Unidad i

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Unidad i

  1. 1. Glosario
  2. 2. Glosario <ul><li>Números Reales </li></ul><ul><li>La Recta Numérica </li></ul><ul><li>Valor Absoluto </li></ul><ul><li>Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto </li></ul><ul><li>Exponentes y Propiedades </li></ul><ul><li>Radicales y Propiedades </li></ul><ul><li>Radicación </li></ul>
  3. 3. Números Reales <ul><li>Se representan con la letra R . </li></ul><ul><li>El conjunto de los Números Reales ( R ) está integrado por: </li></ul><ul><li>El conjunto de los Números Racionales ( Q ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. </li></ul><ul><li>El conjunto de los Números Irracionales ( I ) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica. </li></ul><ul><li>Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( R ) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I . </li></ul>
  4. 4. Recta Numérica <ul><li>La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son: </li></ul><ul><li>Mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. </li></ul><ul><li>Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando </li></ul><ul><li>especialmente números negativos. </li></ul><ul><li>Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado. </li></ul>
  5. 5. Valor Absoluto <ul><li>En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin </li></ul><ul><li>tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor </li></ul><ul><li>absoluto de 3 y de -3. </li></ul><ul><li>El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes </li></ul><ul><li>contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede </li></ul><ul><li>generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, </li></ul><ul><li>cuerpos o espacios vectoriales. </li></ul>
  6. 6. Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto <ul><li>ECUACIONES </li></ul><ul><li>Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, </li></ul><ul><li>en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados </li></ul><ul><li>mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o </li></ul><ul><li>constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras </li></ul><ul><li>operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se </li></ul><ul><li>pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación: </li></ul><ul><li>La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son </li></ul><ul><li>constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la </li></ul><ul><li>satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla </li></ul><ul><li>la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es: </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo </li></ul><ul><li>no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la </li></ul><ul><li>incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso </li></ul><ul><li>infinitos conjuntos de valores que la satisfagan. </li></ul><ul><li>INECUACIONES </li></ul><ul><li>Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; </li></ul><ul><li>siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede </li></ul><ul><li>tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como </li></ul><ul><li>Intervalo. </li></ul><ul><li>En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos. La </li></ul><ul><li>notación a < b significa que a es menor que b; y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas </li></ul><ul><li>relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a = b (a es menor o igual a </li></ul><ul><li>b); y a = b (a es mayor o igual que b). </li></ul>
  8. 8. Exponentes y Propiedades <ul><li>El exponente o potencia surge al considerar un número como factor tantas veces como se desee. </li></ul><ul><li>Los exponentes indican que un número se esta multiplicando por si mismo n veces. </li></ul><ul><li>Así 3 3 indica que se quiere realizar la operación (3)(3)(3) y se lee 3 al cubo. a2, indica que la base a, se va a </li></ul><ul><li>multiplicar por sí misma 2 (exponente) veces. Y se lee a al cuadrado. x4 indica que el número x se va a utilizar </li></ul><ul><li>como factor 4 veces, es decir (x)(x)(x)(x) y se lee x a la cuarta potencia. </li></ul><ul><li>Para exponentes mayores a 3, se lee, para cualquier variable x, x4;; “x a la cuarta”,x7; “x a la séptima”, y así </li></ul><ul><li>sucesivamente. </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Un número puede descomponerse en n factores deseados </li></ul><ul><li>a0 = 1 </li></ul><ul><li>a1 = a </li></ul><ul><li>a2 = aa </li></ul><ul><li>a3 = aa2 = aaa </li></ul><ul><li>a4 = aa3 = aaaa </li></ul><ul><li>an = aan-1 = aa…a n factores </li></ul><ul><li>de donde puede obtenerse la regla del producto para los exponentes: a 3 a 2 = a 3 + 2 = a 5 </li></ul><ul><li>Regla del producto para exponentes: </li></ul><ul><li>Para toda variable a,b ; pertenecientes al conjunto de números naturales, entonces x a x b = x a + b </li></ul><ul><li>Como puedes ver, en un producto de expresiones, se conserva la base y se suman los exponentes. </li></ul><ul><li>Se considera importante señalar que la regla del producto para exponentes solo puede utilizarse en aquellas </li></ul><ul><li>expresiones que tienen la misma variable como base. </li></ul><ul><li>Cualquier variable x 0 = 1 </li></ul><ul><li>Considerando otros ejemplos </li></ul><ul><li>(a 0 ) 3 = a 0 a 0 a 0 = a 0+0+0 = (a 0 ) 3 = 1 </li></ul>
  10. 10. <ul><li>De los ejemplos anteriores se puede obtener la regla de potencia para los exponentes. </li></ul><ul><li>Regla de potencia para los exponentes: </li></ul><ul><li>Para toda variable a,b; (x a ) b = x ab (xy) a = x a y a para y diferente de 0 </li></ul><ul><li>Hay que tener cuidado en los casos en que la variable x = 0 ya que 0 0 es un número indefinido. Es decir, la base </li></ul><ul><li>nunca puede ser cero, en ningún caso. Es conveniente aprender aquí a expresar el número 1 en términos de </li></ul><ul><li>fracciones. Dicha forma de expresión será muy útil posteriormente. Así el 1 puede expresarse como una </li></ul><ul><li>expresión fraccional donde el denominador es idéntico al numerador. </li></ul><ul><li>Exponente negativo: x m x -m = x m-m = x 0 = 1 </li></ul><ul><li>Para que este resultado sea congruente con las reglas hasta aquí mencionadas, entonces es necesario que x -m , sea </li></ul><ul><li>el inverso multiplicativo de x m . Es decir que es necesario que , resultado que es congruente con las propiedades </li></ul><ul><li>mencionadas. Entonces se puede dar la siguiente definición: </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Regla del cociente </li></ul><ul><li>Ejemplo: (3 2 ) (3 -2 ) = 3 2 - 2 = 3 0 = 1 </li></ul><ul><li>Para finalizar con este apartado, tenemos el siguiente teorema: </li></ul><ul><li>RESUME </li></ul>
  12. 12. Radicales y Propiedades <ul><li>Un radical es una expresión de la forma n √¯a. </li></ul><ul><li>Simplificación de radicales si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los </li></ul><ul><li>exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente. </li></ul><ul><li>Reducción de radicales a índice común un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal </li></ul><ul><li>que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. </li></ul><ul><li>Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un </li></ul><ul><li>radical equivalente. </li></ul><ul><li>1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. </li></ul><ul><li>2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus </li></ul><ul><li>exponentes correspondientes. </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Extracción de factores fuera del signo radical </li></ul><ul><li>Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se </li></ul><ul><li>deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un </li></ul><ul><li>exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente </li></ul><ul><li>del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. </li></ul><ul><li>Introducción de factores dentro del signo radical </li></ul><ul><li>Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical </li></ul><ul><li>a n √¯b= n √¯a n b </li></ul><ul><li>Suma de radicales </li></ul><ul><li>Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son </li></ul><ul><li>radicales con el mismo índice e igual radicando. </li></ul><ul><li>a n √¯k+ b n √¯k+ c n √¯k=(a+b+c) n √¯k </li></ul>
  14. 14. Radicación <ul><li>La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite </li></ul><ul><li>facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. </li></ul><ul><li>Podemos distinguir tres casos: </li></ul><ul><li>Racionalización del tipo </li></ul><ul><li>Se multiplica el numerador y el denominador por √¯c </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Racionalización del tipo </li></ul><ul><li>Se multiplica el numerador y el denominador por n √¯c n-m </li></ul><ul><li>Racionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. </li></ul><ul><li>Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. </li></ul><ul><li>El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado: </li></ul>
  16. 16. <ul><li>También tenemos que tener en cuenta que: &quot;suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados&quot;. </li></ul>

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