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L'infinie ou l'histoire de la mathématisation de la logique

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Il est communément admis que l’informatique théorique est fondée sur les maths.
Il se peut que ça soit l’inverse : que les maths aient comme fondation l’informatique.
Qu’on ait découvert les maths avant l’informatique, le continu avant le discret parce que notre imagination n’est pas prête à affronter la complexité du fini et que l’infini n’est qu’un moyen maladroit pour appréhender le fini.

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L'infinie ou l'histoire de la mathématisation de la logique

  1. 1. Il pourrait être plus petit que vous le pensez
  2. 2.  Formation : mathématicien  Arithmétique  Métier : développeur  Cartes perforées,C, C++, COM, C#, Javascript  Cofondateur d’Aspectize :  Technologie pour développer des applicationsWeb et mobiles avec un minimum de code.
  3. 3.
  4. 4.  De la mathématisation de la logique  De la fin du 19e siècle à nos jours  Et son impact sur le décorticage de l’infini ▪ Cardinaux ▪ Ordinaux ▪ Arithmétique non standard ▪ Analyse non standard ▪ Le fini  Spéculations
  5. 5.  Zénon  Achille et la tortue  La flèche  Aristote  Infini potentiel  Infini actuel  Hôtel de Hilbert
  6. 6. 1862_1943  Programme 23 problèmes Paris (1900)  3 problèmes Bologne (1928)
  7. 7.  Hypothèse du continu (1878).  Résolu en 1963.
  8. 8.  Consistance de l’arithmétique.  Résolu en 1935  Récurrence transfini 0
  9. 9.  Hypothèse de Riemann… premiers jumeaux…  Non résolu 3 756 801 695 685 x 2666 669 ± 1 200 700 chiffres (2011)
  10. 10.  Algorithme pour la solvabilité des équations diophantiennes  Résolu négativement 1970
  11. 11.  Complétude des maths ▪ La question : « tout entier est somme de 4 carrés » ▪ doit avoir une réponse positive ou négative  Résolu négativement 1931
  12. 12.  Cohérence des maths  Prouver qu’on ne pourra pas prouver quelque chose du style : « deux plus deux égale cinq »  Résolu négativement 1931
  13. 13.  Entscheidungsproblem  Résolu négativement ▪ AlanTuring 1936 ▪ Alonzo Church 1935 (lambda calcul)
  14. 14.  Bon ordre  0 1 2 3 4 …     + 1   + 2  …
  15. 15. +  = 2 
  16. 16. 3 
  17. 17.   = 2
  18. 18. 3
  19. 19. 
  20. 20. 
  21. 21. =    fois 0
  22. 22.  Les théories ont des  Réalisations  Interprétations  Modèles  Exemples :  Géométrie : Euclidienne, non Euclidienne…  Groupes : beaucoup de modèles, finis, infinis…  Ensemble : ?  Arithmétique : ?
  23. 23.  Toute théorie ayant un modèle de cardinalité C possède aussi des modèles de cardinalité K pour tout cardinal K > C  Toute théorie ayant un modèle de cardinalité K > 0 possède aussi un modèle dénombrable  On peut donc : imaginer une réalisation dénombrable des nombres dits réels !
  24. 24.  Le modèle standard  Des modèles non standards  0 1 2 3 4 …  … -1  +1 …  …  Avec une structure d’ordre N + Q x Z
  25. 25.  Existence d’infinitésimaux  1/  est strictement positif  Pourtant plus petit que 1/n pour tout n fini  On peut faire de l’analyse et du calcul différentiel sans parler de limites
  26. 26. 1881-1966 Père de l’intuitionnisme ou constructivisme : Questionne le principe du tiers exclu !
  27. 27.  P ou non P  Veut dire : on possède un algorithme pour prouver P ou on possède un algorithme pour prouver non P.  Il se peut qu’on ait ni l’un ni l’autre.
  28. 28.  Nombre de particules dans l’univers = 1080  Googol = 10100  Googolplex = 10googol  Question ? 5 *4 6 < Googolplex < 5 *5 6
  29. 29.  Il y a des nombres entre zéro et googolplex qui ne seront jamais atteint ni par des opérations algébriques ni par l’imaginaire ni même par des expériences physiques.  Ces nombres peuvent jouer le rôle de . un entier inatteignable (inaccessible) par les maths ordinaires.  On peut imaginer un théorème style Löwenheim– Skolem mais fini.
  30. 30.  Il est communément admi que l’informatique théorique est fondée sur les maths.  Il se peut que ça soit l’inverse : que les maths aient comme fondation l’informatique.  Qu’on ait découvert les maths avant l’informatique, le continu avant le discret parce que notre imagination n’est pas prête à affronter la complexité du fini et que l’infini n’est qu’un moyen maladroit pour appréhender le fini.
  31. 31.  Pythagore : tout est nombre  Oui si on s’autorise des démonstrations de longueur infinie.  D’un autre côté un théorème, un morceau de math est un point de vue, une œuvre intellectuelle, au même titre qu’un morceau de jazz.  C’est ridicule de lui associer une valeur de vérité !  L’idée de vérité est probablement ridicule en soi.
  32. 32. 1   ?

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