Historia del calculo

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Historia del calculo

  1. 1. Bienvenido a la exposición virtual EL LEGADO DE LAS MATEMÁTICAS De Euclides a Newton: Los genios a través de sus librosPresentación Los Griegos La Aritmética La Astronomía Iberia El Cálculo Bienvenido a la exposición virtual El legado de las Matemáticas De Euclides a Newton: Los genios a través de sus libros En estas páginas podrás disfrutar de la exposición virtual de libros antiguos que, con motivo del año mundial de las Matemáticas, se organizó en Sevilla en diciembre del año 2000. Ahora mismo te encuentras en la página: El Cálculo.
  2. 2. De cómo se gestó y vino al mundo el cálculo infinitesimalDel legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramientamás potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tienedos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moranlos infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan,como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes queArquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempohasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmabapara que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso.Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeraciónadecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica yla geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico-de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas,máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió esencialmente en el siglo XVII.Comenzaremos por tanto desde el principio.Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya losgriegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- quees el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: loinfinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en lainconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos enla famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañarque alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos queAristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinitoexista como ser en acto o como una substancia y un principio », escribió, peroañadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conducea consecuencias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...]es por adición o división ». Así, la regulación aristotélica del infinito no permiteconsiderar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permitedividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxo,discípulo de Platón y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso"racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita
  3. 3. puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es elfamoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió aaquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimientode los irracionales-. No obstante, fue obviamente Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quizá por suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar elinfinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 como ya hemos tenidoocasión de contar en la sección dedicada a los griegos-. La genial idea desiracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita-de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en estecaso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibnizdescubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba unmétodo semejante. Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto,la Opera Omnia de Arquímedes que ya vimos antes. Se trata de la edición de 1911debida a Heiberg. Esta abierta justo en la página donde Arquímedes describe elmétodo de sus infinitos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas. Como ya mencionamos una razón importante de la aparición del cálculo fue la aparición de una adecuada
  4. 4. representación para los números. Se trata de la representación decimal -cuyoprimer registro escrito en el mundo occidental mostramos en la sección dedicada alas matemáticas en la península ibérica-. Junto a Viète, uno de los principalesimpulsores de la idea fue Simon Stevin del cual admiramos Les oubresmathematiques (Leiden, 1634) especialmente abierto en la primera página de LaDisme donde Stevin desarrolla si aritmética decimal. También Stevin uso distintosargumentos infinitesimales para calcular centros de gravedad, pero eso lo veremosmás adelante. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difícilescomo las de Arquímedes -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominabanla mayoría de las obras griegas, por ejemplo admírese la preciosa edición de lasobras de Arquímedes debida a Wallis (arriba a la izquierda) justamente abierta ésteda su famosa estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritosa la circunferencia- que desembocó en el nacimiento del cálculo. Aunque tambiénayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada porlos grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos ytecnológicos- y fué el interés de los matemáticos por descubrir más que por darpruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitacionesaristotélicas de las que ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de laGeometría analítica de Descartes y Fermat. La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc.fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. Deesta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo-basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos yespecíficos para cada curva procedimientos geométricos.
  5. 5. De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo:Renato Descartes. Presentó sugeometría junto con otros dos tratados científicos: ladióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en unode los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. Elotro inventor de la geometría analítica, Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado alas matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sinduda superior a muchos profesionales. Intervino de hecho en todas las ramas de lasmatemáticas que se crearon en el siglo XVII, y no fueron pocas. Fermat no publicó,sin embargo, casi nada: sus obras aparecieron años después de su muerteeditadas por su hijo. Mostraremos aquí un ejemplar de la primera edición (Leiden,1637) delDiscours de la Methode... la obra más célebre de Descartes y una de lasobras filosóficas más famosas jamás escrita que como ya dijimos antes servía deprólogo a tres obras de este autor -entre las que se incluía su Geómetrie-. A laderecha podemos apreciar una de las tantas ediciones que más tarde se realizarande la Geometría ya separada del resto de sus originales compañeras.Otra razón no menos importante es que, como ya mencionamos, en el siglo XVII losmatemáticos perdieron el miedo a los infinitos que los griegos les habían tenido:Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un caminoque llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primerpaso importantese debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera áreas formadas porsegmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo lasbases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella época- deArquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-. Las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval. Otro de los
  6. 6. protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuitadiscípulo de Clavius al que ya encontramos en el apartado de astronomíareformando el calendario. Sus principales aportaciones las publicó en su Opusgeometricum de cuya primera edición de 1647 podemos admirar un ejemplar(izquierda). En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia lasseries geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo,como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que ademásresolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecuciónde Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y portanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de susaportaciones más valiosas consistió en que encontró que el área encerrada bajouna hipérbola se expresaba mediante los logaritmos. Este resultado es el quejustamente podemos admirar en la foto de su obra ya mencionada.Nuestro próximopersonaje es John Wallis,miembro fundador de laRoyal Society de Londresy editor de obras deArquímedes que ademásescribió una Gramáticainglesa -como ya antesya había hecho Nebrijacon la castellana-. Wallisaritmetizó los indivisiblesde Cavalieri asignándolesvalores numéricosconvirtiendo de estaforma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- encálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un usodescarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente,ese 8 acostado-. Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus métodos:«Este procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante elbien conocido métodos de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo,
  7. 7. porque la frecuente iteración produce náuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba», escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta y su intuición llegó a calcular el área de r todas las parábolas generalizadas x con r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi Pi = 2·2·4·4·6·6·8·8···· 4 1·3·3·5·5·7·7···· Presentamos aquí una foto de la portada del libro De Algebra tractatus correspondiente a su primera edición latina de 1693 contenido en su Operum mathematicorum. El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:• Método de Exhaución (Arquímedes)• Método de los indivisibles (Cavalieri)• Aritmética de los infinitos (Wallis)• Métodos de las series infinitas (Newton) Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de
  8. 8. Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a sudiscípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, lageometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvasgeométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos de la necesidad deahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por losastrónomos -tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisionesy extracciones de raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgiterminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizoSaint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de lasegunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio ... de 1619que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla delogaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevascurvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejormatemático aficionado de la historia -y no precisamente por su "larga" demostraciónque no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha hechofamoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribucionesimportantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en esesiglo. Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia operamathematica publicada póstumamente por su hijo en 1679.Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamadoproblema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de laspropiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue
  9. 9. Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, elproblema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lointentó sin éxito siendo Leibnitz el primero en resolverlo en la la primera publicaciónde la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento esencial para eldescubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de lastangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que larelación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia yrazón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.Pero pasemos ya al Cálculo. Newton en su célebre frase«Si he llegado a ver más lejos que otros es por que mesubí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a sumaestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablementeel científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo.Llegó a las matemáticas en su afán de comprender lateología -de hecho se marcho de su cátedra en Cambridge,cediéndosela a Newton para continuar sus estudiosteológicos-. En la lección X de su obra Letiones opticae &geometricae Barrow demuestra su versión geométrica delTeorema fundamental del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección asícomo la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explicacomo que el valor de la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde con elsegmento DE, o sea, si trazamos la tangente a la curva cuadratriz VIFI en un punto,se obtiene como pendiente para esta recta tangente el valor de la curva inicial enese punto.En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibnitz, de manera independiente,sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesoresdos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unasreglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y mostraron que ambosconceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer elcálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos ymínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus
  10. 10. predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante suscorrespondientes reglas de cálculoEl primero en descubrirlo fueNewton, pero su fobia apublicar le hizo guardar casi ensecreto su descubrimiento.Newton gestó el cálculo ensus anni mirabilis (1665-1666)cuando se refugiaba en su casamaterna de la epidemia depeste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra sobre el cálculoDe analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711 -contémplese una foto de la portada de su primera edición donde además admiramos el cálculo del área m/n bajo la parábolax usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas-. Nótese además la aparición de las famosasEpistola prior y Epistola posterior, sendas cartas dirigidas a Leibnitz. En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio-, en la primera, eincomprensiblemente, en la segunda, su método de cálculo. La segunda obra deNewton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaríahasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después deescrita!. Se trata de De methodis serierum et fluxionum . En ella Newton describesus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de lafluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, conunas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintosproblemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a esteúltimo, estableció el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Para
  11. 11. demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas aresolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habíanocupado a sus predecesores. En la figura de la izquierda podemos admirar unapágina de dicho libro, abierto por la página donde Newton "destroza" la concoide deNicómedes con su nuevo método de cálculo. Una pregunta que casiinmediatamente aflora en la mente es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar susresultados? A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvocon muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débilfundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siemprehubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor también estápatente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométricomás riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablementeusó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección IIdel libro II: la regla para derivar productos-. Leibnitz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro díasla difusión del conocimiento y los descubrimientoscientíficos-. Durante una estancia en París -ya que era unafamado diplomático- Leibnitz conoce a Huygens quien leinduce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiarlos tratados de Pascal, Leibnitz se convence que losproblemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eranequivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir desumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar
  12. 12. toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en lagestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en lasmencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y losmínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidadesfraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estosproblemas". En este artículo de 6 páginas -e incomprensible como el mismo luegoreconoce- Leibnitz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sinejemplos su cálculo diferencial -«un enigma más que una explicación » dijeron de éllos hermanos Bernoulli-. También el él Leibnitz resuelve el ya mencionado problemade De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo deLeibnitz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de losindivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En élaparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en enprimero introduce la notación "dx" para el diferencial-. Encima a la derechapodemos admirar este trabajo aunque por razones tipográficas en vez dela S alargada para la integral aparece una especie de f. Como colofón a estas páginas y a nuestra Exposición virtual dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibnitz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienenimportantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesisindependiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por elmovimiento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida dela variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibnitz consideraba una curvacomo formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba
  13. 13. la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondienterelación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos estotalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto delímite, el de Leibnitz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparicióndel Análisis no estándar de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó afinales del siglo XVII: por un lado Leibnitz no había hecho ninguna alusión al cálculoinfinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existían ensusEpistolae- además que en Holanda -como le aseguró Wallis- se atribuía elcálculo a Leibnitz, eso sin contar que los discípulos de Leibnitz habían publicado elprimer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Marquézde LHospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli y de cuyaprimera edición podemos admirar una foto -nótese que no aparece el nombre de suautor por ningún sitio-.La respuesta de los segidores de Newton no se hace esperar. Primero el propioNewton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis -queya vimos antes- la correspondencia cursada con Leibnitz las Epistolae prior &posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luegoFatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibnitz de haber plagiado a Newton ycomo no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega «En unacarta escrita a Sr. Leibnitz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un métodopor el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadraturade figuras curvilíneas [...] Hace años yo presté un manuscrito conteniendo talesteoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas deél, lo hago público en esta ocasión ». La respuesta de Leibnitz no se hizo esperar.En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque erafácil reconocer a su autor: Leibnitz- en 1705 en las Actas se dice «Para entendermejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidadvaría continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto quela describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] Y portanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Loselementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. GottfriedWilhelm Leibnitz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y porlos Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de LHospital. En vez de las
  14. 14. diferencias Leibnitzianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones»donde queda patente la alusión a Leibnitz y sus discípulos y a Newton sin que estéclaro si éste es uno de aquellos. Esta reseña fue el detonante del mayor ataquecontra Leibnitz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quienacusa abiertamente a Leibnitz de plagio. Tras la protesta de Leibnitz la RoyalSociety nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de Newton- queluego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó aLeibnitz -aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda guerraduró hasta principios del siglo XIX cuando finalmente los matemáticos inglesesdeciden adoptar la notación Leibnitziana -que hasta el momento habían ignorado-,con gran perjuicio para los matemáticos ingleses ya que la matemática inglesaquedó aislada del resto de la del continente. Para cerrar nuestra exposición vamos a relatar, a modo de ejemplo de la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibnitz: el problema de la braquistocrona. El problema consistía en determinar la curva por la que uncuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén enposición vertical u horizontal. Este problema ya interesó en su día a Galileo aunqueéste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para resolverlo se precisabadel cálculo-. La historia es como sigue. En el número de junio de 1696 de las ActasEroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo-este reto lo podemos ver en la foto a la izquierda de dicho artículo de Bernoulli-. Enrealidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue deseis meses pero a petición de Leibnitz se amplió para que tuvieran tiempo losmatemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cincosoluciones: una de Leibnitz, una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermanoJacobo, una del conde Walter de Tschirnhaus, del Marquéz de LHospital y una
  15. 15. anónima. Todas, excepto la de LHospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quiénera ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactionspara publicar sugenial solución que sólo contenía 67 palabras? -la cual podemos admirar en la fotode la derecha-. Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulliexclamara «tanquam ex ungue leonen», algo así como «¡reconozco al león por susgarras!» pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia.Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton enparticular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridadpara ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además,en una carta de Leibnitz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca elcálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-. Incluso años después, yaen plena polémica, Leibnitz en una reseña a la solución del problema afirmaba elproblema no podía ser resuelto sin la ayuda de su recién inventado método quesólo aquellos que habían profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo:estos eran los Bernoulli, LHospital y Newton. Este juego de palabras de Leibnitzdonde se podía deducir que Newton era un discípulo de suyo fue el otro grandetonante de la guerra que ya mencionamos antes de Duillier.Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entoncesya no "hacía ciencia" sino que se trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Segúncuenta la sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuandoregresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horasdespués -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton yahabía pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo habíaresuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. Nuevamenteaparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lopublicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dio Augusto deMorgan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo quehacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho».

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