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Teorema de tales y regla de tres

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Teorema de tales y regla de tres

  1. 1. “Teorema de tales y regla de tres” Nombre: francisco navarro Sección: 1 Carrera: técnico en operaciones mineras Fecha: 26/03/2015
  2. 2. Índice Introducción: ……….pág.3 Teorema de tales ……….pág. 4 1.1.- Primer teorema ……….pág. 4 – pág. 6 1.2.- Segundo teorema ……….pág. 7 – pág. 8 Regla de tres ……….pág. 9 Conclusión: ……….pág. 10 Bibliografía: ……….pág. 11
  3. 3. Introducción En este informe conoceremos dos de los más populares métodos matemáticos que existen el teorema de Thales y la regla de tres. Ya que sin notarlo los ocupamos dentro de nuestra vida cotidiana como por ejemplo para sacar cuentas, medir edificios, etc. Conoceremos sus definiciones, sus métodos de aplicación y formulas. Además daremos ejemplos de muestra para su mejor entendimiento y los llevaremos a ejemplos de la vida cotidiana. 3
  4. 4. Teorema de tales Cuando en geometría hablamos del Teorema de Tales (o Thales), nos referimos a dos teoremas existentes atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a.c. El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente es decir que tengan ángulos iguales y sus lados sean proporcionales Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa). 1.1.- Primer teorema: Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que: “Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”. Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo A’B'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula 4
  5. 5. Ejercicio: Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x. Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario. Corolario: Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro. 5
  6. 6. Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que: Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. Ejercicio de la vida cotidiana: Pablo observa la escalera que está en el patio de su casa y quiere saber la longitud de la cuerda que une los peldaños de la escalera con su parte posterior. Realiza la operación correspondiente para que pablo pueda llegar al resultado. 100/50 = 50/X  50*50/100=25cm 25 cm mide la cuerda que une los peldaños de la escalera 6
  7. 7. 1.2.- Segundo teorema: El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto. Este teorema (figuras 1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia. Figura 1. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto. Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto. Demostración. En la circunferencia de centro O y radio r (figura 3), los segmentos son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es: 2α + 2β = π (radianes) (180º) Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene: Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado. Figura 3. Los triángulos AOB y BOC son isósceles. 7
  8. 8. Semicircunferencia Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda al diámetro de una circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia. Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro". Demostración Sea el triángulo BCA (en la figura superior) Como OA y OB son iguales (radios de la semicircunferencia), los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC también son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, ángulo BAC es igual a la suma de ABC y ACB. Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º, el ángulo BAC debe ser recto. Corolarios: - Corolario 1. “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.” Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase figura 3). - Corolario 2. “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.” El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar la figura 2. 8
  9. 9. Regla de tres: La regla de tres es un mecanismo que permite la resolución de problemas vinculados a la proporcionalidad entre tres valores que se conocen y un cuarto que es una incógnita. Gracias a la regla, se puede descubrir el valor de este cuarto término. En otras palabras, una regla de tres es una operación que se desarrolla para conocer el valor del cuarto término de una proporción a partir de los valores de los otros términos. De acuerdo a sus características, es posible diferenciar entre la regla de tres simple y la regla de tres compuesta. La regla de tres simple es aquella que permite establecer el vínculo de proporcionalidad entre dos términos que se conocen (A y B) y, a partir del conocimiento de un tercer término (C), calcular el valor del cuarto (X). La regla de tres simple puede ser directa o inversa. En el caso de la regla de tres simple directa, la proporcionalidad es constante: a un incremento de A, le corresponde un incremento de B en idéntica proporción. En la regla de tres simple inversa, en cambio, la proporcionalidad constante sólo se conserva cuando, a un incremento de A, le corresponda una disminución de B. Veamos un ejemplo. Un cocinero que, días atrás, preparó tres tortas con un kilogramo de harina, ahora dispone de cinco kilogramos de harina y quiere saber cuántas tortas puede elaborar. Para realizar el cálculo, aplica la regla de tres simple: Si con 1 kilogramo de harina preparó 3 tortas, con 5 kilogramos de harina preparará X tortas. 1 = 3 5 x 3 = 1 x X 5 = X 15 = X De este modo, el cocinero descubre que, con 5 kilogramos de harina, puede preparar 15 tortas. 9
  10. 10. Conclusión. Podemos sacar por conclusión la importancia que tienen estos métodos matemáticos para resolver problemas cotidianos como medir una cuerda o sacar la altura de un árbol, etc. Aprendimos a cómo utilizar sus fórmulas paso a paso. 10
  11. 11. Bibliografía. http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres 11

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