1.
Il pourrait être plus petit que vous le pensez

2.
 Formation : mathématicien
 Arithmétique
 Métier : développeur
 Cartes perforées,C, C++, COM, C#, Javascript
 Cofondateur d’Aspectize :
 Technologie pour développer des applicationsWeb et
mobiles avec un minimum de code.

3.
∞

4.
 De la mathématisation de la logique
 De la fin du 19e siècle à nos jours
 Et son impact sur le décorticage de l’infini
▪ Cardinaux
▪ Ordinaux
▪ Arithmétique non standard
▪ Analyse non standard
▪ Le fini
 Spéculations

5.
 Zénon
 Achille et la tortue
 La flèche
 Aristote
 Infini potentiel
 Infini actuel
 Hôtel de Hilbert

6.
1862_1943
 Programme
23 problèmes Paris (1900)
 3 problèmes Bologne (1928)

7.
 Hypothèse du continu (1878).
 Résolu en 1963.

8.
 Consistance de l’arithmétique.
 Résolu en 1935
 Récurrence transfini
0

9.
 Hypothèse de Riemann… premiers jumeaux…
 Non résolu
3 756 801 695 685 x 2666 669 ± 1
200 700 chiffres
(2011)

10.
 Algorithme pour la solvabilité des équations
diophantiennes
 Résolu négativement 1970

11.
 Complétude des maths
▪ La question : « tout entier est somme de 4 carrés »
▪ doit avoir une réponse positive ou négative
 Résolu négativement 1931

12.
 Cohérence des maths
 Prouver qu’on ne pourra pas prouver quelque
chose du style : « deux plus deux égale cinq »
 Résolu négativement 1931

13.
 Entscheidungsproblem
 Résolu négativement
▪ AlanTuring 1936
▪ Alonzo Church 1935 (lambda calcul)

14.
 Bon ordre
 0 1 2 3 4 …
 
  + 1
  + 2
 …

15.
+  = 2 

16.
3 

17.
  = 2

18.
3

19.


20.


21.
= 

 fois
0

22.
 Les théories ont des
 Réalisations
 Interprétations
 Modèles
 Exemples :
 Géométrie : Euclidienne, non Euclidienne…
 Groupes : beaucoup de modèles, finis, infinis…
 Ensemble : ?
 Arithmétique : ?

23.
 Toute théorie ayant un modèle de cardinalité C
possède aussi des modèles de cardinalité K pour
tout cardinal K > C
 Toute théorie ayant un modèle de cardinalité K
> 0 possède aussi un modèle dénombrable
 On peut donc : imaginer une réalisation dénombrable des
nombres dits réels !

24.
 Le modèle standard
 Des modèles non standards
 0 1 2 3 4 …
 … -1  +1 …
 …
 Avec une structure d’ordre N + Q x Z

25.
 Existence d’infinitésimaux
 1/  est strictement positif
 Pourtant plus petit que 1/n pour tout n fini
 On peut faire de l’analyse et du calcul différentiel
sans parler de limites

26.
1881-1966
Père de l’intuitionnisme ou
constructivisme : Questionne le
principe du tiers exclu !

27.
 P ou non P
 Veut dire : on possède un algorithme pour prouver
P ou on possède un algorithme pour prouver non
P.
 Il se peut qu’on ait ni l’un ni l’autre.

28.
 Nombre de particules dans l’univers = 1080
 Googol = 10100
 Googolplex = 10googol
 Question ?
5 *4 6 < Googolplex < 5 *5 6

29.
 Il y a des nombres entre zéro et googolplex qui ne
seront jamais atteint ni par des opérations algébriques
ni par l’imaginaire ni même par des expériences
physiques.
 Ces nombres peuvent jouer le rôle de . un entier
inatteignable (inaccessible) par les maths ordinaires.
 On peut imaginer un théorème style Löwenheim–
Skolem mais fini.

30.
 Il est communément admi que l’informatique théorique est
fondée sur les maths.
 Il se peut que ça soit l’inverse : que les maths aient comme
fondation l’informatique.
 Qu’on ait découvert les maths avant l’informatique, le
continu avant le discret parce que notre imagination n’est
pas prête à affronter la complexité du fini et que l’infini
n’est qu’un moyen maladroit pour appréhender le fini.

31.
 Pythagore : tout est nombre
 Oui si on s’autorise des démonstrations de longueur infinie.
 D’un autre côté un théorème, un morceau de math est
un point de vue, une œuvre intellectuelle, au même
titre qu’un morceau de jazz.
 C’est ridicule de lui associer une valeur de vérité !
 L’idée de vérité est probablement ridicule en soi.

32.
1


?