CM - elaborato RADDI

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Elaborato per l'esame di Costruzioni Metalliche di Roberto Raddi, A.A. 2012/13

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CM - elaborato RADDI

  1. 1. FACOLTA’ DI INGEGNERIA Laurea Magistrale in Ingegneria Civile I semestre – II anno A.A. 2012 – 2013 Corso di: Costruzioni Metalliche Appunti di Costruzioni Metalliche Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Roma, LUGLIO 2013 Studente: Roberto Raddi 1504138
  2. 2. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati INDICE SEZIONE 0: INTRODUZIONE SEZIONE 1: TEORIA DELLA PLASTICITÀ 1.1 Plasticità di materiale ........................................................................................................... 3 1.1.1 Limite di plasticità................................................................................................................................. 3 1.1.2 Stati di tensione non monoassiale ....................................................................................................... 3 1.1.2.1 Superficie di scorrimento ............................................................................................................. 3 1.1.2.2 Criteri di rottura ........................................................................................................................... 3 1.1.2.3 Inrudimento ................................................................................................................................. 5 1.1.3 Legame costitutivo dell'acciaio ............................................................................................................ 6 1.1.3.1 Legame costitutivo sperimentale ................................................................................................. 6 1.1.3.2 Legame costitutivo di calcolo ....................................................................................................... 6 1.1.3.3 Legame costitutivo ciclico ............................................................................................................ 7 1.1.3 Duttilità ................................................................................................................................................. 8 1.2 Plasticità di sezione/elemento .............................................................................................. 9 1.2.1 Flessione semplice (travi) ..................................................................................................................... 9 1.2.1.1 Definizione del legame momento-curvatura .............................................................................10 1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico ....................................................................................................10 1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico ....................................................................................................11 1.2.1.2 Cerniera plastica .........................................................................................................................13 1.2.2 Pressoflessione (colonne)...................................................................................................................15 1.2.2.1 Analisi in campo plastico ............................................................................................................15 1.2.2.2 Analisi in campo elastico ............................................................................................................16 1.3 Plasticità di sistema ............................................................................................................ 17 1.3.1 Aspetti caratterizzanti ........................................................................................................................17 1.3.1.1 Meccanismi di collasso locale/globale - Iperstaticità .................................................................17 1.3.1.2 Ridistribuzione energie immesse dopo la plasticizzazione ........................................................17 1.3.1.3 Distribuzione dei carichi .............................................................................................................18 1.3.2 Resistenza elastoplastica del sistema strutturale ..............................................................................19 1.3.2.1 Metodo semi-analitico ...............................................................................................................19 1.3.2.1.1 Analisi elastica ....................................................................................................................19 1.3.2.1.2 Analisi elastoplastica ..........................................................................................................20 1.3.2.1.2.1 Fase di carico ..............................................................................................................20 1.3.2.1.2.2 Fase di scarico ............................................................................................................21 1.3.2.2 Metodo incrementale (push-over) .............................................................................................21 1.3.2.3 Metodo dell'analisi limite...........................................................................................................23 1.3.2.3.1 Superfici limite ...................................................................................................................23 1.3.2.3.2 Teoremi dell'analisi limite ..................................................................................................24 1.3.2.3.2.1 Teorema statico .........................................................................................................24 1.3.2.3.2.2 Teorema cinematico ..................................................................................................26 1.3.2.3.2.2.1 Trave iperstatica ................................................................................................26 1.3.2.3.2.2.1 Telaio iperstatico ...............................................................................................27 Roma, LUGLIO 2013
  3. 3. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 1.4 Aspetti particolari dell'analisi plastica ................................................................................. 28 1.4.1 Comportamento ciclico della sezione inflessa ...................................................................................28 1.4.2 Influenza del taglio sul comportamento elastoplastico a flessione ...................................................29 1.4.3 Interazione tra instabilità e plasticità .................................................................................................29 SEZIONE 2: STABILITÀ DELL'EQUILIBRIO 2.1 Aspetti generali .................................................................................................................. 32 2.2 Studio del comportamento critico e post-critico di un'asta rigida ........................................ 32 2.2.1 Condizione di vincolo 1.......................................................................................................................32 2.2.1.1 Cinematica ed equilibrio ............................................................................................................33 2.2.1.1.1 Trattazione completa .........................................................................................................33 2.2.1.1.2 Linearizzazione degli spostamenti .....................................................................................33 2.2.1.1.3 Equilibrio nella configurazione indeformata......................................................................33 2.2.1.1.4 Conclusioni .........................................................................................................................33 2.2.1.2 Approccio energetico .................................................................................................................34 2.2.1.2.1 Trattazione completa .........................................................................................................34 2.2.1.2.2 Linearizzazione degli spostamenti .....................................................................................34 2.2.1.2.3 Equilibrio nella configurazione indeformata......................................................................34 2.2.1.2.4 Conclusioni .........................................................................................................................34 2.2.2 Condizione di vincolo 2.......................................................................................................................35 2.2.2.1 Cinematica ed equilibrio ............................................................................................................35 2.2.2.1.1 Trattazione completa .........................................................................................................35 2.2.2.1.2 Linearizzazione degli spostamenti .....................................................................................36 2.2.3 Condizione di vincolo 3.......................................................................................................................36 2.2.3.1 Approccio energetico .................................................................................................................36 2.3 Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste ................................. 37 2.3.1 Cinematica ed equilibrio.....................................................................................................................37 2.3.1.1 Trattazione completa .................................................................................................................37 2.4 Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste ................................. 38 2.4.1 Approccio energetico .........................................................................................................................38 2.4.1.1 Linearizzazione degli spostamenti .............................................................................................38 SEZIONE 3: CRITERI DI PROGETTAZIONE 3.1 Approccio alla progettazione .............................................................................................. 40 3.2 Conceptual design .............................................................................................................. 41 3.2.1 Performance strutturali richieste .......................................................................................................41 3.2.1.1 Rigidezza strutturale (SLE) ..........................................................................................................42 3.2.1.2 Instabilità (SLE/SLU) ...................................................................................................................42 3.2.1.3 Resistenza (SLU) .........................................................................................................................42 3.2.1.4 Duttilità (SLU) .............................................................................................................................42 3.2.2 Scelte progettuali ...............................................................................................................................42 3.2.2.1 Tipologie elementari ..................................................................................................................43 3.2.2.1.1 Concentric Braced Frames (CBF) ........................................................................................43 Roma, LUGLIO 2013
  4. 4. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 3.2.2.1.2 Moment Reisting Frames (MRF) ........................................................................................43 3.2.2.1.1 ECcentric Braced Frames (EBF) ..........................................................................................44 3.2.2.2 Nodi ............................................................................................................................................44 3.2.2.2.1 Distinzione funzionale ........................................................................................................44 3.2.2.2.2 Rigidezze nodali..................................................................................................................45 3.3 Ottimizzazione.................................................................................................................... 48 3.3.1 Ottimizzazione per livelli ....................................................................................................................48 3.3.1.1 Sizing...........................................................................................................................................48 3.3.1.2 Morfologica ................................................................................................................................49 3.3.1.3 Topologica ..................................................................................................................................49 3.3.1.4 Introduzione della sottostruttura ..............................................................................................50 3.3.1.4.1 Uso dell'Outrigger ..............................................................................................................50 3.3.2 Ottimizzazione per risposta ................................................................................................................51 3.3.2.1 Assiale.........................................................................................................................................51 3.3.2.1.1 Principi cardine...................................................................................................................51 3.3.2.1.1.1 Trazione......................................................................................................................51 3.3.2.1.1.2 Compressione ............................................................................................................51 3.3.2.1.2 Aspetti tecnologici..............................................................................................................52 3.3.2.1.2.1 Buckling Restrained Braced Frame ............................................................................52 3.3.2.1.2.2 Trussed Tube ..............................................................................................................53 3.3.2.2 Flessionale ..................................................................................................................................54 3.3.2.2.1 Risposta strutturale ............................................................................................................54 3.3.2.2.2 Aspetti tecnologici..............................................................................................................55 3.3.2.2.2.1 Outrigger in sommità .................................................................................................55 3.3.2.2.2.2 Irrigidimenti strutturali ..............................................................................................55 SEZIONE 4: PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA 4.1 Introduzione ....................................................................................................................... 57 4.2 Metodo dissipativo semplificato ......................................................................................... 57 4.2.1 Duttilità locale ....................................................................................................................................58 4.2.1.1 Materiale ....................................................................................................................................58 4.2.1.2 Sezione .......................................................................................................................................58 4.2.2 Fattore di struttura (q) .......................................................................................................................59 4.2.2.1 Indice di duttilità (q0)..................................................................................................................60 4.2.2.2 Fattore di regolarità strutturale (KR) ..........................................................................................61 4.2.2.3 Fattore di duttilità locale (KD) .....................................................................................................62 4.2.3 Gerarchia delle resistenze ..................................................................................................................63 APPENDICE A: COLLASSO PROGRESSIVO ................................................................................... 66 APPENDICE B: FATICA ............................................................................................................... 68 APPENDICE C: MODELLAZIONE DI DETTAGLIO........................................................................... 70 Roma, LUGLIO 2013
  5. 5. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 SEZIONE 0 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati INTRODUZIONE 1) Nell'ambito delle costruzioni civili, le strutture portanti di un qualsiasi organismo sono prevalentemente realizzate, oltre che in cemento armato, impiegando materiali metallici:si tratta soprattutto di acciai da carpenteria e solo di recente sono state introdotte leghe leggere, tradizionalmente in uso nell'industria aeronautica. 2) Il comportamento meccanico delle strutture metalliche è fortemeente condizionato dalle proprietà del materiale acciaio, che presenta buona resistenza a trazione quanto a compressione, oltre ad elevata resistenza, tenacità ed adattabilità plastica. 3) Tra i principali vantaggi connessi all'impiego di strutture metalliche si possono annoverare: • Semplicità e maggiore affidabilità di modellazione: in fase di calcolo strutturale, il comportamento statico delle membrature in acciaio non risente delle incertezze di esecuzione. Le schematizzazioni teoriche possono sufficientemente adattarsi alla struttura reale sia per le caratteristiche fisico meccaniche sia per le modalità di esecuzione delle unioni, dei collegamenti e dei vincoli. Questi aspetti si riflettono nell'impiego di coefficienti di sicurezza più bassi e quindi meno penalizzanti rispetto a quelli relativi, per esempio, al cemento armato. • Rapidità di esecuzione: il procedimento costruttivo prevede una prima fase di produzione degli elementi strutturali, che si volge in officina sotto il diretto controllo delle maestranze specializzate mentre in cantiere si realizza il montaggio mediante il collegamento tra gli elementi già prodotti. In questo modo la costruzione non risente delle condizioni stagionali che bloccano i procedimenti "a umido" come nel caso delle costruzioni murarie e di c.a. e risulta conseguentemente più rapida. • Re-impiego: accanto alla riduzione dei tempi descritta, si rileva la possibilità di trasformazione delle strutture, intesa sia come ampliamento della stessa per variazioni funzionali dell'opera, sia come intervento di rinforzo richiesto da deficienze statiche conseguenti ad una modifica dello schema statico originario e/o dei carichi di esercizio. • Elevato grado di efficienza: il rapporto tra la resistenza meccanica (espressa in termini di massima tensione di calcolo) ed il peso specificoè, per i materiali metallici, molto elevato e sempre superiore a quello degli altri materiali da costruzione tradizionali. Questo aspetto si traduce nella possibilità di impiegare elementi strutturali di dimensione ridotte e quindi di peso minore. A questo si accompagna dunque un più razionale uso degli spazi per il minore ingombro degli elementi portanti ed un minore impegno per le strutture di fondazione, soggette a carichi più bassi. • Ottima risposta alle azioni dinamiche: questo giustifica l'ampio utilizzo di acciaio nelle costruzioni industriali e nei ponti in zona sisimica Roma, LUGLIO 2013 Pagina 1
  6. 6. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 4) Per contro si annoverano alcuni svantaggi che penalizzano l'uso generalizzato del materiale acciaio: • Instabilità, sia locale che globale , conseguente proprio all'aumentata snellezza delle membrature, che diventa uno degli aspetti più significativi in fase di verifica dell'elemento e dell'insieme della struttura metallica. • Elevata deformabilità: che non consente di sfruttare appieno le capacità resistenti e pone problemi sia di instabilità che di funzionalità dell'opera. Proprio per questa ragione si impongono delle limitazioni, oltre che sulle tensioni, anche sulle deformazioni. • Degrado per corrosione: il materiale acciaio è particolarmente sensibile all'attacco di agenti atmosferici che lo ossidano; pertanto è necessaria una costante manutenzione. • Vulnerabilità considerevole nei confronti del fuoco: per le strutture metalliche si registra una rapida diminuzione delle caratteristiche di resistenza al crescere della temperatura e questo comporta particolare cura nei confronti degli accorgimenti da adottare ai fini della protezione degli elementi portanti. 5) Emerge, sin da queste considerazioni iniziali, che la corretta progettazione di strutture metalliche, le quali abbracciano tutti i settori delle costruzioni (edilizia civile e industriale, ponti e grandi coperture, torri e pali di sostegno per elettrodotti,serbatoi e costruzioni marittime) non può prescindere dalla conoscenza di queste problematiche. La costruzione metallica, inoltre si adatta particolarmente alle tecniche di produzione in serie dalle quali viene condotto ad una prefabbricazione industrializzata sempre più spinta. 6) Infine le moderne tecnologie danno la possibilità di introdurre nelle strutture dei materiali con caratteristiche di resistenza differenziate, con la creazione della cosiddetta quarta dimensione, che si accompagna alle tre geometriche, che fornisce alla progettazione un ulteriore elemento di scelta. Quindi per il continuo miglioramento dei materiali ed il graduale incremento dell'industrializzazione le strutture metalliche presentano notevoli prospettive di sviluppo. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 2
  7. 7. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 SEZIONE 1 TEORIA DELLA PLASTICITA' A 1.1 1.1.1 Docente Prof. Franco Bontempi e: Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Plasticità di ma ateriale Limite di plasti icità 1) I materiali po ossono essere a limite di plasticità definito(acciai o non ben definito aio) (calcestruzzo o): nel secondo caso si necessita una semplificazione del a comportame amento con conseguente linearizzazione. Figura 1.1 1.1.2 1.1.2.1 Stati di tension non monoassiali ne Superficie di sc corrimento 1) Negli stati di tensione non monoassiale, il limite di elasticit si definisce con una tà superfice di scorrimento che separa gli stati elastici (interni) da quelli plasticizzati o s non ammissi ibili. Il contorno è dunque il luogo dei punti limite e. Figura 1.2 1.1.2.2. Criteri di rottur ra 1) La definizione delle superfici di rottura avviene attraverso due criteri possibili: • Crite di Tresca: si ha rottura quando la tensione tan erio angenziale raggiunge il valor massimo in uno stato monoassiale: re Figura 1.3 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 3
  8. 8. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 dove: • 1 ∗ max ሼሾߪଵ − ߪଶ ሿ; ሾߪଶ − ߪଷ ሿ; ሾߪଷ − ߪଵ ሿሽ 2 1 ߬௦ = ∗ max (ߪଵ , ߪଶ , ߪଷ ) 2 Criterio di Von Mises: si ha rottura quando ߬̅ = ߬௦ dove la ߬̅ è per ഥ definizione la media delle tensioni tangenziali agenti su una sfera di raggio piccolo tendente a zero con il centro coincidente con il punto in esame. ߬௠௔௫ = Figura 1.4 dove: ߬̅ = Figura 1.5 ߬̅ = ඨ √15 1 ∗ ඥ[ሺߪଵ − ߪଶ ሻଶ + ሺߪଶ − ߪଷ ሻଶ + ሺߪଷ − ߪଵ ሻଶ ] 2) Confrontando i due criteri: Roma, LUGLIO 2013 ଶగ గ 1 ଶ න ݀ߙ ∗ න ߬௡ ∗ sin ߚ ∗ ݀ߚ 4∗ߨ ଴ ଴ ߬௦ = 1 ∗ max (ߪଵ , ߪଶ , ߪଷ ) 2 Pagina 4
  9. 9. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.1.2.3 Incrudimento 1) Si riporta uno schema riassuntivo e i relativi diagrammi delle possibile situazioni: Figura 1.6 Incrudimento Isotropia Staticità Incrudimento isotropo Incrudimento non isotropo (la superficie cambia le dimensioni, non la forma) (la superficie cambia le dimensioni e la forma) (1) (2) Incrudimento statico Incrudimento cinematico (la superficie non si sposta) (la superficie si sposta) (3) (4) Figura 1.7 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 5
  10. 10. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.1.3 1.1.3.1 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Legame costitutivo dell'acciaio Legame costitutivo sperimentale 1) Da una prova di trazione monoassiale, viene derivato il legame costitutivo dell'acciaio riportando la tensione di trazione in funzione della deformazione registrata fino alla rottura del provino: Figura 1.8 Figura 1.9 1.1.3.2 Legame costitutivo di calcolo 1) E' possibile modellare il comportamento dell'acciaio secondo differenti legami più o meno semplificati, associando ad ognuno un modello reologico esplicativo: • Rigido perfettamente plastico: il modello reologico è quello di un blocco a cui è applicata una forza F. Il comportamento è descritto da 1 parametro indipendente. Figura 1.10 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 6
  11. 11. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati • Elastoplastico perfetto: Il modello reologico è quello di un blocco cui è applicata una forza F attraverso una molla di rigidezza E. Il comportamento è descritto da 3 parametri indipendenti. • Elastoplastico incrudente: il modello reologico è quello di un blocco vincolato mediante una molla di rigidezza E1 e sollecitato da una forza F attraverso un'altra molla di rigidezza E0. Il comportamento è descritto da 4 parametri indipendenti, dei quali la pendenza del ramo incrudente si valuta con il criterio energetico. • Elastoplastico incrudente con tratto a deformazioni libere: il modello reologico è quello di un blocco sollecitato da una forza F attraverso una molla di rigidezza E0 e vincolato da un'altra molla di rigidezza E1 che si attiva solo una volta raggiunto un certo livello di spostamento. Figura 1.11 Figura 1.12 Figura 1.13 1.1.3.3 Legame costitutivo ciclico 1) Dai legami costituivi di calcoli definiti nel paragrafo precedente, è possibile derivare i corrispondenti descrittivi, però, di un comportamento ciclico. Tale aspetto è di particolare rilevanza per effettuare con efficacia le analisi dinamiche che sono necessarie per l'analisi sismica: Roma, LUGLIO 2013 Pagina 7
  12. 12. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Figura 1.14 2) Un'altro legame costitutivo per comportamento ciclico è quello di Menegotto Pinto, descritto dalla relazione: ߪ ߝ ߝ ߝ ߝ ௡ ଵ/௡ ሺ1 − ܾሻ ∗ ൬ ൰ / ൤1 + ൬ ൰ ൨ = ܾ∗൬ ൰+݀ = ݀∗൬ ൰+ ߝ଴ ߝ଴ ߝ଴ ߝ଴ ߪ଴ Figura 1.15 1.1.4 Duttilità 1) La duttilità è una proprietà fisica della materia che indica la capacità di un corpo o di un materiale di deformarsi plasticamente sotto carico prima di giungere arottura, cioè la capacità di sopportare deformazioni plastiche. Un corpo è tanto più duttile quanto maggiore è la deformazione raggiunta prima della rottura. Figura 1.16 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 8
  13. 13. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.2 1.2.1 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Plasticità di sezione/elemento Flessione semplice (travi) 1) Per trave si intende un elemento strutturale con una dimensione predominante, atto a trasferire una sollecitazione tendenzialmente trasversale al proprio asse geometrico lungo tale asse, dalle sezioni investite dal carico fino ai vincoli, che garantiscono l'equilibrio esterno della trave assicurandola al contesto circostante. E' valida la teoria di De Saint-Venant. 2) Le ipotesi di calcolo preliminari sono: • Conservazione delle sezioni piane • Piccoli spostamenti (si prescinde dalla stabilità) • Legame elastoplastico perfetto 3) Si rappresenta l'andamento delle tensioni nella sezione all'aumentare del momento flettente agente, in modo da evidenziare il passaggio al campo plastico: Figura 1.17 4) E' possibile definire il fattore di forma β come rapporto tra il momento di plasticizzazione Mp è quello di snervamento My. Tale grandezza è un indice delle risorse plastiche dell'elemento e distingue due possibili comportamenti: • β=1 Comportamento elastoplastico perfetto Figura 1.18 • β>1 Comportamento elastoplastico incrudente Figura 1.19 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 9
  14. 14. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.2.1.1 Definizione del legame Momento-Curvatura 1) Si consideri un concio di trave di lunghezza l unitaria inflesso secondo un raggio R: Figura 1.20 2) L'obiettivo è valutare lo stato tensionale dell'elemento al variare del comportamento. Si prende in esame la fibra tesa a-b: ‫ݎ‬ ‫ ݕ + ݎ‬ ‫ݕ+ݎ‬ ‫ݕ+ݎ‬ = → ‫= ݎ‬ → ‫= ݎ‬ ෢ ෢ 1 + ߝ(‫)ݕ‬ 1 + ߝ(‫)ݕ‬ ܾܽ ܿ݀ 1 ߝሺ‫ݕ‬ሻ = ‫ܽݎݑݐܽݒݎݑܿ = ߯ ߯ ∗ ݕ‬ ‫ݎ‬ 1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico 1) Esiste una diretta proporzionalità tra tensione e deformazione secondo le relazioni: ߪሺ‫ݕ‬ሻ = ‫ߝ ∗ ܧ‬ሺ‫ݕ‬ሻ = ‫߯ ∗ ݕ ∗ ܧ‬ ெ → ߯= ቊ ெ ாூ ߪሺ‫ݕ‬ሻ = ∗ ‫ݕ‬ ூ 2) Alla linearità tensione-deformazione, corrisponde dunque una linearità tra momento e curvatura: ‫ ݕܯ‬ℎ ߪሺ‫ݕ‬ሻ = ∗ → ‫ܯ‬௬ = ߪ௬ ∗ ܹ ‫2 ܫ‬ ߯௬ = Roma, LUGLIO 2013 ‫ܯ‬௬ ߪ௬ ∗ ܹ ‫ߝ ∗ ܧ‬௬ ∗ ܹ 2 ∗ ߝ௬ = = = ‫ܫܧ‬ ‫ܫܧ‬ ‫ܫܧ‬ ℎ Pagina 10
  15. 15. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico 1) Considerando il limite di snervamento, superato il limite elastico, non c'è più diretta proporzionalità tra tensione e deformazione e lo stato tensionale rimane costante all'aumentare della deformazione: Figura 1.21 La plasticizzazione si diffonde dalle fibre esterne a massima deformazione verso l'asse neutro con un nucleo elastico che si riduce di ampiezza all'aumentare del momento esterno e per il quale vale il legame elastico trovato precedentemente. 2) Il diagramma tensionale elastoplastico della sezione può essere scomposto come segue in modo da poter ricavare l'andamento del diagramma momento-curvatura in campo plastico: Figura 1.22 ߯௬ 2 ∗ ‫ݕ‬௘ = ; ‫ܯ‬௣ = ߪ௬ ∗ ܼ ; ‫ߪ ∗ ܹ = ܯ‬௬ + ܼ ∗ ߪ௬ − ܼ௘ ∗ ߪ௬ ௘ ߯௘௣ ℎ 4) Considerando: Dove Z è il modulo plastico, We è il modulo elastico del nucleo elastico e Ze è il modulo plastico del nucleo elastico. ߪ௬ ∗ ܹ ‫ܯ‬௣ ߪ௬ ∗ ܼ݁ ‫ܯ‬௣ ߪ௬ ∗ ܹ ߪ௬ ∗ ܼ݁ ‫ܯ‬ = + − = ∗ቈ +1− ቉ ‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௣ ‫ܯ‬௣ Sapendo che ߚ = ெ೛ ெ೤ e ܼ= ெ೛ ఙ೤ : ܼ݁ − ܹ ‫ܯ‬ ܼ݁ ܹ ௘ ௘ = ߚ ∗ ൤ + 1 − ൨ = ߚ ∗ ൤1 − ൨ ‫ܯ‬௬ ܼ ܼ ܼ Sia We che Ze dipendono dalla forma del nucleo elastico; essendo ‫ݕ‬௘ = ‫ݕ‬௘ ൫߯௬ , ߯௘௣ ൯ si ha Roma, LUGLIO 2013 ெ ெ೤ ೤ = ߚ ∗ ߶ ቀ ఞ ቁ quindi: ఞ Pagina 11
  16. 16. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 ‫ܯ‬ ‫߯∗ܫ∗ܧ‬ ߯ ‫߯∗ܫ∗ܧ= ܯ‬ = = ൜‫ → ߯ ∗ ܫ ∗ ܧ = ܯ‬ ௬ ௬ ‫ܯ‬௬ ‫߯ ∗ ܫ ∗ ܧ‬௬ ߯௬ Si studiano questi comportamenti su un elemento di sezione rettangolare. Noto che: 1 ܾ ∗ ℎଷ 1 = ∗ ܾ ∗ ℎଶ ܹ= 6 12 ℎ 2 1 ܾ ∗ (2 ∗ ‫ݕ‬௘ )ଶ 2 ܹ = = ∗ ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ ௘ ‫ݕ‬௘ 12 3 ܹ =ܾ∗ ௘ ܼ௘ = Si può scrivere: ℎ ℎ ℎଶ ∗ =ܾ∗ 2 2 4 ܾ ∗ (2 ∗ ‫ݕ‬௘ )ଶ = ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ 4 ‫ܯ‬௣ ‫ܯ‬ ܼ݁ − ܹ ௘ = ∗ ൤1 − ൨ ܼ ‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௬ Dato che per sezioni rettangolari ߚ = ெ೛ ெ೤ ௓ ଷ = ௐ = ଶ , sostituendo alla precedente, abbiamo: 2 ଶ ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ − ∗ ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ 3 3 1 ‫ݕ‬௘ ଶ 3 1 ߯ ‫ܯ‬ 3 = ∗ ቎1 − ቏ = ∗ ൤1 − ∗ ቀ2 ∗ ቁ ൨ = ∗ ൥1 − ∗ ቆ ቇ ൩ ℎଶ 2 3 2 3 ߯௬ ‫ܯ‬௬ 2 ℎ ܾ∗ 4 5) Si è giunti dunque a scrivere la relazione nella forma: ߯௬ ‫ܯ‬ = ߚ∗߶൬ ൰ ‫ܯ‬௬ ߯ da questa relazione si ottiene il diagramma del legame costitutivo tra il momento e la curvatura, il quale presenta un andamento di tipo lineare nel campo elastico e non lineare nel campo plastico. Figura 1.23 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 12
  17. 17. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 5) Applicando la stessa analisi per sezioni a geometrie diverse si ottiene una variazione del coefficiente ߚ, in particolare questo diminuisce al aumentare del valore di W della sezione. Figura 1.24 1.2.1.2 Cerniera plastica 1) L'ingresso in campo plastico dell'elemento corrisponde al raggiungimento del momento massimo pari a quello di plasticizzazione in un tratto di lunghezza Δl, di entità stimabile: ‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௣ ‫ܯ‬௣ ‫ܮ‬ ‫)1 − ߚ( ∗ ܮ‬ = → ߚ = = → ∆‫= ܮ‬ ‫ܮ‬ ‫ ܮ‬Δ‫ܮ‬ ߚ ‫ܯ‬௬ ‫ܮ∆ − ܮ‬ 2 2− 2 2) Per una sezione IPE, β è pari circa a 1,14 quindi la zona di plasticizzazione ha una lunghezza pari al 10% della lunghezza totale della trave e può essere quindi assimilata ad un punto. 3) In tale punto, la sezione è sollecitata dal momento di plasticizzazione quindi non reagisce più e diventa una cerniera plastica. Figura 1.25 4) E' possibile dunque realizzare un diagramma momento-curvatura che rappresenta l'equivalente a livello di sezione del diagramma tensione-deformazione definito a livello di materiale. Tale parallelismo è riassunto nella tabella seguente: Roma, LUGLIO 2013 Pagina 13
  18. 18. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 ߪ௬ Parametri Materiale Elemento Tensionali ߝ௬ , ߝ௨ ߝ௨ ߤ଴ = ߝ௬ M ߯௬ , ߯௨ ߯௨ ߤଵ = ߯௬ Deformativi Duttilità 2 ∗ ߝ௬ ℎ ߝ௬ = ߯௬ ∗ → ߯௬ = ℎ 2 ℎ 2 ∗ ߝ௨ ߝ௨ = ߯௨ ∗ → ߯௨ = ℎ 2 6) Si riporta, infine, la procedura per il tracciamento del diagramma momento curvatura: Fisso valore χ' Figura 1.26 Ricavo diagramma ε'=χ'*y Legame costitutivo Ricavo diagramma σ' Ricavo la corrispondente M' NO Roma, LUGLIO 2013 Numero di punti sufficiente? SI Tracciamento (M',χ') Pagina 14
  19. 19. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.2.2 1.2.2.1 Pressoflessione (colonne) Analisi in campo plastico 1) Il concetto di cerniera plastica può essere esteso alle sollecitazioni composte studiando l'interazione tra sforzo normale e momento flettente in ipotesi di validità della teoria di De Saint-Venant. 2) L'obiettivo è individuare nel piano M-N la superficie limite a plasticizzazione ovvero il luogo dei punti che genera la prima plasticizzazione della sezione. 3) Si analizza come di consueto la risposta tensionale della sezione all'aumentare del momento flettente: Figura 1.27 Si può scomporre tale diagramma: Figura 1.28 4) Mediante le consuete relazioni si giunge all'espressione del dominio plastico: ܰ = 2ܾ ߪ଴ ݀ ܾ ‫݅ݐ݊݁݃ܽ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬ ൝ ‫ߪ = ܯ‬௬ (ℎଶ − 4݀ ଶ ) 4 ‫ۓ‬ ۖ ܰ௣ = ܾ ߪ଴ ݀ ቐ ܾ ℎଶ ‫݁݊݋݅ݖܽݖݖ݅ܿ݅ݐݏ݈ܽ݌ ݅݀ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬ ‫ܯ‬௣ = ߪ௬ 4 ܰ = 2 ‫ݕ‬଴ ℎ ܰ௣ ܰ ‫ܯ‬ = 1 − ቆ ቇ ݁‫݋݉݅ݐ݈ݑ ݋݅݊݅݉݋݀ ݁݊݋݅ݖܽݑݍ‬ ଶ → 2‫ݕ‬଴ ܰ௣ ‫ܯ‬௬ ‫ܯ۔‬ ۖ‫ − 1 = ܯ‬൬ ℎ ൰ ‫ ە‬௣ Roma, LUGLIO 2013 ଶ Pagina 15
  20. 20. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.2.2.2 Analisi in campo elastico 1) La stessa procedura per la definizione del dominio ultimo può essere condotta considerando un legame elastico del materiale: Figura 1.29 2) Le relazioni, come precedentemente: ܾℎଶ ߪ′ 6 ‫݅ݐ݊݁݃ܽ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬ ൞ 2‫ݕ‬௢ ᇱ ܰ = ܾ ℎ ߪ (1 + − 1) ℎ ‫=ܯ‬ ܾℎଶ 2‫ݕ‬௢ ൬1 + ൰ ߪ′ 6 ℎ ‫݋ݐ݊݁݉ܽݒݎ݁݊ݏ ݅݀ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬ 2‫ݕ‬௢ ‫۔‬ ‫ܰ ە‬௬ = ܾ ℎ ൬1 + ℎ ൰ ߪ′ ‫ܯۓ‬௬ = ‫ܯ‬ 1 1 ܰ ܰ ‫ܯ‬ = 1 − ቆ ቇ → = − ቆ ቇ ݁‫݋݉݅ݐ݈ݑ ݋݅݊݅݉݋݀ ݁݊݋݅ݖܽݑݍ‬ ‫ܯ‬௣ ߚ ߚ ܰ௣ ‫ܯ‬௬ ܰ௬ ଶ 3) Si possono confrontare i due domini, individuando la duttilità dell'elemento come distanza tra i due lungo una retta passante per l'origine. Figura 1.30 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 16
  21. 21. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.3 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Plasticità di sistema 1) Per definire la plasticità di sistema si necessita di alcune definizioni preliminari: • Duttilità di struttura: rapporto tra lo spostamento ultimo di collasso e quello di primo snervamento • Collasso strutturale: trasformazione della struttura in un cinematismo all'incremento del carico agente, data la formazione di cerniere plastiche. 1.3.1 1.3.1.1 Aspetti caratterizzanti Meccanismi collasso locale/globale - Iperstaticità 1) Dato un sistema n volte iperstatico, la formazione del cinematismo avviene alla formazione di n+1 cerniere plastiche all'aumentare del carico agente. 2) Ne deriva che si distingueranno collassi locali, che compromettono uno solo degli elementi strutturali ma non rendono la struttura un cinematismo, dal collasso globale che si ha alla formazione della cerniera successiva a quella che ha reso la struttura isostatica. Figura 1.31 1.3.1.2 Ridistribuzione energie immesse dopo la plasticizzazione 1) Si consideri una trave doppiamente incastrata (iperstaticità flessionale pari a 2), sottoposta ad un carico uniformemente distribuito crescente. Il momento di reazione degli incastri cresce all'aumentare del carico esterno fino al limite di snervamento, arrivati al quali si ha la formazione contemporanea di due cerniere plastiche all'estremità (il momento non può più aumentare) e lo schema statico diventa quello di trave appoggiata. Figura 1.32 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 17
  22. 22. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 2) Ne consegue che un ulteriore aumento dei carichi può essere equilibrato solo da un aumento del momento in mezzeria fino a che anche in quella sezione si raggiunge il limite plastico con la formazione della terza cerniera che rende la struttura un cinematismo. Figura 1.33 Figura 1.34 3) Per ridistribuzione delle energie immesse si intende,quindi, proprio la modifica della risposta strutturale in termini di sollecitazioni equilibranti il carico esterno dovuta al raggiungimento del limite plastico in alcuni punti discreti. 1.3.1.3 Distribuzione dei carichi 1) Rispetto all'esempio precedente, si considera la trave doppiamente incastrata sollecitata da un carico concentrato in mezzeria crescente. Figura 1.35 2) In questo caso non abbiamo ridistribuzione del momento flettente perchè all'aumentare del carico si formano contemporaneamente le tre cerniere plastiche. Figura 1.36 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 18
  23. 23. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.3.2 1.3.2.1 Resistenza elastoplastica del sistema strutturale Metodo semi-analitico 1) Si tratta di un metodo che ci permette di trovare soluzioni in forma chiusa a tratti. Ne segue un'applicazione ad un semplice schema statico formato da tre aste incernierate che formano un sistema di iperstaticità pari a 1. Figura 1.38 1.3.2.1.1 Analisi elastica 1) Utilizzando il metodo degli spostamenti, si scrive la congruenza e impongo l’equilibrio. Ciò equivale ad assegnare lo spostamento δ per determinare lo sforzo assiale nelle tre aste. Imponendo: • X = sforzo assiale in asta 1 • Y = sforzo assiale in aste 2, 3 2) Si scrive l'equazione di congruenza per l'asta 1 ߜ = ݈ ∗ ߝ = ݈ ∗ = ݈ ∗ → ܺ = ா ா஺ ఙ ௑ ா஺ఋ ௟ Si passa alle aste 2, 3 (ipotesi di piccoli spostamenti ߜ ′ = ߜ ∗ cos ,) గ ସ ߨ ߜ cos 4 ∆݈ ܻ ܻ ‫ܣܧ‬ ߨ ‫ߜܣܧ‬ ߝ= = → = → ܻ = ∗ ߜ ∗ cosଶ = ݈ ݈ ‫ܣܧ‬ ‫ܣܧ‬ ݈ 4 2݈ ߨ cos 4 Si impone X=2Y e quindi l’equilibrio: ቊ ߨ =ܲ 4 ܺ =2∗ܻ ܺ + 2 ∗ ܻ ∗ cos ܲ ܲ ‫= ܻۓ‬ ߨ = 2 + √2 ۖ 2 ∗ ቂ1 + cos 4 ቃ ܲ 2ܲ ‫=ܺ ۔‬ ߨ = 2 + √2 ۖ ቂ1 + cos 4 ቃ ‫ە‬ Si determina il carico limite elastico e la corrispondente deformazione limite: ܺ௘௟ = Roma, LUGLIO 2013 2 + √2 2ܲ = ߪ௬ ∗ ‫ܲ → ܣ‬௘௟ = 2 + √2 ݈ ∗ ܺ௘௟ ݈ ∗ ߪ௬ ∗ ߪ௬ ∗ ‫ߜ → ܣ‬௘௟ = = 2 ‫ܣܧ‬ ‫ܧ‬ Pagina 19
  24. 24. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.3.2.1.2 1.3.2.1.2.1 Analisi elastoplastica Fase di carico 1) Prescindendo dallo studio dell'asta 1, il cui sforzo assiale rimane costante, si scrive l'equilibrio: ܺ = ߪ௬ ∗ ‫ݐݏ݋ܿ = ܣ‬ ܲ − ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬ ߨ → ܻ = ൝ 2 ∗ ܻ ∗ cos = ܲ = ܿ‫ݐݏ݋‬ √2 4 2) Si determina il carico di plasticizzazione per le aste 2 e 3 e poi la sovraresistenza: ܻ = ߪ௬ ∗ ‫= ܣ‬ ܲ௖௥ − ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬ √2 → ܲ௖௥ = ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൫1 + √2൯ 1 + √2 ܲ௖௥ ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൫1 + √2൯ 1 + √2 1 + √2 = = = = √2 ∗ = √2 ܲ௘௟ 2 + √2 2 + √2 1 + √2 √2 1+ 2 2 ∗ ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬ 2 Il valore √2 comporta che grazie all’entrata in campo plastico si ottiene circa un 40% in più di resistenza. 3) Si valuta la duttilità: ߨ ߜ ∗ cos 4 ܻ ܻ ∆݈ → = ߝ= = ݈ ‫ܣܧ‬ ‫ܣܧ‬ ݈ ߨ cos 4 4) Ponendo P=Pcr si ottiene lo spostamento critico, da cui la duttilità: ߜ௖௥ = ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬ ߪ௬ ∗ ݈ 2 ∗ ߪ௬ ∗ ݈ ݈ ∗ ଶ → ߜ௖௥ = ߨ = ‫ܣܧ‬ ‫ܧ‬ cosଶ ቀ ቁ √2 4 ‫∗ܧ‬ቆ 2 ቇ ߤ= ‫ܧ‬ ߪ௖௥ 2 ∗ ߪ௬ ∗ ݈ = ∗ =2 ߪ௬ ∗ ݈ ߪ௘௟ ‫ܧ‬ 5) Sebbene, dunque, la duttilità di materiale sia stata supposta infinita, quella della struttura è pari solamente a due, quindi la struttura collassa per formazione delle cerniere plastiche. Figura 1.39 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 20
  25. 25. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.3.2.1.2.2 Fase di scarico 1) Si suppone di annullare la forza agente sul sistema, quindi le aste 2,3 tenderebbero a tornare nella posizione iniziale contrastate, però, dalla deformazione residua dell'asta 1 plasticizzata. Ne consegue, per la congruenza, che l'asta 1 risulta compressa mentre la 2 e la 3 tese. 2) Supponendo un comportamento di scarico uguale a quello di carico si possono valutare le entità degli sforzi assiali in fase elastica e gli sforzi residui: ‫= ܺۓ‬ ܺ ൜ ௥௘௦ ܻ௥௘௦ 1.3.2.2 ∆ܲ = −ܲ௘௟ = −ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൫1 + √2൯ ‫= ܺ∆ۓ‬ 2 + √2 2 + √2 → ݂ܽ‫ܽܿ݅ݐݏ݈ܽ݁ ݁ݏ‬ ܲ ‫= ܻ۔‬ ‫ܲ∆ = ܻ∆۔‬ ‫ە‬ ‫ە‬ 2 + √2 2 + √2 2ܲ 2 ∗ ∆ܲ ‫ ∗ ܣ ∗ ߪ− = ܺۓ‬ቆ √2 ቇ ௬ ۖ ௥௘௦ = ܺ௖௥ − ∆ܺ 2 + √2 ‫݅ݑ݀݅ݏ݁ݎ ݅ݖݎ݋݂ݏ‬ → = ܻ௖௥ − ∆ܻ 1 ‫۔‬ ൰ ۖ ܻ௥௘௦ = ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൬ 2 + √2 ‫ە‬ Metodo incrementale (push-over) 1) L'analisi di pushover è un metodo di analisi statica non lineare che consiste nello nell'applicare alcune distribuzioni di forze via via crescenti sulla struttura, in modo da studiare la sua risposta in termini elastoplastici fino al collasso globale o locale 2) Si riporta un esempio di analisi di pushover su un portale incastrato caricato da due forze concentrate orizzontali e verticali che sono incrementate proporzionalmente attraverso un coefficiente λ . Figura 1.40 3) Al raggiungimento in una sezione del limite plastico, si ha una formazione di una cerniera con variazione dello schema statico sui quali agiscono i successivi incrementi di carico fino al collasso. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 21
  26. 26. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Figura 1.41 4) Il problema elastoplastico è risolto dunque come una successione di problemi elastici caratterizzati ognuno da un carico maggiorato di λ. in riferimento all'esempio riportato i valori di λ per ogni schema di carico: • 1° schema: 0<λ<22.5 • 2° schema: 22.5<λ<28 • 3° schema: 28<λ<28.7 • 4° schema: 28.7<λ<31.5 da cui si evince che λy=22.5 e λcr=31.5 5) La configurazione deformata possibile è la seguente Figura 1.42 E' possibile rappresentare l'andamento della deformazione in funzione di λ ottenendo una spezzata (successione stati elastici) Figura 1.43 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 22
  27. 27. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.3.2.3 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Metodo dell'analisi limite 1) Il metodo dell'analisi limite è un metodo energetico per il calcolo del moltiplicatore critico dei carichi che porta al collasso strutturale. 1.3.2.3.1 Superfici limite 1) Superficie limite nello spazio delle tensioni: i punti sulla superficie limite sono critici, quelli all’interno sono ammissibili e quelli all’esterno sono non ammissibili. Figura 1.44 2) Superficie limite nello spazio delle caratteristiche delle sollecitazioni: sono presenti sia la superficie elastica sia quella plastica. Figua 1.45 3) Superficie limite nello spazio delle azioni esterne: la distanza tra l’origine e un punto al suo interno è il moltiplicatore di collasso λ, mentre la distanza tra tale punto e la frontiera è il coefficiente di sicurezza K = n * λ Tale superficie limite è di difficile determinazione perché può variare in relazione a numerosi fattori quali i carichi applicati, le caratteristiche del materiale e la disposizione dei vincoli. Figura 1.46 4) Le superfici sono assunte convesse per definizione e ne deriva che: • data una combinazione di carico ammissibile, il moltiplicatore λcrit sarà il massimo tra quelli che a partire da questa producono combinazioni ancora ammissibili; • data una combinazione di carico ammissibile, il moltiplicatore λcrit è unico; 5) Se le superfici fossero state concave, per un unico situazione si sarebbero potuti avere stati di tensione critici e stati di tensione ammissibili. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 23
  28. 28. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 ߣଵ = ሬሬሬሬሬറ ‫ܥܣ‬ ሬሬሬሬሬറ ܵ‫݅ܿ݅ݐ݅ݎܿ ݅ݐܽݐ‬ ൞ߣଶ = ‫ܦܣ‬ ሬሬሬሬሬറ ߣଷ = ‫ܤܣ‬ Figura 1.47 ‫ܧܣ‬ ߣସ = ሬሬሬሬሬറ ܵ‫݈ܾ݁݅݅ݏݏ݅݉݉ܽ ݋ݐܽݐ‬ 1.3.2.3.2 Teoremi dell'analisi limite 1) I teoremi validi dell'analisi limite sono: • Teorema statico: λcrit è il massimo tra quelli staticamente ammissibili. • Teorema cinematico: λcrit è il minimo tra quelli cinematicamente compatibili. • Teorema di unicità: λcrit è l’unico che staticamente ammissibile e cinematicamente compatibile. 2) Segue un esempio applicativo le cui ipotesi di base sono: • Le sezioni ruotano rimanendo piane • Gli spostamenti sono piccoli • Il legame costitutivo è elasto-plastico perfetto • La duttilità di elemento o di struttura viene assunta infinita. • I carichi aumentano rimanendo costante il loro rapporto 1.3.2.3.2.1 Teorema statico 1) In riferimento allo schema seguente: Figura 1.48 2) Per il sistema S’ cui sono applicate le forze esterne si ha: ܴ′ଵ = ܴ′ଶ = ܲ ‫′ܯ‬஺ = ܲ ∗ ܽ = ܴ′ଵ ∗ ܽ ‫′ܯ‬஻ = ܴ′ଵ ∗ ሺܽ + ܾሻ − ܲ ∗ ܾ Roma, LUGLIO 2013 Pagina 24
  29. 29. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 3) Per il sistema S’’ associato all’incognita iperstatica si ha: ߯ ݈ ߯ ܴ′′ଶ = − ݈ ߯ ‫′′ܯ‬஺ = ܴ′′ଵ ∗ ܽ = ∗ ܽ ݈ ܴ′′ଵ = ‫′′ܯ‬஻ = ܴ′′ଵ ∗ ሺܽ + ܾሻ = ߯ ∗ ሺܽ + ܾሻ ݈ ‫′′ܯ‬஼ = ܴ′′ଵ ∗ ሺܽ + ܾ + ܽሻ = ߯ ∗݈ =߯ ݈ 4) Sommando i diagrammi dei momenti di S’ e di S’’ si ha: ߯ ‫ܯ‬஺ = ‫′ܯ‬஺ − ‫′′ܯ‬஺ = ቀܲ − ቁ ∗ ܽ ݈ ‫ܯ‬஻ = ‫′ܯ‬஻ − ‫′′ܯ‬஻ = ܲ ∗ ܽ − ‫ܯ‬஼ = ‫′′ܯ‬஼ = ߯ ߯ ∗ ሺܽ + ܾሻ ݈ 5) Negli stati staticamente ammissibili si ha equilibrio e non collasso, per cui vanno imposte le condizioni di ammissibilità: ߯ ‫ܯ‬஺ ≤ ‫ܯ‬௉ → ቀܲ − ቁ ∗ ܽ ≤ ‫ܯ‬௉ ‫ۓ‬ ݈ ۖ ߯ ‫ܯ۔‬஻ ≤ ‫ܯ‬௉ → ܲ ∗ ܽ − ݈ ∗ ሺܽ + ܾሻ ≤ ‫ܯ‬௉ ۖ ‫ܯ‬஼ ≤ ‫ܯ‬௉ → ߯ ≤ ‫ܯ‬௉ ‫ە‬ 6) Il sistema è una volta iperstatico, quindi per arrivare alla formazione di un meccanismo servono due cerniere plastiche, che si ricavano imponendo le precedenti condizioni di ammissibilità due a due; le possibili combinazioni delle condizioni critiche sono: • 1+3 • 2+3 ൝ ߯ ‫ܯ‬௉ ‫ܯ‬௉ ܽ+݈ ቀܲ௖௥ − ቁ ∗ ܽ = ‫ܯ‬௉ → ܲ௖௥ = + → ܲ௖௥ = ‫ܯ‬௉ ∗ ݈ ܽ ݈ ܽ∗݈ ߯ = ‫ܯ‬௉ ߯ ‫ܯ‬௉ ‫ܯ‬௉ ܾ ܽ+ܾ+݈ ܲ௖௥ ∗ ܽ − ∗ ሺܽ + ܾሻ = ‫ܯ‬௉ ൝ + ∗ ൬1 + ൰ → ܲ௖௥ = ‫ܯ‬௉ ∗ → ܲ௖௥ = ݈ ܽ ܽ∗݈ ܽ ݈ ߯ = ‫ܯ‬௉ Nonostante il valore massimo sia quello dalla seconda combinazione, quello esatto è quello dalla prima in quanto è l'unico cinematicamente compatibile in quanto nella seconda combinazione si ha un momento in A maggiore di quello plastico massimo ammissimibile. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 25
  30. 30. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.3.2.3.2.2 1.3.2.3.2.2.1 Teorema cinematico Trave iperstatica 1) E' necessario individuare i cinematismi di collasso compatibili con i vincoli quindi lil posizionamento delle cerniere plastiche nelle zone di vincolo o nei punti di applicazione delle cerniere plastiche. In riferimento allo schema statico precedente, si necessita la formazione di due cerniere: Figura 1.49 ߜ′஻ = ߜ′஺ ∗ ௔ା௕ ߠ′஺ = ߜ′஺ ∗ ቀ௔ + ௔ା௕ቁ ௔ ଵ ଵ ‫ܮ‬௘௦௧ = ‫ܮ‬௜௡௧ ಲ ߠ′஼ = ௔ା௕ ఋᇱ ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஺ + ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஻ = ‫ܯ‬௉ ∗ ߠ′஺ + ‫ܯ‬௣ ∗ ߠ′஼ ܽ 1 1 ߜ′஺ = ‫ܯ‬௉ ∗ ߜ′஺ ∗ ൬ + ൰ + ‫ܯ‬௣ ∗ ܽ+ܾ ܽ+ܾ ܽ ܽ+ܾ ܽ 1 2 ቁ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬ + ൰ ܲ௖௥ଵ ∗ ቀ1 + ܽ+ܾ ܽ ܽ+ܾ ݈ ܽ+݈ ܲ௖௥ଵ ∗ ൬ ൰ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬ ൰ ܽ+ܾ ܽ ∗ ሺܽ + ܾሻ ܽ+݈ ܲ௖௥ଵ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬ ൰ ܽ∗݈ ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஺ + ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஺ ∗ Figura 1.50 ߜ′′஺ = ߜ′′஻ ∗ ௔ା௕ ௔ ߠ′′஻ = ߜ′′஻ ∗ ቀ௔ + ௔ା௕ቁ ଵ ଵ ‫ܮ‬௘௦௧ = ‫ܮ‬௜௡௧ ߠ′′஼ = ఋᇱᇱಳ ௔ ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஻ + ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஺ = ‫ܯ‬௉ ∗ ߠ′′஻ + ‫ܯ‬௣ ∗ ߠ′′஼ ܽ 1 1 ߜ′′஻ ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஺ + ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஺ ∗ = ‫ܯ‬௉ ∗ ߜ′′஻ ∗ ൬ + ൰ + ‫ܯ‬௣ ∗ ܽ ܽ+ܾ ܽ ܽ+ܾ ܽ 2 1 ቁ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬ + ൰ ܲ௖௥ଶ ∗ ቀ1 + ܽ+ܾ ܽ ܽ+ܾ ݈ ܽ+ܾ+݈ ܲ௖௥ଶ ∗ ൬ ൰ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬ ൰ ܽ+ܾ ܽ ∗ ሺܽ + ܾሻ ܽ+ܾ+݈ ܲ௖௥ଶ = ‫ܯ‬௉ ∗ ܽ∗݈ 2) Tra i due valori devo scegliere il minore che sarà quello esatto: ܲ௖௥ଶ > ܲ௖௥ଵ Tale valore coincide con quello trovato con il th. statico. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 26
  31. 31. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.2.3.2.2.2.2 Telaio iperstatico 1) Si applica la stessa procedura precedente ad un telaio una volta iperstatico per il quale si necessita la formazione di due cerniere plastiche con conseguenti 6 possibili cinematismi: Figura 1.51 ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ ߠ − ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ ߠ 1 ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ 2 ∗ ߠ 2 1 − ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ 2 ∗ ߠ 2 1 ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ 2 1 − ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ 2 2) Dai sei precedenti meccanismi di collasso si generano delle rette, la loro intersezione crea la superficie limite di collasso di questa struttura, da cui è possibile determinare il moltiplicatore di collasso ߣ = ை௉ ∗ ை௉ Figura 1.52 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 27
  32. 32. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.4. 1.4.1 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Aspetti particolari dell'analisi plastica Comportamento ciclico della sezione inflessa 1) Si consideri una sezione semplicemente inflessa fino alla plasticizzazione delle fibre più tese: Figura 1.53 2) A partire da tale condizione, si considerino tre possibili situazioni: • scarico Figura 1.54 • inversione del carico • inversione con sfruttamento delle risorse plastiche Figura 1.55 Figura 1.56 3) E' evidente che nel comportamento ciclico la sezione tende a diminuire la propria rigidezza in maniera crescente con l'aumentare dei cicli e il conseguente sfruttamento sempre maggiore delle risorse plastiche. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 28
  33. 33. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 1.4.2 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Influenza del taglio sul comportamento elastoplastico a flessione 1) Essendo l'influenza del taglio un aspetto di difficile trattazione, si fa riferimento al criterio di Von Mises: ‫߬ → 0 = ߪ ݁ݏ‬௬ = 0.517 ∗ ߪ௬ ߪ ଶ + 3 ∗ ߬ ଶ = ߪ௬ ଶ → ൜ ‫ߪ = ߪ → 0 = ߬ ݁ݏ‬௬ 2) Si ricorda che il taglio varia in maniera parabolica su una sezione elastica. 3) Si suppone che non ci sia taglio nella parte delle fibre plasticizzate, per cui nel grafico complessivo dato dalla somma delle σ e delle τ si nota una parte dove c’è la rottura per flessione e una parte dove c’è la rottura per taglio. Figura 1.57 Figura 1.58 Figura 1.59 4) Il taglio riduce la resistenza a flessione; al diagramma della sezione tutta plasticizzata sottraggo la riduzione di resistenza a flessione ΔM. 1.4.3 Interazione tra instabilità e plasticità 1) Si considera l'instabilità attraverso la formulazione continua Figura 1.60 2) Con l’ipotesi dei piccoli spostamenti si scrive: 1 ߯ = ≅ ‫ ݕ‬ᇱᇱ → ‫ܯ‬௜௡௧ = −‫′′ݕܫܧ‬ ܴ Roma, LUGLIO 2013 Pagina 29
  34. 34. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Scrivo l’equazione di equilibrio interno dei momenti: ܲ ‫ ݕ‬ᇱᇱ + ∗ ‫0 = ݕ‬ ‫ܫܧ‬ La soluzione è della forma: ቄ ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ∗ ܣ‬sin ߙ‫ ∗ ܤ + ݔ‬cos ߙ‫ ݔ‬ ‫ ∗ ܣ‬sin ߙ‫ܮ‬଴ = 0 → ‫0=ܤ‬ ߙ‫ܮ‬଴ = ݊ ∗ ߨ → ߙ= ௡∗గ ௅బ ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ∗ ܣ‬sin ቀ ௅ ‫ݔ‬ቁ ௡∗గ Figura 1.61 బ 3) Sostituendo la soluzione trovata nell'equazione di equilibrio si determina il carico critico: ݊∗ߨ ݊ ∗ ߨ ଶ ݊∗ߨ ݊∗ߨ ‫ ݕ‬ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫∗ ܣ‬ ∗ cos ൬ ∗ ‫ݔ‬൰ ‫ ݕ‬ᇱᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ ∗ ܣ‬൬ ൰ ∗ sin ൬ ∗ ‫ݔ‬൰ ‫ܮ‬଴ ‫ܮ‬଴ ‫ܮ‬଴ ‫ܮ‬଴ −‫ ∗ ܣ‬൬ ݊∗ߨ ܲ ݊∗ߨ ݊∗ߨ ଶ ൰ ∗ sin ൬ ∗ ‫ݔ‬൰ + ∗ ‫ ∗ ܣ‬sin ൬ ∗ ‫ݔ‬൰ = 0 ‫ܮ‬଴ ‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬଴ ‫ܮ‬଴ −൬ ݊∗ߨ ଶ ܲ ݊∗ߨ ଶ ൰ + = 0 → ܲ௖௥ = ‫ ∗ ܫܧ‬൬ ൰ ‫ܮ‬଴ ‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬଴ 4) Ora posso scrivere la formula di σcr in funzione della snellezza: ܲ௖௥ = ܲ௖௥ ‫ܫܧ‬ ߨ ଶ = ∗൬ ൰ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܮ‬଴ 5) Introducendo le definizioni di raggio di inerzia e snellezza: ‫ܫ‬ ‫ߩ ۓ‬ଶ = ࣊૛ ‫ܣ‬ → ࣌ࢉ࢘ = ࡱ ∗ ૛ ࣅ ‫ܮ = ߣ ۔‬଴ ‫ە‬ ߩ 6) A questo punto sono possibili due situazioni: • Legame elastoplastico perfetto:esiste una snellezza critica ‫ߨ ∗ ܧ‬ଶ ‫ܧ‬ = ߪ௬ → ߣ∗ = ߨ ∗ ඨ ∗ଶ ߪ௬ ߣ Roma, LUGLIO 2013 Pagina 30
  35. 35. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Figura 1.62 • Legame elasto plastico perfetto:esiste una snellezza legata alla tensione di snervamento e una legata a quella ultima: ‫ܧ‬௧ ∗ ‫ ݕ ∗ ܫ‬ᇱᇱ + ܲ ∗ ‫′ܲ → 0 = ݕ‬௖௥ = Figura 1.63 ߨ ଶ ∗ ‫ܧ‬௧ ∗ ‫ܫ‬ ‫ܮ‬଴ 7) Il modulo elastico tangente è una rappresentazione delle medie di tutte le E delle fibre, per cui è compreso tra il modulo elastico e il modulo elasto - plastico; non sono state introdotte le imperfezioni perché vengono inserite come una deformazione iniziale. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 31
  36. 36. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 SEZIONE 2 STABILITA' DELL'EQUILIBRIO 2.1 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Aspetti generali 1) Nell'ambito della progettazione di un'opera di ingegneria, oltre a tener conto della resistenza che un dato elemento strutturale è in grado di offrire, è fondamentale anche tenere conto della possibilità che esso presenti una instabilità dell'equilibrio, intendendo quest'ultimo come un mutamento sostanziale dei caratteri della sua deformazione. 2) Dato un elemento in una configurazione di equilibrio sottoposto a carichi via via crescenti, può accadere che oltre un certo limite l'equilibrio da essere stabile diventa instabile, e cioè diventa tale che ad una variazione infinitesima qualsiasi della sua configurazione non corrisponde il ristabilimento della configurazione originaria. In pratica, in una situazione di equilibrio instabile lo spostamento infinitesimo prodotto da una ipotetica causa esterna fa sì che il corpo cambi completamente la sua configurazione, tendendo a raggiungere un altro stato di equilibrio (stavolta stabile) sotto quello stesso carico, che in alcuni casi è effettivamente possibile. 3) Le ipotesi alla base della trattazione sono: • spostamenti piccoli o grandi • equilibrio nella configurazione deformata o indeformata • legame elastico • forze posizionali 2.2 2.2.1 Studio del comportamento critico e post-critico di un'asta rigida Condizione di vincolo 1 1) Si consideri la seguente struttura: Figura 2.1 La struttura è un sistema ad un grado di libertà (la rotazione θ) quindi basta un solo parametro per descrivere il moto del sistema. 2) L'energia associata al sistema è: 1 1 ‫ܧ‬௣௧ = ‫ܧ‬௘௦௧ + ‫ܧ‬௜௡௧ = −ܲ ∗ ‫ݒ‬஻ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ሺ1 − cos ߴሻ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ 2 2 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 32
  37. 37. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 2.2.1.1 2.2.1.1.1 Cinematica ed equilibrio Trattazione completa 1) Si scrive la cinematica in grandi spostamenti: ‫ݑ‬஻ = ݈ ∗ sin ߴ ൜ ‫ݒ‬஻ = ݈ ∗ (1 − cos ߴ) 2) L'equilibrio nella configurazione deformata: ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ߴ = 0 → −ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ + ݇ ∗ ߴ = 0 2.2.1.1.2 ܲ= Linearizzazione degli spostamenti ݇ ߴ ∗ ݈ sin ߴ 1) Si linearizza la cinematica mediante lo sviluppo in serie di Taylor: ݂ ௡ ሺܽሻ Tሺxሻ = ෍ ∗ ሺ‫ܽ − ݔ‬ሻ௡ ݊! ∞ ‫ ߠ ݈ = ݑ‬ ൜ ஻ ‫ݒ‬஻ = 0 ௡ୀ଴ 2) L'equilibrio nella configurazione deformata: ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ߴ = 0 → −ܲ ∗ ݈ ∗ ϑ +݇ ∗ ߴ = 0 2.2.1.1.3 ܲ= ݇ ݈ Equilibrio nella configurazione indeformata 1) La cinematica è linearizzata: ‫ ߠ ݈ = ݑ‬ ൜ ஻ ‫ݒ‬஻ = 0 2) L'equilibrio nella configurazione indeformata: ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ߴ = 0 → −P ∗ 0 + ݇ ∗ ϑ = 0 ϑ=0 2.2.1.1.4 Conclusioni 1) Si riportano i risultati e il riassunto delle ipotesi utilizzate: Figura 2.2 Caso I II III Roma, LUGLIO 2013 Ipotesi cinematica Grandi spostamenti Piccoli spostamenti Piccoli spostamenti Ipotesi di equilibrio Configurazione deformata Configurazione deformata Configurazione indeformata Teoria Del primo ordine Del secondo ordine Trattazione completa Pagina 33
  38. 38. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 2.2.1.2 2.2.1.2.1 Approccio energetico Trattazione completa 1) Si scrive la cinematica in grandi spostamenti: ‫ݑ‬஻ = ݈ ∗ sin ߴ ൜ ‫ݒ‬஻ = ݈ ∗ (1 − cos ߴ) ߲‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ + ݇ ∗ ߴ = 0 ߲ߴ ߴ ݇ ܲ= ∗ ݈ sin ߴ 2) Dal nullo della derivata dell'energia potenziale: 2.2.1.2.2 Linearizzazione degli spostamenti 1) Si linearizza la cinematica mediante lo sviluppo in serie di Taylor: ஶ Tሺxሻ = ෍ ݂ ௡ ሺܽሻ ∗ ሺ‫ܽ − ݔ‬ሻ௡ ݊! ‫ ߠ ݈ = ݑ‬ ൜ ஻ ‫ݒ‬஻ = 0 ௡ୀ଴ 2) Dal nullo della derivata dell'energia potenziale: 1 1 1 1 ‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ൬1 − 1 + ߴ ଶ ൰ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = ∗ ܲ ∗ ݈ ∗ ߴ ଶ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ 2 2 2 2 2.2.1.2.3 ߲‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ϑ +݇ ∗ ߴ = 0 ߲ߴ ݇ ܲ= ݈ Equilibrio nella configurazione indeformata 1) La cinematica è linearizzata: ‫ ߠ ݈ = ݑ‬ ൜ ஻ ‫ݒ‬஻ = 0 2) L'equilibrio nella configurazione indeformata: 1 1 ‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ሺ1 − cos ߴሻ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = 0 2 2 ϑ=0 2.2.1.2.4 Conclusioni 2) Si riporta il riassunto delle ipotesi utilizzate: Caso Ordine serie Taylor I II 2 III Roma, LUGLIO 2013 0 1 ߲‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ + ݇ ∗ ߴ ߲ߴ ߲‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ϑ +݇ ∗ ߴ ߲ߴ 1 ‫ܧ‬௣௧ = ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ 2 Equazione Sviluppo in serie cosϑ cosϑ 1 1 − ∗ ߴଶ 2 1 Pagina 34
  39. 39. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 2.2.2 Condizione di vincolo 2 1) Si consideri la seguente struttura: Figura 2.3 2.2.2.1 2.2.2.1.1 Cinematica ed equilibrio Trattazione completa 1) Si scrive la cinematica in grandi spostamenti: ‫ݑ‬஻ = ݈ ∗ sin ߴ ൜ ‫ݒ‬஻ = ݈ ∗ (1 − cos ߴ) 2) L'equilibrio nella configurazione deformata: ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ‫ݑ‬஻ ∗ ݈ ∗ cos ߴ = 0 ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ +݇ ∗ ݈ ଶ ∗ sin ߴ ∗ cos ߴ = 0 ቄ sin ߴ ∗ (−ܲ ∗ ݈ + ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ cos ߴ) = 0 sin ߴ = 0 sin ߴ = 0 → ቄ ଶ −ܲ ∗ ݈ + ݇ ∗ ݈ ∗ cos ߴ = 0 −ܲ + ݇ ∗ ݈ ∗ cos ߴ = 0 ߴ=0 → ቊcos ߴ = ௉ ௞∗௟ ߴ=0 → ቊϑ = arc cos ቀ ௉ ௞∗௟ ቁ ‫ ݈ ∗ ݇ + ݈ ∗ ܲ− → 0 = ߴ ݎ݁݌‬ଶ ∗ cos ߴ = 0 → ܲ = ݇ ∗ ݈ ‫ ݈ ∗ ݇ + ݈ ∗ ܲ− → 0 ≠ ߴ ݎ݁݌‬ଶ ∗ cos ߴ = 0 → ܲ = ݇ ∗ ݈ ∗ cos ߴ Considerando un imperfezione iniziale θ0, si ottiene il seguente grafico: Figura 2.4 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 35
  40. 40. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 2.2.2.1.2 Linearizzazione degli spostamenti 1) Si linearizza la cinematica mediante lo sviluppo in serie di Taylor: ݂ ௡ ሺܽሻ Tሺxሻ = ෍ ∗ ሺ‫ܽ − ݔ‬ሻ௡ ݊! ∞ ‫ ߠ ݈ = ݑ‬ ൜ ஻ ‫ݒ‬஻ = 0 ௡ୀ଴ 2) L'equilibrio nella configurazione deformata: cos ߴ ≅ 1 − ଶ ∗ ߴ ଶ ଵ ; sin ߴ ≅ 0 ߑ M୅ = 0 → −P ∗ l ∗ ϑ + ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ ߴ = 0 → ܲ = ݇ ∗ ݈ , ∀ߴ Figura 2.5 2.2.3 3) Lo sviluppo di Taylor fino al 2° ordine viene fatto solo quando si analizza l’energia potenziale, quando invece si considera l’equilibrio dei momenti gli spostamenti sono linearizzati, per cui: cos ߴ ≅ 0 , ‫ߴ ≅ ߴ݊ܽݐ , ߴ ≅ ߴ݊݅ݏ‬ Condizione di vincolo 3 1) Si consideri la seguente struttura: Figura 2.6 2.2.3.1 Approccio energetico 1) L'espressione dell'energia potenziale: ‫ܧ‬௣௧ = ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ ൛2 ∗ ൣ1 − √1 + sin ߴ൧ + sin ߴൟ − ܲ ∗ ݈ ∗ ሺ1 − cos ߴሻ ߲‫ܧ‬௣௧ = ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ ሾሺ1 + sin ߴሻି଴.ହ ∗ cos ߴ + cos ߴሿ − ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ = 0 ߲ߴ ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ cos ߴ ∗ ሾ1 + ሺ1 + sin ߴሻି଴.ହ ሿ = ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ ܲ = Roma, LUGLIO 2013 ݇ ∗ ݈ ∗ ሾ1 + ሺ1 + sin ߴሻି଴.ହ ሿ tan ߴ Pagina 36
  41. 41. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Figura 2.7 2.3 2.3.1. 2.3.1.1. Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste Cinematica ed equilibrio Trattazione completa 1) Si consideri la seguente struttura: Figura 2.8 E' un sistema nel quale sforzo normale per ogni asta vale: ∆݈ ݈଴ − ݈ ܰ =‫∗ܣ∗ܧ= ߝ∗ܣ∗ܧ‬൬ ൰=‫∗ܣ∗ܧ‬൬ ൰ ݈଴ ݈଴ 2) Si ricavano le entità cinematiche: ‫ܪ‬ ‫ ∗ ܤ = ܪ‬tan ߴ = ݈଴ ∗ cos ߙ ∗ tan ߴ ݈= sin ߴ l = ݈଴ ∗ ቀ ୡ୭ୱ ఈ∗୲ୟ୬ ణ ቁ ୱ୧୬ ణ ∆l = ݈଴ ∗ ቀ1 − 3) Si scrive l'equilibrio verticale: Figura 2.9 Roma, LUGLIO 2013 ୡ୭ୱ ఈ∗୲ୟ୬ ణ ቁ ୱ୧୬ ణ ∆୪ ε=௟ =1− బ ୡ୭ୱ ఈ∗୲ୟ୬ ణ ୱ୧୬ ణ ܲ − 2 ∗ ܰ ∗ sin ߴ = 0 ܲ = 2 ∗ ‫( ∗ ܣ ∗ ܧ‬sin ߴ − cos ߙ ∗ tan ߴ) cos ߙ ቁ ܲ = 2 ∗ ‫ ∗ ܣ ∗ ܧ‬sin ߴ ∗ ቀ1 − cos ߴ Pagina 37
  42. 42. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 2.4 Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema a due g.d.l. 1) Si consideri la seguente struttura: λ λ Figura 2.10 2.4.1. 2.4.1.1. Approccio energetico Linearizzazione degli spostamenti 1) Si scrive l'espressione dell'energia potenziale ‫ܧ‬௣௢௧ = ‫ܧ‬௘௦௧ + ‫ܧ‬௜௡௧ 1 1 ଶ ଶ ‫ܧ‬௜௡௧ = ݇ ߠଵ + ݇ ߠଶ ‫ܧ‬௘௦௧ = −ߣ‫ߠݏ݋ܿ − 1(ܮ‬ଵ ) − ߣ‫ߠ(ݏ݋ܿ − 1(ܮ‬ଵ + ߠଶ ) 2 2 1 ܿ‫ ߠ − 1 = ߠݏ݋‬ଶ 2 1 1 1 ଶ ߣ‫ܮ‬ሺ(ߠଵ + ߠଶ ሻଶ ଶ ଶ ‫ܧ‬௣௢௧ = ݇ ߠଵ + ݇ ߠଶ − ߣ‫ߠ ܮ‬ଵ − 2 2 2 2 2) Si deriva l'energia potenziale rispetto ai due g.d.l. e si eguaglia a 0: ߲‫ݐ݋݌ܧ‬ = ݇ ߠଵ − ߣ‫2 ܮ‬ሺ ߠଶ + ߠଵ ሻ = 0 ߲ߠଵ ߲‫ݐ݋݌ܧ‬ = ݇ ߠଶ − ߣ‫2 ܮ‬ሺ ߠଶ + ߠଵ ሻ = 0 ߲ߠଶ ቄቂ ݇ 0 ߠ 0 2ߣ‫ܮߣ ܮ‬ ቃ−ቂ ቃቅ ∗ ൜ ଵ ൠ = 0 ߠଶ ݇ ߣ‫ܮߣ ܮ‬ Bisogna risolvere un problema di autovalori: detሺ‫ ீܭ ߣ − ܭ‬ሻ = 0 → ߣଵ , ߣଶ 3) Noti gli autovalori, si inseriscono uno alla volta nel sistema ricavando i due autovettori corrispondenti che rappresentano la forma della deformata. Il carico critico sarà il minore dei due autovalori. 4) Si riportano di seguito le due deformate con i corrispondenti valori di carico critico: Roma, LUGLIO 2013 Pagina 38
  43. 43. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 • 1° deformata critica: Pcr=0.382 k/L • Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 2° deformata critica: Pcr=2.618 k/L Figura 2.11 Figura 2.12 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 39
  44. 44. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 SEZIONE 3 CRITERI DI PROGETTAZIONE 3.1 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Approccio alla progettazione 1) La progettazione strutturale è un processo iterativo volto ad ottenere il miglior risultato possibile in termini di rapporto funzionalità-costo. 2) L'approccio alla progettazione può essere di due nature: • Innovativo: partendo da una piccola base di conoscenze, si estende la propria conoscenza con ricerche e approfondimenti volte alla realizzazione di un'opera non convenzionale; • Evolutivo: basandosi su una solida base di conoscenze e di esperienza, la progettazione è volta al miglioramento di soluzioni già consolidate; 3) In ogni caso alla base di entrambe le vie è necessaria un'opera preliminare di reperimento delle informazioni e documentazione specifica dal quale il progettista non può prescindere. 4) Di pari importanza è anche l'utilizzo di sofware di calcolo adeguati e strumenti di rappresentazione chiari: i primi affinchè il modello elaborato in fase progettuale sia una affidabile rappresentazione della realtà mentre i secondi affinchè il prodotto finale sia fruibile e privo di qualsiasi possibilità di fraintendimento. 5) Si riporta di seguito il processo iterativo di progettazione: Figua 3.1 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 40
  45. 45. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 6) Il risultato finale della progettazione deve garantire tutti i requisiti richiesti dalla normativa di riferimento sia in termini di funzionalità (condizioni di esercizio) sia in termini di resistenza (condizioni di collasso) in base alla tipologia strutturale in esame e alle condizioni a contorno. 7) La progettazione strutturale, ovviamente, è sempre affiancata dall'analisi economica, dalla quale non si può prescindere in qualsiasi attività ingegneristica, volta al raggiungimento dei minimi costi compatibili con le esigenze funzionali. 8) Nella seguente trattazione è riportata l'analisi del processo progettuale scomposto in due fasi macrofasi consequenziali: • Conceptual design • Processo di ottimizzazione 3.2 Conceptual Design 1) Il Conceptual Design si colloca nelle prime fasi del processo di progettazione. Le decisioni prese in questa fase hanno una significativa influenza su fattori come costi, prestazioni, affidabilità, sicurezza ed in generale sul successo commerciale di un prodotto. Durante questa fase si operano la maggior parte delle scelte strategiche, si prendono decisioni importanti che successivamente, solo con difficoltà, possono essere cambiate. Sebbene una grande quantità di informazioni siano manipolate in un tempo relativamente ristretto, il Conceptual Design è la parte della progettazione meno supportata da strumenti dedicati. 2) Il punto di partenza è il riconoscimento delle azioni agenti sulla struttura e la scelta del funzionamento che si vuole conferire alla stessa per resistere alle stesse in base alla quale si progetta la disposizione degli elementi e la dimensione delle sezioni. 3) Il Conceptual Design è dunque un approccio globale alla progettazione che dipende dalla conoscenza e dalla sensibilità dell'ingegnere che non può essere inquadrato in uno schema fisso. 3.2.1 3.2.1.1 Performance strutturali richieste Rigidezza strutturale (SLE) 1) Il requisito fondamentale che ogni struttura deve soddisfare in condizioni di esercizio è la bassa deformabilità quindi è necessario assegnare ad ogni elemento strutturale un'adeguata rigidezza e disporli in modo da conferirne alla struttura nel complesso. 2) Il controllo della rigidezza della struttura avviene mediante l'analisi di: • frecce (travi e solai) • drift (globali e locali) 3) Tali parametri tradizionali per il controllo deformativo sono di non facile valutazione e non troppo affidabili se si pensa al comportamento globale della struttura quindi il parametro migliore è la frequenza propria della struttura, che deriva da un'analisi modale dinamica, e che permette di valutare in maniera sintetica ma complessiva la rigidezza. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 41
  46. 46. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 3.2.1.2 Instabilità (SLE/SLU) 1) La valutazione del carico critico nelle aste compresse è un aspetto che riguarda sia le condizioni di esercizio sia quelle di collasso in quanto mette in gioco sia la rigidezza che la capacità ultima dell'elemento. 2) Tale aspetto è evidente già dalla considerazione del caso più semplice di calcolo del carico critico ovvero l'espressione di Eulero: ߨ ଶ ‫ܬ ܧ‬ ‫ܮ‬ଶ E' evidente che un aumento del modulo elastico corrisponde ad un aumento della capacità dell'elemento quindi abbiamo un'interazione tra la rigidezza e la resistenza dell'elemento. ܲ௖௥ = 3.2.1.3 Resistenza (SLU) 1) La resistenza ultima della struttura è necessariamente uno degli aspetti fondamentali da considerare nella progettazione strutturale. Si intende, infatti, la capacità ultima che deve essere tale da garantire l'integrità sotto le azioni di progetto in relazione al tempo di ritorno assegnato all'opera. 2) Si sottolinea che nelle costruzioni metalliche la resistenza ultima della struttura è l'aspetto meno delicato e di più semplice valutazione in quanto l'acciaio è un materiale di ottime qualità . 3.2.1.4 Duttilità (SLU) 1) Per duttilità della struttura si intende la capacità della stessa. di subire delle deformazioni plastiche senza giungere al limite del collasso. E' dunque una misura dell'escursione in campo plastico che la struttura è in grado di sopportare. 2) La valutazione della duttilità è centrale nella progettazione moderna in quanto l'attuale capacità di valutare l'azione sismica di progetto ha fatto si che in fase di progetto le azioni da considerare siano tale da rendere economicamente insostenibile la realizzazione di una struttura che resista solamente in campo elastico. Accettare l'ingresso in campo plastico della struttura rappresenta l'unica via per resistere alle azioni esterne e questo pone il problema centrale del delicato controllo del danneggiamento. 3) La duttilità, come l'instabilità, è un aspetto che rientra anche nelle condizioni di esercizio in quanto si lavora sulla duttilità: in questo caso, però, un aumento della rigidezza gioca a sfavore in quanto la struttura diventa più fragile e il comportamento meno dissipativo. 3.2.2 Scelte progettuali 1) In funzione delle performance strutturali richieste, si procede alle scelte progettuali volte ad individuare innanzitutto la geometria da assegnare alla alla struttura. 2) La disposizione degli elementi deve essere studiata in funzione del comportamento che si vuole loro assegnare in modo che lavorino bene con tutti gli altri e garantiscano i requisiti in tutti gli aspetti. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 42
  47. 47. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 3) Oltre che al comportamento delle aste particolare attenzione va posta anche al riconoscimento e allo studio delle zone diffusive e dei nodi che rappresentano per le strutture metalliche un aspetto caratterizzante della progettazione . 3.2.2.1 3.2.2.1.1 Figua 3.2 3.2.2.1.2 Tipologie elementari Concentric Braced Frames (CBF) 1) Tale tipologia strutturale è composta di elementi incernierati e sfrutta il principio della triangolazione degli elementi per mantenere tutti gli sforzi puramente assiali. 2) Offre caratteristiche di ottima rigidezza e questo si traduce nel fatto che le verifiche allo stato limite di esercizio sono facilmente soddisfatte. 3) Data la bassa duttilità,però, mostrano problemi allo stato limite ultimo, dovuti al comportamento puramente assiale della struttura che non possiede risorse plastiche prima di arrivare al collasso. 4) Anche l'instabilità delle aste compresse è un problema rilevante nell'analisi agli SLU. Moment Resisting Frames (MRF) 1) Tale tipologia strutturale è composta sostanzialmente da un telaio semplice con comportamento flessionale 2) Data l'elevata duttilità e capacità portante, le verifiche allo stato limite ultimo sono facilmente soddisfatte. 3) Considerata.però l'elevata deformabilità, mostrano problemi allo stato limite d’esercizio, 4) Per questo tipo di struttura si può ottimizzare il comportamento flessionale dividendola in sottostrutture oppure inserendo degli elementi strutturali come gli Outrigger che riducono i drift della stessa. Figua 3.3 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 43
  48. 48. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 3.2.2.1.3 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Eccentric Braced Frames (EBF) 1) Tale tipologia strutturale presenta un livello intermedio delle risposte rispetto agli elementi CBF ed MRF perché prende le caratteristiche di rigidezza delle strutture CBF e quelle di duttilità delle MRF. 2) Caratteristica particolare di questa tipologia strutturale è la presenza degli elementi link che si occupano di concentrare su di loro le deformazioni plastiche facendo in modo che la struttura presenti delle capacità dissipative. 3) Si affida quindi agli elementi link il comportamento flessionale duttile e al resto della struttura il comportamento assiale rigido. Per questo loro comportamento gli elementi link non rispettano le ipotesi di de Saint Venant e perciò entrano nella categoria di zone diffusive. Figua 3.4 3.2.2.2 3.2.2.2.1 Nodi Distinzione funzionale 1) Si possono distinguere due tipologie di zone con diverso comportamento: • B-regions: zone in cui vale la Teoria di De Saint Venant e la determinazione di σ e ௅ di ε è semplice. Tale comportamento è valido solo per elementi 25 ≥ ௛ ≥ 5.Gli elementi che presentano questo comportamento sono colonne, travi e diagonali. • D-regions: zone, dette diffusive, in cui serve una modellazione bidimensionale o tridimensionale degli sforzi e la determinazione di σ e di ε è complessa. Il Le Dregions sono individuate da:: - Cambio di geometria, che può essere globale (cambio degli assi) o locali (cambio delle sezioni), - Cambio del materiale, per esempio tra calcestruzzo e acciaio, Presenza di carichi, che possono essere concentrati o distribuiti, - Presenza di vincoli, e tutti i casi dove non è valida la Teoria di De Saint Venant. Figua 3.5 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 44
  49. 49. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 3.2.2.2.2 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Rigidezze nodali 1) La progettazione del nodo è un punto fondamentale della progettazione di costruzioni metalliche in quanto la tipologia di vincolo che si vuole riprodurre influenza la risposta strutturale. Figua 3.6 2) La riproduzione di un vincolo non è univoca ma dipende dal modo di assemblare gli elementi di cui si dispone nella realtà, con la certezza che è impossibile riprodurre concretamente un vincolo perfetto. Figua 3.7 3) Nella realtà dei calcoli il modo giusto di approcciare al problema è quello di considerare sempre una presenza oppure una perdita di rigidezza rispetto ai casi ideali, questo per considerare situazioni intermedie da quelle ideali che nella realtà non si presentano mai. Figua 3.8 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 45
  50. 50. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 4) Il processo logico che si può adottare è che in presenza di un vincolo si ipotizza che gli spostamenti vincolati possiedano una rigidezza tendente al infinito invece per gli spostamenti liberi che la rigidezza tenda a zero ( il che si traduce in una resistenza residua). Figua 3.9 5) A titolo di esempio,si considera una cerniera vincolata a terra nella quale arriva una trave IPE. Figua 3.10 6) La riproduzione di una cerniera per elementi metallici viene fatta grazie alle bullonature, ma la disposizione dei bulloni può generare un braccio tra gli stessi con la conseguenza che si possono generare dei momenti resistenti, allontanandosi dalla cerniera ideale. 7) Si vuole evitare la formazione di questi momenti imponendo un braccio nullo tra i bulloni, nonostante inevitabilmente saranno le deformazioni che si generano nei bulloni a creare questi momenti residui che in ogni caso saranno molto più piccoli. Ne deriva che le rigidezze nodali possono tendere a zero (infinito) però non potranno essere uguali a zero (infinito). 8) Qundi in presenza di un nodo conviene sempre considerare le imperfezioni dei vincoli introducendo delle molle, siano esse rotazionali o estensionali, in funzione delle sollecitazioni cui è sottoposta la struttura. In tutti e due i casi il valore della rigidezza (K) può variare da zero a infinito, questo per la sua dipendenza dalla perfezione che si vuole ottenere nella realizzazione del vincolo. Figua 3.11 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 46
  51. 51. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Figua 3.12 ‫߮∗ܭ= ܯ‬ ‫߂∗ߣ= ܨ‬ 9) Si riporta un diagramma di classificazione dei nodi in base alle seguenti grandezze adimensionali: ‫ܭ‬௜ ∗ ‫ܮ‬ ഥ ‫=ܭ ۓ‬ ‫ܫ ∗ ܧ‬௕ ۖ ۖ ‫ܯ‬௨ ഥ ‫=ܯ‬ ‫ܯ‬௣௕ ‫۔‬ ۖ ۖ߮ = ߮ ∗ ‫ܫ ∗ ܧ‬௕ ത ‫ܯ‬௣௕ ∗ ‫ܮ‬ ‫ە‬ Figua 3.13 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 47
  52. 52. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 3.3 Ottimizzazione 1) Per ottimizzazione strutturale si intende il processo di determinazione della geometria della struttura che garantisca la migliore resistenza e rigidezza nei confronti delle azioni esterne con costi più contenuti possibili. 2) E' un processo iterativo che riguarda tutti gli aspetti funzionali della struttura il cui numero di tentativi dipende dal livello di dettaglio e quindi dal grado di affinamento che si vuole raggiungere. 3) Definita l'idea strutturale base, quindi, si parte da una geometria di primo tentativo, molto spesso basata sull'esperienza di opere esistenti simili, e si procede con l'ottimizzazione modificando geometria e sezioni fino al raggiungimento del minimo nell'analisi dei costi. Analisi dei costi Figura 3.14 Costo zone diffusive Costo Costo zone Bernoulli Costo totale MIN Ctot n 4) Il processo di ottimizzazione può essere scomposti in due fasi: 1. Analisi: si individuano i dati della struttura (geometria,materiali, condizioni a contorno) e si elaborano per ottenere dei risultati da sottoporre a verifica. 2. Progettazione: se la verifica non è soddisfatta si procede alla modifica dei dati di partenza e si ripete la fase di calcolo e le verifiche. 5) Nella progettazione delle costruzioni metalliche, il processo di ottimizzazione è fondamentale in quanto l'acciaio è un materiale costoso quindi una riduzione del peso significa un risparmio economico immediato e non indifferente. 6) Distinguiamo due macroprocessi di ottimizzazione: • Ottimizzazione per livelli: si interviene in maniera graduata nella variazione dei singoli elementi fino ad introdurne di nuovi se necessario • Ottimizzazione per risposta: si interviene sul singolo elemento in funzione del tipo di sollecitazione cui è sottoposto in modo che il suo comportamento sia ottimale. 3.3.1 3.3.1.1 Ottimizzazione per livelli Sizing 1) Per sizing si intende il processo volto al dimensionamento della sezione dell'elemento ottima quindi alla scelta della sezione commerciale più piccola che soddisfi il limite tensionale imposto in fase di progetto. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 48
  53. 53. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 2) L'obiettivo del sizing è la situazione di fully stressed optimization cioè la condizione in cui tutta la struttura al massimo delle proprie capacità sfruttando al massimo tutta la propria resistenza. 3) E' evidente che risulta impossibile giungere ad un livello in cui tutti gli elementi sono sottoposti allo stesso tasso di lavoro quindi la soluzione deve tendere alla migliore ideale senza però dimenticare di affiancare l'analisi limite tensionale con quella di deformabilità (una sezione più piccola lavora ad un tasso più elevato ma è anche molto meno rigida). Figura 3.15 3.3.1.2 Morfologica 1) Per ottimizzazione morfologica si intende un processo complesso volto alla ricerca della forma ottimale da assegnare all'elemento strutturale in funzione dello stato di tensione interno cui sarà sollecitato 2) Si tratta di un processo evolutivo in cui, partendo da una geometria semplice caratterizzata da massa distribuita uniformemente, si giunge ad una ridistribuzione ottimale delle masse stesse secondo la disposizione che meglio asseconda il probabile flusso tensionale cui l'elemento sarà sottoposto durante la sua vita utile. 3) Data la complessità dell'approccio, tale processo di ottimizzazione può essere realizzato solo mediante l'utilizzo di software specifici. 3.3.1.3 Topologica 1) Per ottimizzazione topologica si intende il processo di modifica della disposizione e inserimento/eliminazione di elementi volto a generare un percorso di scarico delle azioni esterne quanto più favorevole possibile. 2) Rispetto al sizing, dunque, è un processo più evoluto in quanto non c'è solo una variazione delle sezioni ma necessita di individuare a priori il percorso di carico che si vuole sviluppare all'interno della struttura ed assecondarlo con la disposizione degli elementi. 3) L'ottimizzazione topologica risente, quindi, molto maggiormente della sensibilità del progettista e dalla sua capacità di individuare il percorso di carico più breve che è sempre l'ottimo progettuale. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 49
  54. 54. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Figura 3.16 3.3.1.4 Introduzione di una sottostruttura 1) L'introduzione di una sottostruttura all'interno del modello strutturale rientra nel processo di ottimizzazione per livelli come soluzione finale. 2) Si tratta di inserire un blocco funzionale in grado di modificare il comportamento globale della struttura grazie alle proprie caratteristiche ed adeguarlo alle esigenze funzionali richieste 3.3.1.4.1 Uso dell'Outrigger 1) L'Outrigger fu ideato dall'ingegnere indiano Khan Fazlur e consiste in una controventatura in direzione orizzontale situata tutta sullo stesso livello. 2) Rispetto ai controventi verticali tradizionali, gli outriggers trasformano gli sforzi taglianti, che nascono in seguito alle azioni orizzontali, in sforzi assiali in modo da ridurre gli spostamenti di piano assoluti e relativi. Figua 3.17 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 50
  55. 55. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 3) Per la scelta del numero degli outrigger e del loro posizionamento all’interno di una struttura è necessario effettuare uno studio nel quale si possano notare i vari effetti delle combinazioni di posizione e di numero. Questo fattore si nota bene nello studio dei drift: inserendo un outrigger si nota che i drift vengono ridotti fino a un terzo rispetto alla configurazione che ne è priva. Figura 3.18 4) Si possono inserire più livelli di outriggers ma in questo caso è necessaria un'analisi più accurata in quanto è probabile che il costo di realizzazione sia maggiore del conseguente beneficio funzionale. Figura 3.19 3.3.2 3.3.2.1 3.3.2.1.1 3.3.2.1.1.1 Ottimizzazione per risposta Assiale Prinicipi cardine Trazione 1) Il comportamento degli elementi destinati ad essere sollecitati a trazione deve essere migliorato aumentandone la robustezza, ovvero la capacità di subire danni locali senza giungere al collasso. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 51
  56. 56. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 2) Questo significa che da un punto di vista funzionale è più conveniente suddividere l'area dell'elemento realizzandone più di uno, piuttosto che aumentarla. Tale approccio rispetta il principio cardine valido in ogni applicazione ingegneristica di "suddivisione della trazione". Figura 3.20 3.3.2.1.1.2 Compressione 1) Il comportamento degli elementi destinati ad essere sollecitati a compressione deve essere migliorato aumentandone la portanza critica, ovvero il carico che porta all'instabilità. 2) Questo significa che da un punto di vista funzionale, al contrario di quanto accade per gli elementi tesi, conviene adottare sezioni più larghe piuttosto che utilizzare una serie di elementi più snelli. Figura 3.21 ܲଵ௖௥ = 3.3.2.1.2 3.3.2.1.2.1 ߨ ଶ ‫ܽ72 ܧ‬ସ 3ߨ ଶ ‫ܽ ܧ‬ସ ∗ > ܲଶ௖௥ = ∗ 12 ‫ܮ‬௢ ଶ ‫ܮ‬଴ ଶ 12 Aspetti tecnologici Buckling Restrained Braced Frame (BRBF) 1) Il BRBF è un elemento strutturale in grado di fornire resistenza laterale impedendo l’instabilità, a sezione stratificata, composto al centro da una sezione di acciaio coperta da una membrana che non genera attrito, a sua volta rivestita prima da una sezione di calcestruzzo e poi da una sezione tubolare in acciaio. 2) Questo elemento permette di affidare la trazione alla sezione interna di acciaio e di affidare la compressione alla sezione esterna di acciaio e calcestruzzo. La membrana serve a dividere i due comportamenti in modo che non influenzino le dissipazioni e le rigidezze della struttura. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 52
  57. 57. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Figura 3.22 3.3.2.1.2.2 Trussed tube 1) Lo sfruttamento del comportamento assiale degli elementi diagonali può essere utilizzato per ridurre la deformabilità della struttura quindi l'entità degli spostamenti assoluti e relativi. 2) Tale obiettivo può essere raggiunto passando da una controventatura tradizionale verticale ad una secondo lo schema Trussed Tube, ideato dall' ing. Khan Fazlur: Figura 3.23 3) Lo schema tradizionale permette di creare una interconnessione cinematica più diretta tra i diversi piani della struttura grazie ai legami che si creano nella struttura a controventi. La lama di controvento resistente a flessione vede aumentata la sua sezione perciò anche la sua rigidezza flessionale. Non esiste un legame cinematico diretto tra i nodi dei diversi controventi. Figura 3.24 4) Lo schema Truss Tube dei controventi instaura un legame cinematico tra tutti i nodi dei controventi ottenendo cosi un abbattimento dei drift della struttura. Questo legame prevede una relazione diretta tra lo spostamento relativo dei nodi che si trovano sull’asse del controvento. Figura 3.25 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 53
  58. 58. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 3.3.2.2 3.3.2.2.1 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Flessionale Risposta strutturale 1) Tipici elementi a comportamento flessionale sono le travi e le piastre che esse possiedono un comportamento flessibile allo stato limite di esercizio e un comportamento duttile allo stato limite ultimo. Risulta quindi necessario ottimizzare il comportamento degli elementi per ridurre le deformazioni eccessive. 2) Per ottimizzare il comportamento flessionale si specializzano nella struttura delle parti che devono trasmettere e resistere allo stato tensionale di flessione. 3) In riferimento una struttura sottoposta ad un carico orizzontale vediamone il comportamento flesso-tagliante con la formazione di due campi di spostamento. Figura 3.26 4) Il primo campo di spostamenti è quello proveniente dal comportamento flessionale, il quale può essere studiato e approssimato con elementi alla Bernoulli; mentre il secondo campo di spostamenti proviene del comportamento tagliante, il quale può essere studiato e approssimato con elementi alla Timoshenko. 5) Si affidano i diversi comportamenti deformativi della struttura a elementi diversi: il comportamento flessionale a un elemento rigido flessionalmente come un vano ascensore, e il comportamento tagliante al resto della struttura attraverso l’uso di telai “shear type”. Figura 3.27 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 54
  59. 59. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 3.3.2.2.2 3.3.2.2.2.1 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Aspetti tecnologici Outrigger in sommità 1) Sotto l'azione dei carichi orizzontali, come visto, la deformata della struttura è sostanzialmente quella di una mensola incastrata. 2) Essendo il sistema iperstatico, gli elementi verticali si caricano proporzionalmente alla loro rigidezza quindi le colonne di spigolo, essendo usualmente più rigide, risultano più sollecitate quindi più deformate delle altre con conseguente deformazione di ogni livello non piana. 3) Tale fenomeno è detto Shaer-Lag, ovvero la sezione della struttura non ruota rimanendo ortogonale all'asse durante la deformazione e ne consegue una distribuzione delle tensioni maggiore agli spigoli. Figura 3.28 4) Per ovviare a tale problema, si può inserire un outrigger in sommità che garantisca la rigidezza di piano e la deformazione uniforme e piana. Figura 3.29 3.3.2.2.2.2 Irrigidimenti strutturali 1) La limitazione della deformazione flessionale e degli spostamenti può essere raggiunta mediante l'inserimento di irrigidimenti degli elementi verticali della struttura lungo tutto il suo sviluppo. E' evidente che tali elementi generano una ridistribuzione delle tensioni proporzionale alla nuova disposizione delle rigidezze. Roma, LUGLIO 2013 Pagina 55
  60. 60. Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati 2) Gli ispessimenti possono essere di due tipologie: • Esterne: si aumentano le sezioni degli elementi esterni in modo da ottenere il vanataggio di centrifugare maggiormente le masse Figura 3.30 • Tubolari: si realizza uno schema con costolature interne che formano una scacchiera su tutta la pianta dell'opera. Il funzionamento del fascio di tubi non è omogeneo: quelli inteni sono progettati per resistere ai carichi verticali mentre quelli esterni per i carichi orizzontali: Figura 3.31 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 56
  61. 61. Docente: Prof. Franco Bontempi Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati Appunti di Costruzioni Metalliche A.A. 2012/2013 SEZIONE 4 PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA 4.1 Introduzione 1) La progettazione delle strutture in zona sismica può prevedere due diverse tipologie costruttive, in funzione della filosofia progettuale che si sceglie di adottare: Figura 4.1 Filosofia progettuale Innovativa o avanzata Tradizionale Dissipative (sfruttamento duttilità/plasticità) Non dissipative (campo elastico) 2) Nella pratica attuale si utilizza il Metodo Dissipativo Semplificato, che rientra nei metodi tradizionali e permette una progettazione economicamente sostenibile contando sulle risorse plastiche della struttura in maniera semplice. 4.2 Metodo dissipativo semplificato 1) Il Metodo dissipativo semplificato ha come obiettivo la realizzazione di una struttura a comportamento dissipativo, ovvero in grado di dissipare molta energia grazie alla plasticizzazione prima di giungere al collasso. 2) Le plasticizzazioni sono localizzate dal progettista mediante l'inserimento di elementi appositi in grado di deformarsi molto e dissipare energia, preservando l'integrità degli elementi a comportamento fragile che vengono progettati per rimanere in campo elastico. Figura 4.2 Roma, LUGLIO 2013 Pagina 57

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