 x2 3 x+3y x+y 1 + xy y x + 2 x2 1 2 x 1 x+2 1 x y 2 1 + xy+2y2 x2 y 1 + 1 x 1.4 = 2x = x 1 1 = 2 (x y) x+y = x+2 x 1 = x+y x2 + xy + y 2 iC-22 Calcula el residuo que resulta al dividir un polinomio de grado 3 ó 4, por un factor lineal, utilizando división sintética. (2.5 hrs.) La división sintética es un procedimiento por medio del cual se puede dividir un polinomio de solo una variable, de orden n, entre un polinomio de orden 1 de la forma x a donde x es la variable y a es una constante. Después de realizada la división se obtiene como cociente un polinomio de orden n 1 y el residuo que es un número. Ejemplo: Efectuar la siguiente división. 1. x3 2x2 + 5x + 3 entre x 2. Paso 1: Para comenzar se obtienen los coe…cientes del polinomio en orden decreciente y se escriben horizontalmente separados por espacios. Si falta un término de correspondiente a algún orden, se coloca cero en su lugar. Se escribe a la izquierda separado por una línea vertical el valor despejado de a (es decir, x 2 = 0 dado que es un factor del polinomio, por lo tanto x = 2). Se dibuja una línea horizontal por debajo de a. Con esto queda planteada la división sintética, como se muestra a continuación: 1 -2 5 3 2 Paso 2: El primer término del polinomio se escribe tal cual debajo de la línea horizontal. 3
  4. 4. 1 -2 5 3 -2 2 5 3 2 1 1 2 1 Paso 3: Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea horizontal en la columna correspondiente al orden siguiente. Paso 4: Se suma el coe…ciente del polinomio que está justo arriba del número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se escribe debajo de la línea horizontal. 1 2 1 -2 2 0 5 3 Paso 5: Se repiten los pasos 3 y 4 hasta terminar escribiendo debajo de la línea horizontal la suma correspondiente al último orden. 1 2 1 -2 2 0 5 0 5 3 10 13 Paso 6: Se interpreta el resultado de la división. El último número es el residuo y los números anteriores son los coe…cientes del cociente de orden n 1. Por lo tanto el resultado es el siguiente: El cociente es: x2 + 5. El residuo es: 13. Por lo tanto se tiene: x2 + 5 + 13 x 2 Ejercicios: 1. 2x4 3x3 15x2 10x+6 entre x 3. R.- Coe…ciente 2x3 +3x2 6x 28 con residuo igual a 78. 2. x3 5x2 + 3x + 14 entre x igual a 5. 3. R.- Coe…ciente x2 4 2x 3 con residuo
  5. 5. 3. 2x3 5x2 + 7x 8 entre x residuo igual a 68. 4. R.- Coe…ciente 2x2 + 3x + 19 con 4. 4x3 3x2 + 12x 9 entre x + 2. R.- Coe…ciente 4x2 residuo igual a 89. 11x + 40 con 5. x4 3x2 +2 entre x 3. R.- Coe…ciente x3 +3x2 +6x+18 con residuo igual a 56. 6. x4 2x2 5 entre x+3. R.- Coe…ciente x3 igual a 58. 3x2 +7x 21 con residuo 7. x4 11x3 + 26x2 + 44x 120 entre x + 2. R.- Coe…ciente x3 52x 60 con residuo igual a 0. 8. x4 9x2 + x + 3 entre x igual a 0. 3. R.- Coe…ciente x3 13x2 + 3x2 + 1 con residuo 9. 5x4 3x3 + 2x2 7x + 3 entre x 1. R.- Coe…ciente 5x3 + 2x2 + 4x 3 con residuo igual a 0. 10. 2x4 3x3 + 6x2 4 entre x con residuo igual a 412. 4. R.- Coe…ciente 2x3 + 5x2 + 26x + 104 iC-23 Encuentra las raíces racionales de una ecuación polinomial de grado 3 ó 4, utilizando el teorema de raíces racionales, cuando el número posible de tales raíces sea a lo más 8. (2.5 hrs.) Las raíces de un polinomio son los valores de la variable para los cuales la función polinomial toma el valor de cero. Dicho de otro modo, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación. Y permiten expresar una ecuación de la forma: a0 xn + a1 xn 1 + a2 xn 2 + : : : + an = 0 de la siguiente forma: (x r1 )(x r2 ) : : : (x rn ) = 0 donde rn son las raíces del polinomio. Ejemplo: Encontrar las raíces del siguiente polinomio: f (x) = x3 6x2 + 11x 6 Paso 1: Se escriben los coe…cientes del polinomio en orden decreciente. Si falta un término de correspondiente a algún orden, se coloca cero en su lugar. Paso 2: Se determinan los divisores del término independiente, en este caso el término independientes es 6 y sus divisores son 1; 2; 3 y 6. 5
  6. 6. 1 -6 11 -6 1 -6 11 -6 2 Paso 3: Se escribe a la izquierda, separado por una linea vertical unos de los divisores. Paso 4: El primer término del polinomio se escribe tal cual debajo de la línea horizontal. 1 -6 11 -6 2 1 Paso 5: Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea horizontal en la columna correspondiente al orden siguiente. 1 2 -6 2 11 -6 1 Paso 6: Se suma el coe…ciente del polinomio que está justo arriba del número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se escribe debajo de la línea horizontal. 1 2 1 -6 2 -4 11 -6 Paso 7: Se repiten los pasos 5 y 6 hasta terminar escribiendo debajo de la línea horizontal la suma correspondiente al último orden. 1 2 1 -6 2 -4 6 11 -8 3 -6 6 0
  7. 7. Paso 8: Se continua con al división sintética con los términos resultantes de la operación anterior. Se determinan los divisores del término independiente, para este caso el término independientes es 3 y sus divisores son 1 y 3. Paso 9: Se repiten los pasos de 2 a 8 hasta obtener las raíces, las cuales son los divisores que se encuentran en la primera columna. 1 -6 2 -4 3 -1 1 0 2 1 3 1 1 1 11 -8 3 -3 0 -6 6 0 Para este caso las raices de f (x) son raices: f1; 2; 3g. Ejercicios: 1. f (x) = x3 + x2 14x 3 2 2. f (x) = 4x + 20x 3. f (x) = 9x3 24. Las raíces de f (x) son:f 3; 2; 4g. x 36x2 + 44x 3 2x2 16. Las raíces de f (x) son: 2 5. f (x) = x3 1 1 2 ; 2 g. 2 f 3 ; 4 ; 2g. 3 5. Las raíces de f (x) son: f 5; 4. f (x) = x + 3x + 2x. Las raíces de f (x) son: f 2; 1; 0g. 3 2 4 3 6. f (x) = x +4x 5x + 6. Las raíces de f (x) son: f 2; 1; 3g. 11x 30. Las raíces de f (x) son raíces: f 5; 2; 3g. 7. f (x) = x +5x +5x2 5x 6. Las raíces de f (x) son: f 3; 2; 1; 1g. 1 8. f (x) = 2x4 +x3 9x2 4x+4. Las raíces de f (x) son: f 2; 1; 2 ; 2g. 7

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