Geometr´ en el espacio
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1.     Coordenadas de un vector

En el conjunto de lo...
2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL                                                                      2


Si dos vector...
2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL                                                                            3


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3 PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO MIXTO                                                                                 4


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4 SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO                                                                                5


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4 SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO                                                                      6


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Ejercicio ...
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8 DISTANCIAS                                                                                              12


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Geometría en el espacio

  1. 1. Geometr´ en el espacio ıa 1. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto de dependencia lineal tiene una interpretaci´n o geom´trica sencilla. Dos vectores son dependientes o uno de ellos es combinaci´n lineal del otro si pueden e o ser representados sobre la misma recta. Tres vectores son dependientes si pueden ser representados en el mismo plano. Supongamos tres vectores independientes e1 , e2 y e3 . Vamos a ver que cualquier otro vector v puede escribirse como combinaci´n lineal de estos tres vectores. o z e3  T    v 0 e3 T e1  E e2 y e2 E C   xe1 C   s En efecto de la figura se desprende que: v = xe1 + y e2 + z e3 y por consiguiente v es combinaci´n lineal de e1 , e2 y e3 . El n´mero m´ximo de vectores libres indepen- o u a dientes es 3 y por eso se dice que el espacio es tridimensional. Un conjunto {e1 , e2 , e3 } formado por tres vectores independientes es una base del conjunto de vectores libres del espacio. Los n´meros (x, y, z) que u permiten expresar un vector v como combinaci´n lineal de los vectores de la base se llaman coordenadas o de v en la base {e1 , e2 , e3 }. Las operaciones de suma de vectores y de producto de vectores por n´meros resultan muy sencillas cuando u los vectores se representan por medio de sus coordenadas. As´ı } u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 =⇒ u + v = (u1 + v1 )e1 + (u2 + v2 )e2 + (u3 + v3 )e3 v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 de forma que la suma de dos vectores tiene como coordenadas la suma de las coordenadas de ambos vectores. De forma similar si u tiene como coordenadas (u1 , u2 , u3 ), el vector λu tiene coordenadas (λu1 , λu2 , λu3 ). Ejercicio 1 Dados los vectores u(3, m, 5) y v(6, 4, m − 3) calcular el valor que tiene que tomar m para que los dos vectores tengan la misma direcci´n. o 1
  2. 2. 2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL 2 Si dos vectores u y v(v1 , v2 , v3 ) tienen la misma direcci´n son linealmente dependientes, es decir, debe o cumplirse que   u1 = λv1 u1 u2 u3 u = λv =⇒ (u1 , u2 , u3 ) = λ(v1 , v2 , v3 ) =⇒ u2 = λv2 =⇒ = =  v1 v2 v3 u3 = λv3 en donde la ultima igualdad es v´lida unicamente en el caso de que v1 , v2 y v3 sean distintos de cero. En ´ a ´ caso de que alg´n denominador sea cero, el numerador tambi´n debe serlo. En conclusi´n, dos vectores u e o tienen la misma direcci´n si sus coordenadas son proporcionales. o Aplicando este resultado a los vectores del problema resulta: 3 m 5 u v =⇒ = = 6 4 m−3 La igualdad entre la primera fracci´n y la segunda produce: o 3 m = =⇒ 6m = 12 =⇒ m=2 6 4 y la igualdad entre la primera y la tercera: 3 5 = =⇒ 3m − 9 = 30 =⇒ m = 13 6 m−3 Como deben cumplirse ambas igualdades, el problema no tiene soluci´n. o 2. Producto escalar. Base ortonormal Definici´n 1 El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus m´dulos por el coseno del o o a ´ngulo que forman: u · v = |u||v| cos α donde α es el ´ngulo que forman los dos vectores. a Muchas veces se utiliza el producto escalar para calcular el ´ngulo que forman dos vectores. En este caso, a despejando el ´ngulo en la definici´n anterior se obtiene: a o u·v cos α = |u||v| El m´dulo de un vector puede obtenerse a partir del producto escalar del vector por s´ mismo: o ı √ u · u = |u||u| cos 0 = |u|2 =⇒ |u|2 = u · u =⇒ |u| = u · u El producto escalar puede definirse tambi´n como el producto del m´dulo de uno de los vectores por la e o proyecci´n de otro sobre ´l. o e 0 v −→ u · v = |u| |v| cos O = |u||OA| ˆ A E O u
  3. 3. 2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL 3 Ejercicio 2 Demostrar que: 1. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero. 2. El producto escalar de dos vectores co la misma direcci´n es igual a m´s o menos el producto de o a sus m´dulos. o Si los vectores son perpendiculares forman un ´ngulo de 90o . Entonces, puesto que cos 90o = 0 el producto a escalar de los dos vectores es cero. Si los vectores tienen la misma direcci´n forman un ´ngulo de 0o o 180o seg´n tengan o no el mismo o a u sentido. En el primer caso, cos 0o = 1 y el producto escalar es igual al producto de los m´dulos. En el o segundo caso cos 180o = −1 y el producto escalar es igual al producto de los m´dulos con signo menos. o El producto escalar as´ definido tiene las siguientes propiedades: ı 1. u · u ≥ 0, u·u=0 =⇒ u=0 2. u · v = v · u 3. α(u · v) = (αu) · v 4. u · (v + w) = u · v + u · w Si los vectores u y v est´n dados por sus coordenadas u(u1 , u2 , u3 ) y v(v1 , v2 , v3 ) el producto escalar se a expresa en funci´n de las coordenadas de la siguiente forma: o u · v = (u1 e1 + u2 e2 + v3 e3 ) · (v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 ) = u1 v1 e1 · e1 + u2 v2 e2 · e2 + u3 v3 e3 · e3 + (u1 v2 + u2 v1 )e1 · e2 + (u1 v3 + u3 v1 )e1 · e3 + (u2 v3 + u3 v2 )e2 · e3 Esta expresi´n se simplifica si la base es ortonormal. La base {ı, , k} es ortonormal si est´ formada por o a vectores ortogonales (es decir que forman un ´ngulo de 90o ) y unitarios (de m´dulo 1). En este caso se a o verifica que ı · ı =  ·  = k · k = 1, ı·=ı·k =·k =0 de forma que si las coordenadas de los dos vectores en la base ortonormal son u(ux , uy , uz ) y v(vx , vy , vz ) el producto escalar es igual a: u · v = ux vx + uy vy + uz vz El m´dulo del vector u ser´ o ıa √ √ |u| = u · u = u2 + u2 + u2 x y z y el ´ngulo de los dos vectores ser´ a ıa: u·v ux vx + uy vy + uz vz cos α = =√ √ |u||v| u2 + u2 + u2 vx + vy + vz 2 2 2 x y z Ejercicio 3 Calcular todos los vectores perpendiculares a u(ux , uy , uz ) y a v(vx , vy , vz ) donde las coor- denadas est´n dadas en una base ortonormal. a Sea el vector w(x, y, z) perpendicular a u y a v. Este vector cumple: { ux x + uy y + uz z = 0 w⊥u ∧ w⊥v =⇒ w · u = 0 ∧ w · v = 0 =⇒ vx x + vy y + vz z = 0
  4. 4. 3 PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO MIXTO 4 Este es un sistema homog´neo que, como se sabe por el tema anterior tiene una soluci´n particular e o uy uz uz ux ux uy x0 = , y0 = , z0 = vy vz vz vx vx vy y la soluci´n general es w(λx0 , λy0 , λz0 ). o En el apartado siguiente veremos que la soluci´n particular obtenida se llama producto vectorial de los o dos vectores. 3. Producto vectorial. Producto mixto Definici´n 2 Dados dos vectores u y v de coordenadas (ux , uy , uz ) y (vx , vy , vz ) en la base ortonormal o {ı, , k} el producto vectorial u × v es el vector: uy uz u ux u uy u×v = ı+ z + x k vy vz vz vx vx vy Ejercicio 4 Calcular el producto vectorial de los vectores u(1, −2, 1) y v(3, 0, −1). El producto vectorial es: −2 1 1 1 1 −2 u×v = ı+ + k = 2ı + 4 + 6k 0 −1 −1 3 3 0 El producto vectorial tiene las siguientes propiedades: 1. u × v es ortogonal a u y a v. T× v u 2. u × v = −v × u 3. u × (λv) = λu × v v € I € α €€ € 4. u × (v + w) = u × v + u × w €€ €€ € q 5. |u × v| = |u||v|| sen α| u Ejercicio 5 Demostrar que el m´dulo de u × v es |u||v|| sen α|. o Sean los vectores u(ux , uy , uz ) y v(vx , vy , vz ): (|u||v|| sen α|)2 = (u2 + u2 + u2 )(vx + vy + vz ) sen2 α x y z 2 2 2 ( ) = (u2 + u2 + u2 )(vx + vy + vz ) 1 − cos2 α x y z 2 2 2 ( ) (ux vx + uy vy + uz vz )2 = (ux + uy + uz )(vx + vy + vz ) 1 − 2 2 2 2 2 2 2 (ux + u2 + u2 )(vx + vy + vz ) y z 2 2 2 = (u2 + u2 + u2 )(vx + vy + vz ) − (ux vx + uy vy + uz vz )2 x y z 2 2 2 = u2 vy + u2 vz + u2 vx + u2 vz + u2 vx + u2 vy − 2ux vx uy vy − 2ux vx uz vz − 2uy vy uz vz x 2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 = u2 vy + u2 vx − 2ux vx uy vy + u2 vz + u2 vx − 2ux vx uz vz + u2 vz + u2 vy − 2uy vy uz vz x 2 y 2 x 2 z 2 y 2 z 2 = (ux vy − uy vx )2 + (uz vx − ux vz )2 + (ux vy − uy vx )2 2 2 2 uy uz uz ux ux uy = + + = |u × v|2 vy vz vz vx vx vy
  5. 5. 4 SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO 5 Bas´ndonos en la primera propiedad, utilizaremos el producto vectorial cada vez que queramos calcular a un vector que sea ortogonal a dos vectores dados. El producto vectorial tiene tambi´n una interesante propiedad geom´trica: el m´dulo del producto vec- e e o torial es igual al ´rea del paralelogramo que tiene como lados los dos vectores. Esto es as´ porque la base a ı del paralelogramo es el m´dulo de uno de los vectores y la altura es el m´dulo del otro por el seno del o o a ´ngulo que forman ambos. Definici´n 3 El producto mixto de tres vectores se representa mediante [u, v, w] y es el producto escalar o del primero por el producto vectorial del segundo y el tercero: [u, v, w] = u · (v × w) Si las coordenadas de los tres vectores en una base ortonormal son u(ux , uy , uz ), v(vx , vy , vz ) y w(wx , wy , wz ) puede calcularse el producto mixto mediante el siguiente determinante: ux uy uz vy vz v vx v vy [u, v, w] = u · (v × w) = ux + uy z + uz x = vx vy vz wx wz wy wx wz wy wx wy wz De su expresi´n como determinante se deducen estas propiedades del producto mixto: o El producto mixto cambia de signo cuando se intercambian dos vectores pero no cambia en una permutaci´n circular de los tres vectores. o El producto mixto es cero cuando los tres vectores son linealmente dependientes o lo que es lo mismo, cuando los tres vectores son coplanarios. Geom´tricamente, el m´dulo del producto mixto es el volumen del paralelep´ e o ıpedo que tiene como aristas concurrentes los tres vectores o seis veces el volumen del tetraedro que tiene como v´rtices el origen e com´n de los tres vectores y sus tres extremos. u £ £ £ £ £ £ u£ # £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ Q £ w £ £ £ £ E £ v 4. Sistema de referencia en el espacio Un sistema de referencia en el espacio est´ formado por un punto O llamado origen de coordenadas a y una base del espacio vectorial {ı, , k}. Las rectas que pasan por el origen y tienen la direcci´n de o los vectores de la base se llaman ejes de coordenadas.
  6. 6. 4 SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO 6 Z P 0 k T E Y ı O C X − −→ A cada punto P se le asocia un vector llamado vector de posici´n del punto P y es el vector OP que une o el origen de coordenadas con el punto. Por definici´n, las coordenadas del punto P son las coordenadas o −− → del vector OP . −− → Las coordenadas del vector AB pueden calcularse f´cilmente cuando se conocen las coordenadas de los a puntos A y B. En efecto: Z A £d # £ d −→ − −→ −→− − −→ −→ − − → £ d OA + AB = OB =⇒ AB = OB − OA £ d £ d £ dB ‚ d I k £ T£ ı O £ E Y C  X −→ − − → y, puesto que las coordenadas de OB y OA son iguales que las coordenadas de los puntos B y A, resulta −− → que las coordenadas del vector AB pueden obtenerse restando las coordenadas del extremo del vector B menos las coordenadas del origen del vector A. Ejercicio 6 Dados los puntos A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ) calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB. Sea M (x, y, z) el punto medio del segmento. A(x1 , y1 , z1 ) M (x, y, z) B(x2 , y2 , z2 ) − −→ −→ − Dado que AB = 2AM resulta: −− → −→ − AB = 2AM =⇒ (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) = 2(x − x1 , y − y1 , z − z1 )   x2 − x1 = 2(x − x1 ) =⇒ y2 − y1 = 2(y − y1 )  z2 − z1 = 2(z − z1 )   x2 + x1 = 2x =⇒ y2 + y1 = 2y  z2 + z1 = 2z
  7. 7. ´ 5 ECUACION DEL PLANO 7 y de aqu´ se obtiene: ı x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x= , y= , z= 2 2 2 5. Ecuaci´n del plano o As´ como a los puntos se les asocian sus coordenadas en un determinado sistema de referencia, a los ı planos y las rectas se les pueden hacer corresponder ecuaciones o sistemas de ecuaciones. Estas ecuaciones o sistemas son la condici´n que tienen que cumplir las coordenadas de un punto para estar contenido en o un plano o una recta. Ejercicio 7 Sabiendo que la ecuaci´n x − 5y − 3z + 1 = 0 representa un plano y el sistema o { x+y+z−1=0 5x − 4y + 2z + 1 = 0 representa una recta: 1. Determinar si el punto P (3, 2, −4) est´ contenido en el plano o en la recta. a 2. Calcular el punto de intersecci´n (si existe) de la recta y el plano. o El punto P no est´ contenido en el plano porque sus coordenadas no cumplen la ecuaci´n del plano: a o 3 − 5 · 2 − 3 · (−4) = 3 − 10 + 12 = 1 = 0 Sin embargo, s´ que est´ contenido en la recta puesto que: ı a 3 + 2 + (−4) − 1 = 0 5 · 3 − 4 · 2 + 2 · (−4) + 1 = 15 − 8 − 8 + 1 = 0 El punto de intersecci´n de la recta y el plano debe cumplir tanto la ecuaci´n como el sistema puesto que o o est´ contenido en el plano y en la recta. Por consiguiente debe verificar las tres ecuaciones: a   x − 5y − 3z + 1 = 0 x+y+z−1=0  5x − 4y + 2z + 1 = 0 La soluci´n de este sistema es (1, 1, −1). Estas son las coordenadas del punto de intersecci´n. Si el sistema o o hubiese resultado incompatible, querr´ decir que no habr´ puntos de intersecci´n, esto es, que la recta ıa ıa o ser´ paralela al plano. ıa n T v X $ $$ $$$ ˆˆˆ E P ˆˆˆ X z ˆ u π
  8. 8. ´ 5 ECUACION DEL PLANO 8 Un plano puede quedar definido mediante un punto P y un vector n perpendicular al plano (vector normal) o mediante un punto P y dos vectores u y v paralelos al plano (vectores directores). Obs´rvese e que existen infinitos planos que contienen a un punto y son paralelos a un vector por lo que son precisos dos vectores directores para determinar un plano. Sea el plano π determinado por el punto P (x0 , y0 , z0 ) y el vector normal n(A, B, C). La condici´n necesaria o y suficiente para que el punto X(x, y, z) est´ contenido en el plano π es: a −→ − −→ − P ∈ π ⇐⇒ P X ⊥ n ⇐⇒ P X · n = 0 −→ − y puesto que el vector P X tiene de coordenadas (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) se obtiene la ecuaci´n del plano: o A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 que se llama ecuaci´n normal del plano. o Sea ahora el plano π definido por el punto P (x0 , y0 , z0 ) y los vectores directores u(ux , uy , uz ) y v(vx , vy , vz ). −→ − Si el punto X(x, y, z) est´ en el plano π, los tres vectores P X, u y v son coplanarios y su producto mixto a debe ser cero: −→ − P ∈ π ⇐⇒ [P X, u, v] = 0 y escribiendo el producto mixto en funci´n de las coordenadas se obtiene una nueva forma de la ecuaci´n o o del plano x − x0 y − y0 z − z0 ux uy uz = 0 vx vy vz que recibe el nombre de ecuaci´n del plano en forma de determinante. o Si en las ecuaciones anteriores se quitan par´ntesis o se desarrolla el determinante resulta una ecuaci´n e o de la forma Ax + By + Cz + D = 0 que se llama ecuaci´n general o impl´ o ıcita del plano. En esta ecuaci´n, el significado de los coeficientes o A, B y C es el mismo que en la ecuaci´n normal, son las coordenadas de un vector perpendicular al plano. o Ejercicio 8 Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, −1) y C(2, −1, 0). o − −→ −→ Basta considerar el plano determinado por el punto A y los vectores directores AB(−2, 1, −2) y AC(1, −2, −1). La ecuaci´n en forma de determinante es: o x−1 y−1 z−1 −2 1 −2 = 0 1 −2 −1 Desarrollando el determinante se obtiene la ecuaci´n general: o −5x − 4y + 3z + 6 = 0 Ejercicio 9 Demostrar que la ecuaci´n del plano que pasa por los puntos A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) y o C(x3 , y3 , z3 ) es x y z 1 x1 y1 z1 1 =0 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1
  9. 9. ´ 6 ECUACION DE LA RECTA 9 6. Ecuaci´n de la recta o Una recta queda determinada mediante un punto P (x0 , y0 , z0 ) y un vector director v(vx , vy , vz ) que da la direcci´n de la recta. o ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆP ˆˆˆˆˆ ˆ z v 0 ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ $X X $ ˆ $$$$$ ˆˆ ˆr $$ $$$ $$ $$$ $$$ O La condici´n para que un punto cualquiera X(x, y, z) pertenezca a la recta es que los vectores P X y v o tengan la misma direcci´n o, lo que es lo mismo, que sean linealmente dependientes: o −→ − −→ − X ∈ r ⇐⇒ P X v ⇐⇒ P X = tv −→ −→ − − − − → y puesto que P X = OX − OP esta ultima igualdad se puede escribir: ´ −→ − − −→ OX = OP + tv (Ecuaci´n vectorial de la recta) o Esta ecuaci´n entre vectores puede escribirse en funci´n de las coordenadas de la siguiente forma: o o   x = x0 + tvx y = y0 + tvy (Ecuaciones param´tricas de la recta) e  z = z0 + tvz Las ecuaciones param´tricas de la recta son un sistema de 3 ecuaciones con 4 inc´gnitas x, y, z y t. e o Puede eliminarse ´sta ultima y obtener un sistema de 2 ecuaciones con 3 inc´gnitas. Despejando t en las e ´ o 3 igualdades: x − x0 y − y0 z − z0 = = (Ecuaci´n continua de la recta) o vx vy vz En general, las soluciones de un sistema de 2 ecuaciones independientes con 3 inc´gnitas forman una l´ o ınea recta. Es decir, la ecuaci´n de la recta se puede escribir en la forma: o { A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (Ecuaciones generales de la recta) A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Cada una de las ecuaciones representa un plano y por ello este sistema se conoce tambi´n como ecuaci´n e o de la recta como intersecci´n de planos. El vector n1 (A1 , B1 , C1 ) perpendicular al plano π1 es o perpendicular a todas las rectas contenidas en π1 y, por tanto, perpendicular a r. Lo mismo puede decirse del vector n2 (A2 , B2 , C2 ). La recta est´ definida en este caso mediante dos vectores perpendiculares n1 y a n2 . El producto vectorial de estos vectores, tiene la direcci´n de la recta y es, por consiguiente, un vector o director. $ $$$ $$$ $$$ $ $$$ π2 $$$ r $$ $ t$$$ $$ t $$$ t t $$ t$ $ $$$ $t $ $ $$$ t $$$ $$$ $$$ t π1 $$$$ $$ t$ $$ $$$ $ $ $ $
  10. 10. ´ 6 ECUACION DE LA RECTA 10 Ejercicio 10 Escribir la ecuaci´n de la recta o { 3x − 5y + 2z − 3 = 0 x + y − 3z − 1 = 0 en las formas continua y param´trica. e Necesitamos un vector director y un punto cualquiera de la recta. Como vector director puede tomarse el producto vectorial de los dos vectores normales a los planos que definen la recta: ( ) −5 2 2 3 3 −5 u×v = , , = (13, 11, 8) 1 −3 −3 1 1 1 Ya tenemos el vector director. Ahora debemos calcular una soluci´n particular del sistema que define la o recta. Si damos a x el valor cero resulta: { −5y + 2z − 3 = 0 y − 3z − 1 = 0 La soluci´n de este sistema es y = − 11 , z = − 13 . Tenemos entonces que el punto P (0, − 11 , − 13 ) o 13 8 13 8 est´ contenido en la recta. a La ecuaci´n continua es: o x y + 11 13 8 z + 13 = = 13 11 8 Las ecuaciones param´tricas las obtenemos igualando al par´metro t cada una de las fracciones anteriores: e a 11 8 x = 13t; y=− + 11t; z=− + 8t 13 13 Consideremos ahora una recta dada como intersecci´n de los planos: o { π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 r: π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Los vectores n1 (A1 , B1 , C1 ) y n2 (A2 , B2 , C2 ) son vectores independientes perpendiculares a la recta. Cualquier plano que contenga a la recta r deber´ tener un vector normal combinaci´n lineal de n1 y n2 . a o Adem´s, todos los puntos de la recta r deber´n satisfacer la ecuaci´n del plano. En conclusi´n, cualquier a a o o plano que contenga a la recta deber´ tener una ecuaci´n de la forma: a o s(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + t(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 que se llama ecuaci´n del haz de planos de la recta r que, como se ve, tiene dos par´metros s y t. o a t Dividiendo por s y llamando s = λ se obtiene una ecuaci´n del haz con un solo par´metro: o a A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 m´s conveniente para ser utilizada en los problemas puesto que como se ha dicho contiene un solo a par´metro. El inconveniente de esta forma de la ecuaci´n del haz es que al dividir por s hemos eliminado a o del haz al plano correspondiente al valor s = 0. El haz est´ formado por todos los planos de la forma a A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 y adem´s el plano A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. a Ejercicio 11 Calcular la ecuaci´n del plano que contiene a la recta o { 3x − 5y + 2z − 3 = 0 x + y − 3z − 1 = 0 y pasa por el punto: a) P (2, 3, −1), b) P (3, 1, 1), c) P (14, 11, 8). Puesto que contiene a la recta, el plano buscado pertenece al haz: 3x − 5y + 2z − 3 + λ(x + y − 3z − 1) = 0
  11. 11. ´ 7 ANGULOS 11 a) Si el plano debe contener al punto P (2, 3, −1), se cumple que: 3 · 2 − 5 · 3 + 2 · (−1) − 3 + λ(2 + 3 − 3 · (−1) − 1) = 0 −14 + 7λ = 0 λ=2 de forma que el plano buscado es: 3x − 5y + 2z − 3 + 2(x + y − 3z − 1) = 0 y haciendo operaciones resulta 5x − 3y − 4z − 5 = 0 b) Si el plano debe contiene al punto P (3, 1, 1): 3 · 3 − 5 · 1 + 2 · 1 − 3 + λ(3 + 1 − 3 · 1 − 1) = 0 3 + 0λ = 0 La ecuaci´n no tiene soluci´n. Esto quiere decir que el plano soluci´n es el que hemos desestimado o o o al escribir el haz con un solo par´metro. Por consiguiente el plano que buscamos es: a x + y − 3z − 1 = 0 c) En este caso, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuaci´n del haz resulta: o 3 · 14 − 5 · 11 + 2 · 8 − 3 + λ(14 + 11 − 3 · 8 − 1) = 0 0 + 0λ = 0 Cualquier valor de λ es soluci´n. Esto significa que todos los planos que contienen a la recta r o contienen tambi´n al punto P , es decir, el punto P est´ contenido en r y la soluci´n del problema e a o es todo el haz de planos. 7. ´ Angulos El ´ngulo de dos rectas es el ´ngulo que forman sus vectores directores o su suplementario si es menor. a a Si las rectas tienen vectores directores u y v el ´ngulo de las dos rectas es: a u·v cos α = |u||v| Si las rectas son perpendiculares forman un ´ngulo de 90◦ y el producto escalar de sus vectores directores a es cero. Si las rectas son paralelas forman un ´ngulo de 0◦ , sus vectores directores tienen la misma a direcci´n y en consecuencia sus coordenadas son proporcionales. o De forma similar, el ´ngulo que forman dos planos es igual o suplementario al que forman sus vectores a normales −1 y −2 : → n n → n1 · n2 cos α = |n1 ||n2 | Si los planos de ecuaciones π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 y π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 son perpendiculares, el producto escalar de sus vectores normales debe ser cero y en consecuencia: π1 ⊥π2 =⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0
  12. 12. 8 DISTANCIAS 12 Si los planos son paralelos, sus vectores normales tienen la misma direcci´n y, en consecuencia, son o linealmente dependientes de forma que: A1 B1 C1 π1 π2 =⇒ = = A2 B2 C2 El ´ngulo que forman una recta y un plano es el ´ngulo que forma la recta con su proyecci´n sobre el plano. a a o Este ´ngulo es complementario del que forman el vector director de la recta y el vector perpendicular al a plano (ver figura 1). As´ si u es el vector director de la recta y n el vector director del plano se cumple ı, que: u·n u·n cos(90 ◦ −α) = =⇒ sen α = |u||n| |u||n| ´ Figura 1: Angulo de recta y plano 8. Distancias − −→ La distancia entre dos puntos A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ) es igual al m´dulo del vector AB: o √ d(A, B) = |AB| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 Calculemos ahora la distancia entre un punto y una recta. Sea el punto P (x0 , y0 , z0 ) y la recta r definida por el punto A(x1 , y1 , z1 ) y el vector director u(ux , uy , uz ). $ $$$ Q X $ $$$ $$$ ¡ u $$ $$$ $ $$$$ $$$ ¡ $$$ A $$$ ¡ $$$ ¡ r $$$ d ¡ d d ¡ d d ¡ d ¡ d ¡ d ¡ d d ¡ d¡ P
  13. 13. 8 DISTANCIAS 13 En la figura se ha representado el vector director u sobre la recta r con origen en el punto A y extremo en el punto Q. La distancia del punto P a la recta r es la longitud d del segmento perpendicular a r por P. −→ El ´rea del tri´ngulo AP Q es como sabemos la mitad del m´dulo del producto vectorial AP × u. Por otra a a o parte este ´rea es tambi´n igual a la mitad de su base que es el m´dulo de u por su altura d. Igualando a e o ambas expresiones resulta: 1 −→ 1 AP × u = |u|d 2 2 y despejando d obtenemos: −→ AP × u d= |u| A(x0 , y0 , z0 )   x = x0 + tA y = y0 + tB  z = z0 + tC n(A, B, C) T           P (x1 , y1 , z1 )         π : Ax + By + Cz + D = 0       Vamos a calcular ahora la distancia entre el punto A(x0 , y0 , z0 ) y el plano π : Ax + By + Cz + D = 0. Esta distancia es igual a la que existe entre el punto A y el punto P (x1 , y1 , z1 ), pie de la perpendicular trazada desde A a π. Para calcular esta distancia se procede de la siguiente forma: Calculamos la ecuaci´n de la perpendicular desde A al plano π. o Calculamos el pie de la perpendicular P como la intersecci´n de la perpendicular con el plano. o Obtenemos la distancia entre A y P . La ecuaci´n de la perpendicular es: o   x = x0 + tA y = y0 + tB  z = z0 + tC El punto P es el punto de intersecci´n entre esa recta y el plano, es decir, es la soluci´n del sistema: o o   x = x0 + tA   y = y0 + tB  z = z0 + tC   Ax + By + Cz + D = 0 Sustituyendo x, y y z en la ultima ecuaci´n se obtiene t: ´ o A(x0 + tA) + B(y0 + tB) + C(z0 + tC) + D = 0 =⇒ Ax0 + By0 + Cz0 + D + t(A2 + B 2 + C 2 ) = 0
  14. 14. 8 DISTANCIAS 14 y de aqu´ ı Ax0 + By0 + Cz0 + D t=− A2 + B 2 + C 2 Sustituyendo este valor de t en las tres primeras ecuaciones se hallan las coordenadas de P . De todas formas, se puede obtener una f´rmula para la distancia sin necesidad de sustituir t para hallar P . La o distancia entre A y P es: d2 = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 Puesto que: Ax0 + By0 + Cz0 + D x1 − x0 = tA; y1 − y0 = tB; z − z0 = tC; t=− A2 + B 2 + C 2 resulta que: d2 = t2 A2 + t2 B 2 + t2 C 2 = t2 (A2 + B 2 + C 2 ) ( )2 Ax0 + By0 + Cz0 + D = − (A2 + B 2 + C 2 ) A2 + B 2 + C 2 (Ax0 + By0 + Cz0 + D)2 = A2 + B 2 + C 2 y de aqu´ ı: Ax0 + By0 + Cz0 + D d= √ A2 + B 2 + C 2 f´rmula que puede recordarse de la siguiente manera: la distancia desde un punto a un plano es igual al o valor absoluto de una fracci´n en la que el numerador es el primer miembro de la ecuaci´n general del o o plano sustituyendo en lugar de las inc´gnitas las coordenadas del punto y el denominador es el m´dulo o o del vector normal al plano n(A, B, C). f l f f fl f f ll f f l f f l f l sf f π f f f f f f f   f l   f f   l f     f l f   f l r   l f     lf     lf   f f f Calcularemos ahora la distancia entre dos rectas que se cruzan. Sea la recta r determinada por el punto P (x1 , y1 , z1 ) y el vector u y la recta s definida por el punto Q(x2 , y2 , z2 ) y el vector v. Para calcular la distancia entre las dos rectas procederemos de la siguiente manera: Calcularemos el plano π que contiene a r y es paralelo a s. Calcularemos la distancia de un punto cualquiera de s (por ejemplo el punto Q) al plano π.
  15. 15. 9 DOS PROBLEMAS 15 En la figura se han representado las dos rectas r y s y el plano π. El otro plano dibujado tiene por finalidad poner de manifiesto que las rectas se cruzan. Puesto que los vectores u y v son paralelos al plano π y el punto P est´ contenido en ´l, su ecuaci´n es: a e o x − x1 y − y1 z − z1 ux uy uz = 0 vx vy vz De aqu´ que la distancia del punto Q a este plano, e sea, la distancia entre las dos rectas es: ı x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 ux uy uz vx vy vz d(r, s) = d(Q, π) = √ 2 2 2 uy uz uz ux uy uz + + vy vz vz vx vy vz Esta f´rmula puede recordarse m´s f´cilmente de la siguiente forma: o a a − − → [P Q, u, v] d(r, s) = |u × v| 9. Dos problemas 9.1. Recta por un punto que corta a dos rectas que se cruzan Figura 2: Recta que pasa por un punto y corta a dos rectas El procedimiento para obtener la ecuaci´n de una recta que pasa por un punto P y corta a dos rectas r1 o y r2 ser´ ıa: 1. Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a r1 (π). o 2. Punto de intersecci´n Q de este plano con la recta r2 (A). o
  16. 16. 9 DOS PROBLEMAS 16 3. Ecuaci´n de la recta que pasa por P y A (figura 2). o Alternativamente puede utilizarse este segundo procedimiento: 1. Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a r1 (π1 ). o 2. Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a r2 (π2 ). o 3. Recta intersecci´n de π1 y π2 (figura 3). o Figura 3: Recta que pasa por un punto y corta a dos rectas Ejercicio 12 Halla la ecuaci´n de la recta que pasando por el punto P (2, 0, −1) corta a las rectas: o { x−2 y−2z+1 x+y+4=0 r1 : = ; r2 : 2 −1 1 y − 3z + 3 = 0 Resolvamos por el primer procedimiento: 1. Plano que pasa por P y contiene a r1 . Tomando como vectores directores, el vector director de la − −→ recta y el vector P Q donde Q es un punto de r1 , por ejemplo Q(2, 2, −1) se tiene: x−2 y z+1 2 −1 1 =0 0 2 0 o bien: −x + 2z + 4 = 0 2. Intersecci´n de este plano con la recta r2 . Resolvemos el sistema: o   −x + 2z + 4 = 0 x+y+4=0  y − 3z + 3 = 0 La soluci´n de este sistema es el punto A(2, −6, −1) o
  17. 17. 9 DOS PROBLEMAS 17 −→ 3. Ecuaci´n de la recta AP . Tomando como vector director AP (0, 6, 0) o, m´s sencillo, u(0, 1, 0), la o a ecuaci´n es: o x−2 y z+1 = = 0 1 0 Por el segundo procedimiento obtendr´ ıamos: 1. Plano que pasa por P y contiene a r1 . Este plano hemos visto que tiene por ecuaci´n −x+2z +4 = 0. o 2. Plano que pasa por P y contienen a r2 . El haz de planos de r2 es: x + y + 4 + λ(y − 3z + 3) = 0 Si el plano ha de contener a P (2, 0, −1): 2 + 0 + 4 + λ(0 − 3 · (−1) + 3) = 0 =⇒ λ = −1 Por lo que el plano es: x + y + 4 + (−1)(y − 3z + 3) = 0 o bien 3. La ecuaci´n de la recta buscada como intersecci´n de los dos planos es: o o { −x + 2z + 4 = 0 x + 3z + 1 = 0 9.2. Perpendicular com´ n a dos rectas que se cruzan u Sean dos rectas que se cruzan r1 y r2 . La direcci´n de la perpendicular com´n ser´ la del producto vectorial o u a de los vectores directores de r1 y r2 . Una vez conocido este vector se puede obtener la perpendicular com´n u a ambas rectas por el siguiente procedimiento: 1. Calcular el plano π1 que contiene a r1 y a la perpendicular com´n. Este plano st´ determinado por u a un punto cualquiera de r1 y por los vectores directores de r1 y de la perpendicular com´n. u 2. De la misma manera se calcula la ecuaci´n del plano π2 que contiene a r2 y a la perpendicular o com´n. u 3. La recta buscada es la intersecci´n de los planos π1 y π2 (ver figura 4). o Ejercicio 13 Calcular la ecuaci´n de la perpendicular com´n a las rectas: o u x−2 y z+1 x+3 y+1 z−1 r1 : = = ; r2 : = = 1 −1 3 2 1 1 El vector director de la perpendicular com´n es el producto vectorial de los vectores directores de las dos u rectas, u1 (1, −1, 3) y u2 (2, 1, 1): u1 × u2 = (−4, 5, 3) El plano que contiene a r1 y a la perpendicular com´n es: u x−2 y z+1 1 −1 3 =0 =⇒ −18x − 15y + z + 37 = 0 −4 5 3
  18. 18. 9 DOS PROBLEMAS 18 Figura 4: Perpendicular com´n a dos rectas u El plano que contiene a r2 y a la perpendicular com´n es: u x+3 y+1 z−1 2 1 1 =0 =⇒ −x − 5y + 7z − 15 = 0 −4 5 3 de forma que la ecuaci´n de la perpendicular com´n como intersecci´n de planos es: o u o { −18x − 15y + z + 37 = 0 −x − 5y + 7z − 15 = 0 Ejercicio 14 Calcular la ecuaci´n de la perpendicular com´n a las rectas: o u x−1 y z−1 x−2 y−1 z−3 r1 : = = : r2 : = = 1 2 1 2 1 1 Resolveremos este problema por un procedimiento diferente. El vector director director de la perpendicular com´n es: u u1 × u2 = (1, 1, −3) Sean A1 y A2 los puntos de corte de la perpendicular com´n con las rectas r1 y r2 . Puesto que estos u puntos est´n sobre estas rectas, sus coordenadas son: a A1 (1 + λ, 2λ, 1 + λ); A2 (2 + 2µ, 1 + µ, 3 + µ) −− −→ y el vector A1 A2 es: −− −→ A1 A2 = (2µ − λ + 1, µ − 2λ + 1, µ − λ + 2) Este vector tiene la direcci´n de la perpendicular com´ n, poe ello sus coordenadas y las del producto o u vectorial u1 × u2 que tiene la misma direcci´n deben ser proporcionales: o 2µ − λ + 1 µ − 2λ + 1 µ−λ+2 = = 1 1 −3
  19. 19. 9 DOS PROBLEMAS 19 Resolviendo este sistema resulta: 5 −5 λ= ; µ= 11 11 Sustituyendo estos valores de λ y µ se obtiene que los puntos de corte de las rectas con la perpendicular com´n son A1 ( 11 , 10 , 11 ) y A2 ( 12 , 11 , 11 ). La ecuaci´n de la perpendicular com´n es: u 16 11 16 11 6 28 o u x − 16 11 y − 10 11 z − 16 11 = = 1 1 −3 Este procedimiento permite calcular no solamente la ecuaci´n sino a la vez los puntos de corte de las dos o rectas con la perpendicular com´n. Adem´s podr´ obtenerse f´cilmente la distancia entre las dos rectas u a ıa a como la distancia entre A1 y A2 .

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