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´PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE                   ´FACULTAD DE MATEMATICAS.                        ´DEPARTAMENTO...
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2.   a) Determine el valor de a para el cual el area encerrada por las curvas                                   √        y...
∞                                                             23.   a) Demuestre que                            xe−x dx co...
Nota: Tambi´n se puede argumentar que si p > 1 en la integral de la forma               e  c 1 0 xp      dx, entonces la i...
4. Sea an = 3n − (−1)n .    a) Determine el mayor intervalo (abierto o cerrado) en el cual                                ...
.5PUNTO   Para x en el intervalo se˜alado:                            n                             an x n =         [3n −...
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I2 1er 2011

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I2 1er 2011

  1. 1. ´PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ´FACULTAD DE MATEMATICAS. ´DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS. MAT 220E ∗ C´lculo II a Pauta de correcci´n Interrogaci´n 2 o o 1. Calcule primitivas para: dx −8x2 + 3x + 8 √ , dx. x2 25x2 + 16 x3 + 4x2 + 4x Soluci´n: o dx 4 4 a) √ : Haciendo 5x = 4 tan u (de donde x = tan u, dx = sec2 u du, x2 25x2 + 16 √ 5 5 2 2 2 + 16 = 4 sec u) se tiene 25x + 16 = 16 sec u y 25x 4 dx 5 sec2 u du 5 sec u du 5 cos u du √ = = = . x2 25x2 + 16 4 2 16 2 tan u 16 sen2 u 5 tan2 u · 4 sec u La ultima integral es f´cilmente calculable con la sustituci´n z = sen u, queda ´ a o dx 5 dz 5 5 √ = 2 =− +C =− + C. x2 25x2 + 16 16 z 16z 16 sen u 25x2 +16 Pero si tan u = 5 x entonces tan2 u = 4 25 2 16 x y por lo tanto sec2 u = 25 2 16 x +1 = 16 y cos2 u = 25x16 . 2 +16 16 25x2 5x As´ sen2 u = 1 − cos2 u = 1 − ı, 25x2 +16 = 25x2 +16 , de donde sen u = √ 25x2 +16 , 1 √ 2 = 25x +16 , y finalmente 5x sen u √ √ dx 5 25x2 + 16 25x2 + 16 √ =− · +C =− + C. x2 25x2 + 16 16 5x 16x Puntaje: Por elegir alguna sustituci´n que permita resolver la integral (puede ser la o mostrada ac´, u otra, por ejemplo 5x = 4 senh u), 0.5 ptos. a Por transformar adecuadamente la integral, usando correctamente la sustitu- cos u du ci´n elegida (por ejemplo, llegar a o ), 0.5 ptos. sen2 u Por calcular la integral a la que se llega en el punto anterior, 1 pto. Por sustituir de vuelta y obtener el valor de la integral pedida, 1 pto. 1
  2. 2. −8x2 + 3x + 8 −8x2 + 3x + 8 −8x2 + 3x + 8b) dx = dx = dx. x3 + 4x2 + 4x x(x2 + 4x + 4) x(x + 2)2 Usando el m´todo de fracciones parciales, escribimos e −8x2 + 3x + 8 A B C 2 = + + , x(x + 2) x x + 2 (x + 2)2 sumando las fracciones del lado derecho obtenemos −8x2 + 3x + 8 (A + B)x2 + (4A + 2B + C)x + 4A = . x(x + 2)2 x(x + 2)2 Igualando coeficientes, obtenemos el sistema A + B = −8 4A + 2B + C = 3 4A = 8 Al resolver este sistema se llega a A = 2, B = −10, C = 15, de donde −8x2 + 3x + 8 dx dx dx dx = 2 − 10 + 15 x3 + 4x2 + 4x x x+2 (x + 2)2 15 = 2 ln |x| − 10 ln |x + 2| − + C. x+2 Puntaje: Por expresar el integrando en la forma dada por el m´todo de fracciones e parciales, 0.5 ptos. Por igualar coeficientes y plantear el sistema, 0.5 ptos. Por resolver el sistema, 0.5 ptos. Por calcular las integrales resultantes de las fracciones parciales, 1.5 ptos. (0.5 por cada integral). Por peque˜os errores, se les quitan 1 o 2 d´cimas de cada punto o medio punto. n e 2
  3. 3. 2. a) Determine el valor de a para el cual el area encerrada por las curvas √ y = ax2 − a; y = 1 − ax2 es 8. Soluci´n: Para valores positivos de a tenemos que las par´bolas se intersectan en o a los puntos x = ± 1/a. Adem´s para valores de x en el intervalo (− 1/a, 1/a) a se tiene que 1−ax2 ≥ ax2 −1. Con lo cual el area en cuesti´n se obtiene de calcular: o √ 1/a √ 1 − ax2 − (ax2 − 1)dx.−→ (1,5pto) − 1/a 8 La cual, realizando la integraci´n, es igual a √ . −→ (1pto) o 3 a √ Como se nos dice que esta area es igual a 8, se tendr´ que a 8 √ √ = 8, 3 a 8 de donde a = .−→ (0,5pto) 9 b) Determine si la siguiente serie n´merica es convergente: u 2n + 1 . n≥1 n(n2 − 3)3/2 Soluci´n: Notemos que el t´rmino general de la serie en cuesti´n, se comporta o e o 1 1 como 3 . Por otro lado sabemos que la serie de t´rmino general 3 es convergente, e n n ya que es una p-serie con p = 3 > 1. Utilizaremos el criterio de comparaci´n en el o ımite para demostrar que la serie pedida es convergente. −→ (2pto) l´ Para ello calcularemos el siguiente l´ ımite: 2n+1 1 n(n2 −3)3/2 2n3 + n2 2+ n l´ ım 1 = l´ ım = l´ ım = 2. n→∞ n→∞ (n2 − 3)3/2 n→∞ 1 − 3 n3 n2 Como el l´ımite obtenido es distinto de cero, se tiene que la serie dada y la se- 1 rie de t´rmino general 3 se comportan de la misma manera, es decir la serie e n 2n + 1 es convergente. −→ (1pto) n≥1 n(n2 − 3)3/2 El puntaje entregado por el uso correcto del criterio se pueden entregar para cualquier criterio que se utilice. 3
  4. 4. ∞ 23. a) Demuestre que xe−x dx converge, y calcule su valor. 0 Soluci´n: Calculamos la integral finita: o b 2 1 2 b xe−x dx = − e−x −→ (1pto) 0 2 0 Luego calculamos 1 2 b 1 1 2 l´ − e−x ım = ım e−b − l´ −→ (0, 5ptos) b→∞ 2 0 2 b→∞ 2 b b −x2 2 Finalmente como xe dx = l´ ım xe−x dx −→ (0, 5ptos) 0 b→∞ 0 Concluimos ∞ 2 1 xe−x dx = y como la integral existe es convergente por definici´n. −→ (1pto). o 0 2 b) Estudie la convergencia de la siguiente integral: ∞ sen(x) dx. 0 x5/2 Soluci´n: o Primero debemos separar el an´lisis en integrales impropias de tipo 1 y 2. Entonces a consideramos c > 0 ∞ c ∞ sen(x) sen(x) sen(x) dx = dx + dx −→ (0, 5) 0 x5/2 0 x5/2 c x5/2 c sen(x) La integral dx tiene problemas en el cero, pues 0 x5/2 sen(x) sen(x) 1 ım 5/2 = l´ l´ ım = ∞, luego la funci´n es no acotada. o x→0 x x→0 x x3/2 1 Esto nos da una idea de comparar con x3/2 tenemos que: sen(x) 5/2 sen(x) x3/2 l´ x 1 ım = l´ ım =1 −→ (1pto) x→0 x3/2 x→0 x x3/2 c 1 Entonces ambas funciones convergen o divergen y la integral dx diverge. 0 x3/2 Espec´ ıficamente resolviendo la integral c 1 x−1/2 c−1/2 3/2 dx = l´ ım − =∞ −→ (0, 5pto) 0 x x→0 2 2 4
  5. 5. Nota: Tambi´n se puede argumentar que si p > 1 en la integral de la forma e c 1 0 xp dx, entonces la integral diverge. c sen(x)Concluimos que dx diverge −→ (0, 5pto). 0 x5/2 ∞ c ∞ sen(x) sen(x) sen(x)Por lo tanto la integral dx = dx + dx tiene una 0 x5/2 0 x 5/2 c x5/2de las partes que diverge, luego diverge −→ (0, 5pto). ∞ sen(x)Nota: El alumno tambi´n puedo haber concluido que la parte e dx es c x5/2 ∞ sen(x) 1 1convergente, pues | 5/2 | ≤ 5/2 , lo cual es convergente ( forma dx con x x c xp ∞ sen(x)p > 1). Esto significa que dx converge absolutamente, luego converge. c x5/2Aunque esto no sirva para concluir, se puede asignar (0,5 ptos). 5
  6. 6. 4. Sea an = 3n − (−1)n . a) Determine el mayor intervalo (abierto o cerrado) en el cual 1 1 an x n = − . n≥0 1 − 3x 1 + x Soluci´n: o 1PUNTO(base) Si n es par, n + 1 es impar, (−1)n+1 = −1, an+1 = 3n+1 + 1, an = 3n − 1, luego 1 an+1 3n+1 + 1 3+ n = n = 3 −→ n→∞ 3. an 3 −1 1 1− n 3 .5PUNTO Si n es impar, n + 1 es par, (−1)n+1 = 1, an+1 = 3n+1 − 1, an = 3n + 1, lue- go 1 an+1 3n+1 − 1 3− n = n = 3 −→ n→∞ 3. an 3 +1 1 1+ n 3 .5PUNTO 1 Luego, el radio de convergencia es R = 3 .5PUNTO Para analizar el comportamiento en los extremos del intervalo: n 1 1 para x = , los t´rminos para n par de la serie son (3n − 1) e = 1− 3 3 1 −→n→∞ 1 = 0, luego la serie NO converge. 3n .5PUNTO n 1 1 para x = − , los t´rminos para n par de la serie son (3n − 1) − e = 3 3 1 −−→ 1 − n n− − 1 = 0, luego la serie NO converge. →∞ 3 .5PUNTO 1 1 La serie de potencias converge solamente en − , 3 3 6
  7. 7. .5PUNTO Para x en el intervalo se˜alado: n an x n = [3n − (−1)n ] xn = [(3x)n − (−x)n ] . n≥0 n≥0 n≥0 .5PUNTO Tenemos dos series geom´tricas de raz´n menor que uno en valor absoluto, luego e o ambas convergen, adem´s, como el primer t´rmino es 1, se sabe que a e 1 1 an x n = − n≥0 1 − 3x 1 + x .5PUNTOb) Determine el mayor intervalo abierto en el cual an n+1 √ x = − ln((1 + x) 3 1 − 3x). n≥0 n+1 Ayuda: Integre. Soluci´n: o 1 1 Si se integra entre 0 y t, t ∈ − , , por un lado, 3 3 t t t n n xn+1 tn+1 an x dx = (an x dx) = an = an 0 n≥0 n≥0 0 n≥0 n+1 0 n≥0 n+1 1PUNTO Por otro lado, t t 1 1 1 − dx = − ln(1 − 3x) − ln(1 + x) 0 1 − 3x 1 + x 3 0 1 √ = − ln(1 − 3t) − ln(1 + t) = − ln 3 1 − 3t(1 + t) 3 1 1 Por a), ambas integrales son iguales y haciendo x = t ∈ − , , se tiene 3 3 an n+1 √ x = − ln((1 + x) 3 1 − 3x). n≥0 n+1 1PUNTO 7

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