Triângulo retângulo

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Triângulo retângulo

  1. 1. 1 Triângulo retângulo Chamamos de triângulo retângulo àquele que possui ângulo reto, isto é, medindo 90°. Comoa soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, no triângulo retângulo os ângulos agudos sãocomplementares, pois somam 90°. No triângulo retângulo, os lados recebem nomes específicos: catetos e hipotenusa. Ahipotenusa é o maior seguimento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto, e os catetos sãoos lados opostos aos ângulos agudos. B Temos o triângulo retângulo ABC, onde: a Hipotenusa: a c Catetos: b e c A b C Os vértices são identificados com letras maiúsculas e os lados por letras minúsculas. Considerando o ângulo no vértice B. Dizemos que AC é o cateto oposto a B e AB é catetoadjacente a B B Considerando o ângulo no vértice B. Dizemos que AC é o cateto oposto a B e Cateto adjacente a B AB é cateto adjacente a B A C Cateto oposto a B B Fixando o ângulo no vértice C. Dizemos que AB é o cateto oposto a B e AC é Cateto oposto a C cateto adjacente a C A C Cateto adjacente a C Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  2. 2. 2 Relações trigonométricas Dado um triângulo retângulo qualquer, definem-se três razões trigonométricas para os doisângulos agudos do triângulo. Sabendo identificar os catetos as razões são seno (sen), cosseno (cos)e tangente (tg). • Razão seno: O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. seno de um ângulo = cateto oposto ao ângulo hipotenusa • Razão cosseno: O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. cosseno de um ângulo = cateto adjacente ao ângulo hipotenusa • Razão tangente: A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo. tangente de um ângulo = cateto oposto ao ângulo . cateto adjacente ao ângulo Por exemplo, no triângulo retângulo da figura, temos: B sen B = AC sen C = AB BC BC cos B = AB cos C = AC BC BC tg B = AC tg C = AB A C AB AC A primeira constatação importante relaciona-se ao ângulo complementares: sen B = cos C cos B = sem C .: B + C = 90° tg B = 1 . tg C Se dois ângulos são complementares então o seno de um deles é igual ao cosseno docomplementar. As tangentes de ângulos complementares são iversas. Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  3. 3. 3 Observação: As razões trigonométricas mais empregadas nos problemas práticos de Física ouMatemática são para os ângulos 30°, 45° e 60°, conforme a tabela a seguir: 30° 45° 60° 1 √2 √3 sen 2 2 2 √3 √2 1 cos 2 2 2 √3 tg 1 √3 3 Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, eledescreve uma relação existente no triângulo retângulo. Representação gráfica do Teorema de Pitágoras. O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Exercícios de fixação1. Determine as razões trigonométricas nos triângulos.a) b) c) C C C 15 5 √5 4 10 B 12 A B A 3 9 B 5 A Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  4. 4. 42. Calcule x nas figuras:a) c) 5 cm 18 cm x 30° 45° xb) 10 cm d) √3 cm 45° 60° x x3. Um observador de 1,70 m vê um pássaro no alto de um prédio sob um ângulo de 60°. Sabendoque o observador está a 30 m do prédio, determine a altura do prédio.(Use √3 = 1,73)4. Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Umapessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:a) 6√3 m b) 12 m c) 13,6 m d) 9√3 m e) 18 m5. Determine a medida x em da triângulo.a) f) x 7 cm 9 cm x 3 cm 8 cmb) g) 10 cm 18 cm 16 cm 20 cm x xc) 12 cm h) 5 cm x 16 cm 20 cm x 25 cm Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  5. 5. 5d) x i) 3 cm x 12 cm 13 cm 3√2 cm 4 cme) j) 11 cm 8 cm 19 cm 5 cm x x 8 cm6. Um triângulo retângulo isósceles é tal que a hipotenusa mede 5 cm. Calcule a medida de um deseus catetos.7. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 25 cm e a soma dos catetos é 35 cm. Determine amedida de cada cateto.8. Os catetos de um triângulo retângulo têm a mesma medida. Se a hipotenusa mede 5√2 cm,determine a medida dos catetos. Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  6. 6. 6 Gabarito1.a) sen A = 4 sen C = 3 b) sen B = 12 sen C = 9 c) sen B = 10 sen C = 5 5 5 15 15 √5 √5 cos A = 3 cos C = 4 cos B = 9 cos C = 12 cos B = 5 cos C = 10 5 5 15 15 √5 √5 tg A = 4 tg C = 3 tg B = 12 tg C = 9 tg B = 10 tg C = 5 3 4 9 12 5 102.a) c) cos 45° = x → √2 = x . sen 30° = x → 1=x 18 2 18 5 2 5 2x = 18√2 → x = 18√2 = 9√2 cm 2x = 5 → x = 5/2 = 2,5 cm 2b) sen 60° = x → √3 = x . d) cos 45° = x → √2 = x . 10 2 10 √3 2 √3 2x = 10√3 → x = 10√3 = 5√3 cm 2x = √2 . √3 → x = √6 cm 2 23. De acordo com os dados do problema podemos verificar que a altura do prédio (h) é a soma daaltura do observador com o cateto oposto ao ângulo de 60°, que chamaremos de x.Assim h = x + 1,7.Aplicamos a definição de tangente para encontrarmos o valor de x:tg 60° = x → √3 = x . → x = 30√3 m 30 30Então: h = 30√3 + 1,7 = 30 . 1,73 + 1,7 = 51,9 + 1,7 ≅ 53,6 m4. OPÇÃO E.sen 30° = x → 1= x . 36 2 362x = 36 → x = 36/2 = 18 m5.a) a2 = b2 + c2 f) a2 = b2 + c2 x2 = 32 + 72 92 = 82 + x2 x2 = 9 + 49 81 = 64 + x2 x2 = 58 x2 = 81 - 64 x = √58 cm x = √17 cmb) g) a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 202 = 162 + x2 182 = 102 + x2 400 = 256 + x2 324 = 100 + x2 x2 = 400 - 256 x2 = 324 - 100 x = √144 x = √224 cm x = 12 cm Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  7. 7. 7c) h) a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 x2 = 162 + (25 + y)2 x2 = 52 + 122 202 = 162 + y2 x2 = 256 + (25 + 12)2 x2 = 25 + 144 400 = 256 + y2 x2 = 256 + 372 x2 = 169 y2 = 400 – 256 x2 = 256 + 1369 x = √169 y = √144 x2 = 1625 x = 13 cm y = 12 cm x = √1625 cmd) i) a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 x2 = 122 + (4 + y)2 (3√2)2 = 32 + x2 132 = 122 + y2 x2 = 122 + (4 + 5)2 18 = 9 + x2 169 = 144 + y2 x2 = 122 + 92 x2 = 18 - 9 y2 = 169 – 144 x2 = 144 + 81 x = √9 y = √25 x2 = 225 x = 3 cm y = 5 cm x = √225 x =15 cme) a2 = b2 + c2 j) a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 192 = 52 + x2 y2 = 82 + 82 (8√2)2 = 112 + x2 361 = 25 + x2 y2 = 2 . 82 128 = 121 + x2 x2 = 361 - 25 y = √(2. 82) x2 = 128 - 121 x = √336 cm y = 8√2 cm x = √8 cm6. Devemos lembrar que um triângulo isósceles possui dois lados iguais, assim teremos:Hipotenusa = 5 cmCatetos = xAplicando o Teorema de Pitágorasa2 = b2 + c252 = x2 + x225 = 2x2x2 = 25/2x = √(25/2)x = 5 . √2 √2 √2x = 5√2 cm 27. x e y catetos Substituindo (1) em (2). y = - b ± √∆ 2ax + y = 35 (35 – y)2 + y2 = 625 y = - (- 35) ± √25x = 35 – y (1) 352 – 2 . 35 . y + y2 + y2 = 625 2.1 1225 – 70y + 2y2 – 625 = 0 y = 35 ± 5a2 = b2 + c2 2y2 + 70y + 600 = 0 2252 = x2 + y2 y2 – 35y + 300 = 0 y’ = 35 – 5 → y’ = 15625 = x2 + y2 2x2 + y2 = 625 (2) ∆ = b2 – 4 . a . c y’’ = 35 + 5 → y’’ = 20 ∆ = (- 35)2 – 4 . 1 . 300 2 ∆ = 1225 – 1220 ∆ = 25Para y’ = 15 temos: x’ = 35 - 15 → x’ = 20Para y’’ = 20 temos: x’’ = 35 - 20 → x’’= 15 Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  8. 8. 8A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.8.a2 = b2 + c2(5√2)2 = x2 + x250 = 2x2x2 = 50/2x = √25x = 5 cm Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  9. 9. 8A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.8.a2 = b2 + c2(5√2)2 = x2 + x250 = 2x2x2 = 50/2x = √25x = 5 cm Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  10. 10. 8A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.8.a2 = b2 + c2(5√2)2 = x2 + x250 = 2x2x2 = 50/2x = √25x = 5 cm Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com
  11. 11. 8A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.8.a2 = b2 + c2(5√2)2 = x2 + x250 = 2x2x2 = 50/2x = √25x = 5 cm Prof. Thiago Miranda o-mundo-da- fisica.blogspot.com

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