Ángulos        Def i ni ción de ángul o       Un áng u l o es l a regi ón d el pl ano compren di da ent re dos s emi rr ec...
Clasificación de ángulosCl asi f i caci ón de ángul os según s u medi daAgudo < 90°              Rect o = 90°             ...
Ángul os ad yacen t es                                  Ángul os ad yace nt es son aquel l os que t i enen el             ...
Ángul os r esul t ant es del cor t e ent re dos rect as paral el as y perpendi cul ar esent r e sí                        ...
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Los áng ul os ext eri ores e i nt eri ores son supl ement ari os , es dec i r , quesum an 180º.                 Ángul o ex...
Ar co             Cada un a de l as part es en que una cue rda di vi de a l a             ci rcunf erenci a. Se suele asoc...
Sect or ci rcul ar                             Porci ón de cí rcul o l i mi t ada por dos radi os.       Corona ci rcul ar...
Ángul o i nscri t o                       Su vér t ic e est á e n la c ir cunf er enci a y sus lados                      ...
M i de l a mi t ad de l a di f erenci a ent re l as medi das de l os arcos q ue  abar can sus l ados sobre l a ci rcunf er...
Tr i ángul o escal eno  Tr es l ados desi gual esSegún s us ángul os       Tr i ángul o acut ángul o  Tr es áng ul os agud...
Elementos notables en un triángulo.Al t ur as, m edi anas, medi at ri ces y bi sect ri ces de un t ri ánguloAl t ur as de ...
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Polígonos    Un    pol í gono   es   la   regi ón   de l   pl ano   l i mit ada   por   t res   o   m ássegm ent os.      ...
Núm er o de di agonal es de un pol í gono     Si n es el número de l ados de un pol í gono:     Núm er o de di agonal es =...
Pol í gono i nscr i t o        Un pol í g ono est á i nscri t o en un a ci rcunf erenci a si t odos s us vér t i ces  est ...
Teorema de Thales      Si dos r ect as cu al esqui era se co rt an por vari as r ect as pa ral el as, l ossegm ent os det ...
Sí , por que se cumple el t eorema de Thal es .  El t eor em a de Thal es en un t ri ángul o          Dado un t ri ángul o...
Apl i caci ones del t eorema de Thal es       El t eore ma de T hal es se ut iliza p ar a di vi di r un segment o en var i...
Figuras semejantes.     De manera intuitiva, diremos que dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma,aunque pueda...
Semejanza de triángulos    Dados lo s t ri ángul os AB C y AB C, los l ados a y a , b y b  , c y c sellam an l ados homól ...
Ej em pl os práct i cos     1. Det er m inar la alt ur a de un ed if i cio qu e pr oyect a una som br a de 6. 5m a la m is...
Cr i t er i os de semej anza        1Dos t ri ángul os son sem ej ant es si t ienen dos áng ul os i gual es .        2 Dos...
Ej em pl osDet er m inar si son semej ant es los siguient es t ri ángulos :Son sem ej ant es por que t ienen los l ados pr...
Son    se mej ant es      por qu e      t ienen     dos     l ados     pro porci onal es   y   un     ángul o i gual .Mapa...
Ejemplo 2: En un plano realizado a escala la longitud de una habitación que en la realidad es de 6metros está representada...
Conoci e ndo l os dos cat et os cal cul ar l a hipot enus a                           Los cat et o s de un t ri ángul o re...
Hal lar la diago nal del cuadr ado:Hal lar la diago nal del r ect ángulo:  Hal lar   el     per í m et r o   y   el   ár e...
Calcu lar    el    ár ea   del    cuadr ado    ins cr it o   en   un a                    cir cunf er encia de long it ud ...
Ár ea de un r ect ángul oÁr ea de un r ombo       Ej em pl o:     Ár ea de un romboi de                            P = 2 ·...
Ej em pl o:                      P = 2 · (4. 5 + 4) = 17 cm                      A = 4 · 4 = 16 cm 2Tr apeci o , t ri ángu...
Ej em plo:Ár ea de un pol í gono                         El ár ea se obt iene t r iangul ando el p olí gono y sum ando    ...
Ej em plo:CirculoLongi t ud de una ci rcunf erenci aLongi t ud de un arco de ci rcunf eren ci aÁr ea de un cí r culoÁr ea ...
Ár ea de una corona ci rcul ar                     Es ig ual al ár e a del cí r c ulo m ayo r m enos el ár e a del cí r c ...
Con cent r o en O se t r aza el ar co AB.                                     Con cent r o en M , que es el punt o m edio ...
CónicasUna sección cónica es la intersección de un plano y un cono.              Círculo            Elipse        (h)Paráb...
El em ent os de l a el i pse        Focos: son los pu nt os f ij os F y F .        Ej e f ocal : es la r ect a que pasa po...
Excent ri ci dad de l a eli pse : Es un núm er o que m ide el m ayor o m enorachat am ient o de l a elips e. Y es igu al a...
Parábola       En este caso se parte de un solo punto, que es el foco, y de una recta que se llama directriz.La parábola e...
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  1. 1. Ángulos Def i ni ción de ángul o Un áng u l o es l a regi ón d el pl ano compren di da ent re dos s emi rr ectas con or i gen común. A l as semi rrect as se l as l l ama lados y a l ori gen com ún vért i ce.M edi da de ángul os Par a m edi r ángul os ut iliz am os el grado se xagesi mal ( °) G r ado sexagesi mal es la ampl i tud del ángul o resul t ant e de di vi di r l a ci r cunf er enci a en 360 part es i gual es. 1º = 60 = 3600 1 = 60 Def i ni ción de radi án Radi án ( rad) es l a medi da del án gul o ce nt ral de una ci r cunf er en ci a cu ya l ongi t ud de arco coi nci de con l a l ongi t ud de su radi o. 1 rad= 57° 17 44. 8 1
  2. 2. Clasificación de ángulosCl asi f i caci ón de ángul os según s u medi daAgudo < 90° Rect o = 90° O bt uso>90°Convex o < 180° Ll ano = 180° Cóncav o > 180°Nul o = 0º Compl et o = 360°Negat i vo < 0º M a yor d e 360°Cl asi f i caci ón de ángul os según s u posi ci ónÁngul os consecu t i vos Ángul os consecu t i vos son aquel los que t iene n el vér t ice y un lado com ún 2
  3. 3. Ángul os ad yacen t es Ángul os ad yace nt es son aquel l os que t i enen el vért i ce y un l a do común, y l os ot ros l ados si t uados uno en p r ol ongaci ón del ot ro. For m an u n ángul o l l ano .Ángul os opuest o s por el vért i ce Son l os que t eni endo el vért i ce común, l os l ados de uno son prol ongaci ón de l os l ados del ot r o. Los ángu los 1 y 3 son i gual es . Los ángu los 2 y 4 son i gual es . Cl asi f i caci ón de ángul os según s u suma Ángul os c ompl ement ari os Dos án gul os son compl ement ari os si sum an 90°. Ángul os supl ement ari os Dos áng ul os son supl ement ar i os si suman 180°. 3
  4. 4. Ángul os r esul t ant es del cor t e ent re dos rect as paral el as y perpendi cul ar esent r e sí Ángul os correspo ndi ent es Los ángu los 1 y 2 son igu ales. Ángul os al t ernos i nt ernos Los ángulos 2 y 3 son igu ales. Ángul os al t ernos ext ernos Los ángulos 1 y 4 son igu ales. 4
  5. 5. Ti pos de ángul os de un pol í gono regul ar = á = á = á Ángul o cent ral de un pol í gono regul ar Es el f orm ado por dos radi os consecut i vos. Si n es el núm er o de lados de un pol í gono: Ángul o cent ral = 360° : n Ej em pl o: Ángul o cent ral del pent ágono regul ar= 36 0° : 5 = 72º Ángul o i nt eri or de un pol ígono regul ar Es el f orm ado por dos l ados cons ecut i vos. Ángul o i nt eri or =180° − Ángul o cent ral Ej em pl o: Ángul o i nt eri or del pent ágono regul ar = 180° − 72º = 108º Ángul o ext eri or de un pol ígono regul ar Es el f orm ado por un l ado y l a prol ongaci ón de un l ado consecut i vo. 5
  6. 6. Los áng ul os ext eri ores e i nt eri ores son supl ement ari os , es dec i r , quesum an 180º. Ángul o ext eri or = Ángul o cent ral Ej em pl o: Ángul o ext eri or del pent ágono regul ar = 72º Circunferencia y círculo Es una l í nea curva cerrada cu yos punt os est án t odos a l a mi sma di st anci a de un punt o f ij o ll amado cent ro. Cent ro Punt o d el que equi di st an ( est án a l a misma di st anci a) todos l os punt os de l a ci rcunf erenc i a. Radi o Segm ent o que u ne el cent ro de l a ci rcunf erenc i a con u n punt o cual qui er a de l a mi sma. El ement os de l a ci rcunf erenci a Cuer da Segment o que une dos punt os de la ci rcunf erenci a. Di ám et ro Cuerda que pas a por el cent ro. 6
  7. 7. Ar co Cada un a de l as part es en que una cue rda di vi de a l a ci rcunf erenci a. Se suele asociar a cada cuer da el m eno r ar co que delim it a.Semi ci rcunf erenc i a Cada un o de l os arcos i gual es que ab arca un di ámet ro.Cí r cul o Es l a f i gura pl ana com prendi da en el i nt eri or de un a ci rcunf erenci a. El ement os de un cí rcul o Segment o ci rcul ar Por ci ón de cí rcul o l i mi t ada por un a cuerda y el ar c o correspo ndi ent e. Semi cí rcul o Porci ón del cí rcul o l i m i t ada por u n di ámet ro y el a r co correspo ndi ent e . Equiva le a la m it ad del cí r culo. 7
  8. 8. Sect or ci rcul ar Porci ón de cí rcul o l i mi t ada por dos radi os. Corona ci rcul ar Porci ón de cí rcul o l imi t ada por dos cí r cul o s concént r i cos. Trapeci o ci rcul ar Porci ón de cí rcul o l i mi tada por dos ra di os y una corona c i rcul ar. Ángul os de l a ci rcunf eren ci a Ángul o cent ral Ángul o q ue t iene su vér t ice en el cen t r o de la cir cunf er encia y sus lados son dos r adios.La m edi da de un arco es l a de su ángul o cent ral correspon di ent e. 8
  9. 9. Ángul o i nscri t o Su vér t ic e est á e n la c ir cunf er enci a y sus lados son secant es a ella. M i de l a mi t ad del arco que abarca .Ángul o semi i nscri t o Su vér t ice est á en la cir cunf er encia, u n lad o secant e y el ot r o t angent e a ella. M i de l a mi t ad del arco que abarca .Ángul o i nt erior Su vér t ice es int er ior a la cir cunf er encia y sus lados se cant es a ella. M i de l a mi t ad de l a suma de l as medi das de l os arc os que abarca n sus l ados y l as prol ongaci ones de sus l ados .Ángul o ext eri or Su vér t ice es un punt o e xt er ior a la cir cunf er encia y los l ado s de su s ángu lo s son: o s ecant es a el la, o uno t an gent e ot r o secant e, o t angent es a ella: 9
  10. 10. M i de l a mi t ad de l a di f erenci a ent re l as medi das de l os arcos q ue abar can sus l ados sobre l a ci rcunf erenci a. Triángulos Un t r i ángul o es un polí go no con t res l ados .Pr opi eda des de l os t ri ángul os 1 Un l ad o de un t ri ángulo es me nor qu e l a suma de l os o t ros dos y m a yor q ue su di ferenci a. 2 La suma de l os ángul os i nt eri ores de un t ri ángul o es i gual a 180°. 3 El val or de u n ángul o ext eri or es i g ual a l a suma de l os dos i nt er i or es no ad yacent es. Ti pos de t ri ángulosSegún s us l ados Tr i ángu l o equi l átero Tr es l ados i gual es. Tr iángul o i sóscel es Dos l ados i gual es. 10
  11. 11. Tr i ángul o escal eno Tr es l ados desi gual esSegún s us ángul os Tr i ángul o acut ángul o Tr es áng ul os agudos Tr i ángul o rect ángul o Un ángul o r ect o El l ado m a yor e s l a h i pot enusa. Los l ados menores son l os cat et os. Tr i ángul o obt usángul o Un ángul o obt uso. 11
  12. 12. Elementos notables en un triángulo.Al t ur as, m edi anas, medi at ri ces y bi sect ri ces de un t ri ánguloAl t ur as de un t riángul o Al t ur a es cada u na de l a s rect as perpen di cul ar es t razad as des d e un vért i ce al l ado opuest o ( o su prol ongaci ón) . O rt ocentro Es el punt o de cort e de l as t res al t uras. M edi anas de un tri ángul o M edi ana es cada una de l as rect as que u ne el pu nt o medi o de un l ado con el vérti ce opuest o. Bar i cent ro Es el punt o de cort e de las t res medi anas. El b ar ic ent r o di vide a cada m edian a en dos segm ent os, el segm ent o que une el bar icen t r o con el vér t ic e m ide e l dob le q ue el se gm ent o que un e bar icent r o con el punt o m edio del l a do opues t o. BG = 2GA 12
  13. 13. M edi at rices d e un t ri ángul oM ediat r iz es cada una de l as r ect as per pend icular es t r azadas a un lad o por supunt o m edio. Ci r cunce nt ro Es el punt o de cort e de las t res medi at rices. Es el cent r o de una cir cunf er enci a cir cunscr it a al t r iángulo. Bi sect ri ces de un t ri ángul oBisect r iz es ca da una de las r ect as que divid e a un án gul o en do s ángu lo sigua les. I ncent ro Es el punt o de cort e de las t res bi set ri ces. Es el ce nt r o de una cir cu nf er encia inscr it a en el t r iángulo. Rect a de Eul er Es la r ect a que pasa por el cir cuncent r o, bar icent r o y or t ocent r o. 13
  14. 14. Polígonos Un pol í gono es la regi ón de l pl ano l i mit ada por t res o m ássegm ent os. El ement os de un pol í gono Lados Son l os segment os que l o l i mi t an. Vér t i ce s Son l os punt os donde co ncurren dos l ados. Ángul os i nt eri ores de un pol í gono Son l os det ermi nados por dos l ados cons ecut i vos. Sum a de ángul os i nt eri ores de un pol í gono Si n es el número de l ados de un pol í gono: Sum a de ángul os de un pol í gono = (n − 2) · 180° Di agonal Son l os segment os que det ermi nan dos vért i ces no consec ut i vos 14
  15. 15. Núm er o de di agonal es de un pol í gono Si n es el número de l ados de un pol í gono: Núm er o de di agonal es = n · ( n − 3) : 2 4 · (4 − 3) : 2 = 2 5 · ( 5 − 3) : 2 = 5 6 · ( 6 − 3) : 2 = 9 Pol í gonos regul ares Un pol í gono regul ar es el que t iene sus ángul os i gual es y sus l a dosi gual es. El ement os de un pol í gono regul ar Cent r o Punt o int er ior que equidist a de cada vér t ice Radi o Es el seg m ent o que va del cent r o a cada vér t ice. Apot em a Dist anci a del cent r o al punt o m edio de un lad o. 15
  16. 16. Pol í gono i nscr i t o Un pol í g ono est á i nscri t o en un a ci rcunf erenci a si t odos s us vér t i ces est án cont eni dos en el l a. Ci r cunf erenci a ci rcunscri t a Es la que t oca a cada vér t ice del po lí gono Su cent r o equid is t a de t odos los vér t ices. Su radi o es el radi o del pol í gono. Ci r cunf erenci a i nscri t a Es la qu e t oca al polí gono en el pu nt o m edio de cad a lado. Su cent r o equid is t a d e t odos los la dos. Su radi o es l a apot ema del pol í gono. 16
  17. 17. Teorema de Thales Si dos r ect as cu al esqui era se co rt an por vari as r ect as pa ral el as, l ossegm ent os det ermi nados en una de l as r ect as son proporci onal es a l o ssegm ent os cor respondi e nt es en la ot ra. Ej e m pl o: 1. Las r ect as a, b y c son par alelas. Hal la la l ongit ud d e x. 2. Las r ect as a, b son par al elas. ¿P odem os af ir m ar que c es par alela a las r ect as a y b? 17
  18. 18. Sí , por que se cumple el t eorema de Thal es . El t eor em a de Thal es en un t ri ángul o Dado un t ri ángul o AB C , si se t r a za un se gment o paral el o, B C , a uno de l os l ados del t r iangulo, s e obt ien e ot r o t ri ángul o AB C , cuyos l ados son proporci onal es a los del t ri ángulo AB C.Ej em plo : Hal lar la s m edidas de los segm ent os a y b. 18
  19. 19. Apl i caci ones del t eorema de Thal es El t eore ma de T hal es se ut iliza p ar a di vi di r un segment o en var i a s par t es i gual es . Ej em pl o Divi dir el segm ent o AB en 3 par t es iguales 1. Se dibuj a u na sem ir r ecta de or igen el ext r em o A del seg m ent o. 2. Tom ando com o unida d cualqu ier m edida, se señala n en la se m ir r ect a 3 unida des de m ed i da a par t ir de A. 3. Por cada una de las divis ione s de l a sem ir r ect a se t r azan r ect as par alelas al segm ent o que u n e B co n l a últ im a divis ión sobr e la sem ir r ecta. Los punt o s obt enido s en el s egm ent o A B det er m inan las 3 par t es igua les e n que se divid e. 19
  20. 20. Figuras semejantes. De manera intuitiva, diremos que dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma,aunque puedan tener distinto tamaño: 20
  21. 21. Semejanza de triángulos Dados lo s t ri ángul os AB C y AB C, los l ados a y a , b y b , c y c sellam an l ados homól ogos . Los ángu l os homól ogos son : Dos t riángul os son semej ant es cuando t ienen sus ángul oshom ól ogos i gual es y sus l ados homól ogos proporci onal es . La r azón de l a proporci ón ent r e los l ados de los t riángul os se llam arazón de semej anza . La r azón de l os perí met ros de lo s t ri ángul os se mej ant es es ig u al asu r azón de semej anza . La r azó n de l as áreas de los t ri ángulos seme j ant es es igual alcuadr ad o de su razón de semej anza . 21
  22. 22. Ej em pl os práct i cos 1. Det er m inar la alt ur a de un ed if i cio qu e pr oyect a una som br a de 6. 5m a la m ism a hor a que un post e de 4. 5 m de alt ur a da una som br a de 0. 90m. 2. Los cat e t os de un t r iángulo r ect ángul o que m ide n 24 m y 10 m.¿Cuánt o m edir án los cat et os de un t r iángulo sem e j ant e al pr im er o cuyahipot enu sa m ide 52 m ? 22
  23. 23. Cr i t er i os de semej anza 1Dos t ri ángul os son sem ej ant es si t ienen dos áng ul os i gual es . 2 Dos t r iángul os son semej ant es si t ienen los l ados proporci onal es . 3 Dos t riángul os son semej ant es si t ienen dos l ados proporci onal es y el ángul o comprendi do ent r e ellos i gual . 23
  24. 24. Ej em pl osDet er m inar si son semej ant es los siguient es t ri ángulos :Son sem ej ant es por que t ienen los l ados proporci onal es .180º − 100º − 60º = 20ºSon sem ej ant es por que t ienen dos ángul os i gual es . 24
  25. 25. Son se mej ant es por qu e t ienen dos l ados pro porci onal es y un ángul o i gual .Mapas y Planos Los mapas, planos, fotografías, etc... son representaciones de la realidad por medio defiguras semejantes, la escala de un mapa o plano es la razón de semejanza entre una medida de larepresentación y su correspondiente en la realidad.Así por ejemplo si en un mapa leemos “ESCALA 1:200.000” significa que los objetos en la realidadson 200.000 veces más grandes que en el mapa o lo que es lo mismo que los objetos en el mapason 200.000 veces más pequeños que en la realidad.Para transformar medidas de la realidad a su representación o viceversa nos fijaremos en elsiguiente cuadro: X ESCALA REPRESENTACION REALIDAD : ESCALAPara encontrar la escala de la representación nos fijaremos en la siguiente relación: = ÓEjemplo 1: En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 20 cm, si la escala del mapa es 1:25.000¿Cuál es la distancia real en Km. entre las dos ciudades? 20 x 25000 = 500000 cm, 500000 : 100000 = 5 Km. 25
  26. 26. Ejemplo 2: En un plano realizado a escala la longitud de una habitación que en la realidad es de 6metros está representada por una línea de 3 cm. ¿Cuál es la escala del plano? 600 6 x 100 = 6 cm, Escala = = 200 Escala 1 : 200 3ACTIVIDADES:1) El plano de una finca está dibujado a escala 1 : 250 ¿Cuál es en la realidad expresada en metrosuna distancia que en el plano es de 3 cm?2) En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 7’5 cm, sabiendo que en la realidad hay 37’5Km. entre las dos ciudades ¿Cuál es la escala del mapa?3) Una pista polideportiva mide 80 m. de largo y 50 m. de ancho ¿Qué largo y ancho tendrá la pistaen un plano hecho a escala 1 : 200? Expresa el resultado en centímetros.4) Dos ciudades en un mapa están a una distancia de 85 cm. si la distancia real entre las dosciudades es de 127’5 Km. ¿Cuál es la escala del mapa?SOLUCIONES1) 7,5 m2) 1 : 5000003) 40 cm y 25 cm4) 1 : 150000 Teorema de Pitágoras El t eorema de Pit ágoras est abl ece que en un t ri ángulo rect ángul o, el c uadrado de la hi pot enusa es i gual a l a suma de l os cuadra dos de l os cat et os. Ej em pl os de apl icaci ones del t eorema de Pi t ágoras Conoci e ndo l os lados de un t ri ángul o, averi guar si es rect ángul o Par a qu e un t ri ángul o sea rect ángul o el cuadr ado de lado m ayor ha de ser igual a la sum a d e los cuadr ados de l os dos menor es. Det er m inar si el t r iángul o es r ect ángulo. 26
  27. 27. Conoci e ndo l os dos cat et os cal cul ar l a hipot enus a Los cat et o s de un t ri ángul o rectángul o m iden e n 3 m y 4 m r espect ivam ent e. ¿Cuá nt o m ide la hi pot enusa ?Conoci e ndo l a hipot enus a y un c at et o, cal cul ar el ot ro catet o La hi pot enusa d e un t ri ángul o rect ángul o m ide 5 m y uno de sus cat et os 3 m . ¿Cuánt o m ide ot r o cat et o ?Ej er ci ci os Una esc aler a de 10 m de l ongit ud est á apoyada sobr e la par ed. El pie d e la esc aler a d is t a 6 m d e l a par ed. ¿Q ué alt ur a alcanz a la escaler a sobr e la par ed? Hal lar el ár ea del t r iángulo equi lát er o: 27
  28. 28. Hal lar la diago nal del cuadr ado:Hal lar la diago nal del r ect ángulo: Hal lar el per í m et r o y el ár ea del t r apeci o r ect ángul o: P = 8 + 6 + 12 + 6. 32 = 32. 32 cm El per í m et r o de un t r apecio isóscel es es de 110 m , las base s m iden 40 y 30 m r espect ivam ent e. Calcul ar los lados no par alelos y el ár ea.Hallar el ár ea del pent ág ono r egul ar : 28
  29. 29. Calcu lar el ár ea del cuadr ado ins cr it o en un a cir cunf er encia de long it ud 18. 84 m . En una cir cunf er encia una cuer da de 48 cm y dist a 7 cm del cent r o. Calcul ar el ár ea del cí r culo. Figuras planasCuadr ad o, r ect ángul o, rombo y romboi dePer í m et ro de un pol í gono Es l a suma de l as l ongi t udes de l os l ados de un pol í go noÁr ea de un pol í gono Es l a m edi da de la regi ón o superf i ci e encerrada por una f igura pl ana Ár ea de un cuadrado 29
  30. 30. Ár ea de un r ect ángul oÁr ea de un r ombo Ej em pl o: Ár ea de un romboi de P = 2 · (a + b) A = b · h 30
  31. 31. Ej em pl o: P = 2 · (4. 5 + 4) = 17 cm A = 4 · 4 = 16 cm 2Tr apeci o , t ri ángul o y p ol í gono regul ar Ár ea de un t rapeci o Ej em plo: Ár ea de un t ri ángul o 31
  32. 32. Ej em plo:Ár ea de un pol í gono El ár ea se obt iene t r iangul ando el p olí gono y sum ando el ár ea de dichos t r iángulo s. A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 Ej em plo: AD = BC; AB = DC Rom boid e P = 13 + 11 + 12 + 5 + 11= 52 cm A = A R + A T A = 11 · 12 + ( 12 · 5 ) : 2 = 162 cm 2 Ár ea de un pol í gono regul ar 32
  33. 33. Ej em plo:CirculoLongi t ud de una ci rcunf erenci aLongi t ud de un arco de ci rcunf eren ci aÁr ea de un cí r culoÁr ea de un sect or ci rcul ar 33
  34. 34. Ár ea de una corona ci rcul ar Es ig ual al ár e a del cí r c ulo m ayo r m enos el ár e a del cí r c ulo m enor .Ár ea de un t r apeci o ci rcul ar Es igual al ár ea del sect or cir cular m ayor men os el á r ea del sect or cir cular m enor .Ár ea de un segment o ci rcul ar Ár ea del segm ent o cir cular AB = Ár ea del sect or cir cular AO B − Área del t r iángul o A O BÁr ea de una l únul aConst r u cci ón Par t im os de un t r iángul o is ósceles r ect ángul o. 34
  35. 35. Con cent r o en O se t r aza el ar co AB. Con cent r o en M , que es el punt o m edio de la hipot enu sa, se tr aza el ot r o ar co. La par t e enm ar cada por el color verde se lla m a l únula de Hi pócrat es . Lugares geométricos Un lugar geométrico es un conjunto de puntos tales que satisfacen una propiedad y que soloestos puntos satisfacen dicha propiedad.Ejemplo: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de otropunto que es el que llamamos centro (C en el dibujo) de la circunferencia. Esa distancia que essiempre igual es lo que llamamos el radio de la circunferencia. 35
  36. 36. CónicasUna sección cónica es la intersección de un plano y un cono. Círculo Elipse (h)Parábola (h)Hipérbola (h) CircunferenciaCambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, un elipse, una parábolao una hipérbola.Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntosllamados focos (F1 y F2) es siempre la misma. En el dibujo se puede ver que la suma de los dossegmentos verdes (las distancias del punto a cada uno de los focos) es igual que la de lossegmentos marrones y que la suma de los segmentos rojos. Esa suma de distancias que es siemprela misma, es igual a la longitud del eje mayor de la elipse. 36
  37. 37. El em ent os de l a el i pse Focos: son los pu nt os f ij os F y F . Ej e f ocal : es la r ect a que pasa por los f ocos. Ej e secu ndari o : es la m ediat r iz del segm ent o FF. Cent r o : es el pun t o de int er sección de los ej es. Radi os vect ores : s on los segm ent os que van desd e un pun t o de la elips e a los f ocos: PF y PF. Di st anci a f ocal : es el seg m ent o de longit ud 2c, c es el valor de la sem i di stanci a f ocal . Vér t i ces : s on los punt os d e int er sección de la el ips e con lo s ej es: A, A, B y B. Ej e ma yor : es e l segm e nt o de l ongit ud 2a , a es el v alor del sem i ej e m a yor . Ej e menor : es el segm ent o de longit ud 2b , b es el val or del sem i ej e m enor . 37
  38. 38. Excent ri ci dad de l a eli pse : Es un núm er o que m ide el m ayor o m enorachat am ient o de l a elips e. Y es igu al al coc i ent e ent r e su sem idist anc i a f ocal y susem iej e m ayor .Hipérbola La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma diferencia de distancias a dospuntos llamados focos (F1 y F2) es siempre la misma. En el dibujo se puede ver que la diferenciade las líneas amarillas es igual que la diferencia entre las líneas rojas e igual que la diferencia entrelas líneas verdes. 38
  39. 39. Parábola En este caso se parte de un solo punto, que es el foco, y de una recta que se llama directriz.La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco es igual que la distancia ala recta directriz. Aquí se puede ver como los dos segmentos naranjas miden lo mismo, siendo unala distancia de un punto de la parábola al foco (F), y el otro la distancia a la recta directriz (d). Lomismo ocurre con los segmentos amarillos y los segmentos verdes, que representan lo mismo peropara otros puntos de la parábola. 39

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