VECTORES: Bachillerato y Nivel Cero B (ESPOL)

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conceptos básicos sobre vectores y sus operaciones

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VECTORES: Bachillerato y Nivel Cero B (ESPOL)

  1. 1. Representación Gráfica de un Vector dirección: obvio magnitud: longitud La localización es irrelevante Estos son idénticos FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 05/02/2010
  2. 2. ¿Por qué es importante la dirección de una cantidad vectorial? La misma rapidez (escalar) del viento, pero distinta velocidad (vector) ¿Qué preguntaría el piloto a la torre de control, si de ésta le indican que el viento sopla en el aeropuerto a 40 km/h? FLORENCIO PINELA - ESPOL 2 05/02/2010
  3. 3. Representación de un vector en Coordenadas Rectangulares Cualquier vector A que se encuentre en el plano x-y es posible representarlo por medio de sus componentes rectangulares Ax y Ay    !Cuidado! A2 2 Ax 2 Ay A Ax Ay Ax 4  A A Ax2 Ay 2 Ay 3    A Ax Ay 7 Ax = A cos A Ay Ay = A sen Ay 1 Ay tan tan Ax Ax Ax FLORENCIO PINELA - ESPOL 3 05/02/2010
  4. 4. Representación de un vector en Coordenadas Polares Algunas veces es más conveniente representar un punto en el plano por sus coordenadas polares, (r, ) donde r es la distancia desde el origen hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ángulo entre r y un eje fijo, medido contrario a las manecillas del reloj. y y (x,y) tan x r 1 y tan x x 2 2 o r x y 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 4
  5. 5. La dirección de un vector en 2-D y Sea = 130 Sen 130 = 0,766 Cos 130 = -0,643 x -α α = - 230 Sen(-230 )= 0,766 Cos(-230 )=-0,643 • Positivo en “sentido” antihorario • Negativo en “sentido” horario FLORENCIO PINELA - ESPOL 5 05/02/2010
  6. 6. Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polares si sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5) ¡Cuidado cuando use tan = y/x ! ' 1 5 tan 68, 2o 2 -2 ¡Línea de acción del vector! r o o 180 68, 2 -5  r ( 2)2 ( 5)2 29 r : 29; 248, 2o 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 6
  7. 7. El Método Gráfico para la Suma de Vectores C Los vectores se unen B extremo con origen, A+B conservando su A+B+C magnitud y dirección. El vector resultante A parte del origen del primero al extremo del último D R R = A + B +C + D      R A B C D Florencio Pinela FLORENCIO PINELA - ESPOL 7 05/02/2010
  8. 8. EL VECTOR NEGATIVO LA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA. Un vector es negativo cuando apunta en dirección contraria a uno definido como positivo. Cuando un vector NO está referido a un sistema de coordenadas. B C A -A -B -C FLORENCIO PINELA - ESPOL 8 05/02/2010
  9. 9. RESTA DE VECTORES RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ES EQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO A – B = A + (- B) A B Del extremo de B al extremo de A A-B A-B Polígono Unamos los vectores por su origen FLORENCIO PINELA - ESPOL 9 05/02/2010
  10. 10. Pregunta de concepto Para los vectores a, b y c, indicados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?    1) a c b    a 2) a b c    c 3) c b a 4) Todas son correctas b FLORENCIO PINELA - ESPOL 10 05/02/2010
  11. 11. LA LEY DEL COSENO • Sean los vectores a y b Sea el menor ángulo formado entre los vectores unidos por su origen Sea el ángulo formado entre los vectores unidos extremo con origen b b a a FLORENCIO PINELA - ESPOL 11 05/02/2010
  12. 12. Sea R el vector resultante de sumar el vector a con el vector b, esto es R = a + b, y el angulo formado entre a y b unidos por su origen. R b sen b a b cos R2 = (a + b cos )2 + (b sen )2 R2 = a2+ b2cos2 + 2abcos + b2 sen2 R2 = a2 + b2 + 2ab cos
  13. 13. La ley del coseno en función del ángulo α R b a R2 = a2 + b2 + 2ab Cos = 180 - cos = cos (180 - ) = - cos R2 = a2 + b2 - 2ab Cos
  14. 14. Sea P el vector resultante de la diferencia entre los vector a y b, y sea R la resultante de la suma entre a y b. R b P P=a-b a R=a+b R2 = a2 + b2 + 2ab Cos P2 = a2 + b2 - 2ab Cos Recuerde que la magnitud del vector a –b es igual a la magnitud del vector b – a FLORENCIO PINELA - ESPOL 14 05/02/2010
  15. 15. Vectores Unitarios:  Un Vector Unitario es un vector que tiene magnitud 1 y no tiene unidades U  Es usado para especificar una dirección û  Un vector unitario u apunta en la y dirección de U A menudo denotado con un j “sombrero”: u = û x  Ejemplos útiles son los vectores k i z unitarios cartesianos [ i, j, k ]  apuntando en las direcciones de los ejes x, y y z
  16. 16. LOS VECTORES UNITARIOS i, j y k Un vector unitario es la relación entre el vector y su magnitud  U ˆ u U     y A Ax Ay Az  j A ˆ Ax i Ay ˆ j ˆ Az k k i x z FLORENCIO PINELA - ESPOL 16 05/02/2010
  17. 17. Suma de Vectores usando componentes:  Considere C = A + B. (a) C = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j) = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j (b) C = (Cx i + Cy j)  Comparando las componentes de (a) y (b):  Cx = Ax + Bx C By B  Cy = Ay + By A Ay Bx Ax
  18. 18. Cualquier vector puede ser expresado en término de vectores unitarios. A = Ax i + Ay j + Az k Se pueden sumar, restar y multiplicar Sean los vectores A= 2i – 4j + 6k y B= 4i + 2j – 3k   A B = 6i – 2j + 3k   A B = - 2i – 6j + 9k   A 2B = 10i FLORENCIO PINELA - ESPOL 18 05/02/2010
  19. 19. B A C Exprese los vectores de la figura en función de vectores unitarios 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 19
  20. 20. B A C Para los vectores de la figura realice la siguiente operación: A + B – 2C 20 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL
  21. 21. Proyeción de un Vector en Tres Dimensiones  Cualquier vector en tres dimensiones puede ser proyectado sobre el plano x-y. z  La proyección del vector forma   un ángulo con el eje de las x. a a  Ahora proyecte el vector sobre el eje de las z.  El vector original forma un ángulo con el eje z. y x
  22. 22. Una Nota sobre la regla de la mano derecha en el sistema de coordenadas  Un sistema de coordenadas en tres z dimensiones debe obedecer la reglas de la mano derecha.  Doble los dedos de su MANO DERECHA de tal y forma que vayan desde x hasta y. Su pulgar x apuntará en la dirección z. September 5, 2007
  23. 23. Right Handed Coordinate Systems Which of these coordinate systems obey the right-hand I. II. rule? y y A. I and II. B. II and III. x z C. I, II, and III. z x D. I and IV. x x E. IV only. III. IV. y z z y September 5, 2007
  24. 24. Las componentes ortogonales del vector A en tres dimensiones (3D). y Ayj A Ax i x Az k  z A ˆ j ˆ Axi Ay ˆ Az k A 2 A x A 2 y A 2 z FLORENCIO PINELA - ESPOL 24 05/02/2010
  25. 25. Exprese el vector indicado en la figura en función de sus componentes rectangulares i, j k. A = 10 i – 8 j + 4 k y 10 i ¿Cuál sería la magnitud del vector A?  A 8 A A 102 82 42 -8j 4 x 10 4k z FLORENCIO PINELA - ESPOL 25 05/02/2010
  26. 26. Determine la magnitud de los vectores A, B y C 2 2 C A 5 8 8 2 2 A B B 8 6 2 2 2 C 5 6 8 6 5 FLORENCIO PINELA - ESPOL 26 05/02/2010
  27. 27. Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo formado entre los vectores a y b. y a) 45,0º b) 48,2º 6 a c) 50,2º x b 4 d) 53,8º z 5 e) 55,2º FLORENCIO PINELA - ESPOL 27 05/02/2010
  28. 28. Solución:      y R a b b a R 6 a x 2 2 2 b R a b 2ab cos 4 z 5 a 2 b2 R 2 Cos a 42 62 2ab o b 52 6 2 50, 2 R2 52 4 2 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 28
  29. 29. y Otra solución a = 6j – 4k => a2 = 62 +42 => a = = 7,21 6 b = 5i + 6j => b2 = 52 + 62 => b = = 7,81 a b x Llamamos c al vector (a + b) = 5i + 12j – 4k 4 z 5 c = 13,60 a) 45,0º Utilizando la ley del coseno b) 48,2º C2 = a2 + b2 + 2ab cos c) 50,2º Despejando el coseno de y reemplazando los d) 53,8º módulos de los vectores a,b y c e) 55,2º Cos = (185-52-61)/112,62 Cos = 0,64 Por tanto es igual a 50,2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 29 05/02/2010
  30. 30. LA LEY DEL SENO PQ Sen c a b PQ Sen a b R RS Sen P c RS Sen S b Q Sen Sen
  31. 31. PQ RS Sen Sen a aSen bSen c cSen bSen PQ RS Sen Sen b b Sen sen Sen Sen b a b c Sen Sen Sen a b c a b c Sen Sen Sen
  32. 32. LA LEY DEL SENO c b a Sen Sen Sen a b c a b c Sen Sen Sen FLORENCIO PINELA - ESPOL 32 05/02/2010
  33. 33. Utilice la ley del seno para determinar los valores de las tensiones de cada una de las cuerdas. T1 40 T2 20 100 N T3 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 33
  34. 34. T2 70 T1 70 40 T3 T2 T1 40 20 T3 T1 100 N sen70o sen70o T3=100 N T3 T2 sen40o T3 T1 100 N T2 100 N sen70o sen40o sen70o 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 34
  35. 35. El Método Analítico para la Suma de Vectores • El método geométrico de suma de vectores NO es el procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta precisión o en problemas tridimensionales. En esta sección se describe un método para sumar vectores que hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular. A estas proyecciones se las llama componentes del vector. Cualquier vector se puede describir completamente por sus componentes. FLORENCIO PINELA - ESPOL 35 05/02/2010
  36. 36. SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES B A C FLORENCIO PINELA - ESPOL 36 05/02/2010
  37. 37. Cy By B C R Ay A Ry Ax Bx Cx Rx         Rx Ax Bx Cx Ry Ay By Cy FLORENCIO PINELA - ESPOL 37 05/02/2010
  38. 38. DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DEL VECTOR R Rx = Ax + B x + Cx (suma vectorial) Ry = Ay + B y + Cy (suma vectorial) R Ry Rx 2 2 Magnitud del vector R R R x R y Línea de acción del 1 Ry vector R tan Rx FLORENCIO PINELA - ESPOL 38 05/02/2010
  39. 39. Determine el vector que al sumarse a los vectores a y b den una resultante nula. a) i – 10j + 3k y b) 2i – 5j + 6k b a c) 5j + 6k 5 d) 10j – 3k x e) –10j + 3k 3 7 z FLORENCIO PINELA - ESPOL 39 05/02/2010
  40. 40. y Solución:  a) i – 10j + 3k a 7i 5 j b) 2i – 5j + 6k b a  c) 5j + 6k d) 10j – 3k 5 b 7i 5 j 3k e) –10j + 3k x    7 3 a b c 0 z Si un vector determinado vale cero, sus componentes ortogonales valdrán cero también. ax + bx + cx = 0 → cx = 0 ay + by + cy = 0 → cy = - 10 j C = 0 i – 10 j + 3 k Az + bz + cz = 0 → cz = 3 k FLORENCIO PINELA - ESPOL 40 05/02/2010
  41. 41. VECTOR EN 3-D Y LOS COSENOS DIRECTORES y Ax Cos A Ay Ay Cos A A x Ax Az Az Cos A z FLORENCIO PINELA - ESPOL 41 05/02/2010
  42. 42. NOTAS IMPORTANTES SOBRE LA DIRECCIÓN DE UN VECTOR Si el vector se encuentra en el plano (2-D), la dirección del vector será indicada a través del valor del ángulo que forma el vector con el eje positivo de las “x”. Si el vector se encuentra en el espacio (3-D), la dirección del vector será indicada por los ángulos que forma el vector con cada una de las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. FLORENCIO PINELA - ESPOL 42 05/02/2010
  43. 43. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES Ax Ay Az Cos Cos Cos A A A Teorema de A2 Pitágoras en 2 2 Ax Ay Az2 A2 ( ACos ) 2 ( ACos ) 2 ( ACos ) 2 3-D A2 A2 Cos 2 A2 Cos 2 A2Cos 2 A2 A2 (Cos 2 Cos 2 Cos 2 ) Cos 2 Cos 2 Cos 2 1 Con esta expresión, si conocemos dos de los tres ángulos podemos hallar el tercero. FLORENCIO PINELA - ESPOL 43 05/02/2010
  44. 44. y A = 10 i – 8 j + 4 k 10 i ¿Cuál es la dirección del vector A? A 8 -8j A 102 82 42 x 4 z 10 4k Ax 1 10 Cos cos 41,8o A 13, 41 Ay 1 8 Az 4 Cos cos 126,6o Cos cos 1 72,6o A 13, 41 A 13, 41 FLORENCIO PINELA - ESPOL 44 05/02/2010
  45. 45. El vector mostrado en la figura tiene una magnitud de 20 unidades. El ángulo que forma el vector con el eje y es: y a) 30,0º b) 60,0º x 6 c) 72,5º 8 z d) 41,1º e) 35,2º FLORENCIO PINELA - ESPOL 45 05/02/2010
  46. 46. y Solución: Ay Cos A x ¿Cuánto vale Ay? 6 8 z 2 2 2 2 A Ax A y A z Ay 202 82 62 17,32 Ay 1 17,32 Cos cos 30o A 20 FLORENCIO PINELA - ESPOL 46 05/02/2010
  47. 47. EL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Sean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado entre los vectores unidos por su origen A B A • B = A B Cos De acuerdo a la definición, A • B es un número que puede ser positivo, negativo o cero, todo depende del valor del ángulo entre los vectores. FLORENCIO PINELA - ESPOL 47 05/02/2010
  48. 48. Proyección de un Vector: Producto Punto  El producto punto nos dice acerca de cuán paralelo son dos vectores.  El producto puntos (producto escalar) de dos vectores puede ser pensado como la proyección de uno de los vectores sobre el  otro. B   A B AB cos ( A cos ) B  A  Componentes A(B cos )   A B Ax Bx Ay By Az Bz September 5, 2007
  49. 49. Proyección de un Vector: Producto Punto  El producto punto nos dice acerca de cuán paralelo son dos vectores.  El producto puntos (producto escalar) de dos vectores puede ser pensado como la proyección de uno de los vectores sobre el  otro. Projection is zero B   A B AB cos  Componentes    A B Ax Bx Ay By Az Bz A September 5, 2007
  50. 50. A A•B=0 B A A•B <0 B A A•B >0 B FLORENCIO PINELA - ESPOL 50 05/02/2010
  51. 51. Dados los vectores A y B. En cuál de los siguientes casos el valor de A•B tiene el mayor valor 1 A 2 3 B A B A B FLORENCIO PINELA - ESPOL 51 05/02/2010
  52. 52. EL PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS CARTESIANAS SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k A • B = (Ax i + Ay j + Az k) • (Bx i + By j + Bz k) A • B = (Ax i) • (Bx i + By j + Bz k) + Ay j • (Bx i + By j + Bz k) + Az k •(Bx i + By j + Bz k) El producto escalar entre vectores respectivamente perpendiculares es igual a cero A • B = Ax i • (Bx i) + Ay j • (By j) + Az k •(Bz k) A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz FLORENCIO PINELA - ESPOL 52 05/02/2010
  53. 53. A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k A•B= Suma de los productos de sus respectivas componentes A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz ¡TENGA CUIDADO CON LOS SIGNOS DE LAS COMPONENTES DE LOS VECTORES! A•B=B•A EL PRODUCTO ESCALAR ES CONMUTATIVO FLORENCIO PINELA - ESPOL 53 05/02/2010
  54. 54. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR A Acos es la proyección del vector A B sobre el vector B, esto es AB El área del rectángulo que tiene por lados A Cos y B, es AB Cos AB Cos es por definición el resultado de multiplicar escalarmente dos vectores de magnitudes A y B que forman un ángulo . A • B =ABB = BAA = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz FLORENCIO PINELA - ESPOL 54 05/02/2010
  55. 55. Dado el siguiente gráfico: P S Q Entonces: S•P = S•Q a) Verdad b) Falso c) Faltan los ángulos de los vectores FLORENCIO PINELA - ESPOL 55 05/02/2010
  56. 56. Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales, debe tomar el valor de a) –4 b) 4 c) –6 d) 6 e) –8 α=-4 FLORENCIO PINELA - ESPOL 56 05/02/2010
  57. 57. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyección del vector a sobre el vector b es. a) 4.6 b) 3.2 c) 2.8 d) 2.2 e) 1.2 (5)(2) ( 2)(5) (3)(6) ab 2, 23 2 2 2 2 5 6 FLORENCIO PINELA - ESPOL 57 05/02/2010
  58. 58. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ángulo formado entre los vectores A y B es y a) 90,0º b) 86,4º b c) 80,4 d) 76,4º 5 x a e) 70,4º z FLORENCIO PINELA - ESPOL 58 05/02/2010
  59. 59. Solución: |A| = 10 u y |B| = 15 u y B A • B = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz 5 x Ax = 5 Ay = 0 Az = ? A z Bx = 5 By = ? Bz = 0 A • B = AB Cos = (5)(5) + 0( By) + (Az)0 (10)(15) Cos = (5)(5) 1 25 cos 80, 4o 150 FLORENCIO PINELA - ESPOL 59 05/02/2010
  60. 60. EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES Sean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado entre los vectores unidos por su origen.    A C AxB B Se define el producto A x B como otro vector, llamemos C a este vector. Por definición C es un vector perpendicular al plano formado por los vectores A y B y su dirección está de acuerdo a la regla de la “mano derecha”, la magnitud del vector C es por definición:  C C AB Sen FLORENCIO PINELA - ESPOL 60 05/02/2010
  61. 61. La regla de la mano derecha y la dirección del vector C Cruce el vector A con el vector B “barriendo” el menor ángulo. El pulgar extendido le da la dirección del vector C FLORENCIO PINELA - ESPOL 61 05/02/2010
  62. 62. La Regla de la Mano Derecha FLORENCIO PINELA - ESPOL 62 05/02/2010 23:47
  63. 63. C DIRECCIÓN DEL VECTOR C AxB=C B A BxA=-C B A AxB=-BxA El producto vectorial no es conmutativo!!! -C FLORENCIO PINELA - ESPOL 63 05/02/2010
  64. 64. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL A A Sen B    A x B = C = AB sen C = AB Sen => Área del paralelogramo formado por los vectores A y B FLORENCIO PINELA - ESPOL 64 05/02/2010
  65. 65. Para la operación entre vectores C = AxB indique si cada enunciado es correcto o no 1. (A x B) x C = 0 V F 2. C (A x B) = C2 V F 3. La proyección del vector A sobre V F el vector C es cero 4. La proyección del vector C sobre V F el vector B es diferente de cero 5. La magnitud del vector C V F corresponde al área del paralelogramo formado de A y B 65 05/02/2010
  66. 66. Producto Cruz  El producto cruz de dos  Recall angular momentum vectores nos dice acerca de    cuán perpendiculares ellos son. L r p Usted los encontrará en el  Torque    contexto de rotación o torque. r F   A B AB sin   B  Dirección perpendicular tanto a B sin A y B (regla de la mano-   derecha) A B B A    A ˆ ˆ ˆ  i j k A sin   A B Ax Ay Az Bx By Bz ( Ay Bz ˆ Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) ˆ ( Ax By j ˆ Ay Bx )k
  67. 67. EL PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x (Bx i + By j + Bz k) A x B = (Ax i) x (Bx i + By j + Bz k) + (Ay j) x (Bx i + By j + Bz k) + (Az k) x (Bx i + By j + Bz k) El producto cruz de vectores que tienen la misma dirección vale cero!! A x B = (Ax i) x (By j + Bz k) + Ay j x (Bx i + Bz k) + Az k x (Bx i + By j) A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j FLORENCIO PINELA - ESPOL 67 05/02/2010
  68. 68. A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j i j ixj=k -k jxk=i i kxi=j k j i x k = -j k -j j x i = -k A x B = AxBy k + AxBz (-j) + AyBx (-k) + AyBz i + AzBx j + AzBy (-i) Agrupemos los términos i, j y k A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k FLORENCIO PINELA - ESPOL 68 05/02/2010
  69. 69. A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k i j k Ay Az Ax Az Ax Ay AxB= Ax Ay Az = By Bz i - Bx Bz j + Bx By k Bx By Bz  C ˆ j ˆ ( Ay Bz Az By ) i ( Ax Bz Az Bx ) ˆ ( Ax By Ay Bx ) k             Cx Cy Cz 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 69
  70. 70. Sean los vectores A y B no paralelos que se encuentran en un mismo plano, se define C = AxB, entonces podemos afirmar que: a) El modulo del vector C representa el área del triangulo formado por A y B b) La proyección vectorial de A sobre B es ( A.B ) / |B| c) La proyección escalar de A sobre B es ( A.B )|B| d) La proyección escalar de C sobre A es 0 e) No se puede realizar lo operación AxB FLORENCIO PINELA - ESPOL 70 05/02/2010
  71. 71. C = AxB En el grafico se indica que el vector C F = ExD A es el resultado del producto vectorial entre A y B y el vector F es el F B resultado del producto vectorial entre E y D. E Cuál de las siguientes opciones representa mejor la dirección de un vector que sumado al vector (D x C) da una resultante nula. A B C D FLORENCIO PINELA - ESPOL 71 05/02/2010
  72. 72. Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k, el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A y B es 8 8 a )0i 128 j 128 k Si logramos determinar un 8 8 8 vector perpendicular al plano b) 192 i 192 j 192 k formado entre los vectores A y B. Podemos determinar el c) 1 i 11 j 8 k vector unitario dividiendo éste 186 186 186 vector para su magnitud. 8 8 8 e) i j k 384 384 384 8 16 8 e) i j k 384 384 384 FLORENCIO PINELA - ESPOL 72 05/02/2010
  73. 73. Solución: A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k i j k -1 2 3 2 3 -1 AxB= 3 -1 2 = -2 -4 i - -2 -4 j + -2 -2 k -2 -2 -4 A x B = [(-1)(-4) - (-2)(2)] i – [(3)(-4) - (-2)(2)] j + [(3)(-2)-(-2)(-1)] k C =Ax B = 8 i+ 8 j– 8 k  ˆ C 8i 8 j 8k C C 82 82 82 ˆ 8 8 8 C i j k 192 192 192 FLORENCIO PINELA - ESPOL 73 05/02/2010
  74. 74. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un vector perpendicular al plano sombreado de la figura?. y 6 a) 24i + 20j + 30k b) –5i + 6j + 8k x c) –12i – 10j + 15k 5 d) 12i – 10j –15k e) 24i + 20j+ 15k 4 z FLORENCIO PINELA - ESPOL 74 05/02/2010
  75. 75. Solución: 6 Un vector perpendicular al plano sombreado, es también A x perpendicular al plano formado 5 por los vectores A y B B 4 z A=6j–4k B=5i–4k i j k 6 -4 0 -4 0 6 AxB= 0 6 -4 = 0 -4 i - 5 -4 j+ 5 0 k 5 0 -4 A x B = - 24 i – 20 j - 30 k FLORENCIO PINELA - ESPOL 75 05/02/2010
  76. 76. DETERMINE EL VALOR DEL ÀREA DEL PLANO SOMBREADO DE LA FIGURA y Solución: 6 C = A x B = - 24 i – 20 j - 30 k La magnitud de C representa A x el área del paralelogramo 5 El área sombreada B (rayada) corresponde a la 4 z  mitad del área del C C 242 202 302 paralelogramo.  C 43,3 Area sombreada 21,65 u 2 2 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 76 05/02/2010
  77. 77. Dos vectores A y B vienen expresados por: A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Es verdad que A y B: a) Son paralelos y apuntan en la misma dirección. b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias. c) Forman un ángulo de 45º entre sí. d) Son perpendiculares. e) Todas las alternativas anteriores son falsas. FLORENCIO PINELA - ESPOL 77 05/02/2010
  78. 78. Solución: A = 3i + 4j + k y B = 4i - 5j + 8k. Utilicemos la ley del coseno para determinar el ángulo formado entre los vectores.   A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz Ax Bx Ay By Az Bz cos AB 1 12 20 8 1 0 cos cos 90o (26)(105) 2730 FLORENCIO PINELA - ESPOL 78 05/02/2010
  79. 79. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y (5,4,2) respectivamente. ¿Cuál de las siguientes alternativas representaría un vector perpendicular al plano formado por las rectas?. a) –23 i – 9 j – 26 k b) 9 i – 14 j + 8 k c) 9 i – 23 j + 26 k d) 23 i – 9 j + 26 k e) –9 i + 14 j – 8 k = (-9+32)i – (-1-8)j + (8+18)k = 23 i + 9 j +26 k = - 23 i - 9 j – 26 k FLORENCIO PINELA - ESPOL 79 05/02/2010
  80. 80. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y (5,4,2) respectivamente.¿Cuál de las siguientes alternativas representaría un vector perpendicular al plano formado por las rectas?. AC (5 4)i [(4 ( 5)] j (2 6)k C AC i 9 j 4k AB (2 4)i [3 ( 5)] j (5 6)k AB 2i 8 j k B A FLORENCIO PINELA - ESPOL 80 05/02/2010

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