Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

άλγεβρα 1ης λυκείου

1,033 views

Published on

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

άλγεβρα 1ης λυκείου

  1. 1. Επιμέλεια: Καρσιώτη Ευαγγελία Μαστροπέτρου Ειρήνη Μούλιου Ιωάννα Ντελλή Σοφία Σταμάτη Αρετή Καθηγητής: Φιλίππου Ιωάννης 2ο ΓΕΛ Κορυδαλλού Τμήμα: Α1
  2. 2. Ιδιότητες πράξεων Ιδιότητα πράξεων Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ)=(αβ)γ Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = α Αντίθετος/Αντίστροφος αριθμού α + (-α) = 0 α ∙ = 1, α ≠ 0 Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγ Αφαίρεση α-β = α+ (-β) Διαίρεση (β≠0) α 1 β α β α βα 1 : ⋅==
  3. 3. Ιδιότητες πράξεων 2 1. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ 2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ 3. α = β α + γ = β + γ 4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ 5. α ∙ β = 0 α = 0 ή β = 0 6. α ∙ β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0 ⇒ ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
  4. 4. Δυνάμεις Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει ότι: αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και ν παράγοντες α1 = α, για ν = 1 Αν α ≠ 0, τότε: α0 = 1 και α-ν = ν α 1
  5. 5. Ιδιότητες δυνάμεων 1. ακ ∙ αλ = ακ+λ 2. = ακ-λ 3. ακ ∙ βκ = (αβ)κ 4. 5. (ακ )λ = ακλ λ κ α α κ κ κ β α β α         = (β ≠ 0 )
  6. 6. Ταυτότητες 1. (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 2. (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2 3. α2 - β2 = (α + β) ∙ (α - β) 4. (α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3 5. (α - β)3 = α3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3 6. α3 + β3 = (α + β) ∙ (α2 – αβ + β2 ) 7. α3 - β3 = (α - β) ∙ (α2 + αβ + β2 ) 8. (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα
  7. 7. Ταυτότητες 2 9. α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ 10. (α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ 11. αν – βν = (α - β) ∙ (αν-1 + αν-2 β + … + αβν-2 + βν-1 ) 12. α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2 +β2 +γ2 -αβ-βγ-γα) 13. α3 +β3 +γ3 –3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2 +(β-γ)2 +(γ-α)2 ] 14. Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ 15. Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ 16. α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β) 2 1
  8. 8. Ιδιότητες αναλογιών 1. (εφ’ όσον βδ ≠ 0) 2. (εφ’ όσον βγδ ≠ 0) 3. (εφ’ όσον βδ ≠ 0) 4. (εφ’ όσον βδ(β+δ) ≠ 0) βγαδ δ γ β α =⇔= δ β γ α δ γ β α =⇔= δ δγ β βα δ γ β α ± = ± ⇔= δβ γα δ γ β α δ γ β α + + ==⇔=
  9. 9. Διάταξη πραγματικών αριθμών Ορισμός Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και γράφεται α > β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός Ιδιότητες 1. (α > 0 και β > 0) α + β > 0 (α < 0 και β < 0) α + β < 0 2. α, β ομόσημοι α ∙ β > 0 α, β ετερόσημοι α ∙ β < 0 0 β α > 0 β α <⇔ ⇔ ⇒ ⇒ ⇔ ⇔
  10. 10. Διάταξη πραγματικών αριθμών Ιδιότητες 3. α2 ≥ 0, για κάθε α ℝ , (Η ισότητα ισχύει μόνο όταν α=0) Από αυτό προκύπτουν οι ισοδυναμίες: α2 + β2 = 0 α = 0 και β = 0 α2 + β2 > 0 α ≠ 0 ή β ≠ 0⇔ ∈ ⇔
  11. 11. Διάταξη πραγματικών αριθμών Ιδιότητες των ανισοτήτων 1. (α > β και β > γ) α > γ 2.i. α > β α + γ > β + γ ii. Αν γ > 0, τότε: α > β α ∙ γ > β ∙ γ iii. Αν γ < 0, τότε: α > β α ∙ γ < β ∙ γ 3. i.(α > β και γ > δ) α + γ > β + δ ii. Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: (α > β και γ > δ) α ∙ γ > β ∙ δ Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β αν > βν ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ ⇔
  12. 12. Διάταξη πραγματικών αριθμών
  13. 13. Ορισμός Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο α, αν α≥0 -α, αν α<0 Συνέπειες   και  Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού • ή x = -θ (θ > 0) • ή x = -α =α 0αα ≥−= αα ≥ αα −≥ 22 αα = θxθx =⇔= αxαx =⇔= α
  14. 14. Ιδιότητες 1. 2. = (β ≠ 0) 3. Απόσταση  d (α , β) = β α β α Ανισότητες με απόλυτα   ή x > ρ βαβα ⋅=⋅ βαβα +=+ βα − ρxρρ)ρ,(xρx <<−⇔−∈⇔< ρxρx −<⇔>
  15. 15. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορισμός Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α. Ιδιότητες • Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε: 1. 2. α α αα 2 = βαβα ⋅=⋅ β α β α =3. (β ≠ 0 )
  16. 16. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορισμός Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α. Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α. ν α ν α
  17. 17. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ιδιότητες Αν α,β ≥ 0, τότε: 1. 2. (β ≠ 0) 3. 4. 5. 6. ννν βαβα ⋅=⋅ ν ν ν β α β α = νμμ ν αα ⋅ = ν μρν ρμ αα = ⋅ ⋅ ( )κ νv κ αα = νν ν βαβα ⋅= Αν α ≥ 0, τότε: Αν α ≤ 0 & ν άρτιος, τότε: ( ) αα ν ν = & ααν ν = ααν ν =
  18. 18. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορισμός Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε ορίζουμε Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι: ν μν μ αα = νν βαβα <⇔<
  19. 19. Η εξίσωση xν = α Η εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη ν α ν α ν α− ν α−
  20. 20. Η εξίσωση αx2 +βx+γ=0, α≠0 • Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού. Είδος ριζών Δ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ 2α Δβ- x 1,2 ± = 2α β -x =
  21. 21. Άθροισμα και γινόμενο ριζών   Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 , x2 : x2 – Sx + P = 0 α β xxS 21 −=+= α γ xxP 21 =⋅=
  22. 22. Ανισώσεις 1ου βαθμού αx + β > 0  Αν α > 0 , τότε:  Αν α < 0 , τότε:  Αν α = 0 , τότε: , η οποία  αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0 ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0 α β- x > α β- x < -β0x > ∈
  23. 23. Ανισώσεις 2ου βαθμού Μορφές τριωνύμου Η παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 μετασχηματίζεται ως εξής: Δ > 0 , τότε: Δ = 0 , τότε: Δ < 0 ,τότε: 2 2 2α β xαγβxαx         +=++ ( ) ( )21 2 xxxxαγβxαx −−=++         +        +=++ 2 2 2 4α Δ 2α β xαγβxαx
  24. 24. Πρόσημο τριωνύμου αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 Δ > 0 -∞ x1 x2 +∞ Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο του α του α του α Δ = 0 -∞ x1 +∞ Ομόσημο Ομόσημο του α του α Δ < 0 -∞ +∞ Ομόσημο του α x ℝ∈∀

×