Probabilidad

1,826 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,826
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
41
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Probabilidad

  1. 1. UNIDAD IV: PROBABILIDAD 1
  2. 2. 2  ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Bioestadística?  Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e incluso los que hayan visto poco de la materia en cursos anteriores, tienen una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.  En este tema vamos a:  Recordar qué entendemos por probabilidad.  Recordar algunas reglas de cálculo.  Ver cómo aparecen las probabilidades en CC. Salud.  Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en CC. Salud.  Pruebas diagnósticas.
  3. 3. Experimento aleatorio :  Espacio Muestral :  Espacio Muestral : Discreto , Continuo Evento o Suceso Sucesos elementales, seguros e imposibles Probabilidad : grado de certidumbre Probabilidad y Juegos de Azar Probabilidad y Frecuencia relativa Probabilidad Subjetiva (Personal) Conceptos Básicos
  4. 4. Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Determinísticos. Fenómeno Determinista: es en el cual de antemano se sabe cual será el resultado. Ejemplos: - el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor.  poner la mano en el fuego.  soltar un vaso en el aire. Fenómeno Aleatorio.- Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad.
  5. 5. La probabilidad estudia el tipo de fenómenos o experimentos aleatorios. Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; 2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; 3. El resultado que se obtenga, S, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. Ejemplos: - Tirar dardos en un blanco determinado - Lanzar un par de dados - Obtener una carta de una baraja - Lanzar una moneda - que al nacer un bebe, éste sea niña - que una persona de 20 años, sobreviva 15 años más
  6. 6. Espacio Muestral Definición Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S. Ejemplos: 1.- Experimento: El nacimiento de un niño es un experimento aleatorio, se sabe que el niño puede ser varón o mujer , pero no se sabe cual será el resultado. S = { niño, niña } 2.- Experimento: Diagnostico de un paciente: S = { Sano, Enfermo }
  7. 7. Eventos o Sucesos Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ..., son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,…  S Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento. Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S) Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades: Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral. E = S y N(E) = N(S) Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.   S, y N() = 0
  8. 8. Evento Elemental.- Es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1. Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral. Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto N(E) > 1 Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como:  s tal quec A s A  
  9. 9. Ejemplo: Experimento: Se lanza una moneda tres veces. Espacio Muestral: Ω = { (C,C,C), (C,C,N), (C,N,C), (N,C,C), (N,N,C), (N,C,N), (C,N,N), (N,N,N) }, N(Ω) = 8, S es el evento seguro. Evento simple: B:Que salgan tres CARAS; B ={ (C,C,C) } , N(B) = 1 Evento compuesto: E: Que salgan al menos dos CARAS; E = { (C,C,C), (C,C,N), (C,N,C), (N,C,C) }, N(E) = 4 Evento imposible:  (conjunto vacio). N() = 0
  10. 10. Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos. OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION UNION A  B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden INTERSECCION A  B Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B. Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios
  11. 11. Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn. Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B  Ω gráficamente se puede expresar como: S A B Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común. S A B Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.
  12. 12. 12 Notación factorial • El producto de numero enteros positivos desde 1 hasta n se emplea con mucha frecuencia en Matemáticas, y lo denotaremos por el símbolo n!. CONCEPTOS BASICOS : FACTORIAL DE UN NÚMERO )!)(1)...(2)(1(! )!1(! 3*2*1)...2)(1(! *...*3*2*1! rnrnnnnn nnn nnnn nn     )1( )!1( )!1()1( )!1( )!1(       nn n nnn n n y que por convenio 0!=1 Interpretación: El factorial de n es el numero de ordenaciones distintas que se pueden hacer con n elementos.
  13. 13. Se llama número combinatorio m sobre n a la expresión: 13 NÚMERO COMBINATORIO !)!( ! nnm m n m        3 2.1 6 !2)!23( !3 2 3         Ejemplo . Encontrar el numero combinatorio de 3 sobre 2: Interpretación: El numero combinatorio m sobre n es el numero de elecciones distintas de n elementos que se pueden hacer de entre un conjunto de m elementos. En otras palabras, es el numero de subconjuntos de n elementos que tiene un conjunto de m elementos.
  14. 14. INTRODUCCION  Cuando se trata de contar las posibilidades en una moneda....fácil, pero y si es algo más complicado que una moneda..... ?  Supongamos que la señora que nos hace el favor de vendernos el almuerzo solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas ( sopa con verduras, de pasta, de arroz y de plátano), además sólo sabe hacer 3 tipos de platos fuertes (con frijoles, con huevos y con verduras), sabe hacer además postre de natas, de guayaba y fresa y sólo da agua con el almuerzo. Técnicas de Conteo
  15. 15. ¿QUÉ POSIBILIDADES DE ALMUERZO TENEMOS PARA HOY ? Entonces las posibilidades son : 1. sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua 2. sopa de verduras con huevo, postre de natas y agua 3. sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua 4. sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua 5. sopa de pasta con huevo, postre de natas y agua 6. ...... etc., etc, etc..... Alguno dirá : ¡Cambie de restaurante ! (tiene razón)... y otros observarán todas las posibles variaciones que se pueden generar aún siendo tan pequeño el menú, sólo enunciamos 5 de 36 posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una por una. Por ello existen técnicas que sin duda facilitan notablemente los conteos de todas las posibilidades existentes.
  16. 16. DEFINICON DE TECNICAS DE CONTEO Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Se les denomina técnicas de conteo a las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio: - Multiplicativo - Aditivo
  17. 17. Principio de Adición 17 Principio de adición: Si un proceso de selección se puede realizar de dos formas excluyentes de modo que la primera de ellas admite n opciones y la segunda admite m opciones, entonces el número total de selecciones posibles es n+m. Terminología conjuntista: |A U B| = |A| + |B| El resultado se extiende a K selecciones finitas y disjuntas dos a dos Ejemplo: • Un estudiante debe elegir un ejercicio para entregar. En una lista de ejercicios hay 15, en otra 20 y en otra 10. ¿Cuántos ejercicios tiene el estudiante para elegir? Donde |A| se le conoce como el cardinal de un numero, el cual nos da al número de elementos que tiene el conjunto
  18. 18. 18 Principio de inclusión-exclusión: Si un proceso de selección se puede realizar de dos formas de modo que la primera admite n opciones, la segunda admite m opciones y hay r opciones comunes a ambas, entonces el número total de selecciones posibles es n+m-r. Terminología conjuntista: |A U B| = |A| + |B| - |A ∩ B| Este resultado se extiende al caso de tres o más formas de seleccionar un elemento teniendo en cuenta todas las repeticiones que intervienen. |A U B U C| = |A| + |B| + |C| - | A ∩ B | - | B ∩ C | - | A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |
  19. 19. 19 Ejemplo: sean los dos siguientes conjuntos de enteros positivos: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Cuántas maneras hay de elegir un entero desde los conjuntos A y B. Nótese que los dos conjuntos no son disjuntos. Que modificación podemos hacerle al principio aditivo para este caso? Trate de escribir esa modificación. Solución: Para elegir un número del conjunto A tenemos 6 maneras y para elegir un número del conjunto B tenemos 6 maneras, pero como tenemos un número en común sólo tenemos 5. Luego para elegir un número entre A y B tenemos 11 maneras. Y tendríamos que modificar el principio aditivo restando la cantidad de elementos repetidos.
  20. 20. Principio de la Multiplicación 20 Principio de multiplicación: Si un proceso de selección se puede dividir en dos pasos consecutivos de modo que hay n elecciones en el primero y por cada una de ellas hay m elecciones en el segundo, entonces el número total de elecciones es n.m. Terminología conjuntista: |A X B| = |A| . |B| El resultado se extiende a un proceso de selección de K etapas en las condiciones anteriores
  21. 21. 21 Ejemplo: ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?. Solución: a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos
  22. 22. Principio multiplicativo y aditivo ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. 22
  23. 23. PERMUTACIONES  Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos a la vez).  Una ordenación de un numero r de dichos objetos r<=n en un orden dado se llama una permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez )!( ! ),(Pr rn n rnPn   P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá 24 !1 !1*2*3*4 )!34( !4 )3,4( 12 !2 !2*3*4 )!24( !4 )2,4( 4 !3 !3*4 )!14( !4 )1,4( },,,{           P P P dcbas
  24. 24. Combinaciones Las combinaciones de n objetos o cosas tomando r de ellas a la vez, representan el número de subconjuntos diferentes, de tamaño r, que se pueden obtener con esos n objetos. A diferencia de las permutaciones, el orden de aparición es irrelevante. Las notaciones para combinaciones de n objetos tomados r a la vez, son: Las permutaciones de n en r, divididas entre r! son iguales a las combinaciones de n en r, esto es:   r crn n r CnCrC  ),( )!(! ! ! )!( ! ! )1)...(1( ! Pr ),( rnr n r rn n r rnnn r n C rn      
  25. 25. 25 Ejemplo: En un centro de trabajo se van a seleccionar 3 personas para integrar una comisión de evaluación. Si el centro tiene 20 trabajadores, de cuántas mane- ras pueden ser seleccionadas: a) Las tres personas b) Las tres personas si el comité estará formado por presidente, tesorero y secretario. Solución: a) n = 20 , r = 3, b) n = 20 ; r = 3 1140 3203 20 320    ))!(! ! C 6840 320 20 320    ))!( ! P
  26. 26. Diferencias entre permutación y combinación COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos ciertas situaciones:
  27. 27. Situaciones 27  "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.  "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.  Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:  Si el orden no importa, es una combinación.  Si el orden sí importa es una permutación.
  28. 28. DIAGRAMA DE ARBOL 28 Definición: Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Construcción Del Diagrama De Árbol (Usando conjuntos) Sean: A y B dos conjuntos a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del árbol); b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A; c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B; d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.
  29. 29. 29 Ejemplo : Cuando se seleccionan tres artículos de forma aleatoria de un proceso de fabricación y se clasifican como defectuosos (D) y no defectuosos (N): Ejemplo: Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico? Solución: Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
  30. 30.  Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimación de la probabilidad)  Teórica - “A Priori”  Pr (Ai) = n / N  n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado  N = número total de resultados posibles  Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”  Pr (Ai) = n/N  n = número de veces que ocurrio “Ai”  N = número total de observaciones  Subjetiva  La “Opinión de un Experto” Nociones de Probabilidad
  31. 31. Nociones de probabilidad  Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces.  Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal. En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de suceso. Vamos a recordar qué son y algunas operaciones que se pueden realizar con sucesos. CLASIFICACION OMS 469 46,9% 467 46,7% 64 6,4% 1000 100,0 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS Total Válidos Frecuencia Porcentaje 31
  32. 32. Definición de probabilidad  Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)  P(E)=1  0≤P(A) ≤1  P(AB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø  Ø es el conjunto vacío.  Se puede imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro) 32 E espacio muestral 100% B E espacio muestral A
  33. 33. Probabilidad condicionada  Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B: )( )( )|( BP BAP BAP   33 A E espacio muestral B  Error frecuentíiiiiiisimo:  No confundir probabilidad condicionada con intersección.  En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…  En P(A∩B) con respecto a P(E)=1  En P(A|B) con respecto a P(B)
  34. 34. Intuir la probabilidad condicionada 34 B A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,10 B A ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,08
  35. 35. Intuir la probabilidad condicionada 35 A B A B ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0
  36. 36. Algunas reglas de cálculo prácticas 36  Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo:  P(A’) = 1 - P(A)  P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)  P(AB) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)  Si A  B  P(B-A) = P(B) - P(AB)  Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que también pase B sabiendo que pasó A.
  37. 37. Independencia de sucesos 37  Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro. A es independiente de B  P(A|B) = P(A)  P(AB) = P(A) P(B)
  38. 38. Ejemplo (I)  Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla.  ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis?  P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%  Noción frecuentista de probabilidad Recuento 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS CLASIFICACION OMS Total NO SI MENOPAUSIA Total 38
  39. 39. Ejemplo (II)  ¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?  P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531  Son sucesos disjuntos  Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø  ¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia?  P(OsteoporosisUMenopausia)=64/1000+697/1000- 58/1000=0,703  No son sucesos disjuntos  ¿Probabilidad de una mujer normal? (entiéndase…)  P(Normal)=469/1000=0,469  P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1- 0,531=0,469 Recuento 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS CLASIFICACION OMS Total NO SI MENOPAUSIA Total 39
  40. 40. Ejemplo (III)  Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis?  P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098  ¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis?  P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000=0,058  Otra forma: 058,01000/58 697 58 1000 697 )|()()(   MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP  Recuento 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS CLASIFICACION OMS Total NO SI MENOPAUSIA Total 40
  41. 41. Ejemplo (IV)  ¿Son independientes menopausia y osteoporosis?  Una forma de hacerlo  P(Osteoporosis)=64/1000=0,064  P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098  La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!  ¿Otra forma?  P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058  P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045  La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes. Recuento 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS CLASIFICACION OMS Total NO SI MENOPAUSIA Total 41
  42. 42. sucesos 42 A1 A2 A3 A4 Son una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. ¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas de frecuencias? Suceso seguro A1 A2 A3 A4
  43. 43. Divide y vencerás 43 A1 A2 A3 A4 B Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 ) Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples. Creedme . Funciona. Suceso seguro A1 A2 A3 A4 B B B B
  44. 44. Teorema de la probabilidad total 44 A1 A2 A3 A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 ) =P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ … Suceso seguro A1 A2 A3 A4 B B B B P(A1) P(A2) P(A3) P(A4) P(B|A1) P(B|A2) P(B|A3) P(B|A4)
  45. 45. 45 Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.  ¿Qué porcentaje de fumadores hay?  P(F) = P(M∩F) + P(H∩F) = P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H) =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 =13% T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de sucesos Estudiante Mujer No fuma Hombre Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,20,3 0,8 0,9 •Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
  46. 46. Teorema de Bayes 46 P(B) Ai)P(B B)|P(Ai  A1 A2 A3 A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
  47. 47. Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.  ¿Qué porcentaje de fumadores hay?  P(F) = =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13  (Resuelto antes)  Se elije a un individuo al azar y es… fumador ¿Probabilidad de que sea un hombre? 46,0 13,0 2,03,0 )( )|()( )( )( )|(         FP HFPHP FP FHP FHP 47 Estudiante No fuma No fuma 0,7 0,2 Mujer Hombre Fuma Fuma 0,1 0,3 0,8 0,9
  48. 48. Ejemplo de prueba diagnósticas: Diabetes 48  Los carbohidratos ingeridos terminan como glucosa en la sangre. El exceso se transforma en glucógeno y se almacena en hígado y músculos. Este se transforma entre comidas de nuevo en glucosa según necesidades.  La principal hormona que regula su concentración es la insulina. La diabetes provoca su deficiencia o bien la insensibilidad del organismo a su presencia. Es una enfermedad muy común que afecta al 2% de la población (prevalencia)  Una prueba común para diagnosticar la diabetes, consiste en medir el nivel de glucosa. En individuos sanos suele variar entre 64 y 110mg/dL.  El cambio de color de un indicador al contacto con la orina suele usarse como indicador (resultado del test positivo)  Valores por encima de 110 mg/dL se asocian con un posible estado pre- diabético.  Pero no es seguro. Otras causas podrían ser: hipertiroidismo, cancer de páncreas, pancreatitis, atracón reciente de comida…  Supongamos que los enfermos de diabetes, tienen un valor medio de 126mg/dL.
  49. 49. Funcionamiento de la prueba diagnóstica de glucemia  Valor límite: 110mg/dL  Superior: test positivo.  Inferior: test negativo.  Probabilidad de acierto:  Para enfermos  Verdadero positivo (sensibilidad)  Para sanos  Verdadero negativo (especificidad)  Probabilidad de error  Para enfermos  Falso –  Para sanos  Falso + 49
  50. 50. ¿Cómo definir el punto de corte de la prueba diagnóstica? 50 No es simple. No es posible aumentar sensibilidad y especificidad al mismo tiempo. Hay que elegir una solución de compromiso: Aceptable sensibilidad y especificidad.
  51. 51. 51 Una prueba diagnóstica ayuda a mejorar una estimación de la probabilidad de que un individuo presente una enfermedad.  En principio tenemos una idea subjetiva de P(Enfermo). Nos ayudamos de…  Incidencia: Porcentaje de nuevos casos de la enfermedad en la población.  Prevalencia: Porcentaje de la población que presenta una enfermedad.  Para confirmar la sospecha, usamos una prueba diagnóstica. Ha sido evaluada con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. Así de modo frecuentista se ha estimado:  P(+ | Enfermo)= Sensibilidad (verdaderos +)= Tasa de acierto sobre enfermos.  P(- | Sano) = Especificidad (verdaderos -)= Tasa de acierto sobre sanos.  A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos
  52. 52. Pruebas diagnósticas: aplicación T. Bayes. 52 Individuo Enfermo T- Sano T+ T- T+ P. a priori de enfermedad: incid., preval., intuición,… Sensibilidad, verdaderos + Falsos + Especificidad, Verdaderos - Falsos -
  53. 53. Ejemplo: Índices predictivos  La diabetes afecta al 2% de los individuos.  La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes.  Su sensibilidad es de 0,945.  La especificidad de 0,977.  Calcular los índices predictivos. 456,0 023,098,0945,002,0 945,002,0 )()( )( )|(           TSanoPTEnfP TEnfP TEnfP 999,0 055,002,0977,098,0 977,098,0 )()( )( )|(           TEnfPTSanoP TSanoP TSanoP 53 Individuo T- T+ T- T+ 0,9450,023 0,977 0,055 0,020,98
  54. 54. Observaciones  En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.  A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no.  En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo.  Nuestra opinión a priori ha sido 54 -¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 2%. Le haremos unas pruebas. - Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 45,6%.

×