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Ecuaciones de segundo_grado

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Ecuaciones de segundo grado

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Ecuaciones de segundo_grado

  1. 1. Metodología para la solución de Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización Curso “Algebra y principios de Física” Silvia Hernández Hernández Marzo 2009
  2. 2. Soluciones de una ecuación de segundo grado <ul><ul><ul><ul><ul><li>Las soluciones de una ecuación de segundo grado son llamadas también “ceros o raíces de la ecuación”, hay posibilidades de que existan: </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>* Una raíz real única –llamada raíz doble-. </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>* Dos raíces reales </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>* Dos raíces imaginarias </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>El método de factorización que es el que estudiaremos aquí, nos permitirá encontrar con cierta facilidad los ceros o raíces reales. </li></ul></ul></ul></ul></ul>
  3. 3. Antecedentes necesarios: <ul><li>Factorización </li></ul><ul><li>Despejar </li></ul><ul><li>Propiedades básicas de números reales </li></ul><ul><li>(Distribución, Asociación, Inversos,…) </li></ul><ul><li>Productos Notables </li></ul><ul><li>Ley de signos </li></ul>
  4. 4. Método de Factorización La forma común en que se presenta la ecuación de segundo grado, llamada forma canónica es: ax 2 +bx+c=0 donde a, b y c son números reales y a siempre diferente de cero.
  5. 5. <ul><li>Ecuaciones de segundo grado incompletas: </li></ul>Ecuaciones de segundo grado completas: CASO 1 Cuando el lado izquierdo de la igualdad (ax 2 +bx+c) representa un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Ejemplos: X 2 - 6X + 9 = 0 9X 2 - 30X - 25 = 0 CASO 2 Cuando el lado izquierdo de la igualdad NO representa un Trinomio Cuadrado Perfecto Ejemplos: X 2 + 5X - 14 = 0 2X 2 + 3X - 27 = 0 CASO 3 Cuando b = 0 ax 2 +c Ejemplos: X 2 - 16 = 0 2X 2 - 18 = 0 CASO 4 Cuando c = 0 ax 2 +bx = 0 Ejemplos: X 2 + 4X = 0 4X 2 - 12X = 0
  6. 6. <ul><li>Caso 1: Cuando se trata de TCP </li></ul><ul><li>Identificar si se trata de un TCP es muy fácil, veamos: </li></ul><ul><li>Analicemos: </li></ul><ul><li>El coeficiente de x 2 y el término independiente tienen raíz cuadrada exacta? En caso afirmativo extraemos la raíz cuadrada de cada uno de esos números y observamos si </li></ul><ul><li>El doble producto de esos dos números es igual al coeficiente de x?. </li></ul><ul><li>Si se cumplen estas dos condiciones, entonces procedemos a factorizar y ya sabemos que nos dará por resultado un binomios al cuadrado con el signo del coeficiente de x. </li></ul><ul><li>Primer ejemplo: X 2 - 6X + 9 = 0 </li></ul><ul><li>El coeficiente de x 2 es: 1 Su raíz cuadrada es 1 </li></ul><ul><li>El término independientes es: 9 Su raíz cuadrada es 3 </li></ul><ul><li>El doble producto de (1)(3) es: 6 (coincide con el coeficiente de x); </li></ul><ul><li>Conclusión : Es un TCP </li></ul><ul><li>Po lo tanto su factorización será: (x-3) 2 = 0 </li></ul><ul><li>x-3 = 0 </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN: x = 3 </li></ul><ul><li>En estos casos tendremos por solución una sola raíz, es decir será raíz doble </li></ul>
  7. 7. Segundo ejemplo: 9X 2 - 30X + 25 = 0 El coeficiente de x 2 es: 9 Su raíz cuadrada es 3 El término independientes es: 25 Su raíz cuadrada es 5 El doble producto de (3)(5) es: 30 (coincide con el coeficiente de x); Conclusión: Es un TCP Por lo tanto su factorización será: (3x-5) 2 = 0 3x-5 = 0 3x-5+5=0+5 3x = 5 SOLUCIÓN: x = 5/3
  8. 8. Análisis: Al no cumplirse las condiciones para ser un TCP, entonces corresponderá factorizar de diferente manera y se puede hacer de dos formas: a) Primer procedimiento * Multiplicamos el coeficiente de X 2 por el término independiente; es decir a por c. * Buscamos dos números que multiplicados nos den a*c y que sumados sean igual a el coeficiente de X, es decir igual a b. * Reescribimos la ecuación, “descomponiendo” el término de X, en dos términos con los coeficientes igual a los dos números anteriores * Ahora, ese polinomio de cuatro términos lo asociamos separando el 1º y el 2º; y el 3º y 4º. * Factorizamos cada uno de esos términos, extrayendo un factor común * Usamos la propiedad distributiva y obtendremos dos factores * Igualando a cero cada uno, obtendremos las raíces correspondientes. Primer ejemplo: X 2 + 5X - 14 = 0 a=1; c=-14; el producto de ambos es: -14 Dos números que multiplicados den -14 y que sumandos den 5 (coeficiente de x); son: 7 y -2 Reescribimos la ecuación y quedará: x 2 +7x-2x-14 = 0 Asociamos: (x 2 +7x)-(2x+14)=0 (cuidando el manejo de signos) Distribuimos: x(x+7)-2(x+7)=0 Asociamos: (x-2)(x+7) = 0 x-2 = 0 ó x+7=0 Soluciones: x = 2 ó x = -7 Caso 2: Cuando NO se trata de TCP
  9. 9. SALA DE MAESTROS COORD. ADMIVA. Segundo ejemplo: 2X 2 + 3X - 27 = 0 (a=2, b=3 y c=-27) El producto de a*c es: -54 Dos números que multiplicados den -54 y que sumandos den 3 (coeficiente de x); son: 9 y -6 Reescribimos la ecuación y quedará: 2x 2 +9x-6x-27 = 0 Asociamos: (2x 2 +9x)-(6x+27)=0 (cuidando el manejo de signos) Distribuimos: 2x(x+9/2)-6(x+9/2)=0 Asociamos: (2x-6)(x+9/2) = 0 2x-6 = 0 ó x+9/2=0 x = 6/2 ó x = -9/2 Soluciones: x = 3 ó x = -9/2
  10. 10. b) Segundo procedimiento: completando un TCP PROCEDIMIENTO: Se reescribe la ecuación en la forma ax 2 + bx = c Se divide toda la expresión entre a, para que quede el primer término con coeficiente 1. Se agrega la mitad del coeficiente de x, elevado al cuadrado, y entonces del lado izquierdo tendremos un TCP. Primer ejemplo: X 2 + 5X - 14 = 0 Reescribimos la ecuación: x 2 +5x = 14 Como el coeficiente del primer término ya es 1, no es necesario el segundo paso Sumamos la mitad de 5, elevada al cuadrado: x 2 +5x + (5/2) 2 = 14+ (5/2) 2 Factorizamos el TCP y sumamos los términos del lado derecho: (x+5/2) 2 = 81/4 Extraemos raíz cuadrada de ambos lados: x+5/2 = + 9/2 Despejamos la variable: x = + 9/2 – 5/2 Soluciones: x= 2 ó x= -7
  11. 11. Segundo ejemplo: 2X 2 + 3X - 27 = 0 (a=2, b=3 y c=-27) Reescribimos la ecuación: 2x 2 + 3x = 27 Dividimos toda la expresión entre dos: x 2 + 3/2 x = 27/2 Sumamos la mitad de 3/2, elevada al cuadrado: x 2 +3/2x + (3/4) 2 = 27/2+ (3/4) 2 Factorizamos el TCP y desarrollamos poco el 2º término: (x+ 3/4) 2 = 27/2 + 9/16 Sumamos los términos del lado derecho: (x+ 3/4) 2 = 225/16 Extraemos raíz cuadrada de ambos lados: x+3/4 = + 15/4 Despejamos la variable: x = + 15/4 – 3/4 Soluciones: x = 3 ó x = -9/2
  12. 12. Ecuaciones de segundo grado incompletas: <ul><li>Caso 3: cuando b = 0 </li></ul><ul><li>Ejemplo1: </li></ul><ul><li>X 2 - 16 = 0 </li></ul><ul><li>Es una expresión que ya conocemos y se trata de una diferencia de cuadrados, y sabemos que deberá factorizarse como el PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS: </li></ul><ul><li>(x + 4)(x – 4) = 0 </li></ul><ul><li>Despejando obtendremos: x = - 4 ó x = 4 </li></ul><ul><li>Ejemplo 2: </li></ul><ul><li>2X 2 - 18 = 0 </li></ul><ul><li>Se divide toda la expresión entre el coeficiente de x 2 </li></ul><ul><li>x 2 – 9 = 0 </li></ul><ul><li>Se procede de la misma manera: </li></ul><ul><li>(x-3)(x+3) = 0 </li></ul><ul><li>Solución: x = 3 ó x = -3 </li></ul>
  13. 13. Ecuaciones de segundo grado incompletas: Caso 4: cuando c = 0 Ejemplo 1: X 2 + 4x = 0 Se factoriza la variable x; x(x+4) = 0 Se resuelve obteniendo la solución: x = 0 ó x = -4 Ejemplo 2: 4x 2 – 12x = 0 Se divide toda la expresión entre 4: x 2 – 3x = 0 Se factoriza la variable x: x(x – 3) = 0 Se resuelve: x = 0 ó x=3
  14. 14. Comprobación <ul><li>Una manera de verificar que los ceros o raíces que se encontraron son correctos, es sustituyendo cada valor en la ecuación original y se debe llegar a la identidad. </li></ul><ul><li>Ejercítalo con los ejemplos vistos </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Gracias </li></ul><ul><li>Mucho éxito a todos y a todas </li></ul>

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