Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

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Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

  1. 1. SISTEMAS DEECUACIONES EINECUACIONES
  2. 2. TRABAJO PRACTICO SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES 1) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas en tres fotocopiadoras diferentes. El jueves, pensó cuál de las tres cobraba el menor precio por unidad y no pudo recordarlo. Después de mucho pensar, volcó lo que recordaba en tres matrices : gasto F1 F2 F3 15 20 40 Lunes 2,80Lunes 15 20 40 la matriz A 0 25 50 Martes 2,75Martes 0 25 50 26 40 8 Miércoles 2,56Miércoles 26 40 8 precio x 2,80Fotocopiadora 1 xFotocopiadora 2 Y la matriz X y la matriz B 2,75Fotocopiadora 3 z z 2,56 a) Efectúe el producto A X b) Con el producto A X efectuado, componga la ecuación matricial A X = B c) Halle los precios unitarios.
  3. 3. 2) RESOLVER EN R, SI ES POSIBLE, LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, APLICANDO: A). TEOREMA DE CRAMER Y B) REGLA DE CRAMER x 5y 4z w 0 x y z 0 x 3y 2z w 1 a) 2x y 2z 2 b) z w 2z 2x 4 y 3x y w 5z 1 x y z 1 3) Dados los sistemas lineales : x y z 2t 10 a) 2x y 2z 8 x z 6 5x 3y 2z 3b) 3x 4y 25 c) 2x y 3z 3t 3 4y 3z 13 3x 2y 4z t 7 x y 3z 5u 2t 3 d) 2x 2y 6z 10u 4t 4 a) Clasificarlos b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y, si es posible, determinar el conjunto solución de cada uno de ellos.
  4. 4. 4) RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEOS : 2x y z 0 x 3z 2y a) 3x 2y z 0 b) 4x 5y 6z 0 x y 2z 0 7x 8y 9z5) Determinar, si existen los valores de m R, tales que el sistema x y z 1 Sea: a) compatible determinado b)Incompatible x y mz 1 c) Compatible indeterminado mx y z 0 6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?
  5. 5. 7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ? y x y 5 x8) Resolver en R2 los y x x 4siguientes sistemas a) x 0 b) y x 3 c) xde inecuaciones : y 2 2 y 3 y 1 3x1 2x2 3 d) 6x1 4x 2 8 7 x1 14
  6. 6. 1 2a 2b 3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7bPRODUCTO DE MATRICESMatriz Inversa DeterminantesOperaciones elementales porGauss - JordanRepasemos en el trabajo Práctico Nº 7Teorema de Rouché Frobenius
  7. 7. 1) PARA MULTIPLICAR A X X, PRIMERO CONSIDERAMOS DE QUÉ CLASE ES CADA UNA DE LAS MATRICES; LA MATRIZ A QUE TIENE 3 FILAS Y 3 COLUMNAS ES CLASE 3X3 LA MATRIZ X QUE TIENE 3 FILAS Y 1 COLUMNA ES CLASE 3X1 Coinciden el número de columnasA(3x3) x X(3x1) = B(3x1) de A con las filas de X 15 20 40 x x A 0 25 50 X y AxX y 26 40 8 z z 15 20 40 15x + 20y + 40z 0 25 50 0x + 25y + 50z 15x 20y 40z 26 40 8 26x + 40y + 8z A X 0x 25y 50z 26x 40y 8z
  8. 8. 15x 20y 40z 2,80 A X 0x 25y 50z B 2,75 26x 40y 8z 2,56 SI A X = B A X = B se puede15x 20y 40z 2,80 A X es una matriz de 3 filas y 1 escribir como un columna, igual que B sistema de 3 ecuaciones0x 25y 50z 2,75 con 3 incógnitas26x 40y 8z 2,56 15x 20y 40z 2,80 0x 25y 50z 2,75 26x 40y 8z 2,56 para hallar los precios unitarios debemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. Vamos a usar el método de los determinantes y z x x y z
  9. 9. Es el determinante 15x 20y 40z 2,80 principal, conformado por 0x 25y 50z 2,75 los coeficientes de las incógnitas ordenados en 26x 40y 8z 2,56 filas y columnas 15 20 40 i son los determinantes que resultan dereemplazar los coeficientes de la variable i por 0 25 50 la columna de los resultados del sistema en el determinante 26 40 8 2,80 20 40 15 2,80 40 15 20 2,80x 2,75 25 50 y 0 2,75 50 z 0 25 2,75 2,56 40 8 26 2,56 8 26 40 2,56 Con todos los valores de conocidos buscaremos y z x x y z
  10. 10. RESOLVEMOS CADA UNO DE LOS DETERMINANTES Agregamos las Y sumamos los A esto le restamos dos primeras filas productos de la suma del producto de las diagonales las contradiagonales15 20 400 25 50 ( 15 25 8 0 40 40 26 20 50) ( 26 25 40 15 40 50 0 20 8)26 40 8 ( 3000 0 26000) ( 26000 30000 0)15 20 40 29000 56000 270000 25 50 Y sumamos los A esto le restamos Agregamos las productos de la suma del producto de dos primeras filas las diagonales las contradiagonales 2,80 20 40 x 2,75 25 50 ( 2,80 25 8 2,75 40 40 2,56 20 50) 2,56 40 8 ( 2,56 25 40 2,80 40 50 2,75 20 8) 2,80 20 40 ( 560 4400 2560) ( 2560 5600 440) 2,75 25 50 7520 8600 1080
  11. 11. Misma técnica para resolver y y z 15 2,80 40 y 0 2,75 50 ( 15 2,75 8 0 2,56 40 26 2,80 50) 26 2,56 8 ( 26 2,75 40 15 2,56 50 0 2,80 8) 15 2,80 40 ( 330 0 3640) ( 2860 1920 0) 0 2,75 50 3970 4780 810 15 20 2,80 z 0 25 2,75 ( 15 25 2,56 0 40 2,80 26 20 2,75) 26 40 2,56 ( 26 25 2,80 15 40 2,75 0 20 2,56) 15 20 2,80 ( 960 0 1430) ( 1820 1650 0) 0 25 2,75 2390 3470 1080 1080 y 810 La fotocopiadora 1 cobra $ 0,04x x 0,04 y 0,03 27000 27000 La fotocopiadora 2 cobra $ 0,03 La fotocopiadora 3 cobra $ 0,04 z 1080 z 27000 0,04
  12. 12. 3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b TEOREMA DE ROUCHÉ FROBENIUS En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas Para operaciones a11 x 1 a12 x 2 .......... a1n 1 x n 1 a1n x n b1 elementales y determinantes ver TP Nº 7 a21x 1 a22x 2 .......... a2n 1 x n 1 a2n x n b2 Definimos como matriz de .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... coeficientes (A), a la .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . matriz conformada poram todos los coeficientes de 11 x 1 am 12 x 2 .......... am 1n 1 xn 1 am 1n xn bm 1 las variables del sistema, am 1 x 1 am 2 x 2 .......... amn 1 xn 1 amn x n bm ordenados según el mismo orden del sistema a11 a12 ..... a1n a11 a12 ...... a1n b1 a12 a22 ..... a2n a12 a22 ...... a2n b2 A ... .... ..... .... A´ .... .... ...... .... .... ... .... ..... .... .... .... ...... .... .... am 1 am 2 ..... amn am 1 am 2 ...... amn bm Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados de l sistema como última columna, tenemos la matriz ampliada (A´)
  13. 13. 3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b La matriz A es de clase (m x n) La matriz A´ es de clase m x (n+1) A (mxn ) A´(mx (n 1)) a11 a12 ..... a1n a11 a12 ...... a1n b1 a12 a22 ..... a2n a12 a22 ...... a2n b2A ... .... ..... .... A´ .... .... ...... .... .... ... .... ..... .... .... .... ...... .... .... am 1 am 2 ..... amn am 1 am 2 ...... amn bm Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP7) r(A ) r(A´) El sistema tiene solución si además El sistema es Compatible determinado r(A) r(A´) n º de incógnitas admite solución única El sistema es Compatible indeterminado r(A) r(A´) n º de incógnitas admite infinitas soluciones r(A ) r(A´) El sistema es Incompatible NO tiene solución
  14. 14. 2 A) EL TEOREMA DE CRAMER SE APLICA EN EL SIGUIENTE RAZONAMIENTO Si A X B A 1 A X A 1 B I X A 1 B X A 1 B de manera que en el sistema de ecuaciones ordenado resulta x y z 0 x y z 0 1 1 1 donde la matriz de2x y 2z 2 2x y 2z 2 A 2 1 2 coeficientes es 2z 2x 4 y 2x y 2z 4 2 1 2 Las x y la columna de 0incógnitas términos Buscamos ahoraconforman X y independientes B 2 la inversa de la la matriz conforma la matriz matriz A z 4 Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan 2 b
  15. 15. Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una matriz unidad de igual clase que A al la derecha Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matrices cuando tengamos a la izquierda una matriz unidad, a la derecha habrá quedado la matriz inversa de A A-1A I 2 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 0 2 4 2 0 1 1I A-1 2 1 2 0 0 1 2 1 0 2 1 2 0 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 0 2 0 1 1 0 0 0 -3 -4 -2 1 0 1 1 0 1 0 2 0 1 2 0 2 0 0 0 1 1 1 1 2 b
  16. 16. 1 4 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 0 4 3 4 3 12 4 3 3 3 3 3 1 1 1 0 3 1 0 1 1 1 0 4 4 3 3 3 3 0 1 4 2 1 0 3 3 3 4 4 1 4 4 0 0 1 2 2 4 6 3 3 3 3 3 2 3 4 3 3 3 1 0 0 0 1 1 3 4 4I= 0 1 0 2 0 1 = A-1 3 4 1 0 0 1 1 1 4 4 1 3 3 1 1 0 3 4 3 3 1 1 3 0 4 4 4 1 1 A 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 1 3 4 4 3 2 b
  17. 17. 1 ( 4) 4 1 1 ( 2) 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 3 3 31 1 1 1 0 0 1 ( 4) 40 3 4 2 1 0 0 3 30 1 0 2 0 1 1 ( 2) 2 4 1 1 1 2 21 0 3 3 3 0 3 3 30 1 4 2 1 0 3 3 3 1 1 1 1 0 0 1 10 0 4 4 1 1 3 3 3 3 3 3 2 b
  18. 18. CONOCIDA A-1 EFECTUAMOS EL 1 PRODUCTO A B X 0 1 A B X 2 4 1 1 1 1 0 0 ( 2) ( ) ( 4) 0 1 4 4 2 20 1 1 1 2 0 0 ( 2) 1 ( 4) 0 0 4 4 4 4 22 0 1 4 1 3 1 7 1 0 ( ) ( 2) ( ) ( 4) 0 31 1 3 7 4 4 2 2 4 4 2 x La matriz X es X y De los resultado obtenidos tenemos que z x 1 y 4 z 7 2 2 Te propongo que verifiques en la consigna que estos resultados son correctos. 2 b
  19. 19. 2 B) LA REGLA DE CRAMER ES LA APLICACIÓN GENERALIZADA PARA N INCÓGNITAS DEL MÉTODO DE LOS DETERMINANTES Para resolver ordenamos el sistema y lo clasificamos x 5y 4z w 0 x 5y 4z w 0 Sistema de 4 x 3y 2z w 1 x 3y 2z w 1 ecuaciones con 4 incógnitas z w 0x 0y z w 0 conformamos cada uno 3x y w 5z 1 3x y 5z w 1 de los determinantes1 5 4 1 0 5 4 1 1 0 4 11 3 2 1 1 3 2 1 1 1 2 1 x y0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 13 1 5 1 1 1 5 1 3 1 5 1 1 5 0 1 1 5 4 0 1 3 1 1 1 3 2 1 z w 0 0 0 1 0 0 1 0 3 1 1 1 3 1 5 1
  20. 20. Y RESOLVEMOS CADA UNO DE LOS DETERMINANTES Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea 1 5 4 1 Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) 1 3 2 1 Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del 0 0 1 1 elemento que reemplazamos multiplicamos por el elemento que reemplzamos (0 en el primer caso) y luego por el 3 1 5 1 determinante que resulta de suprimir la fila y la columna que contiene el elemento “elegido” 5 4 1 1 4 1 1 5 1( 1) 3 1 0 3 2 1 ( 1) 3 2 0 1 2 1 ( 1) 3 3 1 1 3 1 1 5 1 3 5 1 3 1 1 Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no 1 5 4 es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0 ( 1) 3 4 1 1 3 2 0 0 1 1 ( 4) ( 1) 1 28 3 1 5 32
  21. 21. RESOLVEMOS X POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE UN LÍNEA Vamos a desarrollar por los elementos de la 0 5 4 1 tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) 1 3 2 1x Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que 0 0 1 1 no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0 1 1 5 1 5 4 1 0 4 1 0 5 1 ( 1) 3 1 0 3 2 1 ( 1) 3 2 0 1 2 1 ( 1) 3 3 1 1 3 1 1 5 1 1 5 1 1 1 1 0 5 4 ( 1) 3 4 1 1 3 2 0 0 1 1 ( 4) ( 1) 1 19 1 1 5 x 23
  22. 22. RESOLVEMOS Y POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE UN LÍNEA Vamos a desarrollar por los elementos de la 1 0 4 1 tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) 1 1 2 1y Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que 0 0 1 1 no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0 3 1 5 1 0 4 1 1 4 1 1 0 1 ( 1) 3 1 0 1 2 1 ( 1) 3 2 0 1 2 1 ( 1) 3 3 1 1 1 1 1 5 1 3 5 1 1 1 1 1 0 4 ( 1) 3 4 1 1 1 2 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 3 1 5 y 1
  23. 23. RESOLVEMOS Z POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE UN LÍNEA Vamos a desarrollar por los elementos de la 1 5 0 1 tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) 1 3 1 1z Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que 0 0 0 1 no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0 3 1 1 1 5 0 1 1 0 1 1 5 1 ( 1) 3 1 0 3 1 1 ( 1) 3 2 0 1 1 1 ( 1) 3 3 0 1 3 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 5 0 ( 1) 3 4 1 1 3 1 0 0 0 ( 1) 1 ( 6) 3 1 1 z 6
  24. 24. RESOLVEMOS Z POR EL DESARROLLO DE LOS ELEMENTOS DE UN LÍNEA Vamos a desarrollar por los elementos de la 1 5 4 0 tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) 1 3 2 1w Los dos primeros términos y el último son factores por 0, 0 0 1 0 por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0 3 1 5 1 5 4 0 1 4 0 1 5 0 ( 1) 3 1 0 3 2 1 ( 1) 3 2 0 1 2 1 ( 1) 3 3 1 1 3 1 1 5 1 3 5 1 3 1 1 1 5 4 ( 1) 3 4 1 1 3 2 0 0 ( 1) 1 ( 6) 0 3 1 5 z 6
  25. 25. 23 23 1 1 x x y y 32 32 32 32 6 6 6 6 z z w w 32 32 32 32Verificamos los resultados 23 1 6 6 x 5y 4z w 0 5 ( ) 4 ( ) 0 32 32 32 32 x 3y 2z w 1 23 1 6 6 3 ( ) 2( ) 1 32 32 32 32 0x 0y z w 0 23 1 6 6 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 3x y 5z w 1 32 32 32 32 23 1 6 6 3 ( ) 5 ( ) 1 32 32 32 32
  26. 26. x y z 1 3 A) PARA RESOLVER 2x y 2z 8 5x 3y 2z 3sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para aplicar las operaciones elementales, conformamos 1 1 1 1 primero la matriz de coeficientes 2 1 2 8 y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 5 3 2 3 2 1 2 1 2 ( 1) 1 3 2 4 8 10 1 1 1 1 1 1 1 3 4 10 5 1 5 1 5 ( 1) 0 3 2 2 3 3 8 1 1 1 0 2 3 8 1 ( 4) 4 1 1 10 10 7 1 1 1 1 1 0 1 7 3 3 3 3 3 3 3 3 2 ( 4) 8 1 0 1 4 10 3 3 3 3 3 3 3 0 0 1 4 2 10 20 4 3 3 8 8 3 3 3 3 b 3 c 3 d
  27. 27. 1 7 4 1 0 3 3 3 4 0 1 4 10 1 3 3 3 0 0 1 4 3 3 1 4 1 0 0 1 7 3 3 7 4 3 1 3 1 3 3 3 0 1 0 2 3 0 0 1 4 4 4 10 3 3 10 16 6 1 2 3 3 3 3 El rango de la matriz 3 coeficientes es 3 Y el rango de la matriz ampliada también es 3 r( A ) r( A´) el número de incógnitas es igual al rango de ambas matricesr( A ) r( A´) nº incógnitas Sistema compatible determinado (admite un solo conjunto solución) x 1 y 2 z 4 Te sugerimos que verifiques estos resultados . . . 3 b 3 c 3 d
  28. 28. x z 6 x 0y z 6 3 B) PARA RESOLVER 3x 4y 25 3x 4y 0z 25 4y 3z 13 0x 4y 3z 13sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas escribimos el sistema completo y ordenado 1 0 1 6 Para aplicar las operaciones elementales, conformamos 3 4 0 25 primero la matriz de coeficientes 0 4 3 13 Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 1 0 1 6 3 0 3 1 3 6 0 3 4 4 0 3 25 7 4 7 1 1 1 0 4 3 13 0 1 0 6 0 0 3 3 13 13 4 4 1 1 1 1 0 1 6 0 ( 3) 0 7 7 1 1 6 6 0 1 3 1 1 4 4 4 ( 3) 4 7 0 0 3 0 13 20 0 20 4 4 3 c 3 d
  29. 29. 1 0 1 6 El próximo pivote debe 3 7 elegirse en la 3º fila 3º 0 1 4 4 columna, pero ese elemento 0 0 0 20 es 0 (no puede ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeronr( A ) 2 Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)r( A´) 3 pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) r( A ) r( A´) Sistema incompatible Este sistema no tiene solución 3 c 3 d
  30. 30. x y z 2t 10 3 C) PARA RESOLVER 2x y 3z 3t 3sistema de tres ecuaciones 3x 2y 4z t 7 con cuatro incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes 1 1 1 2 10 Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada2 1 3 3 3 2 ( 1) 2 1 3 2 4 1 7 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 10 2 2 2 10 3 7 3 23 0 1 1 7 23 1 1 0 1 1 7 23 3 ( 1) 3 1 2 1 4 1 1 1 3 2 3 10 1 7 7 23 1 1 3 d
  31. 31. 1 1 1 2 10 1 1 1 2 1 0 1 1 7 23 1 ( 7) 0 1 1 7 23 2 5 1 1 0 2 5 13 1 ( 23) 10 13 1 1 0 1 1 7 23 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 ( 7) 1 ( 23) 7 0 23 0 1 1El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó Significa que las operaciones 4ta columna, pero esos elementos son 0 elementales posibles concluyeron (no pueden ser pivote) r( A ) 2 quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) r( A´) 2 y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) 3 d
  32. 32. SI r( A ) 2 r( A´) 2 r( A ) r( A´) Sistema compatible Sistema compatible pero r( A ) r( A´) nº de incógnitas indeterminado Este sistema admite infinitas soluciones1 0 2 5 13 Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de0 1 1 7 23 ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas0 0 0 0 0 halladas confeccionamos una tabla de valores parax 2z 5t 13 despejamos x x 13 2z 5t encontrar diferentes y 23 z 7t soluciones,y z 7t 23 despejamos y asignándole valores a z y t, encontramos x y z t x e y S1 -13 -23 0 0 S2 -10 -17 1 1 S3 -8 -16 0 1 3 d
  33. 33. 3 D) PARA x y 3z 5u 2t 3 RESOLVER 2x 2y 6z 10u 4t 4 sistema de tres ecuaciones con cuatro Para aplicar las operaciones elementales, incógnitas conformamos primero la matriz de coeficientes y la matriz ampliada1 1 3 5 2 3 2 ( 1) 2 32 2 6 10 4 4 2 0 6 0 1 11 1 3 5 2 3 2 3 2 ( 5) 2 2 4 2 10 0 4 0 10 0 0 2 1 1 0 0 El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos Significa que las operaciones elementos son 0 (no pueden ser pivote) elementales posibles concluyeron r( A ) 1 Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)r( A´) 2 pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) r( A ) r( A´) Sistema incompatible Este sistema no tiene solución
  34. 34. 2x y z 0 4 A) PARA RESOLVER UN SISTEMA HOMOGÉNEO, TRABAJAMOS COMO SI FUERA 3x 2y z 0 UN SISTEMA NORMAL x y 2z 0 Solo nos queda analizar siSabiendo que el sistema admite soluciones diferentes sistema de treshomogéneo será siempre de la trivial (todas las ecuaciones con tres compatible variables igual a cero) incógnitas Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas 2 1 1 0 2 ( 1) 2 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 3 2 1 0 1 1 2 0 3 ( 1) 3 2 3 0 2 5 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 5 1 0 1 1 2 0 4 b
  35. 35. 0 1 1 0 5 ( 1) 5 0 1 4 0 00 5 1 0 1 11 1 2 0 ( 1) ( 1) ( 1) 0 2 1 0 0 1 10 1 1 0 4 0 ( 1) 0 1 00 0 0 0 0 0 4 41 0 1 0 El rango de la matriz de coeficientes es 30 1 0 0 Por ser el sistema homogéneo no0 0 1 0 r(A ) 3 nos interesa analizar la matriz1 0 0 0 ampliada (r(A) = r(A´) siempre) r( A ) nº de incógnitasEste sistema homogéneo admite solamente solución trivial x y z 0 4 b
  36. 36. 4 B) PARA RESOLVER UN SISTEMA x 3z 2y HOMOGÉNEO, TRABAJAMOS COMO SI FUERA UN SISTEMA NORMAL 4x 5y 6z 0 ordenamos el sistema x 2y 3z 0 7x 8y 9z1 2 3 0 4x 5y 6z 04 5 6 0 7x 8y 9z 07 8 9 0 4 2 4 3 4 0 5 3 6 6 0 0 0 1 1 11 2 3 3 6 0 7 2 7 3 7 00 8 6 9 12 0 0 1 1 10 6 12 0 2 ( 6) 2 0 6 0 3 1 0 0 0 01 0 0 3 3 3 1 12 las operaciones0 1 2 0 ( 6) ( 6) 36 0 12 12 elementales 3 30 0 0 0 posibles concluyeron El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote)
  37. 37. 1 0 1 0 El rango de la matriz de coeficientes es 2 0 1 2 0 por ser el sistema homogéneo no r( A ) 2 nos interesa analizar la matriz 0 0 0 0 ampliada (r(A) = r(A´) siempre) r( A ) nº de incógnitas Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial Este sistema admite infinitas soluciones x z 0Recomponemos el sistema de ecuaciones,proponiendo un sistema de ecuaciones y 2z 0equivalente del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de zY confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes x z soluciones; asignándole valores a z , encontramos x e y y 2z x y z S1 1 -2 1 S2 -1 2 -1 S3 0 0 0
  38. 38. 5) PARA DETERMINAR, SI EXISTEN LOS VALORES DE M R, TALES QUE EL SISTEMA SEA : A) COMPATIBLE DETERMINADO, B)INCOMPATIBLE Y C) COMPATIBLE INDETERMINADO x y z 1 Efectuamos 1 1 1 1 transformaciones x y mz 1 elementales por 1 1 m 1 Gauss-Jordan mx y z 0m 1 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 0 m m 1 1 2 1 1 10 0 m 1 2 m 1 m 1 m 1 1 1 m 1 1 m 0 m0 1 m 1 m m 1 1 1 1 (1 m ) 1 m 1 1 m m 11 0 0 1 0 1 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m0 1 m 0 2 m m (1 m ) (m 1)0 1 1 0 1 m 1 m (1 m ) m (m 1) m (1 m ) 2 2 2 m (1 m ) (1 m )
  39. 39. TRANSCRIBIMOS EL RESULTADO DE LA ÚLTIMA TRANSFORMACIÓN 1 1 0 0 1 m Podemos apreciar claramente que: 2 m 0 1 m 0 m Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de 0 1 1 1 m la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientesPero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º filaPor lo que si m = 1 r(A ) r(A´) Sistema incompatiblePara cualquier otro valor de m r(A ) r(A´) n º de incógnitas Sistema compatible determinado
  40. 40. 6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ? Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidosSi la cantidad deestudiantes que 1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años tiene x y z 32 multiplicamos cada una de las18 años es x 2) El promedio de sus edades es 18,5. edades por la cantidad de estudiantes que tienen esas19 años es y 18x 19y 20z edades y sumamos los productos 18,5 y dividimos por el total de estudiantes para 3220 años es z hallar el promedio de las edades 3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años Con las tres ecuaciones planteadas, x y z 6 puedo conformar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que ordenado queda : x y z 32 18x 19y 20z x y z 32 18,5 32 18x 19y 20z 592 x y z 6 x y z 6
  41. 41. 1 1 1 32 x y z 3218 19 20 592 18x 19y 20z 5921 1 1 6 x y z 6 1 1 1 32 18 1 19 1 1 0 1 2 16 18 1 18 32 20 2 592 16 0 2 2 26 1 1 1 1 1 1 1 0 1 16 1 2 1 2 1 1 0 1 2 16 1 32 6 26 2 6 1 0 0 1 2 1 16 19 1 1 32 16 1 0 0 1 1 0 1 0 10 2 2 2 16 2 2 26 6 3 1 1 0 0 1 1 6 2 6 16 19 16 10 2 2
  42. 42. LAS MATRICES COEFICIENTES Y AMPLIADA EQUIVALENTES LUEGO DE LAS TRANSFORMACIONES ELEMENTALES RESULTAN: 1 0 0 19 El rango de la matriz de coeficientes es 3 0 1 0 10 r( A ) 3 r( A´) 3 0 0 1 3 El rango de la matriz ampliada también es 3 r( A ) r( A´) el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices r( A ) r( A´) nº incógnitas Sistema compatible determinado (admite un solo conjunto solución)Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales x 0y 0z 19 x 19 Te sugerimos que verifiques estos 0x y 0z 10 y 10 resultados . . . 0x 0y z 3 z 3
  43. 43. 7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas decualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas : que sean iguales r( A ) r( A´) que no sean iguales r(A ) r(A´)Si los rangos no son iguales, lo que puede El sistema es incompatiblesuceder en un sistema cuyo número de no tiene soluciónecuaciones es menor que el de incógnitasSi los rangos son iguales, con seguridad, alser menor el número de ecuaciones que el r(A ) r(A´) n º de incógnitasnúmero de incógnitas El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples soluciones 7 b
  44. 44. 7 B) SI EL SISTEMA TIENE MENOS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS Y ADEMÁS ES HOMOGÉNEO Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser diferentes, r(A ) r(A´) luego los rangos son igualesPor la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor queel número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el númerode incógnitas r(A) r(A´) n º de incógnitas Entonces el sistema es compatible determinado, al serhomogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial
  45. 45. 8 A) PARA RESOLVER INECUACIONES, EN GENERAL, LAS TRATAMOS A CADA INECUACIÓN COMO UNA ECUACIÓN Y LA REPRESENTAMOS GRÁFICAMENTE Trazamos primero un par de ejes coordenadosLuego analizamos la inecuación y > x como si se tratar de y = x y x Pero con trazos punteados x 0 porque no están incluidos los valores de y = x entre los que y 3 buscamos sino los de y > x sombreamos el semiplano que verifica y>x luego graficamos la región que verifica x>0 Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras: El sombreado verde representa la primera inecuación El sombreado claro representa la segunda inecuación Se verifican ambas No se verifican ninguna de las condiciones condiciones donde hay donde no hay sombreado sombreado doble 8 b 8 c 8 d
  46. 46. FINALMENTE REPRESENTAMOS LA TERCERA INECUACIÓN Y < 3Queda determinada una región con triple sombreado, y esprecisamente esa la zona del conjunto solución del sistema Tengamos presente que esta es una región “abierta” porque las líneas que delimitan la región no están incluidas en el conjunto solución Por ejemplo el punto (1; 2) es una solución del sistema y x 2 1 6 2 x 0 1 0 2 0 y 3 2 3 6 3 Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo dos de las condiciones pero no la tercera Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ningunacomo también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8 b 8 c 8 d
  47. 47. 8 B) PARA RESOLVER INECUACIONES, EN GENERAL, LAS TRATAMOS ACADA INECUACIÓN COMO UNA ECUACIÓN Y LA REPRESENTAMOSGRÁFICAMENTE Trazamos primero un par de ejes coordenadosLuego analizamos la inecuación y < 5 - x como si se tratara de y=5-x con trazos punteados y 5 x porque no están incluidos y x 3 los valores de y = 5 - x entre los que buscamos y 1 sino los de y < 5 - x sombreamos el semiplano que verifica y < 5 - x luego graficamos la región que verifica y x+3 Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras: El sombreado verde representa la primera inecuación El sombreado marrón representa la segunda inecuación Se verifican ambas No se verifican ninguna de las condiciones condiciones donde hay donde no hay sombreado sombreado doble 8 c 8 d
  48. 48. FINALMENTE REPRESENTAMOS LA TERCERA INECUACIÓN Y 1Queda determinada una región con triple sombreado, y esprecisamente esa la zona del conjunto solución del sistema esta es una región “abierta” en la línea verde pero “cerrada” en las otras dos Por ejemplo el punto (1; 3) es una solución del sistema y 5 x 3 5 1 6 5 2 y x 3 3 1 3 6 2 3 y 1 3 1 6 1 Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo la tercera condición pero no las otras dos Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ningunacomo también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8 c 8 d
  49. 49. 8 C) TENEMOS UN SISTEMA FORMADO POR UNAINECUACIÓN Y UNA ECUACIÓN y x x 4 y 2x 4 que ordenada queda x x y 2 y 2 2 2 Trazamos primero un par de ejes coordenados Luego analizamos la inecuación y 2x - 4 como si se tratara de y = 2x - 4 sombreamos todo el semiplano que verifica la condición y 2x - 4 x Representamos gráficamente y 2 2 Las soluciones de este sistema deben verificar ambas condiciones: Pertenecer al semiplano sombreado Pertenecer a la rectaVerifican ambas condiciones los puntos de la recta queestán en la región del semiplano Por ejemplo el punto (6, 5) 8 d
  50. 50. 8 D) TENEMOS UN SISTEMA FORMADO POR DOSECUACIONES Y UNA INECUACIÓN 3x1 2x 2 3 3 3que ordenada queda x2 x 2 1 2 6x1 4x 2 8 3 x2 x 2 2 1 7 x1 14 x1 7 Trazamos primero un par de ejes coordenados 3 3 Representamos gráficamente x2 x1 2 2 3 Representamos gráficamente x2 x 2 2 1 Luego analizamos la inecuación x1 7 como si se tratara de x1 = 7 sombreamos todo el semiplano que verifica la condición x1 7 Las soluciones de este sistema deben verificar las tres condicionesPero las rectas paralelas no tienen puntos en común, luego este sistema NO TIENE SOLUCION
  51. 51. Yo creo bastante en la suerte. He constatado quecuanto más trabajo, mas suerte tengo. Thomas Jefferson Lograremos cosas importantesAlgún día en cualquier parte, en cualquier lugarindefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sóloesa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas. Pablo Neruda

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