Polinomios

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Propiedades de los polinomios para estudiantes de educación secundaria

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Polinomios

  1. 1. Polinomios Jes´s Garc´ de Jal´n de la Fuente u ıa o IES Avenida de los Toreros Madrid jesus.garciadejalon@gmail.com JGJ Polinomios
  2. 2. Polinomios Definici´n o Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos o entre n´meros y una variable x (indeterminada): u P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 JGJ Polinomios
  3. 3. Polinomios Definici´n o Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos o entre n´meros y una variable x (indeterminada): u P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 n: grado del polinomio JGJ Polinomios
  4. 4. Polinomios Definici´n o Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos o entre n´meros y una variable x (indeterminada): u P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 n: grado del polinomio an : coeficiente principal JGJ Polinomios
  5. 5. Polinomios Definici´n o Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos o entre n´meros y una variable x (indeterminada): u P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 n: grado del polinomio an : coeficiente principal a0 : t´rmino independiente e JGJ Polinomios
  6. 6. Valor num´rico. e Definici´n o El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que e u se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. JGJ Polinomios
  7. 7. Valor num´rico. e Definici´n o El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que e u se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 JGJ Polinomios
  8. 8. Valor num´rico. e Definici´n o El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que e u se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e JGJ Polinomios
  9. 9. Valor num´rico. e Definici´n o El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que e u se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2 JGJ Polinomios
  10. 10. Valor num´rico. e Definici´n o El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que e u se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2 = 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2 JGJ Polinomios
  11. 11. Valor num´rico. e Definici´n o El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que e u se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2 = 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2 = 162 − 45 − 12 − 2 JGJ Polinomios
  12. 12. Valor num´rico. e Definici´n o El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que e u se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2 = 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2 = 162 − 45 − 12 − 2 = 103 JGJ Polinomios
  13. 13. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. JGJ Polinomios
  14. 14. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 JGJ Polinomios
  15. 15. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e JGJ Polinomios
  16. 16. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 JGJ Polinomios
  17. 17. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 JGJ Polinomios
  18. 18. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 2 JGJ Polinomios
  19. 19. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 2 JGJ Polinomios
  20. 20. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 2 –6 JGJ Polinomios
  21. 21. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 2 –6 JGJ Polinomios
  22. 22. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 2 –6 13 JGJ Polinomios
  23. 23. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 2 –6 13 JGJ Polinomios
  24. 24. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 2 –6 13 –35 JGJ Polinomios
  25. 25. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 JGJ Polinomios
  26. 26. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1) e El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente e a mediante la Regla de Ruffini. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´rico para x = −3: e 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 103 JGJ Polinomios
  27. 27. Ra´ de un polinomio ıces Definici´n o Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del u ız e polinomio para x = r es cero. r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 ız JGJ Polinomios
  28. 28. Ra´ de un polinomio ıces Definici´n o Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del u ız e polinomio para x = r es cero. r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 ız Propiedad: las ra´ ıces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´rmino independiente: e JGJ Polinomios
  29. 29. Ra´ de un polinomio ıces Definici´n o Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del u ız e polinomio para x = r es cero. r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 ız Propiedad: las ra´ ıces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´rmino independiente: e r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · ız JGJ Polinomios
  30. 30. Ra´ de un polinomio ıces Definici´n o Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del u ız e polinomio para x = r es cero. r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 ız Propiedad: las ra´ ıces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´rmino independiente: e r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · ız =⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0 JGJ Polinomios
  31. 31. Ra´ de un polinomio ıces Definici´n o Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del u ız e polinomio para x = r es cero. r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 ız Propiedad: las ra´ ıces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´rmino independiente: e r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · ız =⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0 =⇒ a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · · JGJ Polinomios
  32. 32. Ra´ de un polinomio ıces Definici´n o Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del u ız e polinomio para x = r es cero. r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 ız Propiedad: las ra´ ıces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´rmino independiente: e r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · ız =⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0 =⇒ a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · · =⇒ a0 = −r(a1 + a2 r + a3 r2 + · · · ) JGJ Polinomios
  33. 33. Ra´ de un polinomio ıces Definici´n o Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del u ız e polinomio para x = r es cero. r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 ız Propiedad: las ra´ ıces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´rmino independiente: e r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · ız =⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0 =⇒ a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · · =⇒ a0 = −r(a1 + a2 r + a3 r2 + · · · ) =⇒ r es divisor de a0 JGJ Polinomios
  34. 34. Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r ız e r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x) ız JGJ Polinomios
  35. 35. Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r ız e r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x) ız Demostraci´n. o JGJ Polinomios
  36. 36. Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r ız e r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x) ız Demostraci´n. o Sea r ra´ del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. ız JGJ Polinomios
  37. 37. Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r ız e r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x) ız Demostraci´n. o Sea r ra´ del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. ız Si se divide P (x) por x − r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: P (x) = (x − r)Q(x) + R JGJ Polinomios
  38. 38. Teorema del factor Teorema (Teorema del factor) Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r ız e r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x) ız Demostraci´n. o Sea r ra´ del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. ız Si se divide P (x) por x − r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: P (x) = (x − r)Q(x) + R Para x = r: P (r) = (r − r)Q(r) + R =⇒ R = P (r) = 0 y por consiguiente P (x) = (x − r)Q(x). JGJ Polinomios
  39. 39. Teorema del resto Teorema (Teorema del resto) El resto de dividir un polinomio por x − a es el valor num´rico e del polimomio para x = a. P (x) = (x − a)Q(x) + R ⇐⇒ R = P (a) JGJ Polinomios
  40. 40. Teorema del resto Teorema (Teorema del resto) El resto de dividir un polinomio por x − a es el valor num´rico e del polimomio para x = a. P (x) = (x − a)Q(x) + R ⇐⇒ R = P (a) Demostraci´n. o Si se divide P (x) por x − a se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: P (x) = (x − a)Q(x) + R Para x = a: P (a) = (a − a)Q(a) + R =⇒ R = P (a) JGJ Polinomios
  41. 41. Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 103 JGJ Polinomios
  42. 42. Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 103 puede interpretarse como una divisi´n en la que: o Dividendo: Divisor: Cociente: Resto: JGJ Polinomios
  43. 43. Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 103 puede interpretarse como una divisi´n en la que: o Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Divisor: Cociente: Resto: JGJ Polinomios
  44. 44. Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 103 puede interpretarse como una divisi´n en la que: o Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Divisor: x+3 Cociente: Resto: JGJ Polinomios
  45. 45. Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 103 puede interpretarse como una divisi´n en la que: o Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Divisor: x+3 Cociente: 2x3 − 6x2 + 13x − 35 Resto: JGJ Polinomios
  46. 46. Regla de Ruffini(2) La regla de Ruffini 2 0 –5 4 –2 –3 –6 18 –39 105 2 –6 13 –35 103 puede interpretarse como una divisi´n en la que: o Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Divisor: x+3 Cociente: 2x3 − 6x2 + 13x − 35 Resto: 103 JGJ Polinomios
  47. 47. Aplicaci´n o Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una o de las ra´ ıces. JGJ Polinomios
  48. 48. Aplicaci´n o Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una o de las ra´ ıces. Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0. o JGJ Polinomios
  49. 49. Aplicaci´n o Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una o de las ra´ ıces. Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0. o Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio o por x + 1: JGJ Polinomios
  50. 50. Aplicaci´n o Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una o de las ra´ ıces. Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0. o Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio o por x + 1: 1 –4 –1 4 –1 –1 5 –4 1 –5 4 0 JGJ Polinomios
  51. 51. Aplicaci´n o Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una o de las ra´ ıces. Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0. o Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio o por x + 1: 1 –4 –1 4 –1 –1 5 –4 1 –5 4 0 Ahora podemos escribir la ecuaci´n como: o (x + 1)(x2 − 5x + 4) = 0 JGJ Polinomios
  52. 52. Aplicaci´n o Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una o de las ra´ ıces. Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0. o Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio o por x + 1: 1 –4 –1 4 –1 –1 5 –4 1 –5 4 0 Ahora podemos escribir la ecuaci´n como: o (x + 1)(x2 − 5x + 4) = 0 e igualando a cero cada factor se calculan las soluciones. JGJ Polinomios

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