Fisica Moderna

1
Física Moderna
Teoría de la Relatividad Especial
IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
La primera mención de lo que hoy conocemos como Principio de Relatividad se debe a Galileo, quien en
su obra Diálogo sobre los dos sistemas del mundo (1632), señala la imposibilidad de distinguir entre
sistemas en reposo o con movimiento rectilíneo y uniforme:
"Encerraos con un amigo en la cabina principal bajo la cubierta de un barco grande, y llevad
con vosotros moscas, mariposas, y otros pequeños animales voladores ... colgad una botella
que se vacíe gota a gota en un amplio recipiente colocado por debajo de la misma ... haced
que el barco vaya con la velocidad que queráis, siempre que el movimiento sea uniforme y no
haya fluctuaciones en un sentido u otro. ... Las gotas caerán ... en el recipiente inferior sin
desviarse a la popa, aunque el barco haya avanzado mientras las gotas están en el aire... las
mariposas y las moscas seguirán su vuelo por igual hacia cada lado, y no sucederá que se
concentren en la popa..."
Galileo Galilei
Una consecuencia de lo expuesto es que el movimiento es siempre relativo. Sólo podemos afirmar que
un cuerpo se mueve o permanece en reposo respecto del sistema de referencia tomado. La forma en
que se mueve también dependerá del sistema elegido.
La mecánica de Newton cumple con el principio de relatividad, ya que según la Primera Ley o Principio de
Inercia:
Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o todas las que actúan se compensan dando
una resultante nula, el cuerpo no variará su velocidad. Esto es: si está en reposo,
permanece en reposo; si se mueve, lo hará con movimiento rectilíneo y uniforme (v =cte)
Una consecuencia de la primera ley de Newton es que reposo y movimiento rectilíneo y uniforme son
estados de equilibrio del cuerpo (sobre el cuerpo no actúa fuerza neta alguna) y son físicamente
equivalentes (sistemas de referencia inerciales).
Como todos los sistemas de referencia inerciales (SRI) son mecánicamente equivalentes, las leyes
de Newton tienen la misma forma en todos ellos. Por tanto podemos reformular el Principio de
Relatividad en la forma:
Velocidad de la luz y Principio de Relatividad
Es imposible determinar, mediante un experimento de tipo mecánico, si un
sistema está en reposo o moviéndose con movimiento rectilíneo y uniforme.
NOTA
Algunos de los conceptos y razonamientos recogidos en este tema tienen por fuente el
libro Construyendo la relatividad de M.F. Alonso y Vicent F. Soler, cuya lectura se
recomienda a quienes deseen un conocimiento más profundo de la teoría.

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Teoría de la Relatividad Especial
2
A pesar de que el principio de relatividad parecía firmemente asentado entre las leyes de la Física,
los descubrimientos realizados sobre electromagnetismo en la segunda mitad del s. XIX parecía que
ponían en peligro la extensión de este principio más allá de los dominios de la mecánica.
Según las ecuaciones obtenidas por Maxwell la luz era una onda electromagnética que se propagaba con
una velocidad que dependía de las características del medio (permitividad y permeabilidad). Lo realmente
extraño de las nuevas ondas era que, aparentemente, no necesitaban medio alguno para propagarse, cosa
que en la época era difícilmente asimilable. Todas las ondas conocidas hasta entonces (ondas mecánicas)
necesitaban de un medio que propagara la perturbación. La luz, en consecuencia, se propagaría también en
un medio que llenaba el universo entero y al que se le dio el nombre de éter lumínico. La velocidad de
propagación respecto del éter sería:
El elevado valor de la velocidad de la luz hacía del misterioso éter una sustancia con propiedades poco
comunes:
• Debería de tener una rigidez superior a la del acero.
• Debería de ser extremadamente tenue, ya que los planetas, por ejemplo, se mueven a través de
él sin modificar su velocidad apreciablemente.
Lo esencial era que la luz tenía una velocidad determinada (300 000 km/s) respecto del éter, lo que
llevaba a plantear cuestiones básicas para la Física, pues considerando un sistema anclado en el
éter, la velocidad de la luz dependía del movimiento relativo fuente-observador y el principio de
relatividad dejaba de ser válido. Veamos por qué:
Si suponemos un sistema de referencia situado en el éter, podríamos detectar si un sistema se mueve o
no respecto de él. Tendríamos, por tanto, un sistema de referencia privilegiado y, mediante un
experimento (de tipo óptico), podría detectarse el reposo o movimiento (absoluto), violándose de esta
manera el principio de relatividad. El éter jugaba el papel de un sistema de referencia absoluto
respecto del cual podemos afirmar (de manera absoluta) si estamos en reposo o moviéndonos con
velocidad constante.
Según la física clásica las velocidades de un punto (ver figura) medidas desde un sistema en reposo
(sistema O) y uno que se mueve con velocidad v (sistema O') están relacionadas por la expresión
Luego la velocidad del punto medida desde el sistema en movimiento (O') será:
Cuando el punto se mueva acercándose a los sistemas de referencia, tendremos:
c
C
.
= =
ε µ
π
2
0 0
9
1 1
1
4 9 10 N
N
.
m
−
π 7
2
4 10
s
C
2
2
m
.
s
= 8
3 10
Los sistemas O y O' coinciden
inicialmente. El punto está en
el origen de ambos.
El sistema O' se aleja del
sistema O con una velocidad v.
El punto se aleja, de ambos
con cierta velocidad, que será
distinta según se mida desde O
o desde O'
o
o' o o' o o'
x
v
t
x' x' vt x'
v v v v v v v v
t t t
x x' vt

= 

+
= = = + = + = +

= +


o' ov v v= −
o' ov v v= +

3
Supongamos ahora un vagón de tren (en reposo) y dos observadores, uno situado en el interior, y otro
(mujer), en el exterior, que mide desde el sistema de referencia anclado en el éter (fijo). Imaginemos que
ahora se emite un fotón (círculo rojo) desde uno de sus extremos. Ambos observadores miden idéntica
velocidad:
Si consideramos ahora al vagón moviéndose
hacia la derecha con velocidad v, el observador
situado en su interior obtendrá que para recorrer
el mismo espacio (L), la luz emplea ahora un
tiempo t' (mayor que t, el medido cuando estaba
en reposo). Luego obtendrá para la velocidad de
la luz un valor:
pero como t'>t c'<c
Así que con un simple experimento de tipo óptico
(medir la velocidad de la luz) el observador podría
determinar si está en reposo o en movimiento, lo
que invalida el principio de relatividad
Lógicamente el observador situado en reposo sigue
midiendo el mismo valor, ya que aunque la luz tarde
más en llegar a la pared opuesta del vagón recorre
también un mayor espacio:
Expresión que coincide con lo predicho por la física
clásica (ver más arriba).
El encontrar que la velocidad de la luz era distinta si se medía en reposo o en movimiento respecto de la
fuente era equivalente a detectar el llamado "viento del éter", ya que el efecto es similar a cuando se corre
a favor o en contra del viento.
Con el propósito de comprobar la dependencia de la velocidad de la luz con el movimiento fuente-
observador, Michelson y Morley realizaron en 1887 un experimento de gran importancia para el posterior
desenvolvimiento de la física
(1)
El experimento trataba de detectar la diferente velocidad de la luz cuando la fuente luminosa (o el
observador) se acercan o alejan. Se trataba de detectar el "viento del éter".
El experimento fue repetido multitud de veces obteniéndose que la velocidad de la luz, en contra de
lo esperado, era independiente del movimiento de la fuente.
(Experimento de Michelson y Morley en: https://www.youtube.com/watch?v=6-2HcBtlM-U)
(1)
Michelson había realizado ya el experimento en 1881, pero los errores cometidos hicieron que los
resultados no fueran considerados válidos.
L km
v 300 000
t s
= =
L
c'
t'
=
L vt'
c c' v
t'
+
= = +
Observador en reposo respecto de
la fuente luminosa.
Mide una velocidad igual a c
Observador acercándose a la
fuente luminosa.
Mide una velocidad igual a c - v
Observador alejándose de la
fuente luminosa.
Mide una velocidad igual a c+v

4
Albert Einstein en 1905
Albert Einstein (1879-1955) (quien según sus propias palabras desconocía el experimento de Michelson y
Morley) plantea una solución orientada a salvar el principio de relatividad. El principio de relatividad
debería de ser válido tanto para la mecánica como para el electromagnetismo y la óptica.
En el fondo estaba una clara apuesta por la universalidad de las leyes de la física. Su planteamiento
implicaba dos suposiciones básicas:
• Prescindir del éter lumínico y con él de un sistema de referencia privilegiado respecto del
cual podamos determinar si un cuerpo está en movimiento o reposo absoluto, lo que equivale a
mantener la vigencia del principio de relatividad.
• Mantener la afirmación de Maxwell según la cual las ondas electromagnéticas (por consiguiente
la luz) se propagan con una velocidad de 300 000 km/s, pero como ahora no existe el éter como
medio de propagación, postula que esa velocidad es siempre la misma con independencia del
movimiento de la fuente respecto del observador. Esta afirmación equivale a elevar la
velocidad de la luz a rango de ley física.
Einstein publicó (1905) un total de cuatro artículos en la revista Annalen der
Physik, de singular importancia. Uno de ellos, Sobre la electrodinámica de los
cuerpos en movimiento, contenía los postulados y el desarrollo básico de la que
desde entonces se conocería como Teoría de la Relatividad Especial (TER).
La teoría se sustentaba en dos postulados que recogen el razonamiento
expuesto más arriba.
La TER daba solución a los problemas planteados pero, a cambio, los
conceptos de espacio y tiempo hasta entonces vigentes, y fuertemente
arraigados en la forma de pensar, deberían ser revisados.
La Teoría de la Relatividad ha significado desde entonces una forma nueva de
entender la realidad que, a veces, parece entrar en conflicto con el sentido
común.
La consideración de la velocidad de la luz como un invariante (segundo postulado) nos llevará a concluir
(ver más adelante) que el espacio y el tiempo no son absolutos (la medida efectuada para cada una de
estas magnitudes no es independiente del estado de movimiento del observador que realiza la
medida). Además, espacio y tiempo no son independientes, ambos están ligados formando lo que se
llama un continuo espacio-tiempo.
Según Newton tanto espacio como tiempos son conceptos absolutos. Es decir, el valor de un intervalo
de tiempo o uno espacial son independientes del estado de movimiento de los observadores. Un observador
en reposo y otro en movimiento respecto del primero obtendrán la misma medida. Además son conceptos
independientes, no ligados entre sí.
La física newtoniana se acomoda mucho mejor a nuestro sentido común. Este, no obstante, sólo es la forma
de razonar dependiente de nuestras experiencias. Nuestro sentido común nos indica la manera que
esperamos que sucedan las cosas como resultado de las experiencias que tenemos, pero nuestras
experiencias no han sido adquiridas a velocidades próximas a las de la luz.
Primer postulado
Las leyes de la electrodinámica y de la óptica son
válidas en todos los sistemas de referencia para los
que son ciertas las leyes de la mecánica.
Segundo postulado
La luz se propaga en el vacío con una velocidad, c,
independiente del estado de movimiento de la fuente
emisora.
Teoría de la Relatividad Especial
Equivale a afirmar la total
validez del Principio de
Relatividad.
No existe un sistema de
referencia privilegiado
(éter) que podamos
considerar en reposo
absoluto.
La velocidad de la
luz tiene siempre
el mismo valor,
independiente del
movimiento del
observador o de
la fuente.

5
Se muestran a continuación algunas de las consecuencias derivadas de la aplicación de los postulados.
1. Dilatación del tiempo
Una de las conclusiones más sorprendentes de la TER es que el tiempo deja de ser un absoluto
que transcurre igual para todos los observadores (tal y como consideraba la mecánica de
Newton), para convertirse en algo relativo que depende del movimiento de quien lo mide.
En la figura se muestran dos observadores, uno (hombre) situado en el interior de un laboratorio que
consideramos que se mueve, según el eje x, con una velocidad v respecto de otro (mujer) que
suponemos en reposo y en el exterior del laboratorio.
En el interior del laboratorio se realiza un sencillo experimento: un pulso de luz parte de un emisor
situado en el suelo del laboratorio, se refleja en un espejo situado en el techo y vuelve al suelo,
donde es detectado.
Definimos tiempo propio (t0) y tiempo impropio (t) de la manera siguiente:
Según las conclusiones de la teoría el tiempo propio y el impropio no son iguales y están
relacionados por la siguiente expresión:
Obtenemos que el mismo suceso requiere un tiempo mayor para el observador considerado en
reposo. El reloj del observador situado en el interior del laboratorio atrasa respecto del reloj
del observador considerado en reposo.
El tiempo transcurre más lentamente para el observador en movimiento. El tiempo se dilata
cuando nos movemos a velocidades próximas a las de la luz.
Tiempo impropio (t)
El inicio (partida del pulso de luz desde
el suelo) y final del suceso (llegada al
receptor del suelo) ocurren en distinto
lugar.
Para determinar el inicio del suceso y su
final se usan relojes distintos que han
de estar sincronizados.
Tiempo propio (t0)
El inicio (partida del pulso de
luz desde el suelo) y final del
suceso (llegada al receptor del
suelo) ocurren en el mismo
lugar.
Para determinar el inicio del
suceso y su final se usa un
mismo reloj.
0 0 02
2
1
1
1
∆ = ∆ = γ ∆ ∆ = γ ∆ γ >
−
t t t t t
v
c
Cualquier intervalo de tiempo impropio ( ) es siempre mayor que el de tiempo propio ( )0t∆t∆

6
Supongamos que el laboratorio se mueve respecto del observador situado fuera a una velocidad
igual a 0,90 c (90 % de la velocidad de la luz) y que el observador situado en el laboratorio obtiene
que la luz tardó 1,000 s en hacer el recorrido indicado. El observador situado fuera (y que
consideramos en reposo) medirá que la luz tarda en realizar ese recorrido:
2. Contracción de las longitudes
Pensemos en dos observadores, uno en reposo y otro en movimiento, que quieren determinar la
distancia entre la Tierra (inicio del viaje) y Marte (final del viaje). Como para ambos observadores la
velocidad de la luz debe de ser la misma, y teniendo en cuenta que el tiempo medido por ambos
observadores no es el mismo, hemos de concluir que el espacio medido tampoco ha de ser igual.
De forma análoga a lo que hemos visto para el tiempo se definen la longitud propia y la longitud
impropia
Las distancias (medidas en la misma dirección del movimiento) se contraen para un
observador en movimiento respecto de uno que consideramos en reposo.
En el supuesto anterior (v =0,80c) si el observador situado en el laboratorio (considerado en
movimiento) mide una distancia a Marte de 59 10
6
km, el observador que viaja en la nave medirá:
( )
02 2 2
2
1 1
0 901 1
∆ = ∆ =
− −
t t
v , c
c 2
c
1 000 2 294 1 000 2 294= =, s , . , s , s
( )
2 22
0 022
2
0 801
1 1
1
∆ = ∆ ∆ = − ∆ = −
−
, cv
L L , L L
cv
c
2
c
6 6
59 10 35 3 10=km , km
Cualquier longitud propia (L0) es siempre mayor que la longitud impropia (L)
0 0
2
2
1
1
1
∆ = ∆ = γ ∆ ∆ = γ ∆ γ >
−
L L L L L
v
c
Longitud impropia (L)
Los puntos que determinan los extremos de
la longitud a medir no están en reposo.
El observador situado en el interior de la
nave mide una longitud impropia.
Longitud propia (L0)
Los puntos que determinan los extremos de la longitud a
medir están en reposo.
La observadora situada fuera mide una longitud propia.
Inicio Final

7
Los sucesos ya no tienen lugar en un espacio y en un tiempo independientes entre sí (tal y como se
suponía en la mecánica newtoniana), para tener lugar en un continuo espacio-tiempo en el cual
ambas magnitudes están conectadas.
3. La velocidad de la luz es un límite superior para cualquier entidad física
Si algo pudiera tener una velocidad igual o superior a la de la luz, ésta nunca podría
propagarse respecto de ella con velocidad c, lo que viola uno de los postulados. Esta
consideración es de suma importancia en la TER, pudiendo, incluso, tomarse como punto de partida
de la misma. El propio Einstein declaró que "la Teoría de la Relatividad es un nuevo tipo de
mecánica caracterizada por el hecho de que ninguna velocidad puede superar a la de la luz".
La existencia de un límite superior de velocidades
entra en contradicción con la segunda ley de
Newton (F = m a), ya que según la dinámica
newtoniana si aplicamos una fuerza a un objeto éste
aumentaría su velocidad sin límite alguno.
En la gráfica se muestra la diferencia entre la
dinámica de Newton y la TER. Ambas coinciden
cuando v<< c, pero en la TER la velocidad de la luz
es un límite máximo infranqueable.
Los postulados de la TER obligan, por tanto, a
rehacer completamente la dinámica de Newton.
4. La simultaneidad de dos sucesos depende del sistema de referencia
Supongamos (ver figura) que se generan sendos destellos luminosos (1 y 2) en la parte delantera y
trasera del vagón en el momento en que ambos puntos están equidistantes del observador situado
fuera. Ambos destellos recorren el mismo espacio y, por consiguiente, alcanzarán al observador
externo al mismo tiempo. Éste concluirá, por tanto, que ambos destellos han sido simultáneos.
El observador situado en el interior tiene una velocidad v hacia la derecha respecto del observador
exterior y se dirige al encuentro del destello originado en la parte delantera (1) a una velocidad v. Al
cabo de un tiempo t el vagón, y con él su ocupante, se desplaza un espacio v t, pasando de estar
en la posición A a estar en la B. Este observador será alcanzado antes por el destello delantero y
después por el que procede de la parte trasera. Para él los destellos no son simultáneos.
La simultaneidad es un concepto relativo y no absoluto.
La dinámica newtoniana y
la TER coinciden para
velocidades muy inferiores
a la velocidad de la luz
El significado profundo de la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes radica
en que si aceptamos los postulados de la TER, el tiempo y el espacio dejan de ser
magnitudes independientes para estar íntimamente relacionadas.

8
5. Relación masa- energía
Tal y como se ha dicho más arriba la segunda ley de la dinámica de Newton resulta incompatible
con los postulados de la TER. Había que construir, por tanto, una nueva dinámica adaptada a la
nueva concepción del espacio-tiempo que subyace en la teoría de Einstein (espacio y tiempo son
magnitudes mutuamente dependientes).
La expresión fundamental en dinámica relativista para una partícula relaciona su masa, energía y
momento lineal en la forma:
Partiendo de esta expresión podemos llegar a algunas importantes conclusiones:
Si suponemos un sistema de referencia, respecto del cual la partícula está en reposo, su momento
lineal (p= m v) será nulo, obteniendo entonces:
E0 es la llamada energía propia o energía en reposo de la partícula.
La ecuación que define la energía propia de una partícula permite expresar la masa en
unidades de energía (lo que es muy útil cuando se trabaja con partículas).
En física de partículas se utiliza como unidad de energía la adquirida por un electrón (carga:
1,60 .10
-19
C) cuando es sometido a una diferencia de potencial de 1 V. Esta unidad se
denomina electrón-voltio y se abrevia como eV.
E = e V = 1,60. 10
-19
C . 1 V = 1,67. 10
-19
J.
La energía correspondiente a la masa en reposo de un electrón (9,11 .10
-31
kg) será:
Se dice que la masa de un electrón son 0,000513 GeV.
También podemos decir que la masa de un electrón son 0,000513 GeV/c
2
(ya que m = E /c
2
)
Siguiendo el mismo procedimiento podemos calcular la masa de un protón (1,67 10
-27
kg):
NOTA: Las masas admitidas para el electrón y el protón son de 0,000511 GeV/c
2
y 0,938
geV/c
2
, respectivamente
La ecuación(E=mc
2
) plantea la equivalencia entre masa y energía. En palabras del propio
Einstein: "masa y energía son esencialmente análogas, pues sólo son expresiones del mismo
ente"
La TER predice, por tanto, la posibilidad de obtener enormes cantidades de energía a partir de la
aniquilación de pequeñas cantidades de materia, posibilidad que condujo a la construcción de la
primera bomba atómica.
Otra posibilidad es la de crear partículas con masa a partir de pura energía
E (m c ) (p c) m c p c= + = +2 2 2 2 2 4 2 2
E m c= 2
0
1 eV = 1,60. 10
-19
J
2
2 31 8 2 14
2
14
9 11 10 3 10 8 20 10
8 20 10
− −
−
= = =
m
E m c , kg ( ) , J
s
, J 19
1
1 60 10−
eV
, J
5
5 13 10 0 513 0 000513= = =, eV , MeV , GeV
2
2 27 8 2 10
2
10
1 67 10 3 10 1 50 10
1 50 10
− −
−
= = =
m
E m c , kg ( ) , J
s
, J 19
1
1 67 10−
eV
, J
8
8 98 10 898 0 898= = =, eV MeV , GeV

9
La "materialización de la energía" queda patente en la fotografía que se muestra y que corresponde
a trazas dejadas por partículas cargadas en un detector.
Un chorro de mesones K
-
entra desde la izquierda. Su trayectoria se curva muy ligeramente en el
sentido de las agujas del reloj (debido al campo magnético perpendicular al papel y entrante) ya que
tienen una masa considerable.
En el centro de la imagen uno de los mesones se desintegra dando lugar a dos nuevas partículas
cargadas (ver traza roja en la fotografía) y un rayo gamma de alta energía. Este no deja traza
alguna al carecer de carga, pero da lugar a un par electrón-positrón (creación de partículas a partir
de energía) cuyas trazas en espiral pueden apreciarse claramente.
La espiral de la derecha (curvada en el sentido de las agujas del reloj) pertenece al electrón y la de
la izquierda (curvada en sentido contrario a las agujas del reloj) al positrón.
Ejemplo 1
Un fotón con una energía de 1,32 .10
-12
J se materializa en un par electrón-positrón. Calcular la
energía cinética del par resultante.
DATOS: me= 9,1 .10
-31
kg
Solución:
La energía del fotón inicial se materializa en un par de partículas (partícula-antipartícula). La
energía correspondiente a la masa del electrón (que será idéntica a la del positrón) será:
Por tanto la energía total correspondiente a las partículas generadas será:
Aplicando el principio de conservación de la energía deducimos que las partículas
generadas deberán tener una energía cinética de:
Expresándola en eV:
( )
2
2
2 31 8 14
2
m
E m c 9,1 10 kg. 3 10 8,2 10 J
s
− −
= = =
( )14 13
TotE 2. 8,2 10 J 1,6 10 J− −
= =
12 13 12
cE 1,32 10 J 1,6 10 J 1,2 10 J− − −
= − =
12
cE 1,2 10 J−
= 19
1eV
1,67 10 J−
6
7,2 10 eV 7,2 MeV= =

1
Fig 1
Fig 2
Diagramas espacio-tiempo
Diagramas de Minkowski
IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
(Referencia: Construyendo la Relatividad. Manuel F. Alonso Sánchez y Vicent F. Soler Selva)
Una herramienta muy útil para entender algunos de los conceptos y consecuencias de la Teoría de la Rela-
tividad Especial (TER) son los llamados diagramas de Minkowski. La versión bidimensional de los mismos
nos ayuda, al situarnos en sólo dos dimensiones, a entender conceptos que podemos después extrapolar al
continuo espacio-tiempo tetradimensional. En estos diagramas en el eje de ordenadas se sitúa el tiempo (t)
y en el de abscisas la posición espacial (x), aunque normalmente por un problema de escala se multiplica el
tiempo por la velocidad de la luz (c). De esta manera en el eje y representamos el espacio recorrido por la
luz en el tiempo considerado (ya que espacio recorrido y tiempo empleado son proporcionales: x = c t).
La historia de un punto (dónde está y en qué instante)
quedará entonces registrada por una línea en ese
diagrama. Por ejemplo, algo que permanezca estático
se indicará con una línea paralela al eje de los tiem-
pos. Si se mueve, esa línea se irá inclinando a derecha
o izquierda de la vertical (hacia adelante o hacia atrás),
tanto más cuanto mayor sea su velocidad.
Un cuerpo que se mueva a la velocidad de la luz se
situará a lo largo de una línea cuya pendiente sean 45
0
(punto verde, Fig 1). Cualquier velocidad inferior a la
luz vendrá representada por una línea de menor incli-
nación respecto de la vertical (punto azul). Las líneas
que representen movimientos con velocidades supe-
riores a las de la luz (punto rojo) no son posibles según
la TER.
El universo accesible para un suceso quedará entonces
en el interior de las dos líneas (un cono en un espacio
tridimensional) que representan la velocidad de la luz
hacia arriba del suceso y hacia abajo del mismo (Fig 2).
El acceso al sector superior implica viajar en el sentido
positivo del eje de ordenadas (tiempo creciente), es de-
cir, representa el futuro accesible, ya que sucesos
contenidos en este área pueden estar relacionados
causalmente. Esto es, uno (el que suceda antes, por
ejemplo la aplicación de una fuerza) puede ser causa
del otro (el que suceda después, aparición de una
aceleración). Un punto situado en el exterior del sector
señalado, nunca será accesible, Es decir, no puede
relacionarse causalmente con otro situado en el
interior del cono, no puede existir ningún tipo de
interacción entre ambos, puesto que implicaría viajar
a velocidades superiores a las de la luz. Obsérvese que
también es posible (al menos teóricamente) viajar hacia
el pasado (tiempo decreciente), siempre que lo
hagamos a una velocidad inferior a la de la luz. Por eso
el sector que agrupa todos los posibles viajes se
denomina pasado accesible.

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Diagramas de Minkowski
2
Fig 3
Fig 4
Los diagramas de Minkowski permiten deducir
también qué es lo que pasa en dos sistemas de
referencia que se estén moviendo con velocidad
constante uno respecto del otro.
El origen de un sistema que se desplace hacia la
derecha con determinada velocidad tendría una
historia descrita por la línea azul situada por encima
de la que representa v =c (Fig 3)). Como la velocidad
de la luz debería de ser exactamente igual a la de un
observador en reposo, el eje de abscisas debería de
ser simétrico al de ordenadas respecto a la línea v=c.
Luego ambos ejes formarían una especie de V cuya
bisectriz sería la línea v =c y podríamos obtener el
valor de x y t para cada sistema proyectando la po-
sición del punto sobre ambos ejes.
En el siguiente diagrama (Fig 4) se representan dos
sucesos. El suceso F representa la fecundación de
una persona y N el nacimiento. Como se ve el
nacimiento no se produce en el mismo lugar en el
que ha tenido lugar la fecundación, ya que ha
habido un desplazamiento (a velocidad siempre
inferior a la de la luz, desplazamiento en el interior
del cono de luz). La fecundación es la causa del
nacimiento y, en consecuencia, siempre debe ser
anterior a éste (Principio de Causalidad: la causa
siempre precede al efecto).
La primera cosa que llama la atención es que el
intervalo temporal (tN-tF) para el sistema en reposo y
(t’N-t’F) para el sistema en movimiento, no es el mis-
mo. Es menor para el sistema en movimiento. Otro
tanto se puede argumentar para los intervalos
espaciales (xN-xF) y (x’N-x’F). Esto es, exactamente,
lo que predice la TER. El tiempo transcurre más
lentamente para un observador en movimiento y
las longitudes se acortan.
Podemos plantear ahora una pregunta inquietante: ¿puede existir un sistema en el cual N (el nacimiento
de una persona) pueda ser anterior a F (su fecundación)? De ser así se burlaría el Principio de Causali-
dad y se llegaría a un absurdo.
La respuesta es negativa, siempre que se cumplan los postulados de la TER. Para que fuera posible deber-
ía de ser posible viajar a velocidades superiores a las de la luz.

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Diagramas de Minkowski
3
Fig 5
Un viaje de este tipo está representado en el diagrama de la figura 5, donde el suceso representado por el
segundo punto rojo se ha desplazado fuera del cono de luz (v>c). En este caso, y en el sistema en mo-
vimiento, el nacimiento (¡increíblemente¡) es anterior a la fecundación, el Principio de Causalidad se viola.
Si se pudiera viajar a velocidades superiores a
las de la luz se violaría el Principio de Causalidad
y, entonces, serían posibles situaciones absurdas en
las que alguien viaja al pasado y mata a su padre,
con lo cual se imposibilitaría su propio nacimiento. O
que (como se cuenta en una película bastante
popular) en el viaje al pasado conozcas a la que
después sería tu madre, te enamores y te cases con
ella. ¿Es posible que una misma persona sea su
propio padre?
Hace poco los neutrinos saltaron a la prensa como
protagonistas de supuestos viajes a velocidades
superiores a las de la luz. La conmoción en el
mundo científico fue extraordinaria. Ahora podemos
entender por qué. Una física en la que no se respete
el Principio de Causalidad no parece que tenga
muchos visos de ser viable. La grieta sería de-
masiado profunda, el edificio se derrumbaría como
un castillo de naipes. Afortunadamente las aguas
volvieron a su cauce al comprobar que un mal
contacto en uno de los ordenadores había
provocado un error en las mediciones.

1
DILATACIÓN DEL TIEMPO
CONTRACCIÓN DE LONGITUDES
IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
(Mi agradecimiento y más expresivas gracias a Manuel F. Alonso Sánchez
(1)
,
verdadero experto en la enseñanza de la Relatividad, por la revisión de estas
notas y sus valiosísimas sugerencias para mejorarlas)
Una de las consecuencias más sorprendentes que ofrece el desarrollo de los postulados de Einstein para la
Teoría de la Relatividad Especial es la pérdida del carácter absoluto del tiempo. Esto es, el tiempo no
transcurre igual para dos observadores que se muevan uno respecto del otro.
Trataremos de aclarar este hecho sorprendente con un ejemplo.
Imaginémonos a una observadora en reposo, Lise (en recuerdo de Lise Meitner) que dispone de un amplio
panel con el que controlar distancias, tiempo, velocidades y posibles destinos (ver imagen) de cualquier
nave espacial. Lise se pone de acuerdo con Alberto (Albert Einstein) que viaja en su nave a la increíble
velocidad de 0,80 c. Esto es, a 240 000 km/s (864 .10
6
km/h). Ambos acuerdan que Alberto se dirija al
planeta Marte, aprovechando su máxima aproximación a la Tierra. En estas condiciones Lise sabe que
Marte se encuentra a 59 millones de km de la Tierra (distancia propia L0).
Cuando Alberto pasa por donde se encuentra Lise los instrumentos que en su nave miden tiempo (propio,
t0) y distancia (impropia, L) se ponen a cero y se inicia el viaje...
Lise realiza sus cálculos. Como conoce la velocidad de Alberto y la distancia (propia, L0) que debe recorrer
deduce que el tiempo (impropio, t) empleado en el viaje deberá de ser:
Ambos se han puesto de acuerdo en que cuando Alberto llegue a su destino envíe información a Lise sobre
las lecturas de los instrumentos de a bordo (la información no llegará inmediatamente ya que al ser
transmitida mediante ondas electromagnéticas viaja a la velocidad de la luz con lo que tardará 196,67 s en
llegar. Esto es, 3 min 17 s).
(1)
Manuel F. Alonso, Vicent F. Soler Selva, Construyendo la Relatividad, Equipo Sirius, 2002.
http://intercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/construyendo-relatividad.htm
6
0L 59 10 km
t
v
∆
∆ = =
5 km
2,4 10
246 s 4 min 6 s
s
= =
Tiempo propio, t0
Distancia impropia, L
Tiempo impropio, t
Distancia propia, L0

2
Cuando Lise recibe la información de los paneles de la nave comprueba que ni el tiempo transcurrido ni
el espacio recorrido coinciden con sus mediciones.
Los instrumentos de medida de su nave muestran que Alberto ha invertido en su viaje 2 min y 27 s frente a
los 4 min 6 s calculados por Lise. El reloj de Alberto ha ido considerablemente más despacio que el
que usa Lise. El tiempo en la nave (tiempo propio) se ha dilatado respecto al medido por el
observador en reposo (tiempo impropio) .
Esto podría resultar paradójico. ¿Cuál de los dos observadores lleva razón? ¿Cuál es el tiempo verdadero?
La respuesta a estas preguntas puede resultar sorprendente: ambos tienen razón. Ambas medidas de
tiempo son correctas.
¿Cómo es posible? Si aceptamos como buenos los cálculos realizados por Lise (y no hay ninguna razón
que nos induzca a considerarlos erróneos) y su tiempo es correcto, ¿cómo es posible que el tiempo que
Alberto da también lo sea?.
La razón podemos hallarla en el dato de distancia recorrida. Alberto ha recorrido, según sus medidas, no
los 59 10
6
km que mide Lise, sino sólo 35 329 341,320 km. Es decir, la distancia medida desde su sistema
de referencia (distancia impropia) es menor que la medida por el observador en reposo (distancia propia).
Las distancias se contraen (en la dirección de la velocidad) cuando se miden por un observador en
movimiento. La distancia propia siempre es inferior a la distancia impropia.
Efectivamente los cálculos que Alberto realiza coinciden con lo que muestran sus paneles de datos:
Tiempo empleado (propio): 2 min 27 s (147,2 s)
Velocidad: 240 000 km/s
Distancia recorrida (impropia):
Alberto, por tanto, justifica el menor tiempo empleado en el viaje como consecuencia de que la
distancia recorrida es menor de 59 10
6
km.
Según la cinemática relativista (ver apuntes en FisQuiWeb) el tiempo propio ( t0 ) y el impropio ( t ) vienen
relacionados por la expresión:
5
0
km
L v t 2,4 10
s
∆ = ∆ = .147,2 s 35 329 341,320 km=
0 0
2 2
2 2
1 1
1
1 1
∆ = ∆ = γ ∆ γ = γ ≥
− −
t t t Donde :
v v
c c
Tiempo propio, t0
Tiempo impropio, t

3
Y las distancias propia (L0) e impropia (L) por:
En este caso:
Por tanto:
Resultados que coinciden plenamente con lo observado.
La consideración de la velocidad de la luz como un invariante (segundo postulado) nos conduce a concluir
que el espacio y el tiempo no son absolutos (la medida efectuada para cada una de estas magnitudes
no es independiente del estado de movimiento del observador que realiza la medida). Además, no
son independientes, ambos están ligados formando lo que se llama un continuo espacio-tiempo. Si
dos observadores no miden el mismo tiempo eso lleva implícito que tampoco medirán el mismo espacio, ya
que ambas magnitudes deben de estar ligadas si queremos preservar la invarianza de c.
Lo que Lise interpreta como una dilatación del tiempo (el tiempo transcurre más lentamente en la
nave), es interpretado por Alberto como una contracción de la distancia Tierra-Marte.
Conviene aclarar que la dilatación del tiempo no es debida a un mal funcionamiento del reloj, sino que el
propio tiempo transcurre más lentamente. Todo en la nave va más lento (desde el punto de vista de
Lise): los procesos metabólicos de Alberto o el ritmo al que late su corazón, también. Al final del viaje
Alberto es 1 min y 39 s más joven que Lise.
Esta manera de ver las cosas es completamente contraria a los conceptos de espacio y tiempo manejados
en la física newtoniana.
Según Newton tanto espacio como tiempos son conceptos absolutos. Es decir, el valor de un intervalo
de tiempo o uno espacial son independientes del estado de movimiento de los observadores. Un observador
en reposo y otro en movimiento respecto del primero obtendrán la misma medida. Además son conceptos
independientes, no ligados entre sí.
La física newtoniana se acomoda mucho mejor a nuestro sentido común. Este, no obstante, sólo es la foma
de razonar dependiente de nuestras experiencias. Nuestro sentido común nos indica la manera que
esperamos que sucedan las cosas como resultado de las experiencias que tenemos, pero nuestras
experiencias no han sido adquiridas a velocidades próximas a las de la luz.
0
2
2
1
1
∆ = γ ∆ = ∆
−
L L L
v
c
2 2 2
2
1 1
0 801 1
γ = =
− −
v , c
c 2
c
1 67= ,
0 0 0
2
2
1 246
147 3 2 27
1 67
1
∆
∆ = ∆ = γ ∆ ∆ = = = =
γ
−
t s
t t t ; t , s min s
,v
c
6
0
0
2
2
1 59 10
35 329 341 32
1 67
1
∆
∆ = ∆ = γ ∆ ∆ = = =
γ
−
L km
L L L; L , km
,v
c

4
Describamos la situación ahora desde el punto de vista de Alberto.
Alberto ve a Marte acercándose con una velocidad igual a 0,80 c. Alberto mide un tiempo propio (t0 ) y
sus instrumentos le dan la distancia impropia (L). Marte está a 35 329 341,320 km.
Hace sus cálculos y encuentra que al cabo de 147, 2 s Marte habrá recorrido esa distancia habiendo, por
tanto, llegado a su destino:
Para Lise las cosas son algo diferentes. Para ella han pasado (tiempo impropio, t ):
y según sus instrumentos Alberto ha recorrido (distancia propia, L0):
0t t 1,67 .147,2 s 245,8 s ( t t )∆ = γ ∆ = = ∆ > ∆
5
0 2 4 10∆ = ∆ =
m
L v t ,
s
245 82, s 059 000 000= ∆ > ∆km ( L L)
Tiempo impropio, t
Tiempo propio, t0
Tiempo impropio, t
Tiempo propio, t0

5
Lise en reposo. Alberto en movimiento
Inicio del viaje
Tiempo propio: Alberto
Tiempo impropio: Lise.
Distancia propia: Lise
Distancia impropia: Alberto
Fin del viaje
Intervalo tiempo propio < Intervalo tiempo impropio
(02 min 27 s) (04 min 06 s)
Distancia propia > Distancia impropia
(59 10
6
km) (35,3 10
6
km)
Tiempo propio, t0
Tiempo impropio, t
Tiempo propio, t0
Tiempo impropio, t

6
Lise en movimiento. Alberto en reposo
Inicio del viaje
Tiempo impropio: Lise
Tiempo propio: Alberto
Distancia impropia: Alberto
Distancia propia: Lise
Tiempo impropio, t
Tiempo propio, t0
Tiempo impropio, t
Tiempo propio, t0
Fin del viaje
Intervalo tiempo propio < Intervalo tiempo impropio
(02 min 27 s) (04 min 06 s)
Distancia propia > Distancia impropia
(59 10
6
km) (35,3 10
6
km)

7
Lise observa la nave pasar frente a ella a una velocidad igual a 0,80 c. ¿Cuál es la longitud de la nave
según Lise?
Si Lise trata de medir la longitud de la nave, medirá una longitud impropia (L), ya que la nave está en
movimiento respecto de ella. El tiempo medido será sin embargo un tiempo propio (t0) ya que el suceso
(medida de la longitud de la nave) se inicia cuando la proa pasa delante de ella y finaliza cuando lo hace la
popa. Lise mide, por tanto, ambos instantes en el mismo lugar (o usando un único reloj).
Alberto, por su parte, mide una longitud propia (L0). Supongamos que 100,00 m, ya que la nave no se
mueve desde su punto de vista (y por tanto sus extremos están fijos), y el tiempo medido es ahora tiempo
impropio (t) ya que el principio (popa) y final (proa) de su nave se encuentran en distintos lugares.
Por tanto Lise verá la nave contraída (respecto de la medida que hace Alberto):
y tardará en pasar ante ella (t0):
El tiempo (impropio, t) para Alberto será:
0
0
L 100,00 m
L L ; L 59,88 m
1,67
∆
∆ = γ ∆ ∆ = = =
γ
0
e 59,88 m
t
v
= =
m
240 000
4
2,510 s 0,25 ms
s
−
= =
0t t 1,67. 0,25 ms 0,42 ms∆ = γ ∆ = =
Tiempo impropio, t
Tiempo propio, t0
Cualquier observador, inmóvil respecto a su reloj (y que, en consecuencia, mide un
tiempo propio) verá que se adelantan los relojes que se desplazan respecto de él.

8
Si describimos la situación respecto del observador situado en la nave, comprobamos que mide una
distancia propia (L0) y un tiempo impropio (t ) y ve a Lise moviéndose desde la proa de la nave hacia la popa
y que tarda en pasar ante su nave (100,00 m de longitud) 0,42 ms.
Evidentemente las medidas de tiempo y espacio no coinciden para ambos observadores.
En la figura de le derecha se muestra
una imagen de la contracción
sucesiva que observaría alguien
situado fuera de la nave (y que se
considera en reposo) si suponemos
que la nave aumenta su velocidad a
razón de 0,05 c m/s
2
La nave se contrae más y más a
medida que aumenta su velocidad .
Si ahora comenzara a frenar, el
observador exterior observaría un
progresivo alargamiento en la
dirección de la velocidad.
Tiempo impropio, t
Tiempo propio, t0

1
Teoría de la Relatividad General IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
Tras desarrollar la Teoría de la Relatividad Especial (TER), Albert Einstein se planteó la tarea de extender el
Principio de Relatividad a todos los sistemas, fueran inerciales o no.
El hecho de que las leyes de la física pudiesen escribirse de la misma manera para todos los sistemas de
referencia inerciales (lo que se conoce como covarianza de las leyes), mientras que no se cumplían para
sistemas acelerados parecía contradictorio, máxime si pensamos que todos los cuerpos del universo están
sometidos a la fuerza de gravedad, siendo por tanto objetos que poseen aceleración. No es posible, por
tanto, fijar ningún sistema que sea rigurosamente inercial.
Realmente si los efectos debidos a la aceleración son muy pequeños (pensemos en el valor de la
aceleración centrípeta de la Tierra orbitando alrededor del Sol debido a la fuerza de gravedad) podemos
considerar nuestro sistema como inercial en buena aproximación.
La Teoría de la Relatividad General (TGR) tiene su arranque en el Principio de Equivalencia (1907):
Consideremos dos sistemas de referencia:
En uno de ellos actúa un campo gravitatorio uniforme.
El otro no está sometido a campo gravitatorio alguno, pero se mueve con una aceleración idéntica en valor
al campo gravitatorio que actúa en el primero, pero de sentido contrario.
Ambos sistemas son equivalentes, es decir, los experimentos que se lleven a cabo en condiciones
idénticas en estos dos sistemas darán lugar a resultados idénticos.
Hay que tener en cuenta que los campos gravitatorios con los que nos encontramos en la naturaleza no son
constantes (el campo gravitatorio terrestre, por ejemplo, disminuye a medida que nos alejamos de la
superficie terrestre, no es idéntico en todos los puntos del planeta debido a variaciones en la densidad y
distribución de la materia... etc). Por tanto, sólo podrán ser equivalentes a un movimiento con aceleración
constante si consideramos pequeñas porciones de espacio y tiempos pequeños (se dice que un
campo gravitatorio de carácter local es equivalente a un movimiento con aceleración constante).
Principio de Equivalencia
Ningún experimento, sea mecánico o no, puede manifestar diferencia alguna entre un laboratorio
acelerado y otro sometido a la acción de un campo gravitatorio. Ambos son equivalentes.
Observadores en dos sistemas de referencia distintos.
El de la izquierda está sometido a la acción de un campo
gravitatorio.
En el de la derecha no existe campo gravitatorio alguno y
se mueve hacia arriba con una aceleración igual a g.
Según el Principio de Equivalencia ambos sistemas
son equivalentes
g
a=g
El Principio de Equivalencia mantiene que cualquier campo gravitatorio uniforme puede ser
sustituido a todos los efectos por un movimiento con aceleración constante y viceversa.

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Teoría de la Relatividad General
2
El Principio de Equivalencia es consecuencia de la identidad entre la masa inercial (la que aparece en la
segunda ley de Newton) y la masa gravitacional (la masa que aparece en la ley de gravitación). Gracias a
esa identidad (que pasó desapercibida durante siglos) todos los cuerpos caen con la misma aceleración
estableciéndose una equivalencia entre gravedad y aceleración.
Si un objeto de masa m es atraído por otro de masa M, se verá atraído hacia él con una aceleración, a. Si la
masa inercial y la gravitacional son iguales, la aceleración comunicada es independiente de su masa.
Los objetos caen, atraídos por la Tierra, con esa aceleración, idéntica para todos (9,81 m/s
2
).
El sistema en el que existe campo gravitatorio
(izquierda) permanece en reposo. Un objeto cae
en él con aceleración constante.
El sistema en el que no existe campo gravitatorio
(derecha) se mueve hacia arriba con una
aceleración igual al campo gravitatorio del otro.
Un objeto libre se comporta exactamente igual.
g
a = g
La equivalencia entre campos gravitatorios (locales) y
movimientos con aceleración constante permite sustituir
los campo gravitatorios homogéneos por sistemas de
referencia uniformemente acelerados, hacer un estudio
de los mismos y trasladar los resultados obtenidos.
El resultado sería una nueva teoría de la gravitación
consistente con los postulados de la Teoría de la
Relatividad (especialmente con la proposición de que
nada, tampoco la gravedad, puede viajar a mayor
velocidad que la luz)
La masa en dinámica es una
medida de la inercia de los
cuerpos (masa inercial). Una
masa elevada significa una
gran resistencia a variar la
velocidad.
La masa en la ley de gravitación
está relacionada con el poder de
atracción gravitatorio (masa
gravitacional). Cuanto mayor es
la masa de un objeto mayor es
su poder de atracción sobre
otros objetos.
F m a
mm M
F G
d
= 


= 

2
m
a G=
M
d
M
a G
d
=
2
2
F m a=
m M
F G
d
= 2
Observadores en dos sistemas de
referencia distintos.
El de la izquierda está sometido a la
acción de un campo gravitatorio.
En el de la derecha no existe campo
gravitatorio alguno.
g

3
El desarrollo de la Teoría de la Relatividad General aportó conclusiones tan sorprendentes como las
generadas a partir de la Teoría de la Relatividad Especial:
1. Los rayos de luz son desviados por los campos gravitatorios (deflexión de la luz)
Si aplicamos el principio de equivalencia podemos sustituir un
campo gravitatorio (local) por un movimiento uniformemente
acelerado en sentido contario. Consideremos entonces un
laboratorio situado en una región del espacio en la que no existe
ningún campo gravitatorio y que se mueve hacia arriba con una
aceleración a.
Consideremos que por un pequeño agujero situado en el lateral
izquierdo penetra un rayo de luz. Debido al movimiento acelerado
del laboratorio un observador situado en el exterior verá la
trayectoria de la luz curvada hacia abajo.
Si ahora volvemos al principio, y haciendo uso nuevamente del
principio de equivalencia volvemos a situar el laboratorio en un
campo gravitatorio equivalente, deberemos de concluir que un
campo gravitatorio curva los rayos de luz. La situación es
equivalente a suponer que los rayos de luz están formados por
partículas materiales (con masa) sobre las que actúa el campo
gravitatorio. Este resultado es inexplicable desde el punto de vista
de la física clásica, ya que la luz no tiene masa, pero la física
relativista aporta una explicación: las partículas de la luz (fotones)
son pura energía, pero según la TER masa y energía son
equivalentes, por lo que el campo gravitatorio puede actuar sobre
los rayos de luz desviándolos.
El desarrollo matemático de la teoría permite obtener la expresión del ángulo de desviación de la
luz (deflexión) por un astro, lo que podría servir para la confirmación experimental de la teoría:
Si consideramos la luz de una estrella que pase próxima al Sol, él ángulo de desviación debería ser
de 1,7 ".
En 1919 Eddington y Dyson planificaron sendas expediciones a Sobral (Brasil) y a la isla de
Príncipe, ya que el 29 de mayo iba a producirse un eclipse que haría posible la medición propuesta
por Einstein. El resultado experimental mostró una excelente concordancia con las predicciones
teóricas.
2. Campos gravitatorios intensos provocan dilataciones temporales.
Si se colocan dos relojes en lugares en los cuales el valor del campo gravitatorio tenga distinto
valor, se observará que el reloj colocado en el lugar en el cual el campo gravitatorio es más
intenso retrasa respecto al situado en el lugar en el cual el campo gravitatorio es más débil.
Esta dilatación temporal del tiempo, debida a la acción del campo gravitatorio, nada tiene que ver
con la considerada en la teoría especial de la relatividad, por lo que, en caso de que existan ambas
deben ser consideradas.
La dilatación temporal de origen gravitatorio debe tenerse en cuenta en los sistemas GPS (junto con
la debida a la velocidad). Este sistema determina la posición de un objeto sobre la superficie
terrestre determinando cuánto tarda en llegar una señal de radio emitida desde satélites situados a
20 000 km de distancia. A esta altura existe una variación apreciable en el valor del campo
gravitatorio. En consecuencia, los relojes situados en los satélites de posicionamiento adelantarán
respecto de los situados en la Tierra unos 40 000 nanosegundos por día. Dado que para determinar
la posición con la precisión requerida (unos pocos metros) se necesita medir el tiempo de viaje de la
señal con una precisión del orden de 10 000 nanosegundos, es necesario considerar los efectos
relativistas.
(Se puede encontrar un discusión sobre las correcciones efectuadas en los sistemas GPS en:
http://web.usal.es/~guillermo/publications/Popularscience/GPSyRelatividadporGuillermoSanchez.pdf)
M
G
b c
Θ = − 2
4
G: constante de gravitación
M: masa estrella
b: distancia mínima del rayo al centro de la estrella
c: velocidad de la luz

4
3. Era necesario una revisión completa de la teoría de gravitación de Newton
La teoría de gravitación de Newton consideraba que la interacción gravitatoria debería propagarse
de forma instantánea entre los cuerpos afectados.
Según la TER nada, tampoco la gravedad, podía viajar a velocidades superiores a la de la luz en el
vacío.
Como se puede deducir de todo lo dicho la gravitación es el problema central de la Teoría de la
Relatividad General, y para resolverlo hay que realizar un análisis muy profundo de la estructura del
espacio-tiempo.
La conclusión a la que se llega es que nuestro
espacio-tiempo no es euclidiano ya que la
presencia de masas producen deformaciones
(curvaturas) en el continuo espacio-tiempo.
Cuando un rayo de luz viaja en ese espacio-
tiempo entre dos puntos, sigue la trayectoria más
corta entre ambos. Esa trayectoria es una recta
en un espacio plano (euclídeo). Es decir, en una
zona del espacio-tiempo en la que no existan
masas, o éstas sean muy pequeñas, pero si nos
encontramos con masas considerables (astros)
el espacio tiempo se curva y la luz recorre una
trayectoria curva (geodésica). Análogamente
cualquier cuerpo que se mueva en esa región se
verá forzado a recorrer una trayectoria curva
como consecuencia de la deformación del
espacio tiempo.
La fuerza de gravedad de la teoría de gravitación de Newton es reemplazada por la curvatura del
espacio-tiempo (tetradimensional) en la nueva teoría.
La presencia de grandes masas (que producen campos gravitatorios intensos), al curvar el espacio-
tiempo, provocan distorsiones tanto en el espacio como en el tiempo.
Si se produce una alteración en la distribución de masas (por ejemplo la explosión de una supernova) se
originarán ondas gravitacionales que se transmiten a una velocidad igual a la de la luz. La interacción
gravitatoria, por tanto, no se propaga de forma instantánea entre los cuerpos.

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Física Nuclear
1
Física Nuclear IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
El núcleo atómico es el lugar en el que se concentran los nucleones: protones y neutrones. Ambas
partículas tienen una masa similar (mp= 1,0073 u ; mn=1,0087 u) y son mucho más pesadas que los
electrones corticales (mp = 1840 me).
MasaPartículas
atómicas
Radio (m)
(Kg) (uma) (GeV/c
2
)
Carga (C)
Electrón <10
-18
9,110 .10
-31
0,000588 0,000511 - 1,60.10
-19
Protón 10
-15
1,673.10
-27
1,0073 0,938 + 1,60.10
-19
Neutrón 10
-15
1,675.10
-27
1,0087 0,940 0
Podemos determinar el número de partículas presentes en el núcleo de un átomo si conocemos dos de sus
parámetros característicos:
• Número atómico (Z), o número de orden de la casilla que el elemento ocupa en la tabla
periódica. Nos da el número de protones del núcleo. Los átomos de elementos distintos se
diferencian en que tiene distinto número de protones en el núcleo (distinto Z).
• Número másico (A), que da el número total de nucleones (suma de neutrones y protones) del
núcleo.
El número de neutrones de un átomo se determina, por tanto, restando el número másico del atómico:
Los átomos de un mismo elemento no son exactamente iguales, aunque todos poseen el mismo número de
protones en el núcleo (igual Z), pueden tener distinto número de neutrones (distinto A).
Los átomos de un mismo elemento (igual Z) que difieren en el número de neutrones (distinto A), se
denominan isótopos.
Todos los isótopos tienen las mismas propiedades químicas, solamente se diferencian en que unos son un
poco más pesados que otros. Muchos isótopos pueden desintegrarse espontáneamente emitiendo energía.
Son los llamados isótopos radioactivos.
Se denominan isobaros los núcleos que tiene igual A (igual número de nucleones) y distinto Z.(distinto
número de protones) Los núcleos isóbaros tienen igual número de partículas en el núcleo (nucleones) y
pertenecen a elementos distintos. Ejemplos:
14
C ( Z = 6 ; A =14) y
14
N (Z = 7 ; A =14).
Son isotonos los núcleos de distintos elementos (distinto Z) que contienen igual número de neutrones
(igual A-Z). Ejemplos:
31
P (Z = 15 ; A =31) y
32
S (Z = 16 ; A =32).
En física nuclear se emplea el término núclido o nucleido para referirse a núcleos distintos.
NOMENCLATURA DE LOS ISÓTOPOS
x
A
Z Símbolo del átomo
nº másico
nº atómico (se puede suprimir)
Ejemplos:
4
He : Helio- 4
14
C : Carbono- 14
235
U : Uranio- 235
n = A - Z

2
Si un átomo típico tiene un tamaño (radio) del orden de 0,1 nm (10
-10
m), su núcleo alcanza escasamente
los 10
-14
m. Esto es, el tamaño del núcleo es del orden de una diezmilésima del total del átomo. El
conjunto de partículas nucleares, protones y electrones, se deben de localizar, por tanto, en un volumen
muy reducido. Si consideramos que los protones tienen carga eléctrica positiva y que estas cargas deben
de ejercer una considerable fuerza repulsiva entre ellas, se ha de postular la existencia de una fuerza
capaz de mantener los protones confinados en el núcleo. Dicha fuerza debería cumplir algunos
requisitos:
• Debe ser bastante más fuerte que la fuerza electromagnética.
• Su alcance no debería ser mayor que el tamaño del núcleo, ya que su existencia no es conocida
fuera del dominio nuclear.
Esa fuerza, efectivamente, existe, y recibe el nombre de fuerza o interacción fuerte, y está considerada
como una de las cuatro interacciones básicas de la naturaleza.
• La interacción fuerte es (aproximadamente) cien veces mayor que la interacción electrostática.
• Es sólo apreciable cuando las partículas están muy próximas (a distancias del orden de 10
-15
m) decreciendo muy rápidamente a medida que se alejan. De ahí que para distancias superiores
al tamaño de un núcleo dicha fuerza sea prácticamente inapreciable, siendo entonces la
interacción electrostática la dominante.
• Es independiente de la carga eléctrica ya que las fuerzas p-p, p-n y n-n tienen prácticamente la
misma intensidad.
• Los electrones no participan de la interacción fuerte, mientras que los protones y neutrones sí
lo hacen. La razón estriba en que los nucleones tienen una estructura interna (quarks), mientras
que los electrones carecen de ella.
• La interacción fuerte se dice que es de "corto alcance", para significar que sólo tiene valores
apreciables a distancias muy cortas, lo cual impide que podamos apreciar sus efectos a distancias
macroscópicas.
Un detalle importante es que la masa de un núcleo es siempre inferior a la suma de las partículas que lo
componen. Esta diferencia recibe el nombre de defecto de masa:
Considerando la relación existente entre masa y energía podemos considerar que la masa se transforma en
energía :
Si consideramos los nucleones por separado y el núcleo ya formado, vemos que éste tiene una menor
energía que las partículas separadas. La formación de los núcleos conduce a una estabilización frente
a los nucleones por separado. La diferencia de energía correspondiente recibe el nombre de energía de
enlace. También se puede razonar que la energía de enlace es la que hay que aportar a los núcleos para
romperlos en su partículas constituyentes.
Repartiendo la energía de enlace entre el número de nucleones obtenemos la energía de enlace por
nucleón, que es una magnitud indicativa de la estabilidad del núclido. A mayor energía de enlace por
nucleón, más estable es el núcleo
( )
( )
p nnúclido
p nnúclido
M Z m A Z m
m M Z m A Z m
< + −
 ∆ = − + − 
E m c= ∆ 2
( )
( )( )
p nnúclido
Enlace p n núclido
M Z m A Z m
E m c Z m A Z m M c
< + −
 = ∆ = + − − 
2 2
Enlace EnlaceE E
Nucleón A
=

3
La energía de enlace por nucleón aumenta a medida que vamos considerando los elementos del sistema
periódico hasta el
56
Fe. O lo que es lo mismo, hasta el
56
Fe la estabilidad de los núcleos es cada vez mayor.
A partir del hierro la energía de enlace por nucleón empieza a disminuir. A partir del hierro los núcleos son
cada vez menos estables. Por tanto, si vamos obteniendo los núcleos de los elementos a partir de los
precedentes (tal y como ocurrió al principio de universo mediante reacciones de fusión) obtenemos núcleos
cada vez más estables respecto a los precedentes, lo cual es un proceso energéticamente favorable. El
hierro marcaría el punto en el cual la nucleosíntesis (creación de núcleos de elementos más pesados a
partir de núcleos más ligeros) dejaría de ser un proceso energéticamente favorable para pasar a absorber
energía. A partir de ahí el proceso favorable es el inverso: la fisión nuclear.
Hoy día se considera que los elementos más pesados que el hierro se han formado gracias a la energía
desprendida en las explosiones de supernovas (recordar que la formación de estos núcleos es un proceso
endotérmico).
Ejemplo 1 (Oviedo 2010 - 2011)
El hierro 56 tiene un número atómico Z = 26 y una masa de 55,9394 u. Sabiendo que la masa de
un protón es 1,0073 u y la de un neutrón es 1,0087 u, determine:
a) El defecto de masa en u
b) La energía de enlace del núcleo en julios
c) La energía de enlace por nucleón en julios
DATOS: c = 3 10
8
m/s ; 1 u = 1,66. 10
-27
kg
Solución:
a) Calculamos el defecto en masa viendo la diferencia entre la masa del núcleo y la de los
nucleones que lo forman:
b) La energía correspondiente al defecto de masa es la energía de enlace:
c) La energía de enlace por nucleón será:
Fuente: Wikipedia
( )p n núclido
m Z m A Z m M
m . , u . , u , u , u
 ∆ = + − − 
∆ = + − =  26 1 0073 30 1 0087 55 9394 0 5114
EnlaceE m c , u= ∆ =2
0 5114
, . kg
u
−27
1 66 10
1
m
. , . J
s
− 
= 
 
2
8 11
3 10 7 64 10
Enlace EnlaceE E , . J J
, .
nucleón A nucleón
−
−
= = =
11
127 64 10
1 36 10
56

4
El Premio Nobel de Física de 1903 fue
dividido, correspondiendo la mitad a A. H.
Becquerel (izquierda) "en reconocimiento a
los extraordinarios servicios que ha
prestado con sus descubrimiento de la
radiactividad espontánea". La otra mitad, a
Pierre y Marie Curie "en reconocimiento a
los extraordinarios servicios que han
prestado con sus investigaciones conjuntas
sobre los fenómenos de radiación
descubiertos por el profesor Becquerel"
Algunos elementos (la mayor parte de ellos con un número atómico superior a 83) se transforman
espontáneamente en átomos de otros elementos con un número atómico próximo, a la vez que emiten
partículas y energía. El descubrimiento de este fenómeno,
realizado a principios de 1896 y conocido con el nombre de
radiactividad, se atribuye a Henry Becquerel.
La radiactividad es un fenómeno nuclear. Es decir, los
procesos que dan lugar a que los elementos se transmuten
en otros emitiendo partículas y energía tiene lugar en el
interior del núcleo atómico.
Existen nucleidos estables (una minoría) y otros que son
inestables (la gran mayoría). Por esta razón sólo los
nucleidos más estables se encuentran en la naturaleza, ya
que los inestables se desintegran en un intervalo de
tiempo más o menos corto en los isótopos más estables.
¿Qué es lo que determina que un nucleido sea más o
menos estable?
¿Cuáles son los procesos nucleares mediante los que
se produce la transmutación de los elementos?
Para responder a estas preguntas consideremos algunos
hechos:
• Existe un elevado número de nucleidos que tienen un número de protones o neutrones (o
ambos) igual a : 2, 8, 20, 50, 82, 126.
Los números anteriores, conocidos con el nombre de números mágicos, parece que aportan
estabilidad a los núcleos. Así los dos isótopos más abundantes, el
16
O (Z = 8) y el
4
He (Z=2) son
doblemente mágicos.
La existencia de los números mágicos sugiere la presencia de niveles energéticos en el núcleo
análogos a los que existen en la corteza del átomo.
• Si atendemos a la paridad de Z y N, observamos que aproximadamente la mitad de los
nucleidos tienen número par de protones y neutrones y la combinación más escasa es la que
se corresponde con Z y N impar
Clasificación de los nucleidos de acuerdo con la paridad
Z N A Número
Par Par Par 166
Par Impar Impar 57
Impar Par Impar 53
Impar Impar Par 8
Estos datos parece que sugieren una tendencia al apareamiento entre nucleones de la misma clase.
• En los primeros núclidos (hasta Z = 20) existe una igualdad entre el número de protones y
neutrones. A partir de ahí el número de neutrones crece mucho más rápidamente.
La mayor presencia de neutrones en núclidos estables con Z>20 apunta a que a medida que
crece el número de protones van aumentando las fuerzas de repulsión electrostática, lo que
Estabilidad del núcleo atómico. Radiactividad

5
requiere un aumento de partículas neutras, sensibles a la interacción fuerte, que aporten fuerzas
de unión entre ellas.
En el diagrama que se muestra (carta de nucleidos o diagrama de Segré) se representa el
número de protones (Z), frente al número de neutrones (N. Se puede observar como hasta Z=20,
aproximadamente, los núclidos estables (puntos negros) se distribuyen a lo largo de la bisectriz
del cuadrante (Z=N). A partir de ahí la estabilidad implica una mayor proporción de neutrones.
Los núclidos inestables situados en la zona azul tenderán a la estabilidad mediante procesos que
hagan disminuir el número de protones. Los situados en la zona rosa, por el contrario, tenderán a
la estabilidad haciendo que disminuyan el número de neutrones.
Los procesos mediante los cuales los núcleos buscan su estabilidad implican transformaciones que
se manifiestan con la emisión de radiación.
• La radiación emitida por los isótopos radiactivos tiene una energía considerable y es capaz
de arrancar electrones a la materia produciendo su ionización (radiación ionizante). Se
distinguen tres tipos:
Radiación alfa ( ). Se corresponde con núcleos de
4
He que son expulsados del núcleo
atómico. Son, por tanto, partículas positivas de masa considerable, formadas por dos
protones y dos neutrones. Tiene un bajo poder de penetración, ya que es detenida por
una lámina de papel o la piel humana.
Radiación beta ( ) . Formada por electrones procedentes del núcleo atómico (no de la
corteza). Son, por tanto, partículas muy ligeras con carga negativa. Tiene un poder de
penetración mayor que la radiación alfa. Es detenida por una lámina de metal delgada.
Radiación gamma ( ). No son partículas materiales, sino radiación electromagnética
de frecuencia elevada (superior a los rayos X). Tiene un elevado poder de penetración.
Para detenerla son necesarias capas de hormigón de espesor considerable.
α
β
γ
Esquema
del distinto
poder de
penetración
de los tres
tipos de
radiación
Las características
(carga, masa) de
las radiaciones se
ponen de manifiesto
sometiéndolas a la
acción de un campo
magnético.
Z = N
Fuente: National Nuclear Data Center NNDC
http://www.nndc.bnl.gov/

6
• La emisión de partículas alfa es más frecuente en núclidos de elevado número atómico (ver
puntos amarillos en el diagrama de Segré). Podemos imaginar que la energía disponible se
concentra en dos protones y dos neutrones provocando su expulsión del núcleo. El núclido
resultante tras una emisión alfa tendrá dos protones menos (luego su número atómico será
dos unidades menor) y dos neutrones (luego su número másico disminuye en cuatro
unidades)
Observar que en la reacción anterior se conserva tanto el número atómico como el número
másico. Esto es, el número de nucleones. Esto es un hecho extensivo a todas las reacciones
nucleares, en las que también se conserva la carga eléctrica.
La emisión alfa es característica (aunque no exclusiva) de elementos con un número atómico
elevado (puntos amarillos en el diagrama de Segré)
• La emisión de partículas beta (electrones) se debe a la conversión de un neutrón en un protón
según el proceso siguiente:
El núclido resultante tras una emisión beta tiene un protón más (su número atómico
aumenta en una unidad) y un neutrón menos.
El antineutrino electrónico es la antipartícula del neutrino electrónico, una partícula sin carga y casi
sin masa, predicha por Pauli en 1930. Su existencia fue confirmada en 1956.
La emisión beta es característica de aquellas sustancias que poseen un exceso de neutrones
(puntos rosa en el diagrama de Segré).
Una transformación alfa seguida de dos beta produce un isótopo del primer elemento con un
número másico cuatro unidades inferior.
• También existe la emisión denominada beta + (emisión de positrones). En este caso lo que
sucede es que un protón se convierte en un neutrón según:
El positrón es la antipartícula del electrón.
El núclido resultante tras una emisión beta + tiene un protón menos (su número atómico
disminuye en una unidad) y un neutrón más.
La emisión beta + es característica de aquellas sustancias que poseen un exceso de protones
(puntos azules en el diagrama de Segré).
• La captura electrónica es otra posibilidad de estabilización del núcleo, aunque es un proceso
menos frecuente que los anteriores. Consiste en la captura por el núcleo de un electrón de las
capas más internas que se combinará con un protón del núcleo para dar un neutrón:
U Th He→ +238 234 4
92 90 2
( )e en p e antineutrino electrónico−
→ + + υ υ =
( )e ep n e e positrón ; neutrino electrónico+ +
→ + + υ = υ =
ee p n rayos X−
+ → + + υ
Leyes del desplazamiento radiactivo
Leyes de Soddy y Fajans (1913)
1. Si un núclido emite una partícula alfa se transforma en otro con un número atómico
dos unidades menor y un número másico cuatro unidades inferior. El nuevo núclido
corresponderá al elemento situado dos lugares antes en la tabla periódica.
2. Si un núclido emite una partícula beta se transforma en otro con un número
atómico una unidad mayor. Su número másico no varía . El nuevo núclido
corresponderá al elemento situado un lugar más avanzado en la tabla periódica.

7
Aunque el resultado final es el mismo que el de la emisión beta +,en este caso no existe emisión
de partículas. Los rayos X provienen de la energía desprendida por electrones más externos que
caen hacía la capa en la que el electrón capturado ha dejado un hueco.
La captura electrónica (abreviada EC) es característica de aquellas sustancias que poseen un
exceso de protones (puntos azules en el diagrama de Segré).
La fuerza o interacción débil es la responsable de la emisión beta y del proceso de captura
electrónica acompañada de neutrinos.
La interacción débil completa el conjunto de interacciones básicas de la naturaleza.
• La emisión de radiación gamma (ondas electromagnéticas de mayor frecuencia que los rayos X)
se debe a que los nucleones absorben energía "saltando" a niveles de energía superior (estados
excitados) para "caer" a continuación hasta niveles energéticamente inferiores liberando la
diferencia de energía en forma de rayos gamma, en un proceso similar al que ocurre con los
electrones corticales de los átomos.
La emisión de rayos gamma no es simultánea con la de partículas alfa o beta. Generalmente los
núcleos absorben parte de la energía liberada en la emisión alfa o beta, pasando a un estado
excitado y tras un periodo de tiempo (generalmente corto), emiten la energía absorbida en forma
de rayos gamma.
• La fisión espontánea es el último de los procesos radiactivos por los cuales el núcleo busca su
estabilidad. Es característica de los núcleos muy pesados (uranio y transuránidos). La fisión
rompe el núcleo para dar núcleos más ligeros, proceso que va acompañado de la emisión de
neutrones, partículas beta y rayos gamma.
Entre los materiales gaseosos que se pueden escapar de un reactor nuclear se encuentra el
que es muy peligroso por la facilidad con que se fija en la glándula tiroides.
a) Escribe la reacción de desintegración sabiendo que se trata de un emisor beta.
b) Calcula, en unidades S.I., la energía total liberada por el núclido al desintegrarse.
DATOS:
131
I= 130,90612 u;
131
Xe= 130,90508 u; partícula beta: 5,4891 10
-4
u;
1 uma= 1,6605 10
-27
kg; c = 3 10
8
m/s
Solución:
a) La emisión beta implica la conversión de un neutrón en un protón. El núclido resultante,
por tanto, tendrá un número atómico una unidad superior (correspondiente al Xe) y su
número másico será idéntico:
b) Suponiendo masa prácticamente nula para el neutrino electrónico tendremos:
Masa inicial (m i) = 130,90612 u
Masa final (m f) = (130,90508 +5,4891 10
-4
) u= 130,90563
Defecto de masa: (m f - m i)= (130,90563-130,90612) u = - 4,910
-4
u
Luego la energía generada (masa convertida en energía) será:
E = m c
2
= 8,13645 10
-31
kg (3 10
8
)
2
(m/s)
2
= 7,3228 10
-14
J
I131
53
eI Xe e−
→ + + υ131 131
, u− 4
4 9 10
, kg
u
−27
1 6605 10
1
, kg−
= 31
8 13645 10

8
Tal y como se ha discutido en el apartado anterior existen núclidos inestables que tratan de adquirir una
mayor estabilidad emitiendo radiactividad: partículas y energía. Como consecuencia de este proceso los
núclidos radiactivos van desapareciendo transformándose en otros más estables, proceso que recibe el
nombre de "decaimiento radiactivo".
Si llamamos N0 al número de núclidos inicialmente presentes, al cabo de un tiempo t estarán presentes una
cantidad, N, dada por la expresión:
Es importante notar que es imposible predecir cuando se va a desintegrar un núcleo determinado. No
obstante, sí podemos saber cuántos van a desintegrarse (o quedar) al cabo de un cierto tiempo usando la
ecuación anterior.
Se denomina periodo de desintegración (T1/2 ) al tiempo que tardan en desintegrarse la mitad de los
núcleos presentes:
Se denomina vida media ( ) al tiempo medio que tarda un núclido en desintegrarse.
La vida media es un concepto puramente estadístico y viene dada por la inversa de la constante de
desintegración:
A la velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva se denomina actividad (A) y se puede
calcular derivando la expresión de la ley del decaimiento radiactivo respecto del tiempo.
Dado que la tasa de desintegración (dN/dt) es negativa ya que cada vez quedan menos núcleos, se afecta a
la derivada del signo menos para obtener una velocidad de desintegración (o actividad) positiva.
Como unidad de actividad se tomó inicialmente la correspondiente a 1,00 g de Ra (3,700 10
10
núcleos/s)
La unidad S.I. es núcleos/s (ó s
-1
) que se conoce con el nombre de becquerel (Bq) o becquerelio.
Se define como la actividad de una cantidad de material radioactivo con una tasa de decaimiento de un
núcleo por segundo.
Ley de decaimiento radiactivo
λ
t
N N e−λ
= 0
es la constante de desintegración. Es característica de
cada núclido y representa la probabilidad de desintegración
por unidad de tiempo.
t t
NN
N N e ; e ;
N
−λ −λ
= =
0
0
0
/
N0
2
( )
/
/ /
T
T T
/
/
e
e ; ln e ln
T .lne ln ln
ln
T
−λ
−λ −λ
=
 
= =  
 
− λ = −
=
λ
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
2
τ
/T
ln
τ = =
λ
1 21
2
tdN
A N e N
dt
−λ
= − = λ = λ0

9
Gráfica en la que se muestra la proporción de
14
C en una muestra de
material orgánico en función del tiempo (en años) transcurrido.
El
14
C es un isótopo radiactivo cuyo periodo de semidesintegración es de 5730 años. Mientras un organismo
está vivo ingiere con los alimentos el isótopo
12
C, no radiactivo, junto con el
14
C, radiactivo. Este último
isótopo se desintegra, pero como al alimentarnos lo reponemos constantemente ,la cantidad de
14
C
permanece constante en el organismo. Al morirse y dejar de ingerir alimentos la cantidad de
14
C disminuye
exponencialmente con el tiempo según la ley de decaimiento radiactivo. Al cabo de 5730 años el número de
átomos presentes será la mitad de los originales (50%), al cabo de 5730 x2 = 11 640 años solamente
quedarán el 25 % y así sucesivamente.
Determinando la proporción de
14
C en la muestra se puede determinar su antigüedad. Esta técnica permite
determinar la antigüedad de muestras hasta unos 50 000 años.
Tenemos 10
4
núcleos de una sustancia radiactiva en un frasco. El periodo de
semidesintegración es de 6 años. ¿Cuántos átomos quedarán al cabo de 12 años?
Solución:
Como el periodo de semidesintegración es de 6 años, al cabo de ese tiempo quedarán la mitad
de los núcleos presentes al principio, esto es: 5000 núcleos. Cuando pasen otros seis años el
número de núcleos se reducirá nuevamente a la mitad, luego quedarán 2500 núcleos.
Aunque el cálculo es muy sencillo también podemos usar la ley de decaimiento radiactivo para
determimar el número de núcleos que quedan por desintegrar:
( )
0
1
1 2
0 1155 124
2 2
0 1155
6
10 2500
−λ
−
−
=
λ = = =
= =
t
/
, x
N N e
ln ln
, años
T años
N e

10
Ejemplo 4 (Oviedo 2000)
El
22
Na es un nucleido radiactivo con un periodo de semidesintegración (tiempo necesario para
que el número de núcleos se reduzca a la mitad) de 2,60 años.
a) ¿Cuánto vale su constante de desintegración?
b) En el instante (t=0) en que una muestra tiene 4,3 10
16
núcleos de
22
Na ¿cuál es su
actividad en becquerelios (desintegraciones por segundo)?
c) Cual será su actividad para t = 1 año?
d) ¿Cuánto valdrá su constante de desintegración para t = 1 año?
e) ¿Cuándo será nula su actividad?
Solución:
a) La constante de desintegración y periodo de semidesintegración son inversamente
proporcionales:
b) La actividad de una muestra es el valor absoluto de la velocidad de desintegración:
c) La actividad depende del número de núcleos presentes. Al cabo de un año quedarán:
Su actividad será, por tanto:
d) La constante de desintegración, tal y como su nombres indica, no varía con el tiempo. Es
una constante característica del núclido y que en este caso vale 0,2666 años
-1
e) Como , la actividad será nula cuando N (número de núcleos presentes) sea
cero. Según la ley de decaimiento radiactivo el número de núcleos sin desintegrar
decrece de forma exponencial, lo que implica que será nula para un tiempo infinito (ver
gráfica de decaimiento del
14
C), aunque en un tiempo finito (más o menos largo) su
actividad será prácticamente nula
/
ln ln
, años
T , años
−
λ = = = 1
1 2
2 2
0 2666
2 60
tdN
A N e N , , años , años
dt
A ,
año
−λ − −
= − = λ = λ = =
=
16 1 16 1
0
16
4 3 10 0 2666 1 146 10
1
1 146 10
año1
días365
día1 h
h
1
24
, s
s
núcleos
A , s , , Bq
s
−
−
=
= = =
8 1
8 1 8 8
3 63 10
3 600
3 63 10 3 63 10 3 63 10
t , x
N N e , e , núcleos−λ −
= = =16 0 2666 1 16
0 4 3 10 3 3 10
tdN
A N e N , , años , años
dt
A , años
año
−λ − −
−
= − = λ = λ = =
=
16 1 15 1
0
15 1
3 3 10 0 2666 8 78 10
1
8 78 10
año1
días365
día1 h
h
1
24
, s
s
núcleos
A , s , , Bq
s
−
−
=
= = =
8 1
8 1 8 8
2 78 10
3 600
2 78 10 2 78 10 2 78 10
A N= λ

11
Los radioisótopos naturales se desintegran generando otro isótopo hijo que a su vez decae, y este en otro...
hasta llegar a un isótopo estable cuya cantidad va aumentando con el tiempo.
Se conocen tres series radiactivas las cuales agrupan los isótopos formados por una misma secuencia de
transformaciones debidas a desintegraciones alfa o beta. Las tres comienzan con un isótopo de vida
media muy alta y acaban en un isótopo estable del plomo. Las concentraciones de los términos
intermedios se mantienen constantes con el tiempo, ya que la velocidad a la que decaen es igual a la
velocidad con que se forman a partir del isótopo precedente estableciéndose un equilibrio radiactivo.
• La serie de torio empieza con el torio-232 y termina con el plomo-208. Todos los términos de
esta serie tienen números másicos múltiplos de cuatro, por lo que se conoce como serie 4n.
• La serie de uranio-238, también conocida como serie del radio, empieza con el uranio-238 y
termina con el plomo-206. Todos los términos de esta serie tienen números másicos que
responden a la expresión 4n+2, razón por la que se conoce también como serie 4n+2
• La serie de uranio-235, también conocida como serie del actinio empieza con el uranio-235 y
termina con el plomo-207. Todos los términos de esta serie tienen números másicos que
responden a la expresión 4n+3, razón por la que se conoce también como serie 4n+3
• La serie 4n+1 o serie del neptunio contiene isótopos cuya vida media es bastante corta, razón
por la cual ya no existen en la naturaleza y no se incluye entre las series radiactivas naturales.
Las reacciones nucleares se producen cuando dos núcleos se sitúan muy próximos (para lo cual
deberán vencer la repulsión culombiana que tiende a separarlos) produciéndose un reagrupamiento
de los nucleones por acción de la fuerza nuclear fuerte.
La forma habitual de producir las reacciones nucleares es bombardeando un núcleo con partículas ligeras
(protones, neutrones, partículas alfa,...). No se emplean como proyectiles núcleos pesados, ya que para
vencer la repulsión electrostática sería necesario comunicarles una energía cinética muy grande.
Las reacciones nucleares pueden ser consideradas como colisiones entre dos cuerpos, conservándose por
tanto la energía, el momento lineal, además del número de nucleones y la carga eléctrica.
En general las reacciones nucleares se puede considerar que transcurren en dos etapas:
• Inicialmente la partícula proyectil es capturada por el núcleo que actúa como diana formándose un
núcleo altamente excitado.
• En la segunda etapa el núcleo excitado recupera la estabilidad emitiendo energía (rayos gamma)
y/o partículas (neutrones, partículas alfa, protones...etc).
Puede ocurrir que las partículas entrantes y salientes sean las mismas. Si sucede esto la energía se
redistribuye entre las partículas que colisionan. Se habla en este caso de dispersión.
En las reacciones nucleares e produce un reagrupamiento de los nucleones por lo que se conserva tanto
la suma de los números másicos como la de los atómicos de las núclidos participantes:
Reacciones nucleares. Radiactividad artificial
Pu He Cm n+ → +239 4 242 1
94 2 96 0
A1 A2+ = A3 A4+
Z1 Z2+ = Z3 Z4+
Pu He Cm n+ → +239 4 242 1
94 2 96 0
Series radiactivas. Equilibrio radiactivo

12
Los números atómicos y másicos asignados al protón neutrón, electrón y positrón se resumen en la taba
siguiente.
Partícula A Z Notación
Protón 1 1
Neutrón 1 0
Electrón 0 -1
Positrón 0 1
En 1918 E. Rutherford llevó a cabo la primera transmutación artificial de un elemento al bombardear
nitrógeno con partículas alfa, obteniendo un isótopo del oxígeno y otra partícula más ligera que identificó
con el núcleo del hidrógeno. Rutherford llegó a la conclusión de que el núcleo de hidrógeno era expulsado
por el de nitrógeno, por lo que podía considerarse como una partícula fundamental a la que dio el nombre
de protón (de protos=primero):
Los neutrones (cuya existencia había sido predicha por Rutherford en 1920) fueron identificados en 1932
como productos del bombardeo del berilio con partículas alfa:
Irene Curie-Joliot y su marido Fréderic Joliot (ambos recibieron el Premio Nobel de Química en 1935 por
la síntesis de nuevos elementos radiactivos) anunciaron en 1934 el descubrimiento de la radiactividad
artificial ya que al bombardear boro, magnesio o aluminio con partículas alfa se obtenía un isótopo
radiactivo (
30
P ) no presente en la naturaleza:
El
30
P formado es inestable y se desintegra espontáneamente (T1/2= 2,55 min) emitiendo positrones según
el proceso
Ejemplo 5 (Oviedo 2003-2004)
Se bombardea un blanco de
24
Mg con partículas alfa y se observa después de la reacción la
presencia de
27
Al más otra partícula ligera. Sabiendo que los números atómicos del Mg y del Al
son 12 y 13, respectivamente, se pide:
a) Identificar razonablemente la partícula ligera.
b) Si las partículas alfa tienen una energía cinética de 1 MeV, ¿podrá tener lugar esa
reacción? ¿Y en caso de que su energía cinética sea de 10 MeV?
DATOS: partícula alfa: 4,0039 u ; d= 2,015 u ; n= 1,0087 u ; p= 1,0076 u ;
24
Mg= 23,9924 u
27
Al = 26,9899 u ; 1 uma= 931,5 MeV/c
2
Solución:
a) Teniendo en cuenta que la suma de los números másicos y atómicos se mantiene
invariable, se deduce fácilmente que la partícula pedida es un protón:
H1
1
n1
0
e−
−
0
1
e+0
1
N He O H+ → +14 4 17 1
7 2 8 1
Be He C n+ → +9 4 12 1
4 2 6 0
P Si e+
→ +30 30 0
15 14 1
Al He P n+ → +27 4 30 1
13 2 15 0
Mg He Al H+ → +24 4 27 1
12 2 13 1

13
b) Si hacemos un balance de masa para la reacción planteada, obtenemos:
• Reactivos: m R= (4,0039 + 23,9924) u = 27,9963 u
• Productos: mP= (26,9899 +1,0076) u = 27,9975 u
Se puede observar que la masa de los productos es: (27-9975 - 27,9963) u = 1,2 10
-3
u
superior a la de los reactivos. La reacción, por tanto violaría el principio de conservación
masa - energía, ya que los productos tienen más energía:
La reacción, en consecuencia, no tendrá lugar si las partículas que colisionan inicialmente
no tienen una energía cinética mínima igual al valor obtenido. Por tanto, si la partícula alfa
(suponemos que el núcleo de Mg que actúa como blanco está quieto) tiene una energía
cinética de 1 MeV, no se producirá la reacción.
Si la partícula alfa tiene una energía de 10 MeV su energía está por encima del umbral
necesario (1,1178 MeV). La reacción será posible. El exceso de energía se distribuirá
entre las partículas presentes (como energía cinética o aumentando la energía interna de
los núcleos promoviéndolos a estados excitados)
En la fusión nuclear dos núclidos se fusionan para dar un núclido más pesado.
La masa del núclido resultado de la fusión es inferior a la suma de los núclidos que se fusionan, lo
que implica la liberación de la energía correspondiente (E = mc
2
). El proceso de fusión libera, por
tanto, enormes cantidades de energía.
La fusión es el proceso mediante el cual las estrellas (nuestro sol, por ejemplo) obtienen su energía.
Para iniciar un proceso de fusión nuclear se requieren temperaturas muy elevadas ya que los núcleos han
de poseer una considerable energía para poder acercarse venciendo la repulsión electrostática
El Sol es una estrella mediana-pequeña con una temperatura superficial de unos 6 000
0
C, mientras que en
su interior se estima que pueden alcanzarse temperaturas próximas a los 15 000 000 de
0
C. Su masa es de
2.10
30
kg, es decir, más de 300 000 veces la masa de la Tierra (6.10
24
kg) y obtiene su energía de la fusión
de átomos de hidrógeno que, a la enormes temperaturas que existen en su núcleo, son capaces de vencer
las fuerzas de repulsión electrostática y se transforman en helio desprendiendo una gran cantidad de
energía. Se estima que el Sol transforma en helio 4,5 millones de toneladas de hidrógeno por segundo. El
proceso recibe el nombre de cadena protón-protón y se puede escribir de forma simplificada como:
Aunque parece que el proceso protón-protón es el fundamental en estrellas de masa igual o menor a la del
Sol, en las estrellas de mayor masa tiene lugar con preferencia otro proceso de fusión, el llamado ciclo CNO
(carbono-nitrógeno-oxígeno), así llamado porque estos elementos actúan como catalizadores en las
reacciones intermedias. La reacción global es:
A las elevadísimas tempearturas requeridas para fusionar los núcleos los electrones tienen una energía
cinética tan alta que no pueden ser retenidos por los núcleos, no existiendo en consecuencia los átomos
que forman la materia ordinaria. La materia se encuentra entonces en el llamado cuarto estado de
agregación de la materia, una especie de sopa de partículas cargadas: núcleos (con carga positiva) y
electrones (con carga negativa) que se comporta de forma muy parecida a un gas.
, u−3
1 2 10
, MeV
u
931 5
1
, MeV= 1 1178
Fusión nuclear
+
→ + + ν +1 4 0
1 2 1 e4 H He 2 e Energía
1 0 4
1 1 24 H 2 e He Energía−+ → +

14
Ejemplo 6 (Oviedo 2009-2010)
En la reacción nuclear de fusión del deuterio con el tritio se genera un núcleo de helio y otra
partícula, X, con un desprendimiento de energía E:
a) ¿Qué partícula se genera (razone la respuesta)
b) Deterrminar el valor de E
DATOS: c= 3,00 10
8
m/s; deuterio: 2,0141 u ; tritio= 3,0160 u;
4
He = 4,0039 u
n= 1,0087 u ; p= 1,0073 u ; ; 1 uma= 1,6605 10
-27
kg
Solución:
a) Como en la reacción nuclear se conservan tanto la suma de los números másicos
(número de nucleones) como la de los números atómicos (protones), deducimos que la
partícula pedida debe ser un neutrón:
b) Para determinar el valor de la energía desprendida hacemos el balance de masa de la
ecuación y calculamos la energía correspondiente al defecto de masa mediante la
fórmula de Einstein: E = m c
2
NOTA: Si calculamos la cantidad de energía desprendida en la fusión de 1 mol de deuterio
(2,014 g) con otro de tritio (3,016 g) obtendríamos:
Para darnos una idea de la cantidad de energía generada pensemos que de un barril de
petróleo (unos 159 litros) se puede convertir en gasolina un 30 % aproximadamente, luego
un barril de petróleo rinde unos 48 litros de gasolina. Un litro de gasolina genera 3,48 10
7
J
de energía, luego la fusión de un mol de deuterio con un mol de tritio nos suministraría la
energía equivalente a:
H H He X E+ → + +2 3 4
1 1 2
H H He n E+ → + +2 3 4 1
1 1 2 0
( )
( )
( )
P
R
P R
Pr oductos :
m , , u , u
Reactivos :
m , , u , u
m m m , , u , u
E mc , u
= + =


= + = 
∆ = − = − = −
= =2
4 0039 1 0087 5 0126
2 0141 3 0160 5 0301
5 0126 5 0301 0 0175
0 0175
, kg
u
−27
1 6605 10
1
( ) m
. , J
s
−
=
2
2
8 12
2
3 10 2 62 10
J
,
núcleo
−12
2 62 10
, núcleos23
6 023 10
, J
mol
= 12
1 58 10
1
, J12
1 58 10
litro gasolina
, J7
1
3 48 10
litros gasolina
litros gasolina
= 45 402
45 402
barril petróleo
litros gasolin
1
48
barriles de petróleo
a
= 946

15
La fisión nuclear es un proceso mediante el cual un núcleo se rompe para dar dos núcleos más
ligeros (isótopos del Sr y del Xe), emitiendo, además, neutrones, partículas beta y rayos gamma.
Aunque existen núclidos muy pesados que sufre una fisión espontánea (ver diagrama de Segré), el proceso
es bastante poco frecuente.
La fisión inducida se logra bombardeando núcleos de elementos pesados con neutrones. El núcleo
diana captura entonces el neutrón y se forma un núclido excitado y altamente inestable que se rompe en
dos fragmentos.
Una reacción típica de fisión es la experimentada por el núcleo de
235
U al ser bombardeado con neutrones
lentos (o térmicos)
No siempre se producen los mismos fragmentos en la fisión, los fragmentos más probables para la reacción
anterior son los que tienen números másicos alrededor de 90 y 135, respectivamente, y suelen ser núclidos
radiactivos, fundamentalmente emisores beta. El núclido intermedio puede estabilizarse por emisión de
rayos gamma, no produciéndose entonces la fisión.
La suma de las masas de los productos es menor que la de los reactivos y este defecto de masa se
convierte en energía (E = mc
2
)
Lo interesante de la fisión del
235
U es que en la reacción se producen una media de 2,5 neutrones, los
cuales pueden provocar nuevas fisiones, dando lugar a una reacción en cadena que puede controlarse
introduciendo barras de algún material que sea capaz de absorber neutrones (cadmio por ejemplo), de tal
forma que la reacción se automantenga, pero sin llegar a ser explosiva.
Si la reacción no se controla se produce una reacción en cadena que libera una cantidad enorme de
energía. Este es el principio en el que se basan las bombas atómicas.
Fisión nuclear
*
U n U Ba Kr n + → → + + 
235 1 236 141 92 1
92 0 92 56 36 03
Esquema de la fisión inducida de un
núcleo:
• El neutrón se dispara contra el
núcleo diana.
• Una vez capturado el neutrón se
forma un núclido inestable.
• El intermedio se rompe finalmente
en dos fragmentos más pequeños
emitiendo dos o tres neutrones y
gran cantidad de energía.
Reacción en cadena
Pueden observarse (de izquierda a
derecha) tres fisiones sucesivas. Los
pequeños puntos azules son algunos de
los neutrones generados en las fisiones.

Serie del torio-232 (4n) Serie del uranio-238 o serie del radio (4n+2)
Núclido Desinteg T1/2 Producto
Th 232 α 1,41·10
10
a Ra 228
Ra 228 β
-
5,70 a Ac 228
Ac 228 β
-
6,25 h Th 228
Th 228 α 1,9116 a Ra 224
Ra 224 α 3,6319 d Rn 220
Rn 220 α 55,6 s Po 216
Po 216 α 0,145 s Pb 212
Pb 212 β
-
10,64 h Bi 212
Bi 212
β
-
64,06%
α 35,94%
60,55 min
Po 212
Tl 208
Po 212 α 299 ns Pb 208
Tl 208 β
-
3,053 min Pb 208
Pb 208 . Estable .
Serie del uranio- 235 o del actinio (4n+3)
Núclido Desinteg. T1/2 Producto
U 235 α 7,04·10
8
a Th 231
Th 231 β
-
25,52 h Pa 231
Pa 231 α 32 760 a Ac 227
Ac 227
β
-
98,62%
α 1,38%
21,772 a
Th 227
Fr 223
Th 227 α 1,868 d Ra 223
Fr 223 β
-
22,00 min Ra 223
Ra 223 α 11,43 d Rn 219
Rn 219 α 3,96 s Po 215
Po 215
α 99,99977%
β
-
0,00023%
1,781 ms
Pb 211
At 215
At 215 α 0,1 ms Bi 211
Pb 211 β
-
36,1 m Bi 211
Bi 211
α 99,724%
β
-
0,276%
2,14 min
Tl 207
Po 211
Po 211 α 516 ms Pb 207
Tl 207 β
-
4,77 min Pb 207
Pb 207 . Estable
Núclido Desinteg T1/2 Producto
U 238 α 4,47 10
9
a Th 234
Th 234 β- 24,10 d Pa 234
Pa 234 β- 6,70 h U 234
U 234 α 2,45 10
5
a Th 230
Th 230 α 7,54 10
4
a Ra 226
Ra 226 α 1 602 a Rn 222
Rn 222 α 3,8235 d Po 218
Po 218
α 99,98 %
β- 0,02 %
3,10 min At 218
At 218
α 99,90 %
β- 0,10 %
1,5 s Rn 218
Rn 218 α 35 ms Pb 214
Pb 214 β- 26,8 min Bi 214
Bi 214
β- 99,98 %
α 0,02 %
19,9 min Po 214
Po 214 α 0,1643 ms Tl 210
Tl 210 β- 1,30 min Pb 210
Pb 210 β- 22,3 a Bi 210
Bi 210
β- 99,99987%
α 0,00013%
5,013 d Po 210
Po 210 α 138,376 d Tl 206
Tl 206 β- 4,199 min Pb 206
Pb 206 - Estable
Series radiactivas naturales

1
Física Cuántica I IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
En los últimos años del s. XIX y principios del XX el estudio de la interacción entre la materia y las
ondas electromagnéticas llevó a la formulación de importantes problemas cuya resolución condujo a una
concepción nueva de la física que rige el comportamiento de los átomos: la Física Cuántica.
Los tres fenómenos que dieron las pistas para la formulación de la Física Cuántica tenían relación con la
absorción y/o emisión de ondas electromagnéticas por los átomos que constituyen la materia:
• Análisis del espectro de emisión de un cuerpo negro.
El término "cuerpo negro" se usa en física
para denominar a un emisor ideal. Esto es,
un material capaz de absorber y emitir
energía de todas las frecuencias.
Actualmente el material que más se
aproxima al emisor ideal fue fabricado en
2008 y está construido a base de nanotubos
de carbono. Absorbe (y por tanto puede
emitir) el 99,955% de la energía que recibe.
El análisis del espectro de la energía
emitida por un cuerpo negro presentaba
notables diferencias con lo que el modelo
teórico de la física clásica predecía a finales
del s XIX.
• Interpretación del efecto fotoeléctrico.
El efecto fotoeléctrico fue descubierto por
Hertz en 1887 y consiste en la emisión de
electrones por algunos metales cuando son
iluminados con luz (generalmente ultravioleta).
La interpretación de la emisión de los llamados
fotoelectrones tampoco podía ser explicada
correctamente si se usaba la teoría disponible
en la época.
• Explicación de los espectros de emisión de los gases.
Cuando un gas se somete a voltajes elevados,
emite luz que tras ser analizada con un
espectroscopio da un espectro característico
consistente en rayas de diferentes colores
sobre un fondo negro. El único modelo de
átomo existente entonces (el átomo de
Rutherford) predecía que el espectro debería
de ser continuo, sin zonas oscuras.
Experimental

Física 2º Bachillerato. IES La Magdalena. Avilés. Asturias Física Cuántica I
2
Cuando un trozo de metal se calienta sus átomos absorben la radiación térmica y emiten radiación
electromagnética. Si la temperatura no es muy alta no se aprecia cambio de color alguno en el metal,
aunque desprende calor (radiación electromagnética no visible: infrarroja). Si seguimos aumentando la
temperatura la radiación electromagnética emitida se corresponde con las frecuencias de la luz visible. El
metal adquiere primero un color rojo oscuro, después rojo intenso, amarillo y a temperaturas elevadas
podremos apreciar un amarillo muy pálido, casi blanco.
El estudio del espectro de la radiación emitida por un emisor perfecto (el cuerpo negro) condujo al
enunciado de dos importantes leyes:
• Ley de Stefan-Boltzmann (1884)
"La energía emitida por unidad de tiempo y superficie (intensidad o poder emisivo) del cuerpo negro
es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta"
La ley de Stefan-Boltzmann establece que la intensidad de radiación aumenta muy rápidamente con
la temperatura, lo que está de acuerdo con los datos experimentales.
• Ley de Wien (1896)
"El cuerpo negro emite energía para todas las longitudes de onda y la distribución de la energía
radiante es tal que a una determinada longitud de onda la intensidad de emisión es máxima. Para
esta longitud de onda se cumple:"
Según la ley de Wien el máximo de energía emitida se desplaza hacia longitudes de onda más
cortas (mayores frecuencias) a medida que aumenta la temperatura del cuerpo emisor. Esto explica
por qué a medida que se aumenta la temperatura el color del hierro caliente, por ejemplo, pasa del
rojo al amarillo casi blanco.
Espectro de emisión del cuerpo negro. Teoría Cuántica de Planck
E T , . W m T− − −
= σ σ =4 8 2 4
5 67 10
max . T , . m K−
λ = 3
2 898 10
Gráfica que muestra los resultados experimentales para un cuerpo negro
El poder emisivo (Stefan-Boltzmann) se corresponde con el área de la curva
para cada temperatura. Como se ve aumenta muy rápidamente con T.
A medida que aumenta la temperatura el máximo de intensidad se desplaza
hacia longitudes de onda más cortas (Wien)

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