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Propiedades de relaciones

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propiedas de relaciones, dentro de estrutuctura algebraica (matematicas discretas)

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Propiedades de relaciones

  1. 1. Propiedades de relaciones. Francis Mota 16-0412
  2. 2. Relación Reflexiva. una relación R es un conjunto F es REFLEXIVA si (f,f) R para todas las f F, esto es, si f R f para todas las f  F. Por tanto, R es reflexiva si cada elemento f  F está relacionado consigo mismo. Si R es reflexiva en un conjunto F, entonces Dom(R)= Cod(R) = F
  3. 3. Relacion Irreflexiva. Una relación R es un conjunto F es irreflexiva si f R f para todas las f  F. Por tanto, R es irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo.
  4. 4. Ejemplos
  5. 5. Es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su matriz como sigue. La matriz de una relación reflexiva deberá tener unos en toda su diagonal principal. La matriz de una relación irreflexiva deberá tener ceros en toda su diagonal principal
  6. 6. Otras formas Es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su grafo dirigido como sigue. Una relación reflexiva tiene un ciclo de longitud 1 en cada vértice. Una relación irreflexiva no tendrá ciclos de longitud 1.
  7. 7. RELACIÓN SIMÉTRICA Una relación R en un conjunto A es SIMÉTRICA si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b  A con a R b, pero b R a.
  8. 8. RELACIÓN ASIMÉTRICA Una relación R en un conjunto A es ASIMÉTRICA si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es asimétrica si se tiene a y b  A con ambos a R b y b R a. Sea A = {1,2,3,4} y sea R = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1)} R no es simétrica, ya que (1,2)  R pero (2,1)  R. R no es asimétrica, ya que (2,2)  R.
  9. 9. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA Una relación R en un conjunto A es ANTISIMÉTRICA si cuando a R b y b R a, entonces a=b. Esto es, R es ANTISIMÉTRICA si cuando ab, se tiene a R b ó b R a. De esto se tiene que R no es antisimétrica si se tiene a y b en A, ab, y ambas a R b y b R a.
  10. 10. Ejemplo Sea A = {1,2,3,4} y sea R = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1)} R no es simétrica, ya que (1,2)  R pero (2,1)  R. R no es asimétrica, ya que (2,2)  R. R es antisimétrica ya que, a  b, (a,b)  R ó (b,a)  R.
  11. 11. Sea A = Z sea R = {(a,b)  A x A | a<b} Simetría: Si a<b, entonces no es verdadero b<a, por lo cual R no es simétrica. Asimetría: Si a<b, entonces b<a (b no es menor que a), por lo cual R es asimétrica. Antisimétrica: a  b, entonces a<b o b<a, por lo cual R es antisimétrica.
  12. 12. Sea A = Z+ sea R = {(a,b)  A x A | a divide b} Simetría: Si a|b, no se sigue que b|a, por lo cual R no es simétrica. Asimetría: Si a=b=3, por ejemplo, entonces a R b y b R a, por lo cual R no es asimétrica. Antisimétrica: Si a|b y b|a, entonces a=b, por lo cual R es antisimétrica.

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