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SOLUCIONARIO Nº1                                   MATEMÁTICA BÁSICA 2ELABORADO POR: ING. FLAVIO PARRA T                  ...
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124750    2920                    RC=       139250    2540                              113250    2400(b) Encuentre la mat...
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24.- Resuelva el sistema de desigualdades.                                             8
28.- Manufactura. La compañía XYZ produce dos modelos de computadoras caseras:    el Alfa y el Beta. Sea x el número de mo...
VERTICES:    A 3, 0           E 8, 0               4                           12            12     12 12    B:       4- x...
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y nuevo, respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar no mas de12525 gramos de dióxido de carbono ni m...
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22.- Resuelva la desigualdad:                    5           2           1         130.- Participación en talleres. Imperi...
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Solución de ejercicios de matrices, programación lineal

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  1. 1. SOLUCIONARIO Nº1 MATEMÁTICA BÁSICA 2ELABORADO POR: ING. FLAVIO PARRA T SEMESTRE: MARZO-JULIO 2011REVISADO POR : ECO. GUAMAN UNIDAD Ia) En ejercicios 6.1 de páginas 231, 232, resuelva problemas 1, 23, 311.- Sean 1 -6 2 1 2 3 1 1 A= B= -4 2 1 4 5 6 C= 2 2 3 3 1 0 1 2 3 4 D= 2 3 0 1 6 0 F= 6 2 E= 0 0 2 0 0 0 6 1 5 1 6 2 G= 6 H= 0 0 0 J= 4 1 0 0 0 (a) Establezca el tamaño de cada matriz (b)¿Cuáles son matrices cuadradas? (c) ¿Cuáles matrices son matrices son triangulares superiores, inferiores? (d) ¿Cuáles son vectores renglón? (e) ¿Cuáles son vectores columna?23.- Si 1
  2. 2. Verifique la propiedad general de que , encontrar y después .31.- Encuentre todos los valores de x para los cuales.b) En ejercicios 6.2 de páginas 237-238, problemas 10, 20, 4010.- Realice la operación indicada.20.- Calcule las matrices requeridas.40.- Resuelva la ecuación matricial. 2
  3. 3. c) En ejercicios 6.3 páginas 248-249, problemas 20, 58, 6620.- Realice las operaciones indicadas. -1 1 1 -2 2 6 0 4 3 4 2x2 ´= 12 16 2 1 3x2 5 058.- Calcule la matriz requerida. 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 2 -1 0 • 2 -1 0 -3 2 -1 0 ´+2 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0 -2 0 0 3 2 0 0 ´= -2 1 -2 ´- 6 -3 0 ´+ 0 2 0 0 0 4 0 0 6 0 0 2 2 0 -5 ´= -8 6 -2 0 0 066.- Costos. Suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo detransportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de compra.Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente: Compra Transporte 3500 50 Acero 1500 50 Madera C= 1000 100 Vidrio 250 10 Pintura 3500 0 Mano obra(a) A partir del cálculo de RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen loscostos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa. 5 20 16 7 17 3500 50 7 18 12 9 21 1500 50 R= 6 25 8 5 13 C= 1000 100 250 10 3500 0 3
  4. 4. 124750 2920 RC= 139250 2540 113250 2400(b) Encuentre la matriz QRC cuya primera entrada proporcione el precio de compratotal, y cuya segunda entrada dé el costo total del transporte. 124750 2920 Q= 5 7 12 RC= 139250 2540 113250 2400 QRC= 2957500 61180(c) Sea , calcule QRCZ, que proporciona el costo total de materiales ytransporte para todas las casas que serán construidas. QRCZ = 3´018.680d) En ejercicios 6.4, páginas 257-259, problemas 19, 24, 30, 3219.- Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción. 1 -3 0 2 2 3 5 -1 1 1 -3 0 ´-2R1+R2 0 8 3 ´-5R1+R3 0 14 1 ´3R2+R1 1 0 1 1/8 ´1/8*R2 0 1 3/8 ´14R2+R3 0 0 -4 1/4 No tiene solución24.- Resuelva el sistema de ecuaciones 4
  5. 5. 1 0 3 -1 1 0 3 -1 3 2 11 1 ´-3R1+R2 0 2 2 4 1 1 4 1 ´-R1+R2 0 1 1 2 2 -3 3 -8 ´-2R1+R3 0 -3 -3 6 1 0 3 -1 ´1/2R2 0 1 1 2 ´-R2+R3 0 0 0 0 ´3R2+R3 0 0 0 0 “Solución paramétrica” Si:30.- Asignación de producción. La compañía Escritorios Nacionales tiene plantas parala producción en la costa este y en la costa oeste. En la planta de la costa este, los costosfijos son de $20000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En laplanta de la costa oeste, los costos fijos son de $18000 por año y el costo de producciónes de $95. El año próximo, la compañía quiere producir un total de 800 escritorios.Determine la orden de producción para cada una de las plantas el siguiente año si elcosto total para cada planta debe ser el mismo. “Ecuación de cantidad” “Ecuación de costo” 1 1 800 1 1 800 90 -95 -2000 ´-90R1+R2 0 -185 -74000 ´-R2+R1 1 0 400 ´-1/185R2 0 1 40032.- Producción. Una compañía produce tres artículos: A, B y C, que requiere seprocesen en tres máquinas I, II y III. El tiempo en horas requerido para el procesamientode cada producto para las tres máquinas está dado en la siguiente tabla: 5
  6. 6. A B C I 3 1 2 II 1 2 1 III 2 4 1 La máquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas. Encuentre cuántas unidades de cada artículo deben producirse para utilizar todo el tiempo disponible de las máquinas. A B C Disponibilidad I 3 1 2 490 II 1 2 1 310 III 2 4 1 560 3 1 2 490 R1↔R2 1 2 1 310 1 2 1 310 3 1 2 490 2 4 1 560 2 4 1 560 1 2 1 310 ´-2R2+R1 1 0 3/5 134 ´-3R1+R2 0 -5 -1 -440 ´-1/5R2 0 1 1/5 88 ´-2R1+R3 0 0 -1 -60 0 0 -1 -60 ´-3/5R3+R1 1 0 0 98 ´-1/5R3+R2 0 1 0 76 ´-R3 0 0 1 60e) En ejercicios 6.5 páginas 231-232, problemas 4, 144.- Resuelva el sistema de ecuaciones. 1 1 0 5 1 1 0 1 2 1 1 -3 4 -7 1 0 1 -1 3 0 6
  7. 7. 1 1 0 5 1 ´-R1+R2 0 -1 1 -3 0 ´-R1+R3 0 -4 4 -12 0 0 1 -1 3 0 ´-R2+R1 1 0 1 2 1 ´-R2 0 1 -1 3 0 ´4R2+R3 0 0 0 0 0 ´-R2+R4 0 0 0 0 0 Solución parametrica con dos variables. Si:14.- Determine si el sistema tiene un número infinito de soluciones o solo la solucióntrivial. No resuelva el sistema. Número de ecuaciones es igual al número de incognitas, entonces tiene una solución trivial: UNIDAD IIa) En ejercicios 7.1 de páginas 284, resuelva problemas 11, 24, 2811.- Resuelva la desigualdad 7
  8. 8. 24.- Resuelva el sistema de desigualdades. 8
  9. 9. 28.- Manufactura. La compañía XYZ produce dos modelos de computadoras caseras: el Alfa y el Beta. Sea x el número de modelos Alfa y y el número de Beta producidos a la semana en la fábrica de San Antonio. Si esta planta puede producir semanalmente a lo sumo 650 modelos Alfa y Beta en forma combinada, escriba las desigualdades que describen esta situación. x y 650 x,y 0b) En ejercicios 7.2 de páginas 291-293, resuelva problemas 4, 12, 17, 204. - Programación lineal. Minimizar: Z x y " FUNCIÓNOBJETIVO" Sujeto a: x-y 0 4x 3y 12 REST RICCIONES 9x 11y 99 x 8 x,y 0 CONDICIONE DE NO NEGAT IVIDA S D y x 0,0 2,2 4 y 4- x 0 ,4 3 , 0 3 9 y 9- x 0 , 9 11, 0 11 x 8 9
  10. 10. VERTICES: A 3, 0 E 8, 0 4 12 12 12 12 B: 4- x x ; x y , 3 7 7 7 7 9 99 99 99 99 C: 9- x x ; x y , 11 20 20 20 20 9 27 27 D: y 9- 8 8, 11 11 11 Vértice Z=x+y Z A 3, 0 3 0 3 B 12 7 , 12 7 12 / 7 12/7 24 / 7 C 99 20 , 99 20 99 / 20 99/20 99 / 10 D 8 , 27 11 8 27 11 115 / 11 E 8,0 8 0 8 Solución: Z 3 ; cuando x 3 y 012.- Programación lineal Minimizar: Sujeto a: 10
  11. 11. VERTICES: A: B: VERTICE Z= y - x Z A( 3, 3) ´3 - 3 0 B( 3, 1) ´1 - 3 -2 C( 6, 0) 0- 6 -617.- Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. El número de libras de los minerales A y B que pueden extraerse de cada tonelada de la mina I y II se dan en la tabla siguiente, junto con los costos por tonelada de las minas: Mina I (x) Mina II (y) Requerimientos Mineral A 100 lb 200 lb ≥ 3000 Mineral B 200 lb 50 lb ≥ 2500 Costo por tonelada $ 50 $ 60 Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuántas toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo? 11
  12. 12. Minimizar: Z 50x 60y Sujeto a. 100x 200y 3000 ; y 15 - 1 2 x ; 0 , 15 30 , 0 200x 50y 2500 ; y 50 - 4x ; 0 , 50 12.5, 0 x, y 0 VÉRTICES A 4 , 15 ; B 30 , 0 1 7 C : 15 - x 50 - 4x ; x 35 ; x 10 2 2 y 50 - 4 (10) y 10 ; 10 , 10 Vértice Z = 50x + 60y Z A ( 0 , 50 ) 50 ( 0 ) + 60 ( 50 ) 3000 B ( 10 , 10 ) 50 ( 10 ) + 60 ( 10 ) 1100 C ( 30 , 0 ) 50 ( 30 ) + 60 ( 0 ) 1500 Z 1100 ; x 10 y 1020.- Control de contaminación. Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y mas caro proceso que complementa o reemplaza al proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El proceso anterior descarga 25 gramos de dióxido de carbono y 50 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15 gramos de dióxido de carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 40 y 15 centavos por litro en los procesos anterior 12
  13. 13. y nuevo, respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar no mas de12525 gramos de dióxido de carbono ni mas de 20000 gramos de partículas a laatmósfera por día, ¿cuántos litros de producto químico deben producirsediariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuáles la utilidad diaria? Proceso anterior (x) Proceso nuevo (y) Restricción Dióxido de Carbono 25 15 ≤12525 Partículas 50 40 ≤20000 Utilidad 0,4 0,15VÉRTICES: VERTICE Z = 0.40x + 0,15y Z A ( 0 , 500 ) 0,40(0)+0,15(500) 75 B ( 400 , 0 ) 0,40(400)+0,15(0) 160 13
  14. 14. UNIDAD IIIa) En ejercicios 10.1 de páginas 457-458, resuelva problemas 14, 34, 4114.- Determine:34.- Determine: f x h f x41.- Para . Determine lím h 0 hb) En ejercicios 10.2 de páginas 465-466, resuelva problemas 12, 50, 5612.- Determine: 4.999......99 14
  15. 15. =054.- Determine: 2,999...99 3,000...001 356.- Determine el límite de la función definida por partes. f (x) x f (x) 2 4x x 2 2 (a) (b) (c) (d) (e)c) En ejercicios 10.4 de páginas 475, resuelva problemas 15, 22, 3015.- Resuelva la desigualdad: 5 3 0 15
  16. 16. 22.- Resuelva la desigualdad: 5 2 1 130.- Participación en talleres. Imperial Education Services (IES) ofrece un curso deprocesamiento de datos al personal clave de la compañía Zeta. El precio por semana esde $0.50 y la compañía Zeta garantiza que al menos habrá 50 asistentes. Suponga que elIES ofrece reducir el costo para todos en $0.50 por cada persona que asista después delas primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES aceptará, de modoque el ingreso total nunca sea menor que lo recibido por 50 personas? 16
  17. 17. 0 50 17

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