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Resumen sucesiones y series nuevo

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Resumen sucesiones y series nuevo

  1. 1. Curso: Cálculo Aplicado Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Sucesiones y series 2.2.2.- Serie p  1 a n p  1 r 1.1.- Límite de una sucesión n 1Una sucesión an  tiene límite L si para cualquier Converge si p>1; diverge si p≤1  0 existe un número N>0 tal que si n es un número 2.2.3.- Series Alternadasentero y si n>N entonces an  L   Una serie alternada: Lím an  L  Se escribe: n  (1) n 1 n an ó  (1) n 1 n an 1.2.- Definición de sucesiones creciente y Es convergente si: decreciente  an  0 y an 1  an nUna sucesión an  es:  lím a n 0 n  (i) Creciente si an  an1 para todo n (ii) Decreciente si an  an1 para todo n 2.3.- Criterios de convergencia*Una sucesión es monótona si es creciente o 2.3.1.- Criterio de comparacióndecreciente  2.- Series Sea la serie a n 1 n una serie de términos postivos.  2.1.- Definición de la suma de una serie (1) Si otra serie de términos positivos b n es infinita n 1 Si an  es una sucesión y: convergente con an  bn entonces a n converge n 1Sn  a1  a2  a3  ........  an  (2) Si otra serie de términos positivos c n esEntonces S n  es una sucesión de sumas parciales n 1 denominada serie infinita y se denota por:  divergente con an  cn entonces a n 1 n divergea n  a1  a2  a3  ........  ann1 2.3.2.- Criterio de comparación por paso al límiteDonde los números a1; a2 ; a3 ............an son los  términos de la serie infinitaSi Lim S n  S entonces la serie la serie es convergente Sean  a y b n 1 n n 1 n dos series de términos positivos ny S es la suma de la serie. Si el límite anterior no existe,entonces la serie es divergente, y la serie no tiene suma. an  (1) Si Lím  c  0 , entonces las dos series n Teorema 1: Si la serie infinita a n 1 n es convergente, bn son convergentes o ambas son divergentes.entonces: an  (2) Si Lím c , y si b converge, entonces n  Lím an  0 n bn n 1 n Si el límite anterior es distinto de cero no puedeinferirse lo contrario. a n 1 n converge. an  2.2.- Algunas series (3) Si Lím  , y si a diverge, entonces n  bn n n 1 2.2.1- Serie geométrica   a b diverge  ar n 1  n si r  1 n 1 n 1 1 r
  2. 2. Curso: Cálculo Aplicado Ayudante: Francisco Valenzuela RiquelmeEl criterio de comparación en el límite es eficaz para an1 acomparar una serie algebraica con una serie p (2) Si Lím  L  1 o si Lím n1   , la serie n an n aadecuada. Debe elegirse como p-serie una que tenga el ntérmino general de la misma magnitud que el término es divergente.general de la serie dada. an1 (3) Si Lím  1 , no se puede concluir nada acerca Serie dada Serie para Conclusión n an comparar de la convergencia.  1  1 Ambas series 3n2  4n  5n1  n2 n 1 convergen *Éste criterio resulta útil para el cálculo del radio de convergencia de una serie.  1  1 Ambas series 3n  2n 1  n n 1 divergen 2.4.3.- Criterio de la raíz  n 2  10  n2  1 Ambas series 4n 5  n 3  n 5  n 3 convergen n 1 n 1 n 1 Sea a n 1 n una serie infinita para la cual cada an es 2.3.3.- Criterio de la integral diferente de cero:Sea f una función continua, decreciente, y de valores (1) Si Lím n un  L  1 ,entonces la serie es npositivos para toda x≥1. Entonces la serie infinita absolutamente convergente.  (2) Si Lím n un  L  1 o si Lím n un   , la serie f (n)  f (1)  f (2)  f (3)  .......  f (n)n 1 n es divergente. n  (3) Si Lím n un  1 , no se puede concluir nada n -Es convergente si la integral  f ( x)dx existe 1 acerca de la convergencia. b Ejercicios Ayudantía-Es divergente si lím  f ( x)dx   b  1 (1) Determine el término general an , las sumas 2.4.-Definición de convergencia absoluta parciales sn y la suma s de la serie  1 1 1    .......  ..La serie infinita  an es absolutamente convergente n 1 2  4 2  6 28  1  n si la serie a n es convergente (2) Calcule el valor de    n 1   n 1*Una serie que es convergente, pero no absolutamente (3) Determine el intervalo y radio de convergenciaconvergente, se denomina condicionalmente  (1) n ( x  8) nconvergente. de  n  8n n 1 2.4.1.- Teoreman Si la serie a n 1 n es convergente, entonces la serie an 1 n es convergente. 2.4.2.- Criterio de la razón Sea a n 1 n una serie infinita para la cual cada an esdiferente de cero: Bibliografía empleada y recomendada: a - El cálculo Leithold(1) Si Lím n1  L  1 ,entonces la serie es n a n - Calculo Vol.1 Larson Hostetlerabsolutamente convergente.

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