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Matemática Financeira: Aplicações à
Análise de Investimentos
4ª. Edição
Resolução dos Exercícios
Propostos
Entre os mérito...
CAPÍTULO 1
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial ...
i
S P (1 i n) $180.000 $135.000 (1 44) i 22,73% a.m.
30
= × + × ⇒ = × + × ⇒ =
8. João tem uma dívida de $35.000 que vence ...
12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital,
considerando-se que, se a dif...
1 2
1 2 1 1 2 2 1 1
1 2
i i 0,1
J + J P n + P n $35.000 $200.000 n + $300.000 (18 n )
12 12 12 12
n 3 meses,n 15 meses
⎛ ⎞...
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 1 2J + J P i + P i n $130 P 0,2 + ($500 - P ) 0,4 1 P = $350 P = $150= × × × ⇒ = × × × ⇒ ⇒
22. Um c...
25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira de $1.000, com vencimento em 45 dias, e a
segunda, de $3.500, com venc...
$2.200
1+ i 2
valor à vista = valor da entrada + valor presente da parcela
$3.000 $1.000 + i = 60% a.a.
×
= ⇒
28. Calcular...
Dados: i = 24% a.a.
Determinação da data de resgate da aplicação usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil:
número...
14 dias
02/06 08/06 16/06
$2.000 $500 + $300
8 dias
0,28 0,28
Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2.825
360 360
⎛ ...
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360
dias...
( )
n
6
S P(1+i)
$100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91
=
= × + ⇒ =
d) 12% a.m. (ao mês)
Dados: S = $100.000, i = 12% a.m., n = 4...
( ) ( )
1 2
$80 $80
$140 E + E $17,78
1,2 1,2
= + ⇒ =
9. Uma casa está sendo vendida por $261.324,40 à vista. Considerando...
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $ 450 1ª. prestação= $280, 2ª. prestação= $300
i1 = 10% a.m.
P...
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
valor à vista = $6.000 Entrada (E) + 3 prestações de $2.000 cada
P...
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
40 30 32 30
2
30
32
2 2
J - J = S - S - P - P
$100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600
$1.861,32
i = 1 i...
( ){ } ( ){ }1n 5
2 1 1 1 1
1
P = P - J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,03
P = $500
− ⇒ −
0 30
27. Um capital foi aplicado duran...
( )
( )
n
2
n
$200
1,04 1
P
$200
1,04 1 1,48
$416,46
aplicando logaritmos: log 1,48 n log 1,04 n 10 meses
= +
= + =
= × ⇒ ...
34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas
efetivas de 5% a.m. e ...
( ) ( )
n
2 3n 30 1
$6.000 $2.000 $1.000 $3.000
(1,03) 6,7581
(1,03) (1,03) 1,03 1,03
= + + ⇒ =
aplicando logaritmos: log ...
(data focal = 1 mês)
Por equivalência de capitais:
1
1 2
n-1
1
2 2
7
D
P (1+i) + P
(1+i)
$20.000
$10.000 (1,03) + P P = $5...
( )
( )( ) ( )
n
8 3 8
2 2 2 1
S P 1 i
$4.000 P 1,06 P 1,02 P = $1.996,69 P = $2.003,04
= +
− = ⇒ ⇒
50. Um capital aplicad...
2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral equivalentes à taxa nominal de
60% a.a. capitalizada...
( )
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
1,80
$36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,011
12
×
×
×
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
aplicando logar...
8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa
efetiva equivalente para ...
b) Dados: P = $2.000, j = 18% a.a., m = 2 anos, k = 12, S = ?
12 2
0,18
S = $2.000 1+ $2.859,01
12
×
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
c) Dados...
As alternativas são equivalentes!
15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98%...
( )
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
1,20
$29.040 $24.000 1+ 1,21 1,1
12
×
×
×
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= × ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
'
aplicando logari...
[ ]$15.735,19 P 1+ 1,2544 1,5735
4
= ⇒ =⎢ ⎥
k m
m4
m
j
S = P 1+
k
0,48
×
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
aplicando logari...
( )$24.672,78 $12.5 0 1 1,9738 1,12
2
k m
2 m
j
S = P 1+
k
0,24
0 +
×
×
2 m×
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
'
= ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
aplicando loga...
( )
k m
j
S P 1
×
⎛ ⎞
= + ⇒⎜
⎝
1 2 1 2 1 2
12 4 2 4
J - J = S - S - P - P
k
0,12 0,12
$12.252 = P 1 1 P= $666.666,56
12 2
...
( )
k×m 4×2
k×m 2×2
Juros pagos:
j 0,05
Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86
k 4
j 0,05375
Oferta B = P ...
( )
k×m
2×m
2×m
j
J = P 1+ -1
k
0,24 $2.294,08
$2.294,08=P 1⎢⎜
⎝
+ -1 1,12 = 1
2 P
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞
⇒ +⎥⎟
⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦...
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261...
k m
12 (11/12) 2 (12/ 6) 6 (2/12)
j
S P 1+
k
0,48 0,40 0,36
S $6.000 1+ 1+ 1+ $20.302,47
12 2 6
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
45...
aplicando logaritmos: log 1,477=4×m×log 1,05 m= 2 anos⇒
49. Um investidor teria o mesmo rendimento se aplicasse um capital...
53. Calcular o valor dos juros pagos por um financiamento de capital de giro de $1.500 por cinco dias
contratado à taxa de...
3. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e com vencimento para 180
dias, descontado comerci...
D 360
i
V n
$800.000 - V 360
1,45 = V= $447.457,63
V 240
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9. Uma prom...
uma taxa de desconto de 2% a.m.. Considerando-se que foi paga uma taxa de serviço bancário de
2,5% sobre o valor nominal d...
( )
( ) ( )1 2 1 2
V N 1 d n
N 1 0,06 2 N 1 0,06 3 N 0,9318 N− × = − × ⇒ = ×
Logo,
= − ×
1 2 2
2 1
D = N d n× ×
N = 0,9318...
Como o banco liberará apenas $19.400, a melhor opção é vendê-lo por $19.500!
Analogamente, podemos resolver o problema com...
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
D N d n
0,06
$24.800 = 40 N +120 N
$310.000 N +3 N30
0,05 $1.110.000 3 N +11 N
$18.500 = 30 N ...
aplicando logaritmos: n log 1,048809 30 log 1,1
n= 60 dias d= 4,5455% a.m.
× = ×
⇒
29. Um banco emprestou $100.000 por 40 ...
33. Calcular o valor nominal de uma nota promissória descontada comercialmente três meses antes do
vencimento de modo que ...
Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)
Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)
Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)
Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)
Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)
Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)
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Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)
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Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)

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Matemática financeira resolução dos exercícios (samanez)

  1. 1. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos 4ª. Edição Resolução dos Exercícios Propostos Entre os méritos deste livro, que fazem dele um dos preferidos pelos estudantes e professores, está explicar os diferentes assuntos da matemática financeira e da análise de investimentos por meio de uma grande quantidade de exemplos e de exercícios apresentados ao longo dos capítulos. Nesta quarta edição, disponibilizamos aos leitores as resoluções detalhadas dos 366 exercícios propostos no livro. Esperamos que este novo recurso facilite a compreensão e o estudo dos diversos assuntos tratados. Agradeço às pessoas que colaboraram na elaboração deste material, especialmente a Eduardo Estellita, do curso de Engenharia de Produção da PUC-Rio, pela valiosa colaboração. O autor
  2. 2. CAPÍTULO 1 Exercícios Propostos Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias. 1. Qual é a taxa anual de juros simples obtida em uma aplicação de $1.300 que produz, após um ano, um montante de $1.750? Dados: P = $1.300, S = $1.750, i = ? S P (1 i) $1.750 $1.300 (1 i) i 34,61% a.a.= × + ⇒ = × + ⇒ = 2. Qual é a remuneração obtida em um capital de $2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juros simples de 60% a.a.? Dados: P = $2.400, i = 60% a.a., n = 17 meses, J = ? 0,6 J P i n J $2.400 17 J= $2.040 12 = × × ⇒ = × × ⇒ 3. Calcular o rendimento de um capital de $80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 26% a.m.. Dados: P = $80.000, i = 26% a.m., n = 28 dias, J = ? 0,26 J P i n J $80.000 28 J= $19.413,33 30 = × × ⇒ = × × ⇒ 4. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de juros simples obtida na operação? Dados: P = $80.000, S = $140.000, n = 17 meses, i = ? i S P (1 i n) $140.000 $80.000 (1 17) i 52,94% a.a. 12 = × + × ⇒ = × + × ⇒ = 5. Em quantos meses um capital de $28.000, aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a., produz um montante de $38.080? Dados: P = $28.000, S = $38.080, i = 48% a.a., n = ? 0,48 S P (1 i n) $38.080 $28.000 (1 n) n= 9 meses 12 = × + × ⇒ = × + × ⇒ 6. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando-se uma taxa de juros simples de 42% a.a e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. Dados: S = $13.000, i = 42% a.a., J = $4.065,29, n = ? (meses) 0,42 $13.000× ×n S×i×n 12J = $4.065,29 = 0,421+ i×n 1+ ×n 12 455×n $4.065,29 = n =13meses 1+ 0,035×n ⇒ ⇒ ⇒ 7. Um capital de $135.000 transformou-se em $180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de juros obtida na operação. Dados: P = $135.000, S = $180.000, n = 44 dias, i = ? 2
  3. 3. i S P (1 i n) $180.000 $135.000 (1 44) i 22,73% a.m. 30 = × + × ⇒ = × + × ⇒ = 8. João tem uma dívida de $35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $12.000 no fim de 158 dias e $13.000 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de vencimento para liquidar a dívida? Considere juros simples de 50% a.a. e data focal no vencimento da dívida. Dados: i = 50% a.a. 0 158 347 480 - $12.000 - $13.000 $35.000 133 dias 322 dias 0,50 0,50 Valor no vencimento $35.000 - $12.000 1 322 $13.000 1 133 $2.231,95 360 360 = + × − + × = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9. Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma $156.400. O mesmo capital diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a $88.400. Calcular o capital e a taxa de juros simples obtida. Dados: S1 = $156.400, S2 = $88.400, n1 = 21 meses, n2 = 9 meses, P = ?, i = ? Podemos montar 2 equações para 2 incógnitas: 108.800Pa.a.).m.(25%2,083333%ai400.88$9iPP 156.400$12iPP ==⇒=××− =××+ 10. Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 10% a.t.. Considerando-se que o rendimento da primeira parcela foi $160 e o rendimento das três parcelas totalizou $ 1.320, calcular o valor de cada parcela. Dados: P1 + P2 + P3 = $4.500, i1 = 4% a.t., i2 = 6% a.t., i3 = 10% a.t., n = 1 ano = 4 trimestres, J1 = $160, J1 + J2 + J3 = $1.320, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ? J P i n= × × Logo, J1 P1 i1 n $160 P1 4 P1 $1.000 J2 P2 i2 n J3 P3 i3 n J1 + J2+ J3 (P1 i1 P2 i2 P3 i3 n $1.320 ( P2 P3 4 P2 P3 $290 0,04 + + ) 40 + 0,06 + 0,1) 0,06 + 0,1 = = × × ⇒ = × × ⇒ = = × × = × × = × × × × ⇒ = × × × ⇒ × × Portanto, 2 3 2 3 2 3 P 0,06+ P 0,1 = $ 290 P = $1.500, P = $2.000 P + P = $3.500 × ×⎧ ⎫ ⇒⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 11. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de juros simples. Calcular a taxa, considerando-se que o primeiro capital em 48 dias rendeu $17,00 a mais que o segundo em 30 dias. Dados: J1 – J2 = $17, n1 = 48 dias, n2 = 30 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, i = ? 1 2 1 1 2 2 i i J - J (P n - P n ) $17 ( $2.400 48 - $1.800 30) i 0,833% a.m. 30 30 = × × × ⇒ = × × × ⇒ = 3
  4. 4. 12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital, considerando-se que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à mesma taxa, renderia $988,75 em um trimestre. Dados: i = 42% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 90 dias, P = ? ( ) 1 = 0,42 juros obtidos no prazo de 50 dias = P i n P 50 360 0,42 0,42 0,42 0,42 P- P 50 90 $988,75 P 1 50 90 $988,75 P= $10.000 360 360 360360 × × × × ⎛ ⎞ × × × × = ⇒ × − × × × = ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 13. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital e o rendimento obtido, considerando-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano. Dados: i = 30% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, P = ? ( ) ( ) 1 1 1 2 J = P i n 0,30 P-J + $10.000 i n $95.000 P 1 50 0,30 1+ $10.000 0,30 1 $95.000 360 P= $320.000 × × × × = ⇒ × − × × × × × = ⇒ Logo, 1 1 1 1 0,3 J = P i n J = $320.000 50 J = $13.333,33 360 ⇒ ⇒× × × × 14. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a. e o segundo a 45% a.a. Considerando-se que o rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um ano, determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo. Dados: P1 = (1 – 0,375) P2, i1 = 33% a.a., i2 = 45% a.a., n = 1 ano, S1 + S2 = $52.500 1 2 1 1 2 2 2 2 J P i n J J = P i + P i n $52.500 0,625 0,33 + 1 0,45 1 P P = $80.000 + ( ) ( ) = × × × × × ⇒ = × × × × ⇒ Logo, 1P = $50.000 15. Há 13 meses e dez dias um capital de $10.000 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se hoje for aplicada a importância de $8.000 a juros simples de 12% a.a. e o primeiro capital continuar aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos serão iguais? Dados: n1 = 400 dias, P1 = $ 10.000, P2 = $ 8.000, i1 = 6% a.a., i2 = 12% a.a.., n = ? Na data focal, S P (1 i n) 0,06 0,12 $10.000 1 (n+400) $8.000 1 n 360 360 n = 2.667 dias = 7 anos, 4 meses e 27 dias = × + × × + × = × + × ⇒ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 16. Uma empresa obteve um empréstimo de $200.000 a juros simples de 10% a.a.. Algum tempo depois liquidou a dívida, inclusive os juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples de 8% a.a.. Dezoito meses após o primeiro empréstimo, liquidou todos os seus débitos, tendo pago $35.000 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos (em meses) dos dois empréstimos. Dados: J1 + J2 = $35.000, n1 + n2 = 18 meses, P1 = $200.000, P2 = $300.000, i1 = 10% a.a., i2 = 8% a.a., n1 = ?, n2 = ? 4
  5. 5. 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 i i 0,1 J + J P n + P n $35.000 $200.000 n + $300.000 (18 n ) 12 12 12 12 n 3 meses,n 15 meses ⎛ ⎞ ⎛ = × × × × ⇒ = × × × − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ = = 0,08 ⎞ ⎟ ⎠ 17. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.. Quarenta e cinco dias depois, pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de dez meses a juros simples de 6% a.a.. Sabendo-se que pagou ao todo $111.250 de juros pelos dois empréstimos, calcular o valor do primeiro. Dados: J1 + J2 = $111.250, n1 = 45 dias, n2 = 10 meses, P2 = 2 P1, i1 = 9% a.a.., i2 = 6% a.a., P1 = ? 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 i i 0,09 0,06 J + J P n + P n $111.250 P 45 + 2 10 360 12 360 12 P $1.000.000 ⎛ ⎞ ⎛ = × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ = ⎞ ⎟ ⎠ 18. Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira foi aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples de 2% a.m. durante 12 meses. Sabendo-se que a primeira parcela foi $50 maior e rendeu $60 a mais que a segunda, determinar os valores de ambas as parcelas. Dados: J1 - J2 = $60, n1 = 6 meses, n2 = 12 meses, i1 = 10% a.m., i2 = 2% a.m., P1= $50 + P2, P1 = ?, P2 = ? ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 i i J - J P n - P2 n $60 $50+P 6 0,1 - P2 12 0,02 12 12 P $133,33, P $83,33 ⎛ ⎞ = × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ = = 19. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $13.000. Esse montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira aplicação, obtendo-se um montante final de $22.360. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado e a taxa de juros ao ano à qual ele foi aplicado. Dados: S1 = $13.000, S2 = $22.360, n1 = 1 ano, n2 = 2 anos, i2 = 1,2×i1, P1 = ?, i1 = ? 2 2 1 2 2 2 2 1 1,2 (1 ) $22.360 $13.000 (1 2) 36% a.a. = 30% a.a. i S S i n i i i= × + × ⇒ = × + × ⇒ = ⇒ = Por outro lado, 1 1 1 1 1 1S P (1 i n ) $13.000 P (1 0,3 1) P $10.000= × + × ⇒ = × + × ⇒ = 20. Um pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou metade dos juros obtidos e reaplicou a outra metade por um ano à taxa simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $20,16 nessa última aplicação. Calcular o valor do capital aplicado inicialmente. Dados: P2 = 0,5.× J1, J2 = $20,16,-n1 = 3 anos, n2 = 1 ano, i1 = 30% a.a., i2 = 32% a.a., P = ? ( ) ( ) Juros ganhos ao término dos 3 anos: valor reaplicado ao término do terceiro ano: rendimento do capital reaplicado ao término de 1 ano: P 0,30 3 0,50 P 0,30 3 $20,16 = 0,50 P 0,30 3 0,32 1 × × × × × × × × × ×⎡ ⎤⎣ ⎦ P= $140⇒ 21. Dois capitais foram aplicados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a., e o segundo a 40% a.a.. Calcular os capitais, considerando-se que, somados, eles perfazem $500 e que os dois, em um ano, renderam juros totais de $130. Dados: P1 + P2 = $500 , i1 = 20% a.a., i2 = 40% a.a., n = 1 ano, J1+ J2 = $130, P1 = ?, P2 = ?, 5
  6. 6. ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 1 2J + J P i + P i n $130 P 0,2 + ($500 - P ) 0,4 1 P = $350 P = $150= × × × ⇒ = × × × ⇒ ⇒ 22. Um capital de $50.000, aplicado a juros simples, rendeu $1.875 em um determinado prazo. Se o prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria em $250. Calcular a taxa de juros simples ao ano e o prazo da operação em dias. Dados: P = $50.000, J1 = $1.875, J2 - J1 = $250, n2- n = 36 dias, i = ?, n = ?, ( )2 1 2 1 i n 360 i 360 J J P i - n $250 $50.000 36 i = 5% a.a. J P i n $1.875 $50.000 n n = 270 dias = 9 meses - = × × ⇒ = × × ⇒ = × × ⇒ = × × ⇒ 23. Uma pessoa levantou um empréstimo de $3.000 a juros simples de 18% a.a. para ser liquidado depois de 270 dias. Considerando-se que a pessoa amortizou $1.000 no 75o dia, quanto deverá pagar na data de vencimento de modo a liquidar a dívida? (data focal: 270o dia). 270 dias 0 75 270 $3.000 - $1.000 195 dias 0,18 0,18 Valor de resgate: $3.000 1 270 -$1.000 1 195 $2.307,50 360 360 = + × + × = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 24. Uma empresa tem duas dívidas a pagar. A primeira de $2.500, contratada a juros simples de 2,5% a.m., com vencimento em 45 dias; e a segunda, de $3.500, a juros simples de 3% a.m., com vencimento em 90 dias. Calcular a quantia necessária para liquidação de ambas as dívidas em 180 dias, considerando-se que no 30o dia do seu prazo a primeira dívida foi amortizada com $1.500, e no 60o dia do seu prazo a segunda foi amortizada com $3.000 (efetuar os cálculos na data focaldo 180o dia). 150 dias 30 45 180 -$1.500 $2.500 135 dias 120 dias 60 90 180 - $3.000 $3.500 90 dias 0,025 0,025 Valor do resgate $2.500 1 135 - $1.500 1 150 ... 30 30 0,03 0,03 ...+ $3.500 1 90 - $3.000 1 120 $1.548,75 30 30 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + × + × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6
  7. 7. 25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira de $1.000, com vencimento em 45 dias, e a segunda, de $3.500, com vencimento em 120 dias. A pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de dois pagamentos iguais com vencimentos em 90 e 180 dias, respectivamente. Calcular o importe de cada pagamento, considerando-se que ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m. (data focal: 180o dia) 90 dias 0 45 90 120 180 $1.000 -X $3.500 -X 60 dias 135 dias 0,02 0,02 0,02 X = $1.000 1 135 + $3.500 1 60 X 1 90 30 30 30 X =$2.296,12 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ 26. Determinar: a. O tempo necessário para que seja triplicado um capital aplicado a juros simples de 5% a.m.. S P (1 i n) 3P = P (1 0,05 n) n = 40 meses = × + × × + × ⇒ b. O tempo necessário para que seja quintuplicado um capital aplicado a juros simples de 15% a.t.. S P (1 i n) 5P = P (1 0,15 n) n = 26,67 trimestres = 80 meses = × + × × + × ⇒ c. O tempo em que um capital de $12.000 rende $541,68 quando aplicado a juros simples de 12,5% a.a.. J P i n 0,125 $541,68 $12.000 n n = 130 dias 360 = × × = × × ⇒ d. O tempo necessário para que um capital de $7.000 transforme-se em um montante de $7.933,34 quando aplicado a juros simples de 24% a.a.. 0,24 360 S P (1 i n) $7.933,34 $7.000 (1 n) n = 200 dias = × + × = × + × ⇒ 27. Determinar: a. A taxa de juros simples anual que produz um rendimento de $60 em 36 dias a partir de um capital de $2.000. J P i n i $60 $2.000 36 i = 30% a.a. 360 = × × = × × ⇒ b. A taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de $6.000 em 30 meses a partir de um capital de $8.000. J P i n $6.000 $8.000 30 i = 2,5% a.m.i = × × = × × ⇒ c. A taxa de juros simples anual embutida na compra de um bem cujo valor à vista é de $3.000, sendo que o pagamento consiste de uma entrada de $1.000 mais uma parcela de $2.200 para 60 dias. 7
  8. 8. $2.200 1+ i 2 valor à vista = valor da entrada + valor presente da parcela $3.000 $1.000 + i = 60% a.a. × = ⇒ 28. Calcular: a. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 24% a.a., rende $300 em 126 dias. J P i n 0,24 $300 P 126 P = $3.571,43 360 = × × = × × ⇒ b. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 26% a.a., rende $800 em 7 trimestres. J P i n 0,26 $800 P 7 P = $1.758,24 4 = × × = × × ⇒ c. O rendimento de uma aplicação de $10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a.. 0,24 J P i n $10.000 446 = $2.973,33 360 = × × = × × 29. Calcular: a. O rendimento de um capital de $2.000 aplicado a juros simples de 2,5% a.m. desde o dia 12 de março até o dia 5 de junho do mesmo ano. 0,025 J P i n $2.000 (156-71) = $141,66 30 = × × = × × b. O valor do capital que rendeu $3.000 no período compreendido entre 4 de abril e 31 de maio do mesmo ano a juros simples de 2% a.m.. J P i n 0,02 $3.000 P (151- 94) P = $78.947,37 30 = × × = × × ⇒ c. O valor de resgate de um capital de $5.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. pelo período compreendido entre 6 de abril e 26 de junho do mesmo ano. ( )0,02 S P (1 i n) $5.000 1 (177-96) = $5.270 30 = × + × = × + × d. O valor do capital que se transformou em um montante de $20.000 no período compreendido entre 30 de junho e 31 de dezembro do corrente ano, a juros simples de 2% a.m.. ( )30 S P (1 i n) 0,02 $20.000 P 1 (365-181) P = $17.814,73 = × + × = × + × ⇒ e. A taxa de juros simples mensal ganha por uma aplicação de $24.000 que rendeu $2.800 no período compreendido entre 23 de maio e 18 de agosto do mesmo ano. J P i n i $2.800 $24.000 (230-143) i = 4,023% a.m. 30 = × × = × × ⇒ 30. No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $7.000 a juros simples de 24% a.a. para ser totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram amortizados $3.000, e no dia 11 de julho, $2.500. Determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser paga naquela data para liquidar a dívida (considerar ano civil e data focal no 90o dia). 8
  9. 9. Dados: i = 24% a.a. Determinação da data de resgate da aplicação usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil: número de dias da data posterior (?) = +n número de dias da data anterior (26 de maio) = −146 prazo: 90 Logo, n - 146 = 90 → n =236, que na a tábua para contagem de dias entre duas datas (capítulo 1 do livro) corresponde ao dia 24 de agosto . 44 dias 90 dias 26/ 05 16/ 06 11/ 07 24/ 08 $7.000 - $3.000 - $2.500 69 dias 0,24 0,24 alor de resgate $7.000 1 90 -$3.000 1 69 $2.50 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + × + × − 0,24 0 1 44 $1.708,67 360 360 360 ⎛ ⎞ + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1. Determinar o rendimento de um capital de $2.000 aplicado do dia 3 de m rço até o dia 28 de junho do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi 3% a.m., mas posteriormente teve ueda para 2,8% a.m. no dia 16 de abril e para 2,6% a.m. no dia 16 de junho. P = $2.000, i1 = 3% a.m., i2 = 2,8% a.m., i3 = 2,6% a.m., J = ? n = 03/03 até 16/04 = 106-62 n = 44 dias n = 16/04 até 16/06 = 167-106 n = 61 dias ⇒ ⇒ V 3 a q Dados: 1 1 2 2 3 3n = 16/06 até 28/06 = 179-167 n = 12 dias⇒ 1 1 2 3 3J P (i n + i n + i n $2.000 44 + 61 + 30 30 30 × × ×2 0,0 )= × × × × = × 3 0,028 0,026 12 = $222,67 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 32. Uma dívida de $2.000 contraída no dia 8 de junho para ser liquidada no dia 8 de julho foi ontratada originalmente a juros simples de 2% a.m.. Calcular o rendiment da aplicação, sabendo-se ue a taxa de juros subiu para 2,5% a.m. no dia 12 de junho, para 3% a.m o dia 24 de junho e para 3,5% a.m. no dia 3 de julho (considerar o ano civil). ados: P = $2.000, i1 = 2% a.m., i2 = 2,5% a.m., i3 = 3% a.m., i4 = 3,5% a.m., J = ? n = 08/06 até 12/06 = 163-159 n = 4 dias n = 12/06 até 24/06 = 175-163 n = 12 dias n = 24/06 até 03/07 = 1 -175 n = 9 dias ⇒ ⇒ ⇒ c o q . n D 1 1 2 2 3 3 4 4n = 03/07 até 08/07 = 189-184 n = 5 dias⇒ 84 1 1 2 2 3 3 4 4 0,02 0,025 0,03 0,035 P (i n + i n + i n + i n ) $2.000 4 + 12 + 9 += × × × × × = × × × ×J 5 = $55 30 30 30 30 × ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 33. Uma aplicação financeira foi iniciada no dia 2 de junho com $2.000. Posteriormente foram efetuados dois depósitos adicionais de $500 e de $300 nos dias 8 e 16 e um saque de $200 no dia 26 de junho. Considerando-se que inicialmente foi contratada uma taxa de juros simples de 28% a.a., que depois baixou para 26% a.a. no dia 16 de junho, calcular o saldo disponível no dia 1o de julho. ⎜ ⎟ 9
  10. 10. 14 dias 02/06 08/06 16/06 $2.000 $500 + $300 8 dias 0,28 0,28 Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2.825 360 360 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + × + × + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 15 dias 16/06 26/06 01/07 $2.825 - $200 5 dias 0,26 0,26 Saldo disponível em 01/07 $2.825 1 15 - $200 1 5 $2.654,50 360 360 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 34. Hoje uma pessoa tem duas dívidas: a primeira, de $8.000, vence em 36 dias, e a segunda, de $12.000, vence em 58 dias. A pessoa propõe-se a quitá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento (data focal: 90o dia). 45 dias 0 36 45 58 90 $8.000 -X $12.000 - X 32 dias 54 dias 0,24 0,24 0,24 X = $8.000 1 54 + $12.000 1 32 X 1 45 360 360 360 X $10.120,20 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ + × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ = ⎞ ⎟ ⎠ 35. Resolver o exercício anterior tomando como data focal o 45o dia. - 45 dias 0 36 45 58 90 $8.000 -X $12.000 - X - 13 dias 9 dias 1 1 0,24 0,24 0,24 X = $8.000 1 9 + $12.000 1 13 X 1 45 360 360 360 X $10.119,82 − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ + × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ = ⎞ ⎟ ⎠ CAPÍTULO 2 10
  11. 11. Exercícios Propostos Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias. 1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500 pelas seguinte taxas de juros e prazos: a) 4% a.m., 6 meses Dados: P = $3.500, = 4% a.m., n = 6 meses ( ) 6n S P(1+i) $3.500 1 0,04 $ 4.428,62= = × + = b) 8% a.t., 18 meses Dados: P = $3.500, i = 8% a.t., n = 18 meses = 6 trimestres ( ) 6n S P(1+i) $3.500 1 0,08 $ 5.554,06= = × + = c)12% a.a., 18 meses Dados: P = $3.500, i =12% a.a., n = 18 meses = 1,5 ano ( ) 1,5n S P(1+i) $3.500 1 0,12 $ 4.148,54= = × + = 2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.? Dados: P = $18.000, S = $83.743, i = 15% a.m., n = ? Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito: ( ) ( ) ( ) n n n S P 1 i $83.743 $18.000 1 0,15 4,65239 1,15 = + = × + = meses11 1,15log 4,65239log n1,15logn4,65239log:logaritmosaplicando ==⇒×= 3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros efetiva ganha for 10% a.m., calcular o valor do investimento. Dados: S = $43.000, n = 3 meses, i = 10% a.m., P = ? ( ) ( ) n 3 S P 1 i $43.000 P 1 0,1 P $ 32.306,54 = + = × + ⇒ = 4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas ganhas forem as seguintes: a) 13% a.t. (ao trimestre) Dados: S = $100.000, i = 13% a.t., n = 4 anos = 16 trimestres, P = ? ( ) n 16 S P(1+i) $100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,62 = = × + ⇒ = b) 18% a.a. (ao ano) Dados: S = $100.000, i = 18% a.a., n = 4 anos, P = ? ( ) n 4 S P(1+i) $100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,89 = = = × + ⇒ = c) 14% a.s. (ao semestre) Dados: S = $100.000, i = 14% a.s., n = 4 anos = 8 semestres, P = ? 11
  12. 12. ( ) n 6 S P(1+i) $100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91 = = × + ⇒ = d) 12% a.m. (ao mês) Dados: S = $100.000, i = 12% a.m., n = 4 anos = 48 meses, P = ? ( ) n 48 S P(1+i) $100.000 P 1 0,12 P $ 434,05 = = × + ⇒ = 5. Um capital de $51.879,31 aplicado por seis meses resultou em $120.000. Qual a taxa de juros efetiva ganha? Dados: S = $120.000, P = $51.879,31, n = 6 meses, i = ? ( ) n n 1/ 6 S S P 1 i i 1 P $120.000 i 1 15% a.m. $51.879,31 = + ⇒ = − ⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de $3.500 cada, sendo a primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.? 1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento: 3 prestações de $3.500 1 pagamento único para 3 meses n=1, 2, 3 meses O valor do pagamento único deverá ser igual à soma das prestações mensais capitalizada até o terceiro ano: ( ) ( ) 2 P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 $11.033,75= × + × + = 7. Em uma determinada compra, há duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $1.400; e b) dois cheques pré-datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada. Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo? 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $1.400 2 prestações de $736,61 n = 1, 2 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes das prestações: ( ) 2 $736,61 $736,61 $1.400 i = 6% a.m. (1+i) 1+i = + ⇒ Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 8. Na compra de um bem cujo valor à vista é $140, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de $80 no fim dos próximos dois meses. Considerando-se uma taxa de juros efetiva de 20% a.m., qual o valor da entrada? 1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista): Entrada + 2 prestações de $80 P= $140 N = 0, 1, 2 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes dos pagamentos: 12
  13. 13. ( ) ( ) 1 2 $80 $80 $140 E + E $17,78 1,2 1,2 = + ⇒ = 9. Uma casa está sendo vendida por $261.324,40 à vista. Considerando-se que o comprador se propõe a pagar $638.000 daqui a quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $261.324,40 um pagamento de $638.000 daqui a 4 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do pagamento único: ( ) 1/ 4 4 $638.000 $638.000 $261.324,40 i 1 i = 25% a.m. $261.324,401+i ⎛ ⎞ = ⇒ = − ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10. Qual o tempo necessário para que seja triplicada uma população que cresce à taxa composta de 3% a.a.? Dados: S = 3P, i = 3% a.a., n = ? ( ) ( ) n n n S P 1 i 3P = P 1 i 3 (1,03) = + + ⇒ = log 3 aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anos log 1,03 = × ⇒ = = 11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a.. Se os juros ganhos foram de $27.473 sobre um capital investido de $83.000, por quanto tempo o capital ficou aplicado? Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473), P = $83.000, i = 10% a.a., n = ? ( ) n n S = P 1 i $110.473 $83.000 (1,10) + = × log 1,331 aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anos log 1,1 = × ⇒ = = 12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor majorado, 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais de $1.058 cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Considerando-se que o valor à vista é de $2.000, determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $2.000 Entrada = 1,4 × 0,2 × $2.000 = $560 mais 2 prestações de $1.058 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento: ( ) ( ) 1 2 $1.058 $1.058 $2.000 $560 + + i 30% a.m. 1+i 1+i = ⇒ = 13. Um produto cujo preço à vista é $450 será pago em duas prestações mensais consecutivas de $280 e $300, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros embutida na primeira prestação é 10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda. 13
  14. 14. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $ 450 1ª. prestação= $280, 2ª. prestação= $300 i1 = 10% a.m. Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento: ( ) ( ) ( ) 2 2 21 2 2 $280 $300 $300 $450 + 1+i i 23,89% a.m. $195,451,10 1+i = ⇒ = ⇒ = 14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais duas prestações de $170.000 cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações financeiras for 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $320.000 Entrada = 0,2 × $320.000 = $64.000 mais 2 prestações de $170.000 para 3 e 7 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento: ( ) 73 $170.000 $170.000 $320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m. (1+i) 1+i = + ⇒ Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros efetiva cobrada será 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser pago como prestação a cada mês. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P Entrada = 0,2 × P; mais 3 prestações de valor: R= p × P Por equivalência de capitais: ( ) ( ) 2 31 1 2 3 p P p P p P 0,8 P P 0,2 P + p P = p = 35,05% (1+i) 1 1 11+i 1+i (1,15) (1,15) (1,15) × × × × = × + + ⇒ × ⇒ ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Considerando-se que cada prestação é igual a um terço do valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juros cobrada. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P valor das prestações: R= P / 3 Por equivalência de capitais: ( ) 21 P P P 3 3P + i = 0% a.m. 3 (1+i) 1+i = + ⇒ 17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de $2.000 cada, sendo a primeira em um mês. Calcular o valor da entrada, considerando-se que a taxa de juros aplicada é 7% a.m.. 14
  15. 15. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = $6.000 Entrada (E) + 3 prestações de $2.000 cada Por equivalência de capitais: ( ) 31 2 $2.000 $2.000 $2.000 $6.000 E + E = $751,37 (1,07) (1,07) 1,07 = + + ⇒ 18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Considerando-se que o valor do primeiro pagamento é $180.000 e a taxa de juros efetiva aplicada é de 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = $360.000 E= $72.000; R1 = $180.000, R2 = ? Por equivalência de capitais: 2 21 2 R$180.000 $360.000 $72.000 + R = $150.480 (1,10) (1,10) = + ⇒ 19. Uma pessoa pretende, daqui a seis meses, comprar um automóvel no valor de $25.000. Calcular a aplicação necessária a ser efetuada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. Dados: J = $25.000, i = 13% a.m., n = 6 meses, P = ? ( )( ) ( ) n 6 os juros obtidos ao término dos seis meses deverão ser iguais ao valor do veículo: juros = S - P = P 1 i 1 $25.000 = P (1,13) 1 P = $23.106,39 + − − ⇒ 20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. Dados: P = $50.000, S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000), S2 = $53.060,40 ($51.000 + $2.060,40), n2 = n + 2, n = ?, i = ? ( ) n n n 2 2 $51.000 $50.000 (1+i) S P 1 i $53.060,40 $50.000 (1+i) (1+i) $53.060,40 (1+i) i 2% a.m $51.000 ⎧ ⎫= ×⎪ ⎪ = + ⇒ ⎨ ⎬ = × ×⎪ ⎪⎩ ⎭ = ⇒ = aplicando logaritmos: log 1,02 n log 1,02 n 1 mês= × ⇒ = 21. Dois capitais foram aplicados durante dois anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o segundo a 1,5% a.m.. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo, e seu rendimento excedeu em $6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. Dados: i1= 2% a.m.; i2 = 1,5% a.m, P1 – P2 = $10.000 , J1 – J2 = $6.700, n = 24 meses, P1 = ?, P2 = ? ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 24 24 1 2 1 2 2 1 J - J = S - S - P - P $6.700 = P 1,02 P 1,015 $10.000 P = P + $10.000 P =$3.440,52 P =$13.440,52 ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⇒ 22. Dois capitais, o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800, foram aplicados por 40 e 32 dias, respectivamente. Considerando-se que a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital foi 5% a.m. e sabendo-se que esse capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa mensal ganha pelo segundo capital. Dados: n1 = 40 dias, n2 = 32 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, J1 – J2 = $100, i1 = 5% a.m., i2 = ? 15
  16. 16. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 40 30 32 30 2 30 32 2 2 J - J = S - S - P - P $100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600 $1.861,32 i = 1 i = 3,19% a.m. $1.800 × − × + − ⎛ ⎞ − ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a.. Determinar o valor do capital considerando-se que se o montante, ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42. ( )( ) ( )( ) n 0,5 0,50,5 rendimento = P 1 i 1 Montante ao término dos 6 meses: P(1,15) Valor reaplicado ao término dos 6 meses: P(1,15) 0,5P 1,15 1 Rendimento em 3 meses do valor reaplicado: P + − ⎡ ⎤− − ⎣ ⎦ ( )( ) ( )( )0,5 3/120,5 (1,15) 0,5P 1,15 1 1,15 1 $18,42 P= $500⎡ ⎤− − − = ⇒ ⎣ ⎦ 24. Certo capital, após quatro meses, transformou-se em $850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduziu-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação. ( ) ( ) ( ) n Montante ao término de 4 meses: $850,85 Juros ganhos ao término de 4 meses: $850,85 - P Capital menos os juros ganhos em 4 meses: P- $850,85 - P $549,15 P $700 S =P 1 i $850,85=$700 1 i = ⇒ = + × + 4 i 5% a.m.⇒ ≈ 25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. ( )( ) ( ) n 3 3 3 3 juros ganhos = P 1 i 1 Montante ao término de 3 anos: P(1,30) Valor reaplicado ao término dos 3 anos: P(1,30) 0,5P (1,30) 1 Rendimento em 1 anos do valor reaplicado: P(1,30) + − ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ( ) ( )( )13 0,5P (1,30) 1 1,32 1 $102,3,42 P= $200⎡ ⎤− − − = ⇒⎣ ⎦ 26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital inicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. Determinar o valor do capital. Dados: n1 = 50 dias, n2 = 3 meses, P2 = P1 – J1, J2 = $44,02, i = 3% a.m., P1 = ? ( )( ) ( )( )2n 3 2 2 2 2J P 1 i 1 $44,02 P 1,03 1 P = $474,73= + − ⇒ = − ⇒ Por outro lado, 16
  17. 17. ( ){ } ( ){ }1n 5 2 1 1 1 1 1 P = P - J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,03 P = $500 − ⇒ − 0 30 27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m.. Ao término desse prazo, seu montante foi reaplicado durante 11 messes a 3% a.m.. A que taxa mensal única deveria ser aplicado o capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? Dados: n = n1+ n2, n1,= 10 meses, n2 = 11 meses, i1 = 2% a.m., i2 = 3% a.m., i = ? Por equivalência de capitais: ( ) ( ) ( ) 1 2n n n 1 2 10 11 21 P(1+i ) (1+i ) P(1+i) 1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m. × = × ⇒ = 28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido, foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de $1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação. Dados: n1 = 12 meses, P2 = S1 – $600, J1 = $480,83, S2 = $1.226,15, i = 4% a.m., P1 = ?, n2 = ? ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 n1 1 1 1 1 12 1 1 1 n n 2 1 12 n 2 2 S = P + J = P 1+i P + $480,83= P 1,04 P = $800 Por outro lado, S P 1 i S = S $600 1 i $1.226,15 $800 1,04 $600 1,04 aplicando logaritmos: log 1,8 n log 1,04 n 15 meses ⇒ = + ⇒ − + = × − = × ⇒ = 29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma taxa efetiva de 4% a.m.. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros e que a soma do primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totaliza $1.032,91, calcular os capitais e o prazo da aplicação. Dados: P1 = 2 × P2, J1 = $400, P1 + J2 = $1.032,91, i = 4% a.m., P1 = ?, P2 = ?, n = ? ( )( ) ( ) ( ) n n n 2 2 juros ganhos pelo primeiro capital: J P 1 i 1 $200 $400 = 2 P 1,04 1 1,04 1 P = + − ⎡ ⎤× − ⇒ = ⎣ ⎦ + Por outro lado, ( ) ( ) n 21 n =1 2 2 22 2 primeiro capital mais juros do segundo: P P 1,04 1 $1.032,91 substituindo o valor de 1,04 na equação anterior e P 2P : $200 2P P 1 1 $1.032,91 P = $416,46 P × × ⎡ ⎤+ − = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + − = ⇒⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1P = $832,91 17
  18. 18. ( ) ( ) n 2 n $200 1,04 1 P $200 1,04 1 1,48 $416,46 aplicando logaritmos: log 1,48 n log 1,04 n 10 meses = + = + = = × ⇒ = 30. Dois capitais, o primeiro de $1.000 e o segundo de $227,27, foram aplicados a juros efetivos de 20% a.a.. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um rendimento de $100 a mais. Calcular os prazos das duas aplicações. Dados: P1 = $1.000, P2 = $227,27, J1 – J2 = $100, i = 20% a.a., n1 = n2/2, n1 = ?, n2 = ? ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 n 2 n n 1 2 J - J = S - S - P - P $100 = $1.000 1,20 $227,27 1,20 $772,73 1,20 1,20 n = 1 ano n = 2 anos × − − = ⇒ ⇒ 31. Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos 20% a.a.. Ao término desse prazo, um terço dos juros ganhos foi reaplicado à taxa efetiva de 25% a.a., obtendo-se uma remuneração semestral de $34,62. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. ( )2 Juros ganhos ao término de 2 anos: P (1,20) 1− ( ) ( ) ( ) 2 2 0,5 1 o valor reaplicado é igual a um terço dos juros ganhos: P (1,20) 1 3 rendimento do valor reaplicado ao término de 1 semestre: 1 P (1,20) 1 (1,25) 1 $34,62 P = $2.000 3 ⎡ ⎤ × −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ × − − = ⇒⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 32. Um capital foi aplicado durante 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital e os juros ganhos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $12.342,82 ao ano. Calcular o capital. Dados: n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, J2 = $12.342,82, P2 = P1 – J1 + $10.000, i = 3% a.m., P1 = ? ( )( ) ( )( ) 2n 2 2 12 2 2 J P 1 i 1 $12.342,82 P 1,03 1 P = $28.990 = + − = − ⇒ Por outro lado, ( ){ } ( ){ }1n 5 2 1 1 1 1 1 P - $10.000 = P - J = P 2 1+i $18.990 = P 2 1,03 P = $20.000 − ⇒ − 0 30 33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 3 meses a juros efetivos de 5% a.m., e o segundo por 10 meses a 4% a.m.. Sabendo-se que os juros pagos pelos dois empréstimos totalizaram $11.181,14 e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor total dos empréstimos. Dados: i1 = 5% a.m., n1 = 3 meses, i2 = 4% a.m, n2 = 10 meses, 2 x P1 = P2, J1 + J2 = $11.181,14, P1 = ?, P2 = ? ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3 10 1 1 2 J + J = S + S - P + P $11.181,14 = P 1,05 2 1,04 3 P =$10.000 P =$20.000 ⎡ ⎤+ × − ⎣ ⎦ ⇒ Valor total dos empréstimos = $10.000 + $20.000 = $30.000 18
  19. 19. 34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam. Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 10% a.m, P1 = 3 × P2, S1 = S2, n = ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n n 1 2 n n 2 2 S S P 1,05 P 1,10 3 P 1,05 P 1,10 1,04762 3 n = = × = ⇒ = aplicando logaritmos: log 3 n log 1,04762 n 23,6159 meses = 23 meses e 18 dias= × ⇒ = 35. Uma empresa tem duas dívidas. A primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m., vence em 48 dias, e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo banco no desconto do título. Dados: i1 = 3% a.m., n1 = 48 dias, i2 = 4% a.m, n2 = 63 dias, D1 = $10.000, D2 = $15.000, P = $27.033, n = 90 dias, i = ? Por equivalência de capitais: ( ) 63 3090 30 48 30 $27.033 $10.000 $15.000 i = 5% a.m. (1+i) (1,03) 1,04 = + ⇒ 36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5%a.m.? Dados: J = P; i = 5% a.m.; n = ? ( ) ( ) ( ) n n n J P 1 i 1 P =P 1,05 1 1,05 2 ⎡ ⎤= + − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤− ⇒ = ⎣ ⎦ aplicando logaritmos: log 2 n log 1,05 n 14,2067 meses 427 dias= × ⇒ = ≈ 37. Quanto tempo é necessário para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros efetivos de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10? Dados: P = $8.000, S = (10/4) x P, i = 4% a.m., n = ? ( ) ( ) n n n P 4 10P 1 i $8.000 4 1,04 2,5 10$8.000 (1,04) = + = ⇒ = × aplicando logaritmos: log 2,5 n log 1,04 n 23,3624 meses = 23 meses e 11 dias= × ⇒ = 38. Três dívidas, a primeira de $2.000 com vencimento em 30 dias, a segunda de $1.000 com vencimento em 60 dias e a terceira de $3.000 com vencimento em 90 dias serão liquidadas por meio de um pagamento único de $6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar daqui a quanto tempo deve ser efetuado esse pagamento. Dados: i = 3% a.m., n1 = 30 dias, n2 = 60 dias, n3 = 90 dias, D1 = $2.000, D2 = $1.000, D3 = $3.000, P = $6.000, n = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais: 19
  20. 20. ( ) ( ) n 2 3n 30 1 $6.000 $2.000 $1.000 $3.000 (1,03) 6,7581 (1,03) (1,03) 1,03 1,03 = + + ⇒ = aplicando logaritmos: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias= × ⇒ = 39. Quanto tempo é necessário para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros efetivos de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m.? Dados: i1 = 6% a.m., i2 = 4% a.m, P1 = $5.000, P2 = $8.000, n = ? ( ) ( ) ( ) ( ) n n n S P 1 i $5.000 1,06 $8.000 1,04 1,01923 1,6 = + × = × ⇒ = n aplicando logaritmos: log 1,6 n log 1,01923 n 24,67444 meses = 740 dias= × ⇒ = 40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere o ano civil). Dados: i= 1% a.m., P = $7.000, J = ? n= 03/04 até 06/06 = 157-93 n= 64 dias⇒ ( ) ( ) n 64 30 J P 1 i 1 $7.000 1,01 1 $150,18⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? Dados: S = 2 x P, n = 42 meses, i = ? ( ) ( ) n 42 12 S P 1 i 2 P = P 1 i i = 21,9% a.a. = + × + ⇒ 42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d.. Determinar o rendimento ganho entre o 46o e o 87o dia . Dados: i= 0,1% a.d., P = $20.000, n1 = 46 dias, n2 = 87 dias, = ?2 1J - J ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 n n n 2 1 87 46 2 1 2 1 J = P 1 i 1 J - J = P 1 i 1 1 i 1 J - J = $20.000 1,001 1,001 J - J = $875,98 + − + − − + + ⎡ ⎤− ⇒ ⎣ ⎦ 43. Duas dívidas, uma de $20.000 e outra de $30.000, com vencimento em 2 e 4 meses, respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor desse pagamento. Dados: i= 5% a.m., n1 = 2 meses, n2 = 4 meses, D1 = $20.000, D2 = $30.000, n = 3 meses, P = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais: ( ) 43 2 P $20.000 $30.000 P = $49.571,43 (1,05) (1,05) 1,05 = + ⇒ 44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a 8 meses. Para tanto, pretende efetuar duas aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m.. A primeira aplicação, de $10.000, foi efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de modo que a pessoa possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês? Dados: i = 3% a.m., n1 = 8 meses, n2 = 7 meses, P1 = $10.000, D = $20.000, n = 8 meses, P2 = ? 20
  21. 21. (data focal = 1 mês) Por equivalência de capitais: 1 1 2 n-1 1 2 2 7 D P (1+i) + P (1+i) $20.000 $10.000 (1,03) + P P = $5.961,83 (1,03) = × = × ⇒ 45. Um empréstimo de $5.000, contratado à taxa efetiva de 5% a.m., será liquidado por meio de 5 pagamentos mensais consecutivos, sendo o primeiro daqui a 30 dias. Considerando-se que o valor de cada um dos 4 primeiros pagamentos é $1.000, determinar o valor do último pagamento. Dados: i = 5% a.m., ni = i meses, D = $5.000, P1-4 = $1.000, P5 = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais: ( ) ( ) ( ) 5 5 2 4 51 3 $1.000 $1.000 $1.000 $1.000 P $5.000 P = $1.855,78 (1,05) (1,05)1,05 1,05 1,05 = + + + + ⇒ 46. Determinar o capital que, aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% a.m., produz um montante que excede em $500 o montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% a.m. Dados: i= 4% a.m, n = 3 meses, S1 = S2 +$500, P = ? ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 2 3 S P 1 i S P 1 n i P 1,04 = P 1 +3 0,04 $500 P = $102.796,05 e= + = + × × + ⇒ 47. Um capital aplicado a uma determinada taxa de juros efetiva mensal rendeu, no prazo de dois anos, um valor igual a um quarto do próprio capital. Determinar a taxa de juros à qual foi aplicado. Dados: n = 2 anos, Capital = P, Rendimento = 0,25P, i =? [ ] a.m0,9341%009341,0iP0,251i)(1P 2 ==⇒×=−+ 48. Uma pessoa depositou $1.000 em um fundo que paga juros efetivos de 5% a.m., com o objetivo de dispor de $1.102,50 dentro de 60 dias. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% a.m.. Quanto tempo adicional, além dos 60 dias inicialmente previstos, a pessoa terá de esperar para obter o capital requerido? Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 4% a.m., n1 = 24 dias, P1 = $10.000, S2 = $1.102,50, P2 = S1, n2 = ? ( ) ( ) n 24 30 1 1 S P 1 i S $10.000 1,05 S P = $10.398,04 = + = × ⇒ = 2 Por outro lado, ( )( ) ( ) 2 2n - 24 30 n - 24 2S $1.102,50 $1.039,80 1,04 1,04 5,7925= = × ⇒ = ( )2aplicando logaritmos: log 5,7925 n - 24 log 1,04 n 69 dias Dias adicionais: 69 -60 = 9 dias a mais = × ⇒ = 49. Um capital de $4.000 foi aplicado dividido em duas parcelas. A primeira à taxa efetiva de 6% a.t., e a segunda a 2% a.m.. Considerando-se que após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela. Dados: i1 = 6% a.t., i2 = 2% a.m, P1 = $4.000 – P2, S1 = S2, n = 8 meses, P1= ?, P2 = ? 21
  22. 22. ( ) ( )( ) ( ) n 8 3 8 2 2 2 1 S P 1 i $4.000 P 1,06 P 1,02 P = $1.996,69 P = $2.003,04 = + − = ⇒ ⇒ 50. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? (considere o ano civil) Dados: S = 2 × P, i = ? n= 11/07 até 22/12 = 356-192 n= 164 dias⇒ ( ) ( ) n 164 30 S P 1 i 2 P= P 1 i i = 13,52% a.m. = + × + ⇒ 51. Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva trimestral de 12% a.t.. Considerando-se que ele foi liquidado após 60 dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento. Dados: i = 12% a.t., n = 2 meses, P = $5.000, J = ? ( ) ( ) n 2 3 J P 1 i 1 $5.000 1,12 1 $392,40⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 52. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros efetivos de 5% a.m. pelo prazo de 25 dias. Dados: i = 5% a.m., n = 25 dias, P = $2.000, J = ? ( ) ( ) n 25 30 J P 1 i 1 $2.000 1,05 1 $82,99⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 53. Um empréstimo de $5.000 foi tomado a juros efetivos em 14 de abril e liquidado por $5.850 em 28 de maio do mesmo ano. Determinar a taxa efetiva mensal contratada. (considere o ano civil) Dados: S = $5.850, P = $5.000, i = ? n= 14/04 até 28/05 = 148-104 n= 44 dias⇒ ( ) ( ) n 44 30 S P 1 i $5.850 $5.000 1 i i 11,2988% a.m. = + = + ⇒ = CAPÍTULO 3 Exercícios Propostos Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias. 1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. Dados: ia = 48% a.a. 2 4 12 360 a s t m d 1/12 m a 1/4 t a 1/2 s a (1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i ) i =(1 + i ) - 1 = 3,32% a.m. i =(1 + i ) - 1 = 10,30% a.t. i =(1 + i ) - 1 = 21,66% a.s. 22
  23. 23. 2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral equivalentes à taxa nominal de 60% a.a. capitalizada mensalmente. Dados: j = 60% a.a., k = 12, m = 1 k m 12 a a 2 4 12 360 a s t m d 1/12 m a 1/4 t a 1/2 s a j 0,60 (1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 1,796 k 12 (1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i ) i =(1 + i ) - 1 = 5,00% a.m. i =(1 + i ) - 1 = 15,76% a.t. i =(1 + i ) × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ - 1 = 34,01% a.s. 3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral. Dados: j = 60% a.a., m = 1 k m a 360 a 12 a 4 a j (1 + i ) = 1+ k 0,60 Diária (k=360) i = 1+ - 1 = 82,12% a.a. 360 0,60 Mensal (k=12) i = 1+ - 1 = 79,59% a.a. 12 0,60 Trimestral (k=4) i = 1+ - 1 = 74,90% a.a. 4 Semestral (k= × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 a 0,60 2) i = 1+ - 1 = 69,00% a.a. 2 ⎛ ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. Dados:ia = 40% a.a., m = 1 k m 1 k m a a 1 12 1 4 1 2 j (1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×k k Mensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a. Trimestral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a. Semestral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a × ×⎛ ⎞ ⎡ ⎤⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦ ⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦ ⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦ .a. 5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um montante de $23.000 em 7 meses? Dados: P = $13.000, S = $23.000, m = 7/12, k = 12, j = ? % a.a. ( ) k m 1 k m 1 12 7 12 j S S = P 1+ j = 1 ×k k P $23.000 j = 1 ×12= 101,90% a.a. $13.000 × × × ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 6. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em um montante de $36.204,48, por quantos meses o capital ficou aplicado? Dados: P = $18.000, S = $36.204,48, j = 180% a.a., k =12, m = ? anos 23
  24. 24. ( ) k m 12 m 12 m j S = P 1+ k 1,80 $36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,011 12 × × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = aplicando logaritmos: log 2,011=12×m×log 1,15 m= 5 meses⇒ 7. Determinar: a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente. Dados: j = 120% a.a., k = 12, m = 2/12 anos, i = ? k m a 2 4 12 360 a s t m d j (1 + i ) = 1+ k (1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i ) × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( )12 2 12 1,20 i = 1+ 1 21% 12 × ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada semestralmente. Dados: j = 120% a.a., k = 2, m =18/12 anos, i = ? ( )2 18 12 1,20 i = 1+ 1 309,60% 2 × ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c) a taxa nominal anual capitalizada mensalmente equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias. Dados: ib = 10% a.b., k = 12, m = 1 ano, j = ? % a.a. k m 6 6 a b b 6 12 1 j (1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k k j = (1,10) 1 ×12 = 58,57% a.a. × × × ⎛ ⎞ k m ⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ d) a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à taxa efetiva de 15% a.s.. Dados: is = 15% a.s., k = 4, m = 1 ano, j = ? % a.a. k m 2 2 a s s 2 4 1 j (1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k k j = (1,15) 1 ×4 = 28,95% a.a. × × × ⎛ ⎞ k m ⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada diariamente. Dados: j = 24% a.a., k = 360, m = 41/360 anos, i = ? ( )360 41 360 0,24 i = 1+ 1 2,77 % 360 × ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente. Dados: j = 24% a.s., k = 180, m = 41/180 anos, i = ? ( )180 41 180 0,24 i = 1+ 1 5,62 % 180 × ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 24
  25. 25. 8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres. Dados: j = 90% a.a., k = 12, m = 1 k m 12 a a 2 4 12 360 a s t m d j 0,90 (1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 2,382 k 12 (1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i ) × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 180 dias 1/2 180 dias ai =(1 + i ) - 1 = 54,33% 3 meses 1/4 3 meses ai =(1 + i ) - 1 = 24,23% 5 trimestres 5/4 5 trimestres ai =(1 + i ) - 1 = 195,89% 7 semestres 7/2 7 semestres ai =(1 + i ) - 1 = 1.985,24% 9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seria o rendimento em 11 meses? Dados: P = $18.000, S1 = $22.200, n1 = 4 meses, n2 = 11 meses, S2 = ? ( ) ( ) ( ) n 4 m m S = P 1+i $22.200 $18.000 1+i 1+i 1,0538= ⇒ = Por outro lado, ( ) 11 2 m 2 S = $18.000 1+i $32.043,78 J = S - P = $14.043,78 = 10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizada mensalmente de modo a obter um montante de $76.000 após quatro meses? Dados: S = $76.000, j = 84% a.a., m = 4/12 anos, k = 12, P = ? ( ) k m 12 4 12 j S = P 1+ k 1,84 $76.000 P 1+ P $57.980,04 12 × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir: Prazo Taxa nominal Capitalização a) 3 meses 48% a.s. mensal b) 2 anos 18% a.a. mensal c) 17 dias 35% a.m. diária k m j S = P 1+ k × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a) Dados: P = $2.000, j = 48% a.s., m = 3/6 semestres, k = 6, S = ? 3 0,48 S = $2.000 1+ $2.519,42 6 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 25
  26. 26. b) Dados: P = $2.000, j = 18% a.a., m = 2 anos, k = 12, S = ? 12 2 0,18 S = $2.000 1+ $2.859,01 12 × ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c) Dados: P = $2.000, j = 35% a.m., m = 17/30 meses, k = 30, S = ? 17 0,35 S = $2.000 1+ $2.435,94 30 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12. A juros nominais de 48% a.a., capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um capital de $10.000 rende juros de $3.685,69. Dados: P = $10.000, S = $13.685,69, j = 48% a.a., k = 12, m = ? anos ( ) k m 12 m 12 m j S = P 1+ k 0,48 $13.685,69 $10.000 1+ 1,04 1,368 12 × × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m= 8 meses= × × ⇒ 13. Para os prazos a seguir, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.: a) 8 meses 8/12 8 mesesi =(1,48) - 1 = 29,87% b) 11 meses 11/12 11 mesesi =(1,48) - 1 = 43,24% c) 18 dias 18/360 18 diasi =(1,48) - 1 = 1,98% d) 3 meses 3/12 3 mesesi =(1,48) - 1 = 10,30% e) 420 dias 420/360 420 diasi =(1,48) - 1 = 57,99% f) 7 meses e 12 dias 222/360 7 meses e 12 diasi =(1,48) - 1 = 27,35% 14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada mensalmente, ou à de 264% a.a., capitalizada bimestralmente? Dados: j1 = 240% a.a., k1 = 12, j2 = 264% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, i1 = ? % a.a., i2 = ? % a.a. ik m i i i 12 1 1 6 2 2 j (1 + i ) = 1+ k 2,40 (1 + i ) = 1+ i = 791,61% 12 2,64 (1 + i ) = 1+ i = 791,61% 6 × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 26
  27. 27. As alternativas são equivalentes! 15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a., capitalizada bimestralmente? Dados: j1 = 565,98% a.a., j2 = 480% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, k1 = ? 1 2 1 k m k m 1 2 1 2 k 6 1 j j 1+ = 1+ k k 5,6598 4,80 1+ = 1+ 34,01 k 6 × × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 5,6598 aplicando logaritmos: log 34,01 3,5266 k log 1+ k Oras, sabemos que k é um divisor de 12, então testando valores obtemos k = 4 ⎛ ⎞ = = × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Logo, a capitalização é trimestral! 16. Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a., capitalizada mensalmente ? Dados: S = 2 x P, j = 227,05% a.a., k = 12, m = ? anos ( ) k m 12 m 12 m j S = P 1+ k 2,2705 2 1+ 1,189 2 12 × × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = aplicando logaritmos: log 2=12×m×log 1,189 m= 4 meses⇒ 17. Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. Considerando-se a cobrança de um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela aplicação. Dados: P = $12.000, J = $2.300, Imposto = 2%, im = ? a) Rendimento efetivo em 14 meses: [ ] rendimento efetivo juros brutos - imposto $2.3000 0,02 $2.300 $2.254 = = − × = b) Taxa de rendimento efetivo mensal: 1 14 m $2.254 i 1 1 1,2371% a.m. $12.000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ eses à taxa efetiva de 45% a.a.. ados: P = $17.8000, i = 45% a.a., m = 7 meses, J = ? 18. Calcular o rendimento de $17.800 aplicados por sete m D ( ) 7 12n J = P (1+i) 1 = $17.800 1,45 1 $4.308,10⎡ ⎤⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 19. Um capital de $24.000 aplicado à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu ados: P = $24.000, S = $29.040, j = 120% a.a., k = 12, m = ? $5.040. Determinar o prazo da operação. D 27
  28. 28. ( ) k m 12 m 12 m j S = P 1+ k 1,20 $29.040 $24.000 1+ 1,21 1,1 12 × × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = × ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ' aplicando logaritmos: log 1,21=12×m×log 1,1 m= 2 meses⇒ 20. Em sete meses, um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000. Considerando- se um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o valor aplicado, calcular a taxa de juros efetiva mensal ganha na aplicação. Dados: P = $15.000, J = $4.000, Imposto = 3%, Comissão = 1,5%, im = ? a) Rendimento efetivo em 14 meses: [ ] [ ] rendimento efetivo juros brutos - imposto - comissão $4.0000 0,03 $4.000 0,015 $15.000 $3.655 = = − × − × = b) Taxa de rendimento efetivo mensal: 1 7 m $3.655 i 1 1 3,1642% a.m. $15.000 ⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 21.Um investimento rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular a taxa efetiva anual. Dados: j = 6% a.a., k = 12, m = 1 ano, ia = ? k m a 12 a j (1 + i ) = 1+ k 0,06 i = 1+ 1 6,1678% 12 × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 22. Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o Banco B cobra juros nominais de 27% a.a., capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente? Dados: i = 30% a.a., j = 27% a.a., k = 12, m = 1 ano a k×m 12 a Taxa efetiva anual: Banco A i =30% a.a. j 0,27 Banco B i = 1+ - 1= 1+ - 1=30,60% a.a. k 12 O oferta A é a melhor para o cliente. Representa a menor taxa efetiva ⇒ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a., capitalizados semestralmente, resultou em um montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. Dados: S1 = $10.000, S2 = $15.735,19, j1 = 24% a.a., j1 = 48% a.a., k1 =2, k2 = 4. P = ?, m = ? anos [ ] k m m2 m j S = P 1+ k 0,24 $10.000 $10.000 P 1+ P 2 1,2544 × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ = ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Por outro lado, 28
  29. 29. [ ]$15.735,19 P 1+ 1,2544 1,5735 4 = ⇒ =⎢ ⎥ k m m4 m j S = P 1+ k 0,48 × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ aplicando logaritmos: log 1,5735 m log 1,2544 m= 2 anos P= $6.355,18= × ⇒ ⇒ 24. Em que prazo um capital de $75.000, aplicado à taxa nominal de 22% a.a., capitalizada semestralmente, resulta em um montante de $ 155.712? Dados: P = $75.000, S = $155.712, j = 22% a.a., k = 2, m = ? ( ) 2 m $155.712 $75.000 1+ 2,076 1,11 2 k m 2 m j S = P 1+ k 0,22 × × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ' 25. Dois capitais foram aplicados. O primeiro de $8.000, à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada trimestralmente, e o segundo de $33.800,80, à taxa nominal de 10% a.a., capitalizada semestralmente. Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? Dados: P1 = $8.000, P2 = $33.800,80, j1 = 20% a.a., j1 = 10% a.a., k1 = 4, k2 = 2, J1 = J2, m = ? anos = ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ aplicando logaritmos: log 2,076=2×m×log 1,11 m= 42 meses⇒ ( ) k m 4m 2m 2m j rendimento: J = P 1+ 1 k 0,20 0,10 $8.000 1+ -1 = $33.800,80 1+ -1 4 2 1,05 3,2251 × ⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⇒ = ⎤ ⎥ ⎥⎦ aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m = 12 anos= × ⇒ 26. Um capital de $12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a.. Calcular o montante, considerando-se que, no primeiro ano, os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, trimestralmente, e no terceiro, bimestralmente. Dados: P = $12.600, j = 22% a.a., k1 = 2, k2 = 4, k3 = 6, m1 = 1 ano, m2 = 1 ano, m3 = 1 ano, S = ? k m 2 4 S = P 1+ k ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 j $23.870,48 × ⎛ ⎞ 0,22 0,22 0,22 S $12.600 1+ 1+ 1+ S 2 4 6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⇒ 27. Um capital de $12.500 aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação. Dados: P = $12.500, j = 24% a.a., k = 2, S = $24.672,78, m = ? anos =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ 29
  30. 30. ( )$24.672,78 $12.5 0 1 1,9738 1,12 2 k m 2 m j S = P 1+ k 0,24 0 + × × 2 m× ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ' = ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒ 28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizada trimestralmente. Considerando-se o prazo de aplicação de quatro anos e sabendo-se que o rendimento ( juros obtidos) da primeira parcela foi $4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital. Dados: P1 = (3/4) x P, P2 = (1/4) x P, J1 – J2 = $4.726,04, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 12% a.s., k2 = 2, m,=,4 anos = 8 semestres, P = ? ( ) k m j S P 1 J - = S - S - P - P × ⎛ ⎞ 1 2 1 2 1 2 2 4 2 8 k 3 0,2 1 0,12 1 $4.726,04 = P 1 1 P= $10.000 4 2 4 2 2 × × J= +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 29. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $9.738,23. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o rendimento seria de $28.959,76. zo da aplicação em anos e calcular o valor do capital. ⇒ Determinar o pra Dados: J = $9.1 738,23, J2 = $28.959,76, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ? ( ) k×m 2×m 2×m j J = P 1+ -1 k 0,24 $9.738,23 $9.738,23 = P 1+ -1 1,12 = 1 2 P ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Por outro lado, k×m 4×m 2 j J = P 1+ -1 k 0,48 $28.959,76 = P 1+ 1 4 $9.738,23 $28.959,76 = P 1 -1 P $9.738,23 $28.959,76 = $9.738,23 2 P= $10.000 P ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + ⇒⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2×m $9.738,23 $9.738,23 1,12 = 1 1 P $10.000 + = + 2×m 1,12 = 1,9738 aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒ 30. Um capital aplicado durante quatro anos à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu de juros $12.252 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. Calcular o alor do capital. ados: J1 – J2 = $12.252, j = 12% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 4 anos, P = ? v D 30
  31. 31. ( ) k m j S P 1 × ⎛ ⎞ = + ⇒⎜ ⎝ 1 2 1 2 1 2 12 4 2 4 J - J = S - S - P - P k 0,12 0,12 $12.252 = P 1 1 P= $666.666,56 12 2 × × ⎟ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes, de modo que, aplicadas à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada semestralmente, produzam, respectivamente, montantes iguais em dois, três e cinco nos, considerando-se que a diferença entre o primeiro e o segundo capital é de $205.627,30.a Dados: P1 – P2 = $205.627,30, P1 + P2+ P3 = $2.832.774, j = 20% a.a., k = 2, m1= 2 anos, m2 = 3 anos, m3 = 5 anos, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ? ( ) 1 2k m k m j j × × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 2P 1 = P 1 k k + + 2 2 2 3 2 2 2 1 3 0,2 0,2 P + 205.627,30 1 = P 1 P = $979.177,61 2 2 P = $1.184.804,92 P = $668.791,47 × × ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ 32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a., ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ capitalizada semestralmente, e o segundo, à de 18% a.a., capitalizada trimestralmente. Considerando- se que os juros obtidos pelo primeiro capital excederam em $6.741,00 os juros obtidos pelo segundo e que o primeiro é $10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais. Dados: P1 – P2 = $10.000, J1 – J2 = $6.741, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 18% a.a., k2 = 4, m = 2 anos, P1 = ?, P = ?2 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 1 J - J = S - S - P - P 0,20 0,18 $6.741 = P + $10.000 1 - P 1 $10.000 2 4 P = $50.000,73 P = $60.000,73 × × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ Um capital foi aplicado durante cinco anos à taxa nominal de 5.5% a.a., capitalizada ? 33. semestralmente, e a seguir seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos. A que taxa efetiva anual única o capital poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? Dados: j1 = 5,5% a.a., k = 2, i = 4% a.a., m = 5 anos, n = 10 anos, n = 15 anos, i =1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k m n 2 5 10 15 15 j S = P 1+ P 1+i k 0,055 1+ 1+0,04 1+i 1+i 1,9416 i = 4,5226% a.a. 2 × × ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 34. Uma pessoa precisa de $10.000 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) a juros nominais de 5% a.a., capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a., capitalizada semestralmente; e c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor oferta? Dados: j1 = 5% a.a , k1 = 4, j2 = 5,375% a.a , k2 = 2, i3 = 5,5% a.a., n = 2 anos 31
  32. 32. ( ) k×m 4×2 k×m 2×2 Juros pagos: j 0,05 Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86 k 4 j 0,05375 Oferta B = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $ .119,12 k 2 Oferta C = P 1+i n - P = $10.0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ × ( )00× 1+0,055 2 -$10.000 = $1.100,00 A oferta A é a melhor para o cliente. Paga-se menos juros nela. × to ados: P1 = $20.000, P2 = J1, j1 = 18% a.a., j2 = 12% a.a., k1 =2, k2 = 4, m1 = 4 anos, m2 = 15/12 anos, J2 = ? 1 35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000 durante quatro anos à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros obtidos foram reaplicados l de 12% a.a., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimenpor mais 15 meses à taxa nomina essa última aplicação.d D k m j × equação para calcular os juros: J = P 1+ 1 k ⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 4 2 1 2 0,18 P = J = $20.000 1+ 1 P = $19.851,25 2 × ⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ o l ⎢ ⎥⎣ ⎦ or outr ado,P ( )4 15 12 2 2 0,12 J = $19.851,25 1+ 1 J = $3.161,79 4 × ⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 6. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a.. Considerando-se que o investidor tem i =(1 + i ) - = 8,78% a.t. A oferta B (9% a.t.) oferece maior taxa efetiva, portanto maior rentabilidade para o cliente! 37. Um investidor aplicou $25.000 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade efetiva de 100% a.a.. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros obtidos ao fim de 20 meses. 5.000, i = 100% a.a., n = 20 meses, J = ? 3 condições de ganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida? Dados: i1 = 40% a.a, i2 = 9% a.t 2 4 12 360 a s t m d(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i ) 1/4 t1 a 1 Dados: P = $2 ( ) ( ) n 20 12 J P 1 i 1 J $25.000 2 1 J $54.370,05 ⎡ ⎤= + − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − ⇒ = ⎣ ⎦ 38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $2.294,08. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $9.903,85. Calcular o capital e o prazo da aplicação. Dados: J1 = $2.294,08, S2 = $9,903,85, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ? 32
  33. 33. ( ) k×m 2×m 2×m j J = P 1+ -1 k 0,24 $2.294,08 $2.294,08=P 1⎢⎜ ⎝ + -1 1,12 = 1 2 P ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎥⎟ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Por outro lado, k×m j J = P 1+ -1 k ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥ 22×m ⎡ ⎤ 2 0,48 $9.903,85=P 1+ 4 $2.294,08 $9.903,85=P 1 P $2.294,08 P $9.903,85=$2.294,08 2 P= $4.000 P $2.294,08 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + ⇒⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 39. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 200% em dez anos. Qual foi a taxa de crescimento anual média? Dados: idécada = 200% a.d., i = ? 1.61% a.a. 40. Em 12/10/2006, um foi aplicado à taxa nom a.a., capitalizada diariamente. C cu s os m n r a ivil). Dados: j = 36% a. k = 5, $ = = nd t c g s iv tre as duas datas (capítulo 1 do livro): e s r d v ro) = +328 e e te e = −285 ⎢ ⎥⎣ ⎦ aplicando logaritmos: log 1,5735=2×m×log 1,12 m= 2 anos⇒ a 10 1/10 década a a d(1 + i ) = (1 + i ) i =(1 + i ) - 1 = 1⇒ capital de $2.300 inal de 36% al lar o jur acu ulados em 24/11/2007 (co side ar o no c a., 36 P = 2.300, m ?, J ? Determinação do prazo usa o a ábua para onta em de dia do ano c il en número d dias da data po terio (24 e no emb núm ro d dias da data an rior (12 d outubro) prazo: 43 dias Prazo total = 365 + =43 408 dias k m× 408 j + ⎞ J P ⎛ ⎢ 1 1 0 $ 8 = k ⎟ ⎠ 0,36 ⎞ J $2.3 0 ⎢ ⎥1+ 1− J = 1.13 ,80 365 ⎠ ⎡ ⎤ − ⎛ = × ⎜ ⎝ bu a o e e e s a ⎥⎜ ⎝⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⇒⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Tá a p ra c ntag m d dias entr dua dat s J .AN FEV. MAR ABR . MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ. 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 33
  34. 34. 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 90 151 212 243 304 365 41. Em 31/12/2005, uma pessoa aplicou $10.000 à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada diariamente. 30/06/2007 (considerar o ano civil). Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k =365, P = $10.000, m1 = ?, m1 = ?, S = ? Considerando-se que, a partir de 01/01/2007, a taxa nominal passou a ser de 20% a.a., calcular o valor de resgate da aplicação no dia 1 1 2 2 m = 31/12/2005 até 01/01/2007 m = 366 dias m = 01/01/2007 até 30/06/2007 m = 180 dias ⇒ ⇒ k m 366 180 j S P 1+ k ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0,24 0,20 S $10.000 1+ 1+ S $14.037,98 365 ⎞ ⎛ ⎞ = × ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 365 × ⎝ ⎠ 42. Uma aplicação foi feita em duas parcelas. A primeira por quatro anos à taxa nominal de 28% a.a., com capitalização trimestral, e a segunda por dois anos à taxa nominal de 12% a.s., com capitalização mensal. Considerando-se que a primeira parcela excede em $100 a segunda e a diferença dos juros obtidos entre as duas é de $1.404,57, calcular o valor do capital. Dados: P1 – P2 = $100, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 28% a.a., k1 = 4, j2 = 12% a.s., k2 = 6, m1 = 4 anos, m2 4 semestres, P = P + P = ? ⎝ ⎠ = 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 4 4 6 4 2 2 J - J = S - S - P - P 0,28 0,12 $1.404,57 = P + $100 1 - P 1 $100 × × 2 4 6 P = $900 P = $1.000 P= $1.900 ⎝ ⎠ ⎠ ⇒ ⇒1 ⎛ ⎞ 43. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses: nos primeiros três meses à taxa de 24% a.a., capitalizada mensalmente, e nos 8 últimos meses à taxa de 36% a.s., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento da aplicação. Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 36% a.s., k1 = 12, k2 = 2, P = $4.000, m1 = 3 meses, m2 = 8 meses, J = ? ⎛ ⎞ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ k m 3 2 J P 1+ 1 k 0,24 0,36 J=$4.000 1+ 1+ 1 $1.910,50 12 2 j × ⎡ ⎤⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ eses: nos primeiros 11 meses à taxa de 48% a.a., capitalizada mensalmente, nos 12 meses seguintes à taxa de 40% a.s., capitalizada trimestralmente, e nos últimos 2 meses à taxa de 36% a.a., capitalizada bimestralmente . Calcular o montante final. Dados: j1 = 48% a.a., j2 = 40% a.s., j3 = 36% a.a., k1 = 12, k2 = 2, k3 = 6, P = $6.000, m1 = 11 meses, m2 = 12 meses, m1 = 2 meses, S = ? ⎢ ⎥⎣ ⎦ 44. Um capital de $6.000 foi aplicado por 25 m 34
  35. 35. k m 12 (11/12) 2 (12/ 6) 6 (2/12) j S P 1+ k 0,48 0,40 0,36 S $6.000 1+ 1+ 1+ $20.302,47 12 2 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 45. Dois terços × × × × ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = × × = de um capital foram aplicados por dois anos à taxa de 18% a.s., capitalizada a.t., capitalizada ensalmente. Considerando-se que o valor do capital é de $12.000 e o rendimento da primeira parcela é $4.048,79 maior que o rendimento da segunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela. Dados: P1 = $8.000, P2 = $4.000, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 18% a.s., k1 = 3, j2 = 18% a.t., k2 = 3, m1 = 4 semestres, m2 = ? bimestralmente, e o restante foi aplicado por um determinado prazo à taxa de 18% m ( ) ( ) 23 m 1,06 2,012 × = 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 m J - J = S - S - P - P × × 46. Um capital foi aplicado por 18 meses a juros nominais de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Se inal fossem semestrais, o rendimento seria $1.000 menor. Calcular o alor do capital. Dados: J1 – J2 = $1.000, j = 24% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 18 meses, P1 = P2 = P = ? 0,18 0,18 $4.048,79 = $8.000 1 - $4.000 1 $4.000 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ aplicando logaritmos: log 2,012=3×m×log 1,06 m= 4 trimestres = 1 ano⇒ as capitalizações da taxa nom v ( )1 2 1 2 1 2 18 3 J - J = S - S - P - P $1.000 = P 1 ⎡ ⎤⎛ 0,24 0,24 P = $42.884,87 ⎞ ⎛ ⎞ ⇒1 12 2 + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 47. Calcular o prazo em que um capital dobra quando aplicado a juros nominais de 120,17% a.a., capitalizados diariamente. Dados: S = 2 × P, j = 120,17% a.a., k = 360, m = ? ( ) k m 360 m 360 m j S P 1 k 1,2017 2 1 1,00334 2 360 × × × ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ aplicando logaritmos: log 2=360×m×log 1,00334 m= 208 dias⇒ que prazo devemos aplicar um capital a48. A juros nom trimestralmente, de modo que ele proporcione o me mo r inais de 20% a.a., capitalizados endimento obtido se for aplicado durante oito anos a juros efetivos de 5% a.a.? Dados: j = 20% a.a., k = 4, i = 5% a.a., n = 8 anos, m =? s ( ) 4×m 4×m8 0,2 (1,05) = 1+ 1,477 1,05 4 ⎛ ⎞ k×m n j (1 + i) = 1+ k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 35
  36. 36. aplicando logaritmos: log 1,477=4×m×log 1,05 m= 2 anos⇒ 49. Um investidor teria o mesmo rendimento se aplicasse um capital em qualquer uma de duas opções de investimento. A primeira opção permite aplicar o capital durante quatro anos à taxa efetiva composta de 8% a.a., e a segunda, durante dois anos a uma determinada taxa nominal anual, Dados: k = 2, i = 8% a.a., n = 4 anos, m = 2 anos, j = ? capitalizada semestralmente. Qual é a taxa nominal? k×m n j (1 + i) = 1+ k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2×2 ⎝ ⎠ 4 j (1,08) = 1+ j 16% a.a. 2 ⎛ ⎞ ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 50. Em que data um capital de $10.000, aplicado em €20 de setembro de 2006 a juros efetivos de 40% a.a., resultará em um montante de €$19.600? (trabalhar com o ano civil) Dados: i = 40% a.a., P = $10.000, S = $€19.600, n =? ( ) ( ) ( ) n n 365 n 365 S P 1+i= meses) de aplicação de um capital de $20.000 de modo que ele proporcione um ndimento mínimo de $5.000 quando aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente? Dados: S = $25.000, P = $20.0000, j = 24% a.a., k = 12, m = ? $19.600 $10.000 1,4 1,4 1,96000= × ⇒ = aplicando logaritmos: 365×log 1,9600=n×log 1,4 n= 730 dias⇒ Logo, o prazo é de dois anos e a data final é 19 de setembro de 2008. 51. Qual o prazo (em re ( ) k m 12 m 12 m j S P 1 k 0,24 1,25 1 1,02 1,25 12 × × × ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 20% a.a., o que motivou o saque de uma siderando-se que, transcorridos seis meses desse saque, a conta foi encerrada, resgatando-se o saldo total de $20.000, calcular o capital inicialmente aplicado. Dados: P2 = S1 – P1/2, j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k = 4, m1 = 1 ano, m2 = 6 meses, S2 = $20.000, P1 = ? aplicando logaritmos: log 1,25=12×m×log 1,02 m= 12 meses⇒ 52. Um capital foi aplicado em uma conta remunerada que pagava uma taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente. Depois de um ano, a taxa baixou para quantia igual a 50% do capital inicialmente aplicado. Con 4 1× ⎡ ⎤⎞ 2 1 1 1 1 0,24 P = S - P = P 1+ 2 4 ⎛ ⎢⎜ ⎝ ⎠ 2 10,5 P = 0,762 P− ⇒⎥⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Por outro lado, k m 4 0,5 1 1 j S = P 1+ k 0,20 $20.000 = 0,7625 P 1+ P = $23.791,66 4 × × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ × ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 36
  37. 37. 53. Calcular o valor dos juros pagos por um financiamento de capital de giro de $1.500 por cinco dias contratado à taxa de 3% a.m., capitalizada diariame e. Dados: P = $1.500, j = 3% a.m.. k nt = 30, m = 5 dias, J = ? ( )k m 30× 5 30 j 0,03 + 1 $1.500 1+ 1 k 30 × ⎡ ⎤⎤⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥− = − =⎥⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎥⎦ ⎣ ⎦ J P 1 $7,5150 ⎡⎛ = ⎢⎜ ⎝⎢⎣ s: k = 4, i = 12% a.a., n = m = 1 ano, j = ? 54. Calcular a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 12% a.a.. adoD k×m n j (1 + i) = 1+ k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 11,50% a.a. 4 j (1,12) = 1+ j 0,114949 ⎛ ⎞ ⇒ = ⎝ ⎠ CAPÍTULO 4 =⎜ ⎟ : em contrário, ano comercial de 360 1. Uma duplicata de $180.000 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando-se uma taxa de desconto de 60% a.s., calcular o valor do desconto e o valor liberado na modalidade de ercial. Dados: N = $180.000, n = 4 meses, d = 60% a.s., D = ?, V = ? Exercícios Propostos tenção Na resolução dos exercícios considerar, salvo mençãoA dias. desconto com D N d n 4 D = $180.000 0,60 D = $72.000 6 = × × × × ⇒ Além disso, o de 15% a.m. e libera $18.900 n três meses, calcular o valor de resgate e a xa de desconto efetiva linear. Dados: V = $18.900, n = 3 meses, d = 15% a.m, N = ?, i = ? V N D V= $108.000 s de descont = − ⇒ 2. Considerando-se que um banco aplica uma taxa simple o desco to comercial de um título com vencimento paran ta ( )V N 1- d n= × × $18.900 N = N = $34.363,64 D= $15.463,36 1- 0,15 3 ⇒ ⇒ × Além disso, d 0,15 i 27,27% a.m 1 d n 1 0,15 3 ou D 30 $15.463,36 30 i 2 V n $18.900 90 = = = − × − × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7,27% a.m 37
  38. 38. 3. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e com vencimento para 180 dias, descontado comercialmente a uma taxa de desconto de 40% a.a.. Dados: N = $120.000, n= 180 dias, d = 40% a.a., V = ? ( )V N 1- d n 1 V $120.000 1- 0,4 V = $96.000 2 = × × ⎛ ⎞ = × × ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4. Calcular a taxa de desconto efetiva linear para uma operação de desconto comercial de um título de $135.000 descontado por $120.000 quatro meses antes de seu vencimento. Dados: N = $135.000, V = $120.000, n = 4 meses, i = ? D N - V D = $15.000= ⇒ Além disso, D 30 $15.000 i 3,125% a.m. V n $120.000 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = × = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5. Uma duplicata de $86.000, com prazo de vencimento de três meses, teve valor liberado de $80.000. Determinar a taxa de desconto aplicada na modalidade racional. ados: N = $86.000, V = $80.000, D = $6.000, n = 3 meses, i = ?D D V i n $6.000 i = 2,5% a.m $80.000 3 . = × × = × 6. Um lote de LTN com valor de resgate de $4.800.000 é adquirido por $4.000.000. Considerando-se um prazo de vencimento de 120 dias, calcular a taxa de desconto (ao ano) e a rentabilidade efetiva linear da operação. Dados: N = $4.800.000, V = $4.000.000, D = $800.000, n = 4 meses, d =?, i = ? D 360 $800.000 360 d 50% a.a. N n $4.800.000 120 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Além disso, ( ) d 0,5 % a.a. em operações de compra de LBC. inar o P.U. sobre o qual se termos de desconto comercial e calcular a taxa de desconto mínima exigida. Dados: i = 180% a.a., n = 90 dias, P.U.= ?, d = ? i 60% a.a. 1 d n 1 0,5 1 3 = = = − × − × 7. Um banco deseja uma rentabilidade efetiva linear de 180 onsiderando-se que o lote de letras tem vencimento para 90 dias, determC deve negociar em ( ) ( ) d i 1 d n/360 d = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ 1,8 d 124,14% a.a. 1 d 90/360 = ⇒ = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ Além disso, ( ) [ ]P.U.= 1 d n/360 1 1,2414 90/360 = 0,68966− × = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ . Uma duplicata de $880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do vencimento.8 Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear de 145% a.a., calcular o valor liberado pelo banco. Dados: N = $880.000, i = 145% a.a., n = 8 meses, V = ? 38
  39. 39. D 360 i V n $800.000 - V 360 1,45 = V= $447.457,63 V 240 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9. Uma promissória de $450 sofreu um desconto de $54. Considerando-se uma taxa de desconto de 6% a.m., calcular o prazo da operação. Dados: N = $450, D = $54, d = 6% a.m., n = ? D N d n= × × $54 = $450 0,06 n n = 2 meses× × ⇒ 10. Um título de $13.000 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por $11.400. Calcular a taxa de desconto (ao ano) e a taxa de desconto efetiva linear . Dados: N = $13.000, V = $11.400, D = $1.600, n = 120 dias, d = ?, i = ? D 360 $1.600 360 d 36,92% a.a. N n $13.000 120 = × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Além disso, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ D 360⎛ ⎞ ⎛ $1.600 i V n $11.4 ⎞ = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 42,11% a.a. 00 × = 11. Um título de $240.000 foi descontado 43 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear da operação de 6% a.m., calcular o valor liberado. Dados: N = $240.000, i = 6% a.m., n = 43 dias, V = ? D 30 i V n $240.000 - V 30 0,06 V= $220.994,48. V 43 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. Para operações de desconto comercial, um banco aplica uma taxa de desconto de 27% a.a. e cobra1 2% sobre o valor nominal como TSB. Calcular as taxas de desconto efetivas lineares anuais para os prazos de um mês, três meses e seis meses. Dados: d = 27% a.a., TSB = 2%, i1 = ?, i3 = ?, i6 = ? ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 1 mês 3 meses 6 n 121 d n 12 - TSB 0,27 1 12 + 0,02 1 i = 53,26% a.a. 1 0,27 1 12 - 0,02 1 12 0,27 3 12 + 0,02 1 i = 38,36% a.a. 1 0,27 3 12 - 0,02 3 12 i ⎜ ⎟⎜ ⎟− ×⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠ d n 12 + TSB 1 i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ [ ]meses 0,27 6 12 + 0,02 1 = 36,69% a.a. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟1 0,27 6 12 - 0,02 6 12− × ⎝ ⎠⎝ ⎠ 13. Uma duplicata de $72.000 com vencimento para cinco meses foi descontada comercialmente a 39
  40. 40. uma taxa de desconto de 2% a.m.. Considerando-se que foi paga uma taxa de serviço bancário de 2,5% sobre o valor nominal do título, calcular o valor líquido liberado pelo banco e a taxa de desconto Dados: N = $72.000, d = 2% a.m., TSB = 2,5%, n = 5 meses, i = ?, V = ? efetiva linear da operação. [ ] [ ] d n + TSB 1 i 1 d n - TSB n 0,02 5 + 0,025 1 i = 2,86% a.m. = 34,29% a.a. 1 0,02 5 - 0,025 5 × = × − × × = × − × Além disso, 14. Duas letras, uma de $10.000 e outra de $8.000, foram descontadas pelo desconto comercial simples aplicando-se uma taxa de desconto de 36% a.a.. Considerando-se que o valor do desconto da segunda letra excede em dez dias o prazo da primeira, determinar os ( ) ( ) V N 1 TSB d n V $72.000 1 0,025 0,02 5 V $63.000 = − − × = − − × ⇒ = total é de $4.400 e que o prazo prazos e as taxas de desconto efetivas lineares das letras. Dados: N1 = $10.000, N2 = $8.000, d = 36% a.a., D = $4.400, n2 = n1+10 dias, n1 = ?, i1 = ?, i2 = ? D N d n= × × [ ]( )1 1 1 2 1 0,36 $4.400 = $10.000 n +$8.000 n + 10 n =240 dias n = n +10 =250 dias 360 × × × ⇒ ⇒ Além disso, ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 d i 1 d n/360 0,36 i i 47,37% a.a. 1 0,36 240/360 0,36 i i 48% a.a 1 0,36 250/360− ×⎡ ⎤⎣ ⎦ 15. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 150 e 120 dias, foram descontadas comercialmente a uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $53.000. Determinar os = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ = ⇒ = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ = ⇒ = tarde, a taxa de desconto seria de 8% a.m a dos valores dos descontos seria de $72.000. Dados: d1 = 5% a.m., D1+ D2= $53.000, D1+ D2= $72.000, d2 = 8% a.m. n1 = 150 dias, n2 = 120 dias, N1 = ?, N2 = ? valores nominais dos títulos sabendo-se que, se essa operação fosse feita 20 dias mais . e a som ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2N = $100.000 N = $140.000 D N d n 0,05 $53.000 = 150 N +120 N $1.060.000 5 N +4 N30 0,08 $2.700.000 13 N +10 N $72.000 = 130 N +100 N 30 = × × ⎧ ⎫ × × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × × ⎪ ⎪⎩ ⎭ desconto do segundo é de $166.454,55, calcular os valores nominais dos títulos. Dados: d = 6% a.m., N1 –D2= $166.454,55 n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ? ⇒ 16. Dois títulos com prazos, respectivamente, de 60 e 90 dias foram descontados comercialmente à taxa de desconto de 6% a.m., produzindo os mesmos valores liberados para ambos os títulos. Considerando-se que a diferença entre o valor nominal (valor de resgate) do primeiro e o valor do 40
  41. 41. ( ) ( ) ( )1 2 1 2 V N 1 d n N 1 0,06 2 N 1 0,06 3 N 0,9318 N− × = − × ⇒ = × Logo, = − × 1 2 2 2 1 D = N d n× × N = 0,9318 N = $166.454,55 + 0,06 3 N× × × N = $221.402,67 N = $206.307,03⇒ 17. Dois títulos vencíveis, respectivamente, em 33 e 66 dias foram descontados comercialmente, o primeiro à taxa de desconto de 40% a.a. e o segundo à taxa de 38% a.a., totalizando um desconto de iderando-se que o valor nominal do primeiro é a metade do valor nominal do segundo, inais dos dois títulos. Dados: d1 = 40% a.a., d2 = 38% a.a., D = $1.760, N1 = N2/2, n1 = 33 dias, n2 = 66 dias, N1 = ?, N2 = ? $1.760. Cons calcular os valores nom [ ]1 1 1 2 0,40 0,38 $1.760 = N 33+ 2 N 66 N = $10.000 N = $20.000 360 360 ⎛ ⎞ D N d n= × × × × que o valor líquido liberado foi de $18.000 e sabendo-se que foi cobrada uma sobre o valor nominal da duplicata, calcular a taxa mensal de desconto e a taxa de desconto efetiva linear da operação. Dados: N = $20.000, V = $18.000, D = $2.000, n = 120 dias, s = 2%, d = ?, i = ? disso, × × × ⇒ ⇒⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 18. Uma duplicata de $20.000 foi descontada comercialmente 120 dias antes do vencimento. Considerando-se comissão de 2% ( ) ( ) V N 1 s d n $18.000 $20.000 1 0,02 d 4 d 2% a.m. = − − × = − − × ⇒ = Além [ ] [ ] d n + s 1 0,02 4 + 0,02 1 i = 2,78% a.m. 1 d n - s n 1 0,02 4 - 0,02 4 × × = × ontadas comercialmente a uma xa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $1.070. Se essa operação fosse feita dez dias mais tarde, a taxa de desconto seria de 6% a.m. e a soma dos descontos totalizaria $1.184. Calcular os valores nominais dos títulos. Dados: d12 = 5% a.m., D12 = $1.070, d3 = 6% a.m., D3 = $1.184, n1 = 186 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ? = × − × − × 19. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 186 e 90 dias foram desc ta ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 D N d n $1.070 = 186 N +90 N $7.133,33 2, 67 N +1 N30 0,06 $59.200 17,6 N +8 N $1.184 = 176 N +80 N = × 0,05 0 × × × ×⎪ ⎪ = × × ⎧ ⎫ 30 1 2N = $2.000 N = $3.000 ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × × ⎪ ⎪⎩ 500, n = 3 meses, d = 1% a.m., V = ? ⎭ ⇒ 20. O possuidor de um título de $20.000, com vencimento para três meses, tem duas possibilidades: vendê-lo por $19.500 a um particular ou descontá-lo comercialmente em um banco que aplica uma taxa de desconto de 1% a.m.. Determinar qual transação é a mais vantajosa. Dados: N = $20.000, G = $19. ( ) ( ) V N 1- d n V $20.000 1- 0,01 3 V = $19.400 = × × = × × ⇒ 41
  42. 42. Como o banco liberará apenas $19.400, a melhor opção é vendê-lo por $19.500! Analogamente, podemos resolver o problema comparando os descontos: 0 dias, foram descontados racionalmente à taxa de 6% a.m.. Considerando-se ue os dois tiveram o mesmo valor liberado e que a diferença entre o valor nominal do primeiro e o valor do desconto do segundo é de $4.160,91, calcular os valores nominais dos títulos. Dados: d = 6% a.m., N1 – D2 = $4.160,91, V1 = V2, n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ? D N d n D $20.000 0,01 3 D = $600 = × × = × × ⇒ Como o banco descontará $600, a melhor opção é vendê-lo por $19.500 (um desconto de apenas $500)! 21. Dois títulos, o primeiro com vencimento para 60 dias e o segundo para 9 q 2 2 D V d n D 0,18V = × × = Logo, ( )N = V 1+ d n× ( )1 1 2 N = $4.160,91 + 0,18V = V +0,06 2 V= $4.426,50 N = $4.957,68 N = $5.223,27 × ⇒ ⇒ 22. Dois títulos foram descontados comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de desconto de desconto de $2.000. Considerando-se que o valor de resgate do segundo é o r de resgate do primeiro, calcular os valores de resgate dos títulos. 1 4% a.m., totalizando um dobro do valo Dados: d = 4% a.m., D = $2.000, N2 = 2 × N1, n = 60 dias, N1 = ?, N2 = ? ( )1 1 1 2 D N d n $2.000 = 0.04 2 N + 2 N N = $8.333,33 N = $16.666,67 = × × × × ⇒ ⇒ 23. A soma dos valores dos descontos e dos valores líquidos liberados por duas promissórias descontadas comercialmente totalizaram, respectivamente, $6.300 e $143.700. O valor de resgate da segunda promissória é o dobro do valor de resgate da primeira e vence 30 dias depois. Considerando- se uma taxa de desconto de 2,1% a.m., determinar os valores de resgate e os prazos dos títulos. Dados: d = 2,1% a.m., D1 + D2 = = $6.300, V1 + V2 = $143.700, N2 = 2 × N1, n2 = n1 + 30, N1= ?, N2 = ?, n1 = ?, n2 = ? ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 11 2 N N = D +V D +V $150.000 N 2N =$150.000 N = $50.000 N = 2 $50.000 = $100.000 + + = + ⇒ × Além disso, [ ]( )1 1 1 2 0,021 $6.300 = $50.000 n +$100.000 n +30 n = 40 dias n = 70 dias 30 × × ⇒ ⇒ 24. Duas letras com prazos, respectivamente, de 40 e 120 dias foram descontadas comercialmente à D N d n= × × o valores dos descontos comerciais totalizaria $18.500. Determinar os valores nominais das letras. Dados: d = (6% a.m. e 5% a.m. ), D1 + D2 = $24.800, D1 + D2 = $18.500, n1 = 40 dias, n2 = 120 dias, N1 = ?, N2 = ? taxa de desconto de 6% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $24.800. Se a operaçã fosse feita dez dias mais tarde, teria sido aplicada uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos 42
  43. 43. ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 D N d n 0,06 $24.800 = 40 N +120 N $310.000 N +3 N30 0,05 $1.110.000 3 N +11 N $18.500 = 30 N +110 N 30 N = $40.000 N = $90.000 = × × ⎧ ⎫ × × ×⎪ ⎪ = ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ = × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × × ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⇒ ⎬ Calcular o valor total eração se realizasse 30 dias mais tarde, a soma dos valores dos descontos teria sido de $180. Dados: i = 2% a.m., D1 + D2 = = $300, D1 + D2 = $180, n1 = 90 dias, n2 = 45 dias, V = V1+ V2 = ? 25. Duas letras vencíveis, respectivamente, em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente a uma taxa simples de 2% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $300. liberado pelas duas letras, sabendo-se que, se essa op ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 D V×i n V +1 V V +1 V $180 = 60 V +15 V 30 V = $4.000 V = $2.000 V= $6.000 = × 1 2 0,02 $300 = 90 V +45 V $10.000 230 ⎧ ⎫ × × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪ 0,02 $18.000 4 ⇒⎨ ⎬ × ⎭× × × ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⇒ ⇒ 26. Uma nota promissória de $5.000 foi descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento à taxa a.m.. Calcular o valor líquido recebido pelo possuidor do título. Dados: i= 3% a.m., N = $5.000, n = 2 meses, V =? ⎬ ⎨ = ×⎩⎪ ⎪ simples de 3% N $5.000 N V(1+ i n) V= $4.716,98 (1+ i n) 1+0,03 2 = × ⇒ = = × × 27. Um título de $50.000 sofreu um desconto comercial de $4.000. Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear de 10,87% a.m., determinar o prazo da operação. Dados: i = 10,87% a.m., D = $4.000, N = $50.000, n = 60 dias, n =? D N d n= × × n $4.000 = $50.000 d d n = 2,4 30 × × ⇒ ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Além disso, ⎛ ⎞ ( ) [ ] d i 1 d n 30 d 2 0,1087 d = 10% a.m. n = =24 dias 1 0,08 0,10 e = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ = ⇒ − ,4 28. Uma promissória de $22.000 teve um desconto comercial de $2.000. Considerando-se que a taxa efetiva exponencial da operação é de 4,8809% a.m., determinar o prazo da operação e a taxa de esconto contratada.d Dados: ie = 4,8809% a.m., D = $2.000, N = $22.000, n = ?, d = ? D N d n= × × n $2.000 = $22.000 d d n = 2,727 0 ⎛ ⎞ 3 × × Além disso, ( ) ⇒ ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 30/n e 30/n 30/n i N/V 1 0,048809 $22.000 / $20.000 1 1,048809 = 1,1 = − = − ⇒ 43
  44. 44. aplicando logaritmos: n log 1,048809 30 log 1,1 n= 60 dias d= 4,5455% a.m. × = × ⇒ 29. Um banco emprestou $100.000 por 40 dias a juros efetivos compostos de 26% a.a.. Considerando- se que o banco descontará comercialmente uma promissória com valor nominal de $50.022,36 a uma taxa de desconto de 4% a.m., determinar o prazo do desconto de modo que as duas operações roduzam o mesmo rendimento.p Dados: P = $100.000, i = 26% a.a., n1 = 40 dias, N = $50.022,36, d = 4% a.m., n2 = ? juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo D J= ( ) ( ) 1n 2 2 40 360 2 N d n = P 1+i 1 n $50.022,36 0,04 $100.000 1,26 1 n = 39 dias 30 ⎡ ⎤× × − ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤× × = − ⇒⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ 30. Um banco pode emprestar $25.000 a juros efetivos de 42% a.a. ou empregar esse capital em ercial com prazo de 90 dias. Qual deve ser a taxa de desconto aplicada naoperações de desconto com operação, de modo que o banco tenha um rendimento igual ao obtido no empréstimo? Dados: P = $25.000, i = 42% a.a., n = 90 dias, d = ? juros obtidos no desconto = juros obtidos no mpr D J= ( ) ( ) n 3 12 e éstimo N d n= P 1+i 1 $25.000 d 3 $25.000 1,42 1 d= 3,0541% a.m. ⎡ ⎤× × − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤× × = − ⇒ ⎣ ⎦ 31. Um título com valor nominal de $240.000 foi descontado comercialmente 60 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcular o valor líquido liberado ao seu portador e a xa de desconto efetiva exponencial anual. Além disso, presa descontou comercialmente, 100 dias antes do vencimento, uma duplicata de siderando-se que o valor líquido liberado foi de $19.000, calcular a taxa de desconto mensal e a taxa de desconto efetiva exponencial anual . Dados: N = $20.000, n = 100 dias, V = $19.000, d = ?, ie = ? ta Dados: N = $240.000, n = 60 dias, d = 4% a.m., V = ?, ie = ? ( )V N 1 - d n= × ( )V = $240.000 1 - 0,04 2 V =× ⇒ $220.800 ( ) ( ) 360/n e 360/60 e e i N/V 1 i $240.000 / $220.800 1 i 64,9199% a.a. = − = − ⇒ = 32. Uma em $20.000. Con n V N 1 - d 30 100 $19.000 = $20.000 1 - d d = 1,5% a.m. ⎛ ⎞ 30 = ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ × × ⎝ ⎠ ⇒⎜ ⎟ Além disso, ( ) ( ) 360/n e 360/100 e e i N/V 1 i $20.000 / $19.000 1 i 20,2804% a.a. = − = − ⇒ = 44
  45. 45. 33. Calcular o valor nominal de uma nota promissória descontada comercialmente três meses antes do vencimento de modo que seu valor liberado seja igual à soma dos valores liberados por três duplicatas com valores nominais, respectivamente, de $100, $500 e $700 descontadas pelo mesmo prazo e taxa de desconto da nota promissória. Dados: N1 = $100, N2 = $500, N3 = $700, n = 3 meses, d = d123, V = $19.000, N = ? 3 1 V V N 1 - d 30 n n n n i i= 1 2N 1 - d = N 1 - d N 1 - d 30 30 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ × × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 2 3 n N 1 - d 30 30 N = N + N + N N = $1.300 ⎛ ⎞ = = × + ×⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ 34. Um lote de títulos públicos com vencimento para 180 dias foi negociado a $20.000. Considerando- se que a rentabilidade efetiva exponencial da operação foi de 2% a.m., determinar o P.U. das letras. 30/180 1/6 /P.U. 1 0,02 1/ PU 1 1,02 1/ PU PU = 0,887971 − = − ⇒ = ⇒ 35. O quociente entre o valor nominal e o valor liberado por um título descontado comercialmente 60 vencimento é 1,03. Calcular a taxa de desconto efetiva linear e exponencial da operação. Dados: N/V = 1,03, n = 60 dias, i = ?, ie = ? lém disso, ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ⎞ ∑ Dados: ie = 2% a.m., n = 180 dias, V = $20.000, P.U.= ? (ei 1= ) ( ) ( ) 30/n dias antes do ( ) ( ) 30/n e 30/60 e e i N/V 1 i 1,03 1 i 1,4889% a.a. = − = − ⇒ = A D 30 i V n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = × ( ) 30 i 1,03 - 1 i = 1, ⎛ ⎞ = × ⇒⎜ ⎟ 5% a.m. 60 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 36. Um título com valor nominal de $2.000 foi descontado comercialmente. Considerando-se que a nto efetiva exponencial foi 3% a.m. e que a antecipação foi de dois meses, calcular a taxa sconto e o valor do desconto. Dados: ie = 3% a.m., N = $2.000, n = 2 meses, d = ?, D = ? ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ taxa de desco mensal de de D N d n D = $2.000 2 d D = $4.000 d = × × × × ⇒ × Além disso, ( ) e 1/2 -1/2 i 1 1 d n 1 0,03 1 1,03 = 1- 2 d 1/n 1 d = 2,8702% a.m. D = $4 00 d = $4000 0,08792 = $114,81 ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ − ×⎝ ⎠ 1 d 2 ⎛ ⎞ = − ⇒ ×⎜ ⎟ .0 − × × 37. Calcular a taxa de juros efetiva composta que um banco deverá adotar para emprestar um capital de €$10.000 por 4 meses, de modo que tenha uma remuneração igual à obtida no desconto comercial de uma duplicata de $20.000 descontada pelo mesmo prazo à taxa de desconto de 2% a.m.. Dados: P = $10.000, N = $20.000, n = 4, d = 2% a.m., € i = ? ⎝ ⎠ ⇒ × 45

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