Métodos de Demostración en Matemática

97,791 views

Published on

3 Comments
19 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
97,791
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
209
Actions
Shares
0
Downloads
930
Comments
3
Likes
19
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Métodos de Demostración en Matemática

  1. 1. Métodos de Demostración en Matemáticas Lic. Renzo Hubert Osorio Ccoya
  2. 2. En matemáticas no se acepta unaproposición como verdadera hasta que seconstruye su demostración formal,aunque la proposición sea válida para unnúmero finito de casos no significa quesea válida para todo el universo, porejemplo la conjetura de Goldbach(todo número par mayor que 2 puedeescribirse como suma de dos númerosprimos) se ha verificado utilizandocomputadoras para millones de casospero a pesar de ello no se acepta comoverdadera.
  3. 3. Veamos el siguiente razonamiento:Si x=y entonces:3x=3y2y=2xluego:3x+2y=3y+2x3x-3y=2x-2y3(x-y)=2(x-y)3=2¿qué paso?
  4. 4. Aquí consideraremos los siguientesmétodos de demostración:a) Método directo de demostraciónb) Métodos indirectos de demostración por contrapositiva por reducción al absurdoc) Método de Inducción matemáticad) Método por contraejemplo
  5. 5. A) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA Aquí se tiene como hipótesis verdaderas las proposiciones P1, P2,…,Pn procediendo a la deducción de que la conclusión Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir como una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de demostración en el método directo es de la forma: P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
  6. 6. El método de demostración directo tienecomo fundamento lógico la regla deinferencia clásica o esquemaargumentativo válido llamado ModusPonens: [ P∧ (P→Q) ] →Qque significa: si la hipótesis P esverdadera y la hipótesis P implica laconclusión Q entonces la conclusión Q esverdadera.
  7. 7. B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTOS Método de demostración por contrapositiva Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las proposiciones P→Q y ~Q→~P) Para realizar una demostración por contrapositiva se toma como hipótesis la negación de la conclusión escrita como
  8. 8. ~Q para obtener como conclusión lanegación de la hipótesis escrita como ~P,ello se puede generalizar para el caso quese tengan varias premisas.
  9. 9. Método de demostración por reducciónal absurdoSe atribuye al filósofo griego Zenón deElea, alrededor del siglo V a.C., lainvención del método de reducción alabsurdo que utilizaba en sus argumentosy en sus famosas paradojas, desdeentonces es un método ampliamenteaplicado en matemáticas.
  10. 10. El procedimiento general para demostrarindirectamente por reducción al absurdouna proposición de la forma (P1∧P2∧…∧Pn ) → Q consiste en:1) Asumimos que la condicional es falsaluego las proposiciones P1, P2,…, Pn y~Q son verdaderas2) De lo anterior debemos llegar a unacontradicción, por lo que la condicionaltiene que ser verdadera.
  11. 11. Aristóteles fundamento lógicamente lademostración por reducción al absurdo endos principios: principio de nocontradicción ~(p∧~p) considerada leysuprema de la lógica según Kant yAristóteles, que significa que unaproposición no es verdadera y falsasimultáneamente y el principio del terceroexcluido (p∨~p) que significa que unaproposición es verdadera o falsa.
  12. 12. Si no son aceptados los principiosanteriores, el método de reducción alabsurdo carece de fundamento lógico.
  13. 13. C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA El principio de inducción matemática es un principio universalmente válido en matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los números naturales construidos por el matemático italiano Giuseppe Peano a finales del siglo XIX.
  14. 14. Las demostraciones por el principio deinducción matemática se consideranindirectas. El principio de inducciónmatemática es utilizado para demostrar laveracidad de proposiciones p(n) donde nes un número natural mayor o igual queun valor inicial no, el principio de inducciónmatemática consiste en:1) Inicialmente se verifica que laproposición p(n) es verdadera para n=no,es decir p (no) es verdadera.
  15. 15. ii) Se enuncia la hipótesis de inducción:p(k) es verdadera para el número naturalk.iii) Usando la hipótesis de inducciónenunciada en (ii) y otras proposicionesverdaderas demostradas anteriormente sedemuestra que p (k+1) es verdadera.iv) La conclusión consiste en que p(n) esverdadera para todo n≥no
  16. 16. D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un "cuantificador universal". Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los elementos de un cierto conjunto".
  17. 17. “Una demostración consiste en unasucesión de formulas que, o bien sonaxiomas, o bien son teoremas, o se hanobtenido de éstas mediante inferenciasadmisibles”. Hilbert“Los encantos de esta ciencia sublime, lasmatemáticas, sólo se le revelan a aquellosque tienen el valor de profundizar en ella”. Carl Friedrich Gauss
  18. 18. Un axioma es una proposición que seconsidera «evidente» y se acepta sinrequerir demostración previa. Un postulado es una proposición noevidente por sí misma, ni demostrada,pero que se acepta ya que no existe otroprincipio al que pueda ser referida.
  19. 19. Un lema esuna proposición demostrada, utilizadapara establecer un teorema menor o unapremisa auxiliar que forma parte de unteorema más general Un teorema es una afirmación quepuede ser demostrada dentro deun sistema formal. Demostrar teoremas esun asunto central en la lógica y lamatemática.
  20. 20. Un corolario es una conclusión obviao inevitable que se desprende de ciertosantecedentes

×