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Youblisher.com 519613-an lisis-matem_tico_i_para_estudiantes_de_ingenier_a

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  1. 1. iiiiiiüi;
  2. 2. ANALISIS MATEMÁTICO I PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA (TERCERA EDICION) ♦ SISTEMA DE NUMEROS REALES ♦ RELACIONES Y FUNCIONES ♦ LIMITES Y CONTINUIDAD ♦ DERIVADAS ♦ APLICACIONES DE LA DERIVADA ♦ DIFERENCIALES EDUARDO ESPINOZA RAMOS
  3. 3. IMPRESO EN EL PERÚ 20 - 03 - 2002 39EDICIÓN DERECHOS RESERVADOS W -jtr »■■■*>■'*• >-•• '*t wjr.-tfjr a’-*r-'jr/*r'&seir/jir.-.tv'jr.'jr.-jer*r'á*rs¿r'jr/jir/*r.-m'jartr.*y ) i i» I ü t Estelibro no puedereproducirsetotal óparcialm ente porningún m étodo ■ í I gráfico, electrónico o m ecánico,incluyendo lossistemas d e fotocopia, f| . ' ...í sni..< An j. registros m agnéticos o d e alim entación de datos, sin expreso consentimiento f £ *»f i del autor y Editor. í I * í *- II í í f RUC N9 10070440607 £t i i» Ley de Derechos del Autor N9 13714 Registro com ercial Ne 10716 Escritura Publica N24484
  4. 4. PRESENTACION Eduardo Espinoza Ramos, catedrático en la especialidad de matemática pura, me hace el honor de pedirme la presentación de su obra Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería. El objeto principal de la presente obra Análisis Matemático I, es precisamente llenar el vacío que existe para su fácil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los conceptos básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de Ingeniería, de tal manera que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible. El método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulos: Sistema de Números Reales; Relaciones y Funciones; Límites y Continuidad; Derivadas y sus Aplicaciones y Diferenciales. Para orientación del estudiante, el trabajo llevado a cabo por el autor, en esta obra, es digno de elogio. Su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante, producto de sus años de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde el punto de vista científico en forma didáctica y amena. Los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los propósitos y métodos empleados en la teoría. Finalmente, expreso mi felicitación al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA RAMOS, quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen más conocimiento de nuestra realidad Universitaria. ING. EDUARDO BULNES SAMAME JEFE DE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA, iA-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA
  5. 5. PROLOGO En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital, motivo por el cual se ha ampliado la demostración de propiedades así como los conceptos básicos teóricos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula. Al igual que su 2da edición se expone en forma teórica y práctica, los conceptos de sistemas de números reales, relaciones y funciones, límites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, así como la regla de L’Hospital, las funciones hiperbólicas y la diferencial con sus aplicaciones, así mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, también se han incluido mas ejercicios desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de área académica. La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, tratando de noperder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector. La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del álgebra elemental, geometría plana y trigonometría. La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas, física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real. Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias.
  6. 6. DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil. Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Nacional del Callao. LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao. Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma. LIC. SERGIO LEYVA HARO Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao. LIC. JUAN BERNUI BARROS Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. LIC. PALERMO SOTO SOTO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. Mg. JOSE QUIKE BRONCANO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras. Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE Catedrático de la Universidad Nacional del Callao Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería. Catedrático de la Universidad Ricardo Palma. E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S
  7. 7. DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos R O N A L D , JO R G E y D IA N A , que Dios ilumine sus caminos para que
  8. 8. INDICE CAPITULO I [* ■ S í.-»T E M A S D E N U M E R O S R E A L E S 1.1 Introducción 1 1.2 Definición 2 1.3 Axiomas de Sustitución 4 1.4 Axiomas Distributivas 4 1.5 Teorema de Igualdad para la Adición 4 1.6 Teorema de Igualdad para la Multiplicación 4 1.7 Teorema de Cancelación para la Adición 4 1.8 Teorema de Cancelación para la Multiplicación 5 1.9 Sustracción de Números Reales 5 1.10 División de Números Reales 5 1.11 Ejercicios Desarrollados- 6 1.12 Representación de los Números Reales 10 1.13 Desigualdades 11 1.14 Axioma de la Relación de orden 12 1.15 Definición 12 1.16 Teorema 12 1.17 Teorema 13 1.18 Teorema 13 1.19 Teorema 14 1.20 Teorema 14
  9. 9. 1.21 Teorema 15 1.22 Ejercicios Desarrollados 15 1.23 Ejercicios Propuestos 23 1.24 Inecuaciones 29 1.25 Conjuntos solución de una Inecuación 31 1.26 Resolución de una Inecuación 31 1.27 Inecuación de Primer Grado en una Incógnita 31 1.28 Inecuación de Segundo Grado en unaIncógnita 33 1.29 Inecuaciones Polinómicas 38 1.30 Inecuaciones Fraccionarias 42 1.31 Inecuaciones Exponenciales 45 1.32 Inecuaciones Irracionales 47 1.33 Ejercicios Desarrollados 58 1.34 Ejercicios Propuestos 84 1.35 Valor Absoluto 101 1.36 Propiedades Básicas para resolverEcuaciones e Inecuaciones donde interviene Valor Absoluto 102 1.37 Máximo Entero 104 1.38 Propiedades del Máximo Entero 106 1.39 Inecuaciones Logarítmicas 111 1.40 Ejercicios Desarrollados 116 1.41 Ejercicios Propuestos 155 1.42 Conjuntos Acotados 176 1.43 Axiomas del Supremo o Axiomasde la mínima cota superior 177 1.44 Principio Arquimediano 178 1.45 Ejercicios Propuestos 180
  10. 10. CAPITULO II 2.1 Introducción 182 2.2 Relaciones Binarias 191 2.3 Gráfica de una Relación de R en R 198 2.4 Ejercicios Desarrollados 202 2.5 Ejercicios Propuestos 212 2.6 Funciones 215 2.7 Dominio y Rango de una Función 216 2.8 Criterio para el Calculo del Dominio yRango de una Función 217 2.9 Aplicaciones de A en B 218 2.10 Funciones Especiales 219 2.11 Evaluación de una Función 224 2.12 Función definida con Varias Reglas deCorrespondencia 224 2.13 Trazado de Gráficas Especiales 225 2.14 Ejercicios Desarrollados 229 2.15 Ejercicios Propuestos 247 2.16 Operaciones con Funciones 258 2.17 Composición de Funciones 264 2.18 Propiedades de la Comprensión de Funciones 270 2.19 Ejercicios Desarrollados 270 2.20 Ejercicios Propuestos 282 2.21 Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas 293 2.22 Funciones Crecientes, Decrecientes y Monotomas 295 2.23 Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas 297 2.24 Función Inversa 298 2.25 Función Inversa de una Composición 300 2.26 Ejercicios Desarrollados 300 2.26 Ejercicios Propuestos 313
  11. 11. CAPITULO III 3. LIMITES Y CONTINUIDAD 3.1 Introducción 325 3.2 Definición 326 3.3 Ejercicios Propuestos 334 3.4 Proposición 337 3.5 Proposición 337 3.6 Teorema (Unicidad de Limite) 338 3.7 Teorema 339 3.8 Teorema 339 3.9 Propiedades sobre Limite de Funciones 340 3.10 Ejercicios Desarrollados 343 3.11 Ejercicios Propuestos 354 3.12 Limites Laterales 365 3.13 Ejercicios Propuestos 370 3.14 Limites al Infinito 375 3.15 Ejercicios Propuestos 381 3.16 Limites Infinitos 386 3.17 Ejercicios Propuestos 389 3.18 Teorema de Sándwich 390 3.19 Limites Trigonométricos 391 3.20 Ejercicios Propuestos 399 3.21 Función Exponencial y Logarítmica 404 3.22 El Numero e 408 3.23 Calculo de Limites de la forma Uní (/(.v))?í' ' X->a ' 409 3.24 Ejercicios Desarrollados 410 3.25 Ejercicios Propuestos 413
  12. 12. 418 424 426 427 433 440 446 499 451 453 453 454 455 457 462 464 468 471 474 477 482 484 486 487 Asíntota de una Curva Ejercicios Propuestos Continuidad de una Función Tipos de Continuidad Ejercicios Propuestos Problemas Sobre Limite Problemas Propuestos CAPITULO IV L A D E R I V A D A Definición Inierpretación Geométrica de la Derivada Definición Definición Derivadas Laterales Derivabilidad y Continuidad Algunas Reglas de Derivación Derivadas de una Función Compuesto (Regla de la Cadena) Derivación de la Función Exponencial y Logarítmica Teorema Derivación de las Funciones Trigonométricas Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonométricas) Derivación de las Funciones Trigonométricas Regla de Derivación para las Funciones Trigonométricas Inversas Derivación Implícita Derivada de la Función de la Forma y = (f ( x ) ) s(r) Ejercicios Desarrollados
  13. 13. 4.18 Ejercicios Propuestos 511 4.19 Ecuaciones de la Tangente y Normal a una Curva 526 4.20 Ecuaciones Paramétricas 529 4.21 Derivadas de Orden Superior 533 4.22 Ejercicios Desarrollados 538 4.23 Ejercicios Propuestos 555 CAPITULO V 5 . A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A 5.1 Valores Máximos y Mínimos de una Función 565 5.2 Teorema 566 5.3 Extremos de una Función 566 5.4 Teorema (de los valores intermedios) 569 5.5 Teorema de Rolle 570 5.6 Teorema del Valor Medio 573 5.7 Teorema (de la función constante) 574 5.8 Teorema (de la diferencia constante) 575 5.9 Función Creciente y Decreciente 574 5.10 Teorema 580 5.11 Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos 581 5.12 Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos 582 5.13 Concavidad y Punto de Inflexión 583 5.14 Ejercicios Desarrollados 587 5.15 Ejercicios Propuestos 626 5.16 Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Constante 639 5.17 Formula que Relaciona dos Variables cuya Razón de Cambio es Constante 640 5.18 Razón de Cambio Promedio 641
  14. 14. 5.19 Razones Instantáneas 641 5.20 Velocidad y Aceleración Rectilínea 642 5.21 Razones de Cambio Relacionadas 642 5.22 Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables Relacionadas 642 5.23 Problemas Desarrollados 643 5.24 Problemas Propuestos 651 5.25 Aplicación a la Económica 658 5.26 Ejercicios Desarrollados 661 5.27 Problemas Propuestos 673 5.28 La Regla de L’Hospital 678 5.29 Ejercicios Desarrollados 680 5.30 Ejercicios Propuestos 684 5.31 Funciones Hiperbólicas 687 5.32 Ejercicios Propuestos 693 5.33 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas 694 5.34 Ejercicios Propuestos 698 5.35 Funciones Hiperbólicas Inversas 701 5.36 Derivación de las Funciones Hiperbólicas Inversas 704 5.37 Ejercicios Propuestos 706 5.38 Diferenciales 708 5.39 Diferenciales como una Aproximación 710 5.40 Diferenciales de Orden Superior 711 5.41 Ejercicios Propuestos 717 BIBLIOGRAFIA 722
  15. 15. Sistema de Números Reales 1 CAPITULO I 1. SISTEMA DE NÚMEROS REALES.- 1.1 flSTROPUCClON.- E1 sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos, es el resultado de una enorme cantidad de reílexión por parte del hombre. Los enteros positivos, es decir: 1,2,3,..., pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilización. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan tempranas como es 300 A.C. Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos con los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la división no se desarrolló por completo. Estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues, que los números racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número racional es cociente de dos enteros). Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del aritmética y el álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios. Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo de los matemáticos. Nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de textos Arabes. Sin embargo, la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho en llegar.
  16. 16. Eduardo Espinoza Ramos La espera fue aun mayor para la aceptación de los números negativos, incluso hasta finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones. La aritmética y el álgebra se desarrollaron bajo él estimulo de problemas prácticos en contradicción de la'geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción intelectual y en un modelo del sistema lógico. Sin embargo, con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente los números irracionales tales como ~Jl, n, V 5. tuvieron que sustentarse sobre una firme fundamentación lógica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX. Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los números reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades de los números reales. Esto es el método usado en la geometría Euclidiana, se acepta un cierto número de proposiciones, a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría. 1.2 DEFlNÍClQNv- Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y una relación de orden denotado por “<”, es decir: Io LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: +: R x R ----->R (a,b) -—-> +(a,b) = a + b Además debe cumplirse los axiomas siguientes: Af, Cerradura: Va, b e R => a + b e R Ax Conmutatividad: a + b = b + a , V a . b e R A-, Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R
  17. 17. Sistema de Números Reales » 3 Aj Identidad aditiva: V a e R , 3 0 e R / a + 0 = 0 + a = a A4 Opuesto Aditivo: V a e R , 3 - a e R, y es único, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0 2o LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: •: R x R - ^ R Además debe cumplirse los axiomas siguientes: A/„ Cerradura: V a, b e R => a.b e R M l Conmutativa: a.b = b.a,V a,b e R M 2 Asociativa: (a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R M 3 Identidad Multiplicativa: V a e R, 3 1* 0, 1e R, tal que: 1.a = a M4 Inverso Multiplicativo: V a * 0, 3 a~1 e R, tal que: a.a ~l - a 1.a = 1 3o RELACIÓN DE ORDEN: Ox V a.b e R una y solamente una de las relaciones se cumple a<b, a = b, b < a (ley de tricotomía). O2 Si a < b y b < c entonces a < c (transitiva). Oy S i a < b = > a + c < b+ c, V a,b,c e R. 0 4 Sí a < b, c > 0 entonces a.c < b.c OBSERVACIÓN: i) A los números a_ y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de a y b. i¡) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y b. iü) El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único.
  18. 18. 4 Eduardo Espinoza Ramos 1,3 AXIOMA DE SI STITÜCION.- Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación. a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda b) (a + b).c = a.c + b.c. V a, b, c e R distributiva a derecha 1.5 TEOREMA PE IGUALDAD PARA LA APICION~ Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, e e R Demostración Ioa = b. por hipótesis. 2o a + c = a + c, propiedad reflexiva. 3o a + c = b+c , Io. 2° y axioma 1.3 Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R Demostración Io a = b por hipótesis. 2° a.c = a.c. propiedad reflexiva. 3° a.c = b.c, Io, 2° y axioma 1.3 j ,7 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA APICFON.- Sean a,b,c e R ; Sía + c = b + c entonces a = b Demostración Io a + c = b + c . por hipótesis. 2o a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4?
  19. 19. Sistema de Números Reales 5 3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2 4° a + O= b + U, 3° axioma A4 5° a = b. 4o, axioma A¿ J.8 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION.- Sean a,b,c e R; Si a.c = b.e y e * 0, entonces a = b Demostración Io a.c = b.c, ... por hipótesis. 2 o c * 0, ... por hipótesis 3o 3 — e R / (a.c).— = (b.c). —, ...2 o, Io y axioma M A c c c 4o a.(c.—) =b.(c.—), ...3 o y axioma M-, c c 5o a .l= b .l, ...4 o y axioma M 4 6° a = b, ... 5o y axioma M 3 1.9 DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción de números reales por: a - b = a + (-b) 1.10 DIVISION DE NÚMEROS REALES.- DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al cociente de números reales por:
  20. 20. 6 Eduardo Espinoza Ramos 1.11 EJERCICIOS DESARROLLADOS.- © Para cada número real a e R, demostrar que a + a = 2a Demostración 1° a = a.l ... Por 2o a + a = a.l + a.l ... 1° y axioma 1.4 3o a + a = a.(l+l) ... 2o y axioma 1J.a 4° a + a = a.2 ... 3o y por M •, 5o a + a = 2a ... 4o y por M , Para cada número real a e R, demostrar que a.0 = 0 Demostración 1° a.0 = a.0 + 0 ... Por Aj 2o a.0 = a.0 + (a + (-a)) ... 1° y por A4 3o a.0 = (a.0 + a) + (-a) ... 2o y por A2 4° a.0 = (a.0 + a.l) + (-a) ... 3o y por M 3 5o a.0 = a(0 + l) + (-a) ... 4o y por axioma 1.3.a 6° a.0 = a.l + (-a) ... 5o y por A} 7 0 a.0 = a + (-a) ... 6° y por M 3 8o a.0 = 0 ... 7o y por A4 ( 3) Para cada número real a e R, demostrar que: -a = (-l).a Demostración Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-l).a, y -a son inversos aditivos de a por A4
  21. 21. Sistema de Números Reales 7 Luego a + (-1 )a = 1.a + (-l)a, ... por axioma 1.3 a + (-l)a = (1 + (-1))a, ... por axioma vfy.b. a + (-l)a = 0.a, ... por A4 a + (-l)a = 0, ... por ejercicio 2. .-. -a = (-l)a ( 4) Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a Demostración Io a + (-a) = 0 ... por A4 2 ° (-a) + (-(-a)) = 0 ... por A4 3 0 (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... Io , 2o 4o -(-a) = a ... 3o y por teorema 1.6 ( 5) Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b Demostración 1° (-a).(-b) = [(-1 )a][(-l )b] ... por el ejercicio 3 2o (-a).(-b) = (-1 )[a((-1)b)] ... 1° y M 2 3o (-a).(-b) = (-1)[(-1>a].b ... 2o y M x, M 2 40 (-a).(-b) = (-1)[(-a)].b ... 3o y ejercicio3 5o (-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M 2 6o (-a).(-b)=a.b ... 5o y ejercicio4 (ó ) V a.b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b) Demostración Io a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3
  22. 22. 8 Eduardo Espinoza Ramos © 2° a.(-b) = (a.(-l)).b ... 1° y porM , 3o a.(-b) = ((-1 )a).b ... 2o y por M x 4° a.(-b) = (-l)(a.b) ... 3o y por M 2 5o a.(-b) = -(a.b) ... 4o y ejercicio3 6o -(a-b) = (-1)(a.b) ... Por el ejercicio 3 ?o -(ab) = ((-l)a).b ... 6o y por M 2 8o -(ab) = (-a).b ... T y ejercicio 3. 9° a(-b) = -(ab) = (-a).b O OC O V a,b g R, demostrar que a.(b - c) = a.b-a.c Demostración 1° a.(b - c) = a.(b + (-c)) ... definición de sustracción 2o a.(b - c) = a.b + a.(-c) ... 10 y axioma 1.3.a 3o a.(b - c) = a.b + (-(a.c)) ... 2o ejercicio 6 40 a.(b - c) = a.b -a.c ... 3o definición de sustracción Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces a "1 = Demostración Io a 1 = (a _l).l ... por M-, 2o a~l = l.(a _l) ... Io y 3o a "1= — ... 2o definición de división
  23. 23. Sistema de Números Reales 9 ( 9) V a,b e R, a.b* O, demostrar que (a.b) 1 =a 1.b Demostración Io (a.b).— = 1 {ab) 2° (ab).{aJb)~l =1 por A/4 y definición de división 3° (a.b).(a 1b 1) = (a).(a)1.(b).(b 1) por M 2 ■u 1, * 1 . - 1.4°(a.b).(a .h ' ) = (a.-).(b.-) a b 3°, M 2 y definición de división. 5° (a.b).(a [.b ‘) = (1)(!) = ! 6° (a.b).(a l.b l ) = 1 4° y M4 de 5° 7° (a.b).(a.b) 1= (a./>)(a 1i> 1) 8° (ai?) 1 1 ... de 2° y 6° ... 7° y teorema 1.7 10J V a,b,c,d e R, b * 0, d * 0. demostrar que: —+ — = +- ^'c ^ b d b.d Demostración Io - +- = a.b 1+ c . d x b d por definición de división 2° T + Ì7 = (a .b ì).{d.-) +{c.d-x).(b.-) b d d b Io y por M a 3° —+— = (a .b l ).(d.d x) +(c.d 1).(b.b ') ... 2o y definición por división. b d
  24. 24. 10 Eduardo Espinoza Ramos 4o - +- = (a.d).(b]. d l )+(b.c).(b1. d l ) ... 3o, A/, b d ' 50 —+— = (a.d).(b.d) 1+(b.c).(b.d)~x ... 4° y ejercicio9 h d ’ 6" —+ —-(aM + bx;).(bd) 1 ... de 5° y axioma 1.3.b. b d 1° —+ — = + — ... 6o y definición de división h d hd U 2 REPRESENTACION PE LOS NÚMEROS R EALEsT Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir: 51 sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y reciprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto. ------ 1-------- 1--------1------- 1------- 1------- 1--------1--------1---------1— ► -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NÜMEROS.- N: Conjunto de los: números naturales. Z: Conjunto do los números enteros. Q: Conjunto de ios números racionales, í: Conjunto de los números irracionales. R: Conjun ¡o de los números reales. C: Conjunto de los números complejos.;
  25. 25. Sistema de Números Reales 11 CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES R 0 racionales entero positivo N0 = {0,1,2,...,«,...} Z enteros negativos Decimales periódicos = 0.abe = 999 Decimales periódico mixto = 0.abede - abede - ab 99900 Decimales exactos = 0.abe = abe 1000 Q = { - l a . b e Z , b * 0} b I f propios: a/2 , -73 ,... V Irracionales! trascendentes = {e, 7t,...} 1.13 DESIGUALDADES., La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales. La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”. A B ------------ 1----------------------1-----------► a b El símbolo < se lee "Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes:
  26. 26. 12 Eduardo Espinoza Ramos 1.13.a DEFINICIÓN.- i) Un número real “a” es positivo sí, a > 0. ¡i) Un número real “a” es negativo sí, a < 0. 1.13.b DEFINICIÓN.- Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor ó menor que otro. Por ejemplo: 5 < 9. V a,b,c e R., se tiene: Ox Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple: a = b v a < b v a > b O, Orden transitivo: s í a < b a b < c => a < c 0 3 Orden de adición: s í a < b => a + c < b + c 0 4 Orden Multiplicativo: sí a < b y c > 0 => a.c < b.c En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones: U 4 AXIOMA DE LA RELACION DE ORDEN.- L15 DEF1N1CJON.- i) a < b < = > b - a e s positivo. ii) a > b <=> a —b es positivo. iii) a < b <=> a = b v a < b iv) a > b <=> a > b v a = b 1.16 TEOREMA.- V a,b,c,d eR ; Sí a < c A b < d a + b < c + d Demostración O a < c por hipótesis 2° a + b < b + c i° y o3.
  27. 27. Sistema de Números Reales 13 3o b < d por hipótesis 4° b + c < c + d 3°y 0 3 5o a + b < c + d 2o, 4o y O, L17 TEOREMA.» Para a.b € R, si a < b => -a > -b Demostración 1° a < b por hipótesis 2o b - a > 0 1° y definición 1.1$ i. 3o (b -a ) + (-b) > 0 + (-b) 2oy 0, 4° -a + (b + (-b))>-b 3o, a2 y A 5o -a + 0 > -b 4o y A4 6o -a > -b 5° y a3 1.18 TEQREMA.- Sí a, b, c e R, donde a < b a c < 0 => a.c > b.c Demostración 1° a < b por hipótesis 2 o c < 0 por hipótesis 3o 0 *c>() 2o y definición 1.14.i) 4o - a.c < -b.c Io, 3o y 0 4 y ejercicio 6 5o a.c > b.c 4o y teorema 1.bfa
  28. 28. 14 Eduardo Espinoza Ramos 1.19 11LUKIUMA.- Para a e R, a * 0 => a 2 > 0 Demostración 1° a * 0 por hipótesis 2o a> 0 v a< 0 l° y 0 , 3o sí a > 0 => a.a > 0.a 2° y 0 4 4o O A N 3o y ejercicio 2 5o sí a < 0 => -a > 0 2o y definición 1.15i 6o (-a)(-a) > 0. (-a) 5o y o 4 T a 2 > 0 6o, ejercicio 2 y 5 M TEOREMA.- Para a e R. a * O entonces a 1 tiene el mismo signo que “a” es decir: i) Sí a > 0 => a~x >0 ¡i) Sí a < 0 => a~l < 0 Demostración i) Io a > 0 por hipótesis 2o éT ' c O hipótesis auxiliar 3o ¿7.a’1 < 0 Io, 2o y teorema 1.18 4o 1 < 0 3o y M 4 es absurdo 5o íT ' > 0, por 2oy 4o 6o Sí a > 0 => a~x >0 Io y 5o ü) Su demostración es en forma similar.
  29. 29. Sistema de Números Reales 15 « /«< T C A D C M A Para a,b e R, donde a y b tienen el mismo signo, sí a < b => a 1 > d 1 Demostración Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos: i) a > 0 a b > 0 i¡) a < 0 a b < 0 i) 1° a < b por hipótesis 2° a > 0 a b > 0 por hipótesis T a 1 >0 a b x >0 2o, teorema 1.20 4o a.a~ < b.a~l 3o y 1°; 0 4 5o (a.a~l )b~l < (b.a x)b~x 3o y 4o; 0 4 6o (a.a~1)b~1 <(b.b~{)a~l 5o y m 2 7° liT 1 <1 .a~l 6o y A/ 4 8o b~x <a 1 7° y M3 9o sí a < b => a~l >b~l l ° y 8° V ii) Su demostración es en forma similar. 1 IT lt? D C iriftC W c ADDA T T An /Wi ,¿¿ GiJüiKvlv Iva ÜÍ-SAKKULLAUU5.- © Si a > b > 0, Demostrar que: a 1 > b 2, donde a,b e R. Demostración Por hipótesis se tiene a > b > 0 => a > 0 a b > 0 Como a > b => a + b > 2b > 0 => a + b > 0 a > b => a - b > 0 ...(a ) .. (ß)
  30. 30. 16 Eduardo Espinoza Ramos de (a) y (f¡) se tiene: (a + b)(a —b) > 0.(a —b) de donde a 1 - b 1 > 0 => a 2 > b 2 Sí a > b > 0 =s> a 2 > b 2 Sía, b>0 y a 2 > b 2 = > a > b Demostración Por hipótesis se tiene a 2 > b 2 => a 2 - b 2 > 0 de donde (a + b )(a-b ) > 0 ... (a) como a > 0 a b > 0 => a + b > 0, de donde —— > o ...<p> a+b de (a) y (P) se tiene ^ + —— > 0 , de donde a - b > 0 entonces a>b. a +b ® S i b > a > 0 y c > 0. Demostrar: > — 3 h-Lr- hb+c b Demostración Como b > a > 0 => a. b>0 ...(1 ) b > a y c >0 => b.c>a.c ...( 2) en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c , . v .. . i t 1 d + C Cl b.(a + c) > a.(b + c) , de donde: ------ > — b+c b a c „ a+c c > — ® Si a,b,c,d > 0 y —> — Demostrar r» /ib d b+d d Demostración a c Como —> — , donde b,d> 0 => a.d >b.c ... (1) b d Además c > 0, d > 0 entonces c.d > 0 Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1): a.d + c.d > b.c + c.d
  31. 31. Sistema de Números Reales 17 d.(a + c) > c.(b + d), de donde: a +° >— b +d d (^ ) Para a,b,c números reales. Demostrar que a 2 +b1 +c2 >a.b +a£ +b.c Demostración V a.b e R, ( a - b ) 2 > 0 V a.c e R, (a - c )2 > 0 V b,c e R, (b - c ) 2 >0 a 2 +b2 - 2a.b > 0 a 2 +c2 - 2 a r >0 b2 +c2 - 2b.c > 0 2(a2 +b2 +c 2)-2(a.b +a.c +b.c) > 0 de donde a 2 +b2 +c2 >a.b +a.c +b.c (7 ) V a,b e R ' , demostrar que ü +^ > -Jali Solución Como a,b e R + => -Ja - 4 b e R Sí 4a —4b e R => (4a ~ 4 b ) 2 > 0, de donde a + b - 2 4 a 4 b > 0 => a +b>24ab a +b -> 4 a h ( l ) Demostrar que sí a < b, Entonces a < ■< b Demostración Como a < b => a + a < a + b => 2 a < a + b ...(1 ) a < b = > a + b < b + b = ^ a + b < 2b ..-(2) de ( 1) y (2) por transitividad se tiene: 2a < a + b < 2b a < < b ^ 8) Demostrar que si, a 2 +b2 = 1, c 2 + d 2 =1, entonces: 1 > a.c + b.d, para a,b,c,d e R
  32. 32. 18 Eduardo Espinoza Ramos Demostración V a,c e R, (cr-c’)2 >0 => a 2 +c2 >2a¿ ...(1) V b,d e R, ( b - d ) 2 > 0 => b2 + d 2 >lb.d ...(2 ) sumando (1) y (2) se tiene: a 2 +b2 +c2 + d 2 >2(a£ +b.d) 2 > 2(a.c +b.d) 1> a.c + b.d V a,b,c,d e R + yn e Z + , demostrar que: a 2" +b2n +c2n + d 2" > 4 (abcd)"12 Demostración a,b e R + => a ",bn e /?+,pero a” - b n e R, entonces: (an - b n)2 > 0 => a 2n +b2n >2anb ” . . . ( 1) c,d e R^ => c " , d n e R +, pero c " - d " e R, entonces: (c" - d " ) 2 > 0 => c 2" + ¿ 2n >2cnd" ...(2 ) Sumando (1) y (2) se tiene: a 2" + ¿>2n + c2" + d 2n>2(anb" +c"d") ...(3 ) (Ja"bn - a /c V "”)2 > 0 => a nb" +cnd n>2^¡anb nc nd n ...(4 ) a 2" + />2” + c 2" + ¿ 2n >4-Janbnc nd n ... a 2" + 62” + c 2" + í/2n ¿4(a¿>c</)”/2 (lo) Si a + b + c = l , donde a,b,c > 0, Demostrar que (1 —a)(l -b )(l - c ) > 8abc Demostración Como a,b,c>0 => -J~a,-Jb,-Jc > 0 entonces:
  33. 33. Sistema de Números Reales 19 © -Je e R b +c> 2-Jbc -Je e R => • a+ c> 2-Jac -Jb e R a +b> 2-Jab (b + e)(a + c)(a + b )> 8abe Pero sí a + b + c = 1 1- a = b +c - b - a +c - c + a + b ..( 2) Reemplazando (2) en (1) se tiene:(1 —a)( 1—b)( 1- c) > 8abc Si a.b.c.d e R" , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd Demostración Como a,b,c,d e R + => ab > 0, cd > 0, ac > 0, bd > 0 De donde -Jai) -~Jcd e R, y -Jac--Jbd e R. entonces: (-fab—Jcd)2 > 0 ab +cd > 2-Jabcd (4ac- - J b d ) 1 >0 Iac +bd > 2-Jabcd multiplicando se tiene: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd a c , a a+c c Sean a,b,c,d e R tal que —< —. demostrar que: —< -------< — b d b b+d d Demostración Como —< — => a.d < b.c por que b,d e R 1 a.d < b.c, sumando a.b, a ambos b d miembros ad + ab < be + ab, factorizando a(b + d) < b(a + c), de donde ~ . . . ( 1) En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd < be + cd,
  34. 34. 20 Eduardo Espinoza Ramos Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde: Ü í £ < £ b+d d ...( 2) ^ . a a+c a +c c De (1) y (2) se tiene: —< ---------- a ----------< — b b+d b+d d _ , , . a a +c c De donde por transitividad se tiene: —< ------- < — b b +d d Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrar que: a 4 +b4 + c 4 +d 4 >Aabcd Demostración Como a,b,c,d e R => a 2,b 2,c 2, d 2 e R, además: a 2 - b 2 e R c~ —d~ e R (a2 - b 2)2 > 0 (c2 - d 2) 2 > 0 de donde al efectuar se tiene: a 4 +b4 > l a 2b2 cA+ d A> l c 2d 2 ... (2) Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene: a 4 +b4 + c 4 + d A> l( a 2b2 + c2d 2) ...(3 ) Como ab. cd e R => ab - cd s R, entonces: a~b2 +c2d 2 >2abcd => 2(a2b2 +c2d 2)> 4abcd ( a b - c d ) ' > 0 de donde ...(4 ) de (3) y (4) por transitividad se tiene: a 4 +bA+c4 + d 4 > 4abcd Si a > 0, a e R, demostrar que: a +—> 2 a Demostración Como a > 0 => -Ja > 0 , de donde 4 a — e R por lo tanto
  35. 35. Sistema de Números Reales 21 (Va — 7=)2 ^ 0 , desarrollando se tiene: a - 2 + —> 0 de donde a + —> 2 Va a a , „+ , bc ac ab , Si a,b,c, e , demostrar que: — + ------1-— >a +b +c a b c Demostración Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces — > 0 , —> 0 , —>0 entonces aplicando el ejercicio 14). b c c Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respectivamente. ac bc ^ _ — + — >2c b a ab a c . - - a c „bc -a b — + — >2 a => 2 — + 2 — + 2 — >2c +2a +2b c b b a c ab — + — > 2 b c a . h e ac ab s -, , , 2(-----h— + — ) > 2(a +b +c) a b c bc ac ab , — + — + — >a +b +c a b c r.- ^ i ^ rv j a +b _ a b Si a > 0, b > 0, demostrar que: -----:— - < -— - + - a + b + 1 6+1 a + l Demostración Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene: a + l > 1 Z>+ 1 > 1 a + è + 1> è + 1 a +b +> a +l ahora inviniendo cada una de las desigualdades: ----- ---- < —— y ----- ----- < — — a+b + 1 ¿>+ 1 a +b + 1 a +l
  36. 36. 22 Eduardo Espinoza Ramos multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente. a a b _ b ---------- < ------ y ---------- < ------- o + b +1 b +1 ¿7+ ¿>+ l +1 • a +b ^ a b Sumado estas dos desigualdades se tie n e :---------- < ------ + a + b +1 b +1 a +1 1 4 17) Si a,b e R, b * 0, demostrar que: — a 2 +ab +b2 3b2 Demostración Completando cuadrado en a +ab +b se tiene: cr+ab +b = (a + — (1) Como a.b e R => a +— e R, de donde (a + —)2 > 0 2 2 o J 3t>2 ■ , b ■, 3b2 3b2 Sumando ------ se tiene: (a + —) ' + -------> ------ ...(2 ) 4 2 4 4 Ahora de (1) y (2) se tiene. 2 . , t 3b2 , . . 1 4 a ' +ab +b~ como b * 0 invertimos — ------— a 2 +ab +b2 3b2 18) Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: < — ' a a Demostración Como a > 0, b < 0 => ab < 0, sumando “a” a ambos miembros se tiene: a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a ... (1) Como a > 0 => -X- > 0, ahora multiplicamos a (1) por - - a~ a~ . . . a(b + l) a . , ¿ + 1 1 Obteníendose ----- < —r- simplificando .'. ----- < — a a a a
  37. 37. Sistema de Números Reales 23 19j Si a>0. b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: a^ - ~ Demostración Como a > 0, b > 0 => a - b e R, de donde: ( a - b ) 2 > 0 => a 2 -2ab +b 2 >0 sumando 4ab. a 2 +2ab +b 2 > 4 ab de donde: (a +b)2 > 4 ab pero como a + b = l , se tiene l>4ab, por lo tanto a^>-~ 20j Si a >0, b >0, 3a * 5b, demostrar que: — +— >2 5b 3a Demostración Como 3a* 5 b => 3 a - 5 b * 0 y 3 a - 5 b e R entonces (3 a-5 6 )2 >0 Desarrollando se tiene: 9a 2 -30ab +25b2 > 0 Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a 2 +25b2 >30ab multiplicando por 9a2+25Z>2 30ab . . . 3a 5b , -------------- > ------- , de donde: — + — >2 15ab 15ab 5b 3a 15ab i. 23 EJERCICIOS PROPUESTOS.- © Si a y b son números reales positivos, demostrar que: (—+ —)(a + b) > 4 a b (T ) Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que: (—+ —+ -)(a + b + c) > 9 a b e © Si a,b,c,d son números reales positivos, demostrar ( - + —+ - + —)(a +b +c +d)> 16 a b c d que:
  38. 38. 24 Eduardo Espinoza Ramos ( 4) Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que: —+— > — + 3 b a a 2 ( J ) V a e R. a * 0, demostrar que: a 2 +— > 6 Si a,b,c e R* , demostrar que: (b + c)(a + c)(a + b) > 8abc (T ) Si a,b e R, demostrar que: a^b +ab*< a 4 +bA Si a,b,c e R, demostrar que: a 2 +b2 +c2 +3 > 2(a +b +c) ® Si 0 < a < 1, demostrar que a 2 <a ^ 0) Si a,b,c son números reales positivos y . Demostrar que: a b e d d + e + f f a a+b+c c Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces: (a +b +c)(a2 +b2 +c2) >9abc © Si a.b.c son números positivos y no iguales entre si. Demostrar que: (a +b +c)(a~l + ¿ _1 + c_1) >9 13J Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que: a 2 16Z>2 8a 32b — +— — +24>— +---- b~ a b a ¿4) Si a 2 +b2 = 1. Demostrar que: -^¡2 < a +b < 4 l Sug. ( x - y ) 2 > 0 => 2(x2 +>’2) > (x +y ) 2 15)Si a + b = c, a > 0, b > 0, demostrar que: a 2,i +b2,3 > c 2li ® Si a + b > c > 0, demostrar que: —— + l + o +b 1+c
  39. 39. Sistema de Números Reales 25 © Si a,b,c > O, demostrar que: 3abe < a 3 + 63 + c3 ® Si c > 0, d > 0, 2d * 3c, demostrar que: — > 1 3c 4d (í?) Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que: 2 4b -Ja (20) Si a,b,c e R, demostrar que: b2c 2 +c2a 2 +a2b 2 > abc(a +h +c) 2l) Sea a + b = 2, donde a y b son números reales, demostrar que: a 4 + b 4 > 2 ^ 7 7 ? 9 9 9 221 Si a~ +b~ +c~ = 1 y x +>> +z =1, demostrar que: ax + b y + c z < l b 1 1 " 23) Si a > 0, b >0, demostrar que: — + ——> —+ — ‘ J 4 b2 a 2 a b 24) Si 0 < a < l , demostrar que: a 2 < a 25) Si a,b > 0, demostrar que: -Jab > a +b 26) Si a > 0, b > 0, demostrar que: ° > (—í^ ) 3 (27) Si a >0, a * 1, demostrar que: a l +^— > a 2 + ~ a a~ 28) S i a > 0 y b > 0, demostrar que: 4(a +b )>(a +b) 29) Si a y b son números reales, demostrar que: ~J(a~+c)2 +(b +d )2 <-Ja2 +b2 + -Je2 + d 2 3(y Si a.b,c e R T, demostrar que: (a + ¿>+ c)3 >21abc (31) Si a,b,c y d son números reales cualesquiera. Demostrar (ab +cd)2 <(a2 +c 2)(b2 +d 2)
  40. 40. 26 Eduardo Espinoza Ramos 2)Si a.b e R, demostrar que: a 4 +b4 >—(a +b)4 8 33)Si a > 0 y b>0, demostrar que: (g+ —)2 +(b +—)2 ++¿*)2 “■ a h 2 a + b 1 1 25 ^ Si a>0, b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: (a +—)2 +(b +—)2 >-^- (35) Si a,b.td e R,demostrar que: ac+bd < ^ ( a 2 +b 2)(c2 + d 2) (3ó) Si a,b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a 4 +bA > ^ ® 8j Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a 4 +b 4 > — 38) Si a,b.c,d e R +, demostrar que: ~ (a +b +c +d)>^Jabed 9) Si a:,a2,...,a„. bx,b2,...,b„ eR tal que: a 2 +a2 +...+a2 = , b 2 +b2 +...+b2 =1 demostrar que: axbx +a2b2 +...+a„b„ <1 40) Demostrar que si -1 < a < 0 entonces a 3 > a Si - a > 0 y ( a - b ) 2 > {a +b)2, entonces b >0 (42) Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que: a2 + b2 > .43) Si a > 0. b > 0 =? a 3 +bl > a 2b +ab2 X1+x2 +X1 +—+xn44) Si jc,,x,,...,jcn e R y si p =^Jxxj c2..jc„ y a = —-2-----— —— demostrar ^ - V n que: p < a. Í Í) Si a,b,c,m,n,p e R / m > 0 , n >0 , p>0: — < —< — entonces: — < ^+a +c < ^ m n p m m + n + p p
  41. 41. Sistema de Números Reales 27 ® _ , . Qi + di +...+ a„ Probar que si al <a2 <—<a„ entonces ax < —-----P-----------<a„ a 3 - b l 47) Demostrar que si 0 < a < b < c entonces: — --------<a +b+c s*-' 3c(b-a) (4?) Probar que: a 4 +bA+ c 4 +d 4 > Aabcd para a,b,c,d e R (49) Si a,b,c > 0, demostrar que: 2(a3 +lr + c:3) > bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b) (501 Demostrar que: <j2b 2 +b2c 2 +a2c 2 > abc(a +b +c) V a,b,c e R x" 1 51) V x e R y n par, demostrar que: —-------< — “ 7 x 2n+l 2 52) Demostrar que si r > 0 y a < b entonces a a <---- -- <b ' 1 + r 531 Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: ~ + ~ > —+ — b2 a 2 a b 54) Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que: ■ > 2 2 ' > ^ 2 x + y + z + w > —(xy + xz + xw + yz + yw + zw) a2 b2 55) Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a +b< — + — • b a 56) Si a,b y c son números positivos distintos. Demostrar que: (a +b +c) 2 <3(a1 +b2 +c2) 51) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3 +b3)(a +b)> (a2 +b2)2 ,58)Si x,y son números distintos, demostrar que: (x4 +y 4)(x2 +>’2) > (x 3 +>'3)2 59) Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz
  42. 42. 28 Eduardo Espinoza Ramos a - 2 b - 2 (£0) Demostrar que: a < b < 1 => —---- < a - 1 b - 1 61J Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que: (a2 +b2 +c2)(x2 +y 2 +z 2) > (ax +by +cz)2 (62) Demostrar que: 0 < d < c => ^ — ^ - > d 2(c - d ) _ 4 .3 @ Si 0< d< c => d 3( c - d ) < — - — < c2( c - d ) (64) Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que: a) xyz = 1 => x + y + z > 3 b) xyz =1 a x + y + z = 3 o x = y = z = 1 ® x y z x y z Demostrar que: x>0, y > 0 , z > 0 = > —+ —+ —>3 (su g :----- —= 1 y ejercicio 64) y z x y z x (óó) Demostrar para todo a y b real [ab <-~=¡a2 +b2 (ó?) Si x e y e R, demuestre que: |x| + |y| > |x + y| (68) Si x 1, x 2,...,x„ e R~ tal que x¡ = 1. Entonces x x+ x2>1 (69^ Si a,b e R, demostrar que: (a +b)4 <8(a4 +b 4) 2 i (70) Si a > 0, probar que: X . + +a > a + 1 x +a J i) Si a,b,c ei?* ,y si a 2 +b2 +c2 =8 . demostrar que: a 3 +b3 + c 3 > 1 6 ^ 72) Si a >0, b > 0, demostrar que: (-^- + -^-)(a2 +Z>2) > 4
  43. 43. Sistema de Números Reates 29 73) Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a+ +C > Ifabc ^ 4) Sí V a,be R talque a > 0 A b > 0 y a < x 2 <b => - J a < x < 4 b v --Jb < x < —Ja ^ 5) Si JC], x 2, —, x„ e R, talque x¡ jc2...jc„ =1. Demostrar que xx + x2 +...+x„ > n Si a,h e. R ' , Demostrar que (a2 +b2)(a +b)2 >&a2b 2 77) Si a + b + c = 0, Demostrar que: (—+ —+—)2 = ——+ -Î- + — ^ a b c a - b2 c2 1 1 78)Si a,b g R , Demostrar que ——+ ——> a 2 b2 (a +b)2 1.24 JNECUACÏONES.- 1.24.1 DEFINICION.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4. 1.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos sé representan gráficamente en la recta numérica real. Consideremos los siguientes tipos de intervalos: a) Intervalo cerrado.- a < b [a,b] = {x e R / a < x < b } a b b) Intervalo abierto.- a < b — otymtMtmtyé) <a,b> = {x e R / a < x < b} a b
  44. 44. 30 Eduardo Espinoza Ramos c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.- [a,b>= {x e R / a < x < b [ „ d) Intervalo abierto en a y cerrado en b.- <a,b] = {x e R / a < x < b} e) Intervalo infínitos.- [a,+oo>= {x e R / x > a } a <a,+*> = {x e R / x > a} < OHHmHHiHHMtHtttttt *• a <-oo,b] = { x e R / x < b ¡ b <-oo,b> = {x e R / x < b} * m m m m m t m m Q ------1 b <-oo,+oo> = {x/x g R} <-», a> u <a,+oo> = {x e R / x * a} mmHtHHHmHMMtto mmmtHHmwmmm a Nota.- ( l ) Six e [a,b] <3 > a s x ¿ b Ejemplo.- Demostrar que: síx e[2,4] entonces 2x + 3 € [7,11] Solución x e [2,4] => 2 < x < 4, multiplicando por 2 4 < 2x < 8, sumando 3 7 < 2x + 3 < 11 Sí 7<2x + 3 < l l => 2x + 3 e [7,11] Por lo tanto, sí x e [2,4] => 2x + 3 g [7,11]
  45. 45. Sistema de Números Reales 31 © I S j Q g L <=> &<x<b Ejemplo.- Demostrar que: Sí 2x —6 e <-4,4> => x e <1,5> Solución 2x —6 e <-4,4> =?> -4 < 2x —6 < 4, sumando 6 2 < 2x < 10 dividiendo entre 2 l < x < 5 , entonces x e <1,5> Por lo tanto, sí 2x - 6 <= <-4,4> => x e < 1,5> 1,25 CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION.-: Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado. 1.26 RESOLUCION DE UNA INECUACION.»: El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación. 1.27 INECUACION DE PRIMER GRADO EN UNA INCOGNITA.- Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma: Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, sí a > 0, entonces: b . b X > ------ O X < — a a Su representación gráfica es O M M tM H H M H m tm ► Ó ■■tHMtm tHftHHHtHtHiO ax + b>0 ó ax + b < 0 , a=£Q b X X b a a
  46. 46. 32 Eduardo Espinoza Ramos Luego la solución es dado en la forma: x e < — ,+oo> ó x e < -oo,— > a a Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones. 0 3x —4 < x + 6 Solución Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación en la forma: En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir: 3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e <-oo,5> m m H H M H tM m m tO ------► La solución es: x e <-oo,5> 5 0 3(x —4) + 4x < 7x + 2 Solución Poniendo en un sólo miembrola incógnita y en el otro miembrolos números: 3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12simplificando 0 < 14 esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el conjunto de todos los números reales (x e R). 0 5x —4(x + 5) < x —24 Solución En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y en el otro miembro los números: 5x —4x —x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4 Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (<¡>). 0 2 < 5 —3x < 11 Solución Aplicando la propiedad de transitividad: a < b < c o a < b A b < c
  47. 47. Sistema de Números Reales 33 2 < 5 - 3 x < 11 <=> 2 < 5 - 3 x a 5 - 3 x < 11 » 3 x < 5 —2 a5 —l l < 3 x o x < 1 a -2 < x -- O/////////////////////////////! -2 1 La solución es: x e<- 2, l ] ----------------------- 1.28 ÍINECUACION DE SEGÜNOD GRADO E3 UNA INCOGNITA,, Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma: ax2 +bx +c>0 ó aje2 +e <Q, a * Oí donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las propiedades de los números reales ó también por medio de la naturaleza de las raíces del trinomio ax2 + b x + c - 0. a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO. Consideremos el trinomio de segundo grado al analizar el valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan tres casos: Io Caso.- Si A = b 2 - 4 ac > 0, entonces hay dos valores diferentes rx < r2 que anulan el trinomio ax1 +bx +c = 0 . Es decir: a(x - rx)(x - r2) = 0 , si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta: i) Cuando x toma valores menores que r ,, los factores (x-r¡) y ( x - r 2) son negativos,luego el trinomio ax2 +bx +c , tiene el mismo signo del coeficiente de “a”. ¡i) Cuando x toma valores intermedio entre i y r2; entonces el factor (x ) es positivo yel factor ( x - r 2) es negativo, luego el trinomio ax2 +bx+c , tiene signo opuesto del coeficiente de “a”.
  48. 48. 34 Eduardo Espinoza Ramos iii) Cuando x toma valores mayores que r2, entonces los factores (x -r ¡) , ( x - r 2) son positivos, luego el trinomio ax1 + bx + c , tiene el mismo signo del coeficiente de “a”. 2o Caso.- Si A = b2 -Aac = 0 , entonces hay un solo valor real > =r2 = r , que anulan el trinomio ax2 + bx +c , luego como ( x - r ) 1 es positivo, el signo del trinomio ax2 + bx + c es el mismo del coeficiente de “a”. 3o Caso.- Si A = b 2 - 4ac < 0 , entonces se tiene dos valores no reales -■ r¡ = a +fíi y r2 = a - fii que anulan el trinomio ax1 + bx + c , y para i » / J* ' ' - cualquier valor de x, el trinomio: ax2 + bx +c tiene el mismo signo del coeficiente de “a”. NOTA.- Sí ax2 + bx + c = 0 entonces x = —------ ------ 2a b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.- Para resolver una inecuación cuadrática de las formas ax1 +bx +c > 0 ó ax2 + bx + c < 0 , donde a,b,c e R , a # 0 , por medio de la naturaleza de las raíces primero se resuelve la ecuación ax2 +bx+c = 0 , y de acuerdo a la naturaleza de las raíces se presenta tres casos: Io Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces reales diferentes < ri ' " + v 7 v ~ *---------------© — :— e ------------- i) Si la inecuación es de la forma ax2 +bx +c > 0 , con a > 0, la solución es todos los valores de x que pertenecen al intervalo < - o o , > U<r¡ ,+ao>. ¡i) Si la inecuación es de la forma ax2 + bx +c <0 con a > 0, la solución es todos lo valores de x que pertenece al intervalo < r¡,r2 > .
  49. 49. Sistema de Números Reales 35 2° Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene una raíz real única rx =r2 = r . +— 1 6 ' > r i) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx +c> 0 , con a > 0. La solución es todos los valores de x * r, es decir: x e <-oo,r> U <r,+oo> ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx + c < 0 , con a > 0. No se verifica para ningún valor real de x. 3o Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales. i) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx +c >0, con a > 0. La solución es todos los valores reales de x. ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+c < 0 , con a> 0. No se verifica para ningún valor real de x. RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO. Forma de la Inecuación Raíces de la Ecuación ax2 +bx +c = 0 Conjunto Solución ax2 +bx +c> 0 , a > 0 Raíces diferentes r <r2 < —oo,r, > U <r-, ,+oo > Raíz Real Unica r R —{r} Raíces no reales R ax2 +bx +c < 0 , a > 0 Raíces diferentes r <r2 <rx,r2 > Raíz Real Unica <t> Raíces no reales <l>
  50. 50. 36 Eduardo Espinoza Ramos © Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones. 2x2 —jc-10 > 0 Solución Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales: a,b > 0 o Ca>ÖA b > 0 ) v {a< 0 a b < 0) 2;t“ -;t- 1 0 > 0 => (x + 2)(2x —5)> 0 (x + 2)(2x- 5 ) > 0 <=> (x + 2 > 0 a 2 x —5 > 0 ) v ( x + 2 < 0 a 2 x —5<0) © O- <=> (x > -2 a x > 5/2) v (x < -2 a x < 5/2) ----------------- ► -«--------------- O -2 O--------------- Q//////////A 5 2 -O « ///////////O -2 -6—► 5 2 La solución es: x e < —oo,—2 >U <—,+oo> 2 Otra forma de resolver esta inecuación, es por la-naturaleza de sus raíces de la ecuación , 5 , 2x~ - jc- 1 0 = 0 , de donde = -2 , r2 = — , luego < r2 y como 2x —je: — 10 > 0 , de acuerdo al cuadro la solución es: 7 ¥ x e < - 00,-2 >U <—,+«>> 2 ;t2 +8jc-6 5 < O Solución Usando propiedades de los números reales. ¡ s r < ¿ > , b > f l O -^ h < a < -4 b completando cuadrados en x 2 + 8x-6 5 < O, se tiene:
  51. 51. Sistema de Números Reales 37 x 2 + 8x + 16 < 65 + 16 => (x + 4)2 <81, aplicando la propiedad (x + 4)2 <81 o -^|8Í <x +4<4%Í <=> - 9 < x + 4 < 9 o - 1 3 < x < 5 La solución es x e <-13,5> Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de x 2 + 8 x -6 5 = 0 , es decir: (x + 13)(x —5) = 0 de donde rj = —13, r-, =5 de acuerdo al cuadro es: x e <-13,5> "* O ///////////////O *" -lo o 0 x 2 + 20x + 100>0 Solución Mediante propiedad de los números reales se tiene: x 2 + 2 0 jc + 1 0 0 > 0 => (x + 1 0 ) 2 > 0 entonces: V x e R; x *-10, (x + 10)2 > 0 , por lo tanto la solución es; x s R -{-1 0 ¡ Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10, multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es: x g R —{-10} ® , 3 9 x ~+ —jc+ — < 0 inn Solución Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R , x 2 > 0 3 9 3 'i 3 luego x 2 + —x + -----<0 => (x + — )2 <0 pero (xh-------)2 > 0 , entonces no existe 5 100 10 F 10 ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: <j>.
  52. 52. 3 9 Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x~ +—x +-—- = 0 , 5 100 3 9 3 9 de donde r = ----- de multiplicidad dos, pero se tiene que x~ +—x +-------- <0 y de 10 5 100 acuerdo al cuadro la solución es: (|). 38 Eduardo Espinoza Ramos I M INECUACIONES POLINOMÍCAS.- Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente: P { x } - a nx n +,..+atx+a$ > 0 ó '. P{x) ~ a„xn + < 0 donde o0, s o n constantes y a„ * 0, n e Z 4 . a) RESOLUCION DE UNA INECUACION POLINOMICAS.- Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0, se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma sencilla y rápida, considerando a„> 0 . Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio P(x) = a„xn +...+£7lx + a 0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene n raíces, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales. I o Caso.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales diferentes. Es decir: rx < r, < ...< rn_x < rn a) En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio P(x) = 0, se alternan los signos “+” y reemplazando por asignar el signo (+) al intervalo < rn,<x>> . ^ A A ^ A ^ T A A ^ A A ^ r ■■■■■ rn-3 rn-2 rn-l rn
  53. 53. Sistema de Números Reales 39 b) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx n +...+alx +a0 > 0 , an > 0; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo c) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx" +...+axx +a0 < 0 , a„ > 0 ; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo NOTA.- Explicar el método de Ruffini Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes: © jc5 +3x4 - 5 x 3 -15x2 +4jc+ 12>0 Solución Expresamos el Io miembro de la inecuación en forma factorizada (x + 3)(x + 2)(x—l)(x + 1)(x —2) = 0 1 3 -5 -15 4 12 1 1 4 -1 -16 -12 1 4 -1 -16 -12 0 2 2 12 22 12 1 6 11 6 0 -1 -1 -5 -6 1 5 6 0 -2 -2 -6 1 3 0 -3 -3 1 0
  54. 54. 40 Eduardo Espinoza Ramos Luego las raíces son: /•, = -3 , r2 = - 2 , r3 = - l , rA = 1, /-5 = 2 © -3 - 2 - 1 1 2 Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). Es decir: x e <-3,-2> U < -l,l> U <2,+oo> 2x3 -3 jr2 -1 l.v + 6 < 0 Solución Hallaremos las raíces de la ecuación 2x3 - 3x2 -1 Le+ 6 = 0 2 -3 -11 6 -2 -4 14 -6 2 -7 3 0 3 6 -3 2 -1 0 '/2 1 2 0 Luego las raíces del polinomio son: r, = -2 , r2 = —, r, = 3 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,-2 > { / < —,3 > 2 2° Caso.- Si algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:
  55. 55. Sistema de Números Reales 41 a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del Io caso. b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0, es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del Io caso. Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes. 0 ( x - l ) 2(x + 2)(x + 4) > 0 Solución Resolviendo la ecuación (x -1 )2(x + 2)(x + 4) = 0, de donde rx = - 4 , r, = -2 , y = 1, de multiplicidad 2. -4 -2 1 Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: x e <-co,-4> U <-2,+co> - {1} © (2x +1)(3x - 2)3(2x - 5) < 0 Solución 1 2 Resolviendo la ecuación (2x + l)(3x-2)3(2x-5) = 0, de donde ri = y de multiplicidad 3, r, = — -1/2 2/3 5/2 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos 1 2 5 donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,- —> U <—,—> 3o Caso.- Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.
  56. 56. 42 Eduardo Espinoza Ramos © Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones. (.v2 -7 )(x 2 +16)(.v2 —16)(jc2 + 1) < 0 Solución Resolviendo la ecuación: (x 2 - l ) ( x 2 + 16)(x2 -16)(x2 +1) = 0, de donde rx = -4 , r2 =—j 7 , i =^ 7 , r4 =4, r¡¡ =-4/, r6 =4i , r-¡ =/, + A A T - i -4 -V7 V7 4 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es de la unión de losintervalos donde aparecen el signo (-), es decir:x e < - 4 - - J l >U <-Jl,4 > ( ? ) (1+x + x 2)(2- x - x 2) > 0 Solución La inecuación la expresaremos así: (x2+x + 1)(jc2 + x - 2) < 0 ahora resolviendo la ecuación (x1 +x +){x2 + x - 2 ) = 0 de donde: r¡= - 2 , r2 =1, -1 + V3i -1 -V 3 ; ----- r3 = ----r ----, # 4 = ---- ----- • AA~rA/' + -2 1 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x e [-2,1] L30 INECUACIONES FRACCIONAR! AS.- Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma: donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero.
  57. 57. Sistema de Números Reates 43 © Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones: P(x) . . P(x) _ . , , ----- - > 0 o ------- < 0, son equivalentes a las inecuaciones Q(x) Q(x) M P(x).Q(x)>0 ó P(x).Q(x)<0 es decir: Si Q(x)*0=> Q 2(x)> 0, de donde se tiene: Si ^ > 0 =* P(x)n f ' ( x ) >0.Q2(x) =¡> P(x).Q(x) > 0 Q(x) O(x) Si ^ > < 0 => P(X)Q (X)< 0 .Q2(x) => P(x).Q(x)< 0 Q(x) Q(x) V ’w v w Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes: (.t2 -1)(x + 3)(jc-2 ) ;>u Solución / ^ (-Y- -1)(jc+3)(* -2 ) ^ Q ^ (x—5)(x +7) , • (*2 -l)(* + 3)(*-2) , • • • ■■ La inecuación----------- ——---------- > 0 , es equivalente a la siguiente inecuación. (x-5)(x +7) H B (jc2 —1)(jc+3)(jc—2)(jc—5)(jc-»-7) > 0, para x * -7 ,5 ahora hallaremos las raíces de la ecuación (x 2 —1)(jc -i-3)(jc —2)(jc —5)(jch- 7) = 0 . De donde r, = -7 , r2 -3 , = -1 , r4 = 1, rs =2 , r6 = 5, que son reales diferentes. - 7 - 3 - 1 1 2 5 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+) es decir: x e <-»,-7> U <-3,-l> U <1,2> U <5,+oo> x - 2 jc+ 1 <- x +3 x
  58. 58. 44 Eduardo Espinoza Ramos Solución La inecuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es decir: x - 2 .r + 1 x ( x - 2 ) - ( x +l)(x+3) --------------- <0 => —------- — --------------- < 0 , de donde: x + 3 x x(x + 3) 6x—3 2x +1 . <0 => ---------- > 0 , que es equivalente a: x(x + 3) a'(x + 3) x(2x + 1)(x + 3)x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación. (2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = -3 , r2 = — , r3 =0 -3 -1/2 0 Como la inecuación es de la forma: (2x + l)(x + 3)x > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: x e < —3,—>U < 0.+ »> 2 x x - 2x -+ -----<- x -1 X X + 1 Solución x x —1 2.x La inecuación dada expresaremos en la f o r m a :------- h:--------- -— < 0 jc-1 .v x +1 x'(.v + l) + (.í-lK .r-l)(x + l)-2 x ‘ fx -l) . ----------------------------------------------------- < 0 , simplificando (x-D xU +l) 2x2 - x +l < 0 , que es equivalente a la inecuación. (a- - 1 ) .v(a- + 1) (2x2 - x +l)(x-l).v(.v +1) < 0, para x * -1,0,1
  59. 59. Sistema de Números Reales 45 ahora encontramos las raíces de (2x2 - x +l)(x- )x(x + 1) = 0 , de donde sus raíces son: . - V + / ~ V + “ „ -1 0 1 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ < 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (-), es decir: x e <-*>,-1> U <0. 1> 1,31 INECUACIONES E X P ( Í Ü Í I Ü M C Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma: donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a e R +, a 1. Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos: 1 ° Caso.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el mismo sentido prefijado, es decir: Si > a ^ y. <=> f[x)>g&} Sí a ri' ^ < a sM o f|x)<g(&) 2o Caso.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en sentido contrario al prefijado, es decir: Sí a fíx)> a ^ o f(x)<g(x> Si a f i A < a ^ <=> fíx) > gíx) Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones:
  60. 60. 46 Eduardo Espinoza Ramos 0 3/3(S,-l>/3 Solución 5jr-t-l 3(x +l) 5x+l 6x+6 La inecuación dada es equivalente a: 3 9 < 9 10 => 3 9 < 3 10 , ^ , 5jr+ l 6.v+ 6 como a = 3 > 1 entonces ------- < --------- 9 10 50.y+ 1 0 < 54.r + 54 =?> —44<4.v => x > - l l => xe<- l l , +oo> La solución es: x e <-11 ,+»> 0 [(0,2>tv^1K' 2)]A3>(0,°12^ 3jr-l Solución La inecuación dada se puede escribir en la forma: (jr-j-'Xjr -2) . (x+l)(.r-2) (0 ,2 ) * - 3 > ( u - ^ z o )3x-i d e d o n d e : (0<2) v-3 > ( 0 , 2 ) 12a- 4 , 8 , . (x + )(x-2) (jc + 1)(jc—2) como a = 0.2 < 1, se tiene:--------------- < 1 2 - 4 => ------- --------1 2 * + 4 <0 x - 3 jc—3 1 lx 2 -39x + 14 efectuando operaciones y simplificando tenemos: --------------------> 0, esta inecuación es x -3 equivalente a: (1 be2 -39x + 14)(jc - 3) > 0 parax*3. Ahora hallando las raíces de : (1lx2 -39x + 14)0c-3) = 0 , de donde: 39-^905 , 39+^905 r, = ------------- , r7 = 3 , =------------- 1 22 2 3 22 39-V905 3 39+^905 22 22
  61. 61. Sistema de Números Reales 47 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) , ■ . ■ 39-^905 , „ 39 + ^905 donde aparece el signo (+) es decir: x e < -------------- j > U <-------------- ,+w > 22 22 1.32 INECUACIONES IRRACIONALES.» Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma: .....Ó .............................0 donde P2(x),P-¡ (x),...,P„ (x) son monomios o polinomios diferentes de cero. Para que la solución de la inecuación sea valida debe resolverse antes la condición P¡(x)> 0, i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución constituirá el universo o dentro del cual se resuelve la inecuación dada.Debe observarse que quiere decir, (+^P(x)) y si se desea la raíz negativa se escribirá expresamente como (--JPfx)); es decir: i) V P(x) > 0 , ^P(x) > 0 ii) -JP(x) = 0 <» P(x) = 0 para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes propiedades: O 0 < x < y <=> 0 < 4 x < © 0 < x < y o 0 < 4 x < J y © 0 < x < y <=> 0 < 4 x < ^ y Si n es un entero positivo par. ax) V P(x) > 0 !{¡P(x) > 0 <=> P(x)>() a2) H¡P(x)= 0 <=> P(x) = 0 ö3) » 0 < P(x) < Q(x)
  62. 62. 48 Eduardo Espinoza Ramos J ii) Si n es entero positivo impar. bx) ^jP(x) > 0 <=> P(x) > 0 b2) '-{]P(x) < 0 o P(x) < 0 bi) !{[PM<!{lQM » P(x) < Q(x) Las propiedades 6, ), b2) indican que '-{jP(x) tienen el mismo signo que P(x) si n es impar. OBSERVACION.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se calculan los universos relativos UX,U 2,...,Uk para cada radical y el universo general será U = Ul n U 2 n . . . n U k . Daremos algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las diversas formas de inecuaciones irracionales. Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones Q -Jx +5 > -2 Solución Como -Jx +5 > -2 es valida para todo x tal que x e U : x + 5 > 0 => x > - 5 => U = [-5,+»>, luego el conjunto solución es [-5,+*» © -Jx + 1 >0 Solución Como -Jx +7 > 0 entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 => x >- 7 U = [-7,+co> Además -Jx +l >0 <=>x + 7 > 0 = > x e <-7,+oo>. Luego el conjunto solución es x g [-7,+*>> A <-7,+oo> x g <-7,+oo> @ -Jx^5<0
  63. 63. Sistema de Números Reales 49 Solución Como sjx- 5 < 0, el conjunto universal es x - 5> 0 => x > 5 => U= [5,+oo> ycomo 0 < -Jx-5 < 00'/i-5 = 0 => x—5 =0 =>x = 5e U,luego el conjunto solución es {5}. @ <0 Solución Como -Jx-H < 0 es absurdo entonces la solución es (|). © V-v+9 >0 Solución Como a/-í + 9 >0 es verdadero V x e U: x + 9 > 0 es decir U = [-9,+°o>, luego el conjunto solución es x e [-9,+oo>. © V8-2.v <VÍ3 Solución El conjunto universal es 8 —2x > 0 => x < 4 de donde U = <-oo,4], -Jü-2x < ~ j v í o 8 - 2 x < 1 3 => de donde j c g [ - ^ , + o o > . Luego el conjunto solución es: U n [ —^-,+«>>=[-—,4] © -VAT3"-4- >-3 Solución Calculando los universos relativos. L : x + 3 > 0 => x> -3 => x e [-3,+oo> U2'. 4 —x > 0 x < 4 x e <-»,4] U =í/j nt/2=[-3.+oo>n<-oo,4] = [-3,4] como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo. -Jx +3 +-J4-X > -3 es valido V x g U = [-3,4],
  64. 64. 50 Eduardo Espinoza Ramos ® - J x ^ 7 >3 Solución Sea U: x —7 > 0 => x > 7 = > x e [7,+*> -Jx—7 >3 o x - 7 > 9 = > x > 1 6 => x e <16,+*> el conjunto solución es x e U n < 16,+oo> = < 16,+*> ( ? ) -V -v-5 >0 Solución - V-v-5 > 0 o -Jx-5 < 0 el conjunto solución es <j>. © V-í2 - x - 1 2 <-Jx2 - 6x +5 Solución Calculando los universos relativos. U] : x 2 - x - 1 2 > 0 => (x —4)(x + 3) > 0 + / . / + -3 4 Ul =< -oo,-3] U [4,+x> > U2 '■ x 2 - 6 x + 5 > 0 => (x —5)(x —1)> 0 + + U2 =< -oo,l] U [5,+*> 1 5 U = Ul n U 2 = < - « - 3 ] U [5,+co > Vx2 - x —12 <-Jx2 -6 x + 5 <=> x 2 - x - 1 2 < x 2 -6 x + 5 17 17 de donde 5x<17 => x < — => x e< - 00,— ] 5 5 17 Luego el conjunto solución es: x e V A < - 00,— ] = < -oo,-3] Vx2 - 4 (x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) ^ ^ (x + 4)3(x3 + 8 x 2 + 4x-48) “
  65. 65. Sistema de Números Reales 51 Solución Como t/x 2 - 4 tiene el mismo signo que x 2 - 4 y (x + 4)3 tiene el mismo signo que x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente. ¡x2 - 4 ( x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) (x2 -4 )(x -2 )2(x3 -13x + 12) _ ---------¿ U <=> ---------------:------------------------ > U (x + 4)3(x3 + 8x 2 + 4x -4 8 ) (x + 4)(xi + 8.x2 + 4 x - 48) Como V x e R, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces (x2 —4)(.v —2)2(r 1 -13,v + 12) (x2 -4 )(x 3 -13x + 12) ■ U O ----------- ;-------;--------------¿ U (x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48) (x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48) (x + 2)(x -2 )(x - l)(x2 + x-12) (x + 4)(x-2)(x + 6)(x + 4) > 0, para x * 2, - 4 (x + 2)(x-l)(x + 4)(x-3) (x + 6) > 0, para x * 2, - 4 -6 -4 -2 Luego el conjunto solución es: x e <-6,-4] U [-2,1] U [3,+oo> Vx + 7(x + 2)4(.v+ 3);líx2^ 7x + 12 Vh T I fyx + 9 (x - 8 ) 3(x 3 -2 7 )(x 2 -1 4 x + 48) <0 Solución Los radicales pares nos da el universo U. 1 0 -x > 0 A x + 9 > 0 => x < 1 0 A x > -9 x e <-9.10] => U = <-9,10] (no se incluye el -9 por que anula al denominador) como los radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:
  66. 66. 52 Eduardo Espinoza Ramos Vx + 7(x + 2)4(x + 3)^Jx2 - 7 x + 2 $ ] 0 - x < ^ ^ $ J x + 7 (x + 2 )4Jtf+3)^jx2 —7jc+12 ^ ^ ^ + 9 ( j c - 8 ) 3(x3 -2 7 )(x 2 -1 4 x + 48) ~ (jc-8>3(jc3 -27 )(x2 -14x+48) ~ como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales entonces: (x + 7)(x + 2)4(x + 3)(x2 -7 x + 12) „ , _ . 4 „ -< 0 , como para todo x e R (x +2) > 0 (or—8)3( x —3)(x') + 3 x + 9 )(x -6 )(x -8 ) (x + 7)(x + 3)(x-3)(x-4) . -— , ------------------—-< 0, para x * 3,8 simplificando tenemos (x —8) (x—3)(x-6)(x-8) (x + 7)(x + 3)(x-4) ^ A + A ~ ^ ~ ~ V + _» --------- — ---------< 0 , x * 3,8 - 7 - 3 4 6 x e [-7,-3] U [4,6> luego el conjunto solución es: x e U n ([-7,-3] U [4,6>) /. x e [-7,-3] U [4,6> ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional. 1° Para las inecuaciones irracionales de las formas: a) J P M > Q(x). La solución se obtiene así: J P Ü j >Q(x) o (P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A P(x) > Q 2(x))]) b) sJP(x) >O(x) ; la solución se obtiene así: J P M >Q(x) o [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(x) > 0 A P(x) >Q2(x)])] 2o Para las inecuaciones irracionales de las formas: a) -JP(x) < Q(x); la solución se obtiene así: J püc) < Q(x) «• [(P(x) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(x ))]
  67. 67. Sistema de Números Reales 53 b) -JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así: / JP(x) < Q(x) <=> P(x) > 0 A [Q(.x) > 0 A P(x) < Q 2(x)] 3o Para las inecuacionesirracionales de la forma: a) -JP(x) +^¡Q(x) > 0; La solución se obtiene así: 4P(x)+4Q(x) >0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0 b) ,JP(x) + ~JQ(x) > 0 ; La solución se obtiene así: ^P (x )+ ^Q (x)> 0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0 4o Para la inecuación irracional de la forma: s¡P(x) +s[Q(x) > K , K > 0; La solución se obtiene así: -¡FV¡)+4Q(x )> K ^ [(PU )> 0 A Q(x)> 0) A P(x) > ( k ~ 4 0 M ) 2] 5o Para las inecuaciones irracionales de la forma: -JP(x) +^¡Q(x) < 0; La solución se obtiene así: ^ P ( X ) + ^ Q ^ j < 0 => P(x) = 0 A Q(x) = 0 OBSERVACION.- C’onsíderemos otros casos más generales. Io Caso.- Si n es impar positivo mayor que uno. P í » ) # w >0 o f w . e w >0 R(x) R(x) b) _ < 0 « — <o R(x)'i¡Q(x) R(x)Q(x)
  68. 68. 54 Eduardo Espinoza Ramos c) ’-ljP(x) <H¡Q(x) o P(x) < Q(x) 2o Caso.- Si n es par positivo , P(x) C) d) ’<¡QWR(x) P(x) A O 2 IV o A o VI Ó A P U )>o R(x) A P W <0 R(x)'4q (x )R(x) ~ e) nJP(x) > Q (x )o(P (x) > 0 A [Q(x) <0 V (P(x) > 0 A Q(x) > 0 A P(x) > Q" (*))] f) !{fPÜ) < Q(x) o P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A P(x) < Qn(jc)] Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones (7) -n/.v2—14jc-i-13 > x - 3 Solución V-v2 -14.V + 13 > .v -3 <=> x~ -14.v+ 13> 0 A [jt —3 < 0 V (a-2 -14.V + 13 > 0 A .v2 -14.V + 13 > (jc- 3 ) 2)] o jc2 - 1 4 .V + 13 > 0 A [x<3 V (jc2 - 14jc+ 1 3 > 0 A x< ~)] o jc2 - 1 4 a + 1 3 > 0 A [ j[ : < 3 v x g < —* ,1 ] U [1 3 ,oo> A x <—] o x 2 -14x + 13> 0 A [jc <3 V x < —1 2 o A 2 -1 4 .r + 1 3 > 0 A x<3
  69. 69. Sistema de Números Reales 55 o (x—13)(x —1) > 0 A x < 3 x » x e <-oo,l]U[13,+oo> A x < 3 x e <-*,l] -Jx2 -14* + 13 < x +l Solución Aplicando la parte b) del Io caso: ■¡x2 -1 4 X + 13 < x + l <=>(.v2 -14.V + 13 > 0 A [jc +1 > 0) A (x2 - 1 4 * +13 < (x + l )2]) <=> ((jc —13)(jc —1>> 0 A [ . v > -1 ) A ((jc -1 3 )(.v -1 )< (.y + 1)2 ]) <=> ((jc-13)(x-1) > 0 A [x > —l) A jc> —] 4 <=> x e <-1,1] U [13,+*» A x > - ] 4 o x e < —.1] U[13.+oo> 4 2x - 8 5-.v ¿ il Solución Aplicando la parte b), del 3o caso: -JP(x) +s]Q(x) > 0 P(x)>0 A Q (x )> 0 Í 5 ^ > 0 0 A — 2 0 i x - i ]¡x + 3 -v-1x+3 o ( x - 4 ) ( x - 1) > 0, x * 1 A (5-x)(x + 3) > 0, x * 3 » (x —4)(x—1) > 0, x * 1 A (x —5)(x + 3) < 0, x * -3 ~ + / - V + „ yV ____~IA / - , 1 4 -3 5
  70. 70. 56 Eduardo Espinoza Ramos x e <-oo,l> U [4,oo> A x e <-3,5] / ----------------------------o • ------------------------- -----------e / / / / / / / / / / e ---------------------------- -3 1 4 5 O ----------------------------------------------------------------------• La solución es: x e <-3,l> U [4,5] OBSERVACION.- Si n es un numero positivo impar, entonces: © 'jJP(x) <'ifQ(x) » P(x) < Q(x) © # W < # W « P(x)<0(x) © o P(x) > Q(x) © '4poT)>'4q Ü) o P(x) > Q(x) 3j 2 _ j. Ejemplo.- Resolver la inecuación __*------------> 0 Solución El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de cero: x 2 -1 > 0 , dé donde x 2 > 1 => x > 1 v x < -1 x e <-oo,-l> u <l,+oo> luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación > 0 , que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el ¡x + 5 mismo signo - ——> 0 , de donde ——- < 0 ------ - .....^ .................. x +5 .v+ 5 .5 3 x e <-5,3> Luego la solución de la inecuación es: x e <-5.3> n (<-».-1> u <1,+oc>) .-. x e <-5,-l> u < l,3 > n i i • •• V A -A .(x 3+8x2 + 4x-48) Ejemplo.- Resolver la inecuación--------------— ------------------- >0 (* + 4)5(x -13jc+ 12)
  71. 71. Sistema de Números Reales 57 Solución De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que ^ x 2 - 9 tiene el mismo signo que x 2 - 9 y que (x + 4)5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada resulta equivalente a la inecuación: (x2 -9)(x3 +8x2 + 4x-48) . ------------------------------------ > 0 factorizando el numerador y el denominador (x +4)(x -13x + 12) (.v+ 3)(x - 3)(x - 2)(x + 6)(a + 4) (a + 3)(a-2)(a + 6)(a + 4) —---------------------------—----- —>0 o ---------------- -----------------> 0 , x * 3 <a + 4)(a-1)(a + 4)(a-3) (x +4) (a —1) (a+3)(a--2)(a46Xx+4) ~ + V ' V + V 1 V +■ x-1 " - 6 - 4 - 3 1 2 x u [-6,-4] u [-3,1> u [2,+oo> - -¡3} OBSERVACION.- Si n es un numero positivo par, entonces: O ¡(/PW < ’4 Q ( x ) « 0 < P(x) < Q(x) © oO < P (x)< 0(x) 132-2v i- Ejemplo.- J --------- >V-V Vx + 2 Solución Aplicando la observación a) se tiene: r 3 2 - 2 a „ 32 - 2 a a/x < — ------ O ()< x< — — V x+2 x+2 3 2 - 2 a x +2 <=> X> 0 A a - 32 - 2x <0 . a + 2 r 2 + 4x - 32 <=> x > 0 a --------------— < 0 a + 2
  72. 72. 58 Eduardo Espinoza Ramos „ x >o a í í ± w £ z í ) < o Z 2 ¿ Z 2 ¿ H 2 ¿ - + x +2 <» x > 0 a x e <-oo,-8] u <-2,4] -8 -2 4 x e [0,4] 1.33 EJERCICIOS DESARROLI.ADOS.- o Resolver la inecuación cuadrática: - 4 x2 +4x +3 > 0 Solución La inecuación dada expresaremos en la forma: 4x2 - 4 x - 3 < 0 faclorizando (2x + l)(2x - 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales: (2x + 1)(2x —3) < 0 <=> (2x + 1 > 0 A 2x —3 < 0) V (2x + 1 < 0 A 2x —3 > 0) 1 3 1 3 * «■ ( * > - - A x <•—) V ( x < — A x > - ) 2 2 2 2 O -------------------------* --------------------------O --> V -1/2 3/2 -O O - 1/2 3/2 La solución es: x e < - —,—> 2 2 Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces la ecuación 4x2 - 4x - 3 = 0 , de donde r, = —- , r-, =— + + -1/2 3/2 Como la inecuación es de la forma 4x2 —4jr —3 < 0 . la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (-), es decir: 1 1 W M © x 5 +8x4 +12x3 - x 2 —8jc—12 > 0
  73. 73. Sistema de Números Reales 59 Solución Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: .r + 8x4 +12*3 - x 2 -8 .Í-1 2 = 0 La ecuación que queda es: x 2 + x +1 = 0 , cuyas raíces son: /• = —* ■ Luego las raíces reales son: /•, = -6 , r2 = -2 , r-, = 1 -6 -2 1 Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (+). es decir: x e íi <L+<o> ( ? ) 12 x 4 - 56x3 + 89x 2 - 56x +12 < 0 Solución Encontrando las raíces de la ecuación 12x4 -5 6 x 3 +89x2 -56x + 12 = 0 dividiendo entrex2
  74. 74. 60 Eduardo Espinoza Ramos Reemplazando en la ecuación (1) se tiene: y 12(r2 - 2 ) -5 6 - + 89 = 0. entonces: 12r2 -5 6 r +65 = 0 => (6 r-1 3 )(2 r-5 ) = 0 de donde r = — . r = — 6 2 13 1 1 3 3 2 para : = — => ,v+ —= —• => 6x -13x + 6 = 0, de donde r->= — 6 x 6 2 "3 para r = — => x + —= — => 2x2 - 5 x +2 = 0, de donde r3 = —, r4 = 2 2 A' 2 '2 ordenando las raíces en la recta numérica + 1/2 2/3 3/2 2 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0. la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (-), es decir: x(2x + 1)(x —2)(2x —3) > 63 Solución Hallaremos las raíces de la ecuación: x(2x + 1)(x —2)(2x —3) —63 = 0, entonces x(2x-3)(2x + 1)(x —2) —63 = 0 (2 x 2 - 3x)(2x2 - 3.v- 2) - 63 = 0 Sea r = 2.'2 -3 x z ( z - 2)-63 = 0 r 2 - 2 r -6 3 = 0 => (;-9 ) (r + 7) = 0, dedonde z = 9, z = -7, entonces: Para z = 9 => 9 = 2.y2 -3.y => 2.t2 —3jc—9 = 0 , dedonde: r, = — . r-, =3i 2 .
  75. 75. Sistema de Números Reales 61 Para z = -7 => --7 = 2x —3jc => 2 jr-3 jc + 7 = 0, dedonde: r = 3 + V47i + -3/2 3 Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: I ! X > U <3„+0t> © x < x - 3 1- x 2 - x Solución La inecuación dada se escribe en la forma: .v x - 3 1—x 2 - x -2x +3 ( l - x ) ( 2 - x ) 2 x - 3 <0 x ( 2 - x ) - ( x - 3 ) ( l - x ) (l-x )(2 -x ) < 0, simplificando <0 2 x -3 (x-l)(x-2) > 0 , es equivalente a la inecuación > 0 , entonces la inecuación ( x - l) ( x - 2 ) (2x —3)(x —1)(x -2 ) > 0 para x ^ 1,2 encontrando las raíces de la ecuación (2 x -3 )(x -l)(x —2) = 0, se tiene: r, = 1, r, = —, r-, =21 . 23 3/2 como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: XC< !,-} £ / < >
  76. 76. 62 Eduardo Espinoza Ramos © x - 2 x + 1 ■< ---- x + 3 Solución La inecuación dada se escribe en la forma: x - 2 x + 1 A x(x - 2) - (x + )(x + 3) . -------- — <0 => ----------;-------------------<0 , simplificando x + 3 x x(x + 3) -6 x —3 n2x + ---------- <0 => -----------> 0 , entonces la inecuación -----------> 0 es equivalente a la x(x + 3) x(x + 3) x(x+3) inecuación (2x + l)x(x + 3) > 0, para x * -3,0, ahoraencontraremos las raices de la ecuación: (2x + 1)(x + 3)x = 0, de donde rx = -3 , r2 = —~ , r3=0. -3 -1/2 0 Como la inecuación P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+) es decir: i ______ 2_______ x 1 -5 x + 6 ¿ u Solución 0 * ;- 5 » + 6 > o ^ x + x -4 2 x -5 x + 6 „ (x -2 )(x -3 ) , — >0 <=> ------------------> 0 , esta inecuación es equivalente a: x + x -4 2 (x + 7)(x - 6) (x—2)(x—3)(x + 7)(x - 6) > 0 para x * -7,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación, (x —2)(x —3)(x + 7)(x —6) = 0, donde i = -7 , r2 = 2 , r3 = 3 , r4 = 6. -7 2 3 6
  77. 77. Sistema de Números Reales 63 P(x) Como la ecuación es de la forma ------>0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: x £ -7> U [2,3 ® - x 3 + J 2 +22.V--40 x(x +7) >0 Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: x 1 -.v 2 - 22x + 40 (x -2 )(x -4 )(x + 5) <0 => ------- :----------------- < 0 x{x +7) x{x + 7) , -, (x-2 )(x-4 )(a:+ 5) . , La inecuación --------- -— ......... < 0, es equivalente a: x(x +7) (x —2)(x —4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, para x * -7,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación (x -2)(x -4)(x + 5)x(x + 7) = 0 de donde: rx = - 7 , r2 = -5 , r3 = 0, r4 =2 , r5 = 4 P(x ) Como la inecuación es de la forma ------ < 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (-), es decir: x 6 <-aj,-7> tí U [2,4] © i 24~ 4x n1+ —------------- > 0 x 2 —2jc—15 Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: — — 6x +9 ^ ^ ^ a-2 - 2a--15 (x -3 y (,r-5)(.r + 3) > 0
  78. 78. 64 Eduardo Espinoza Ramos i ( t —3)“ pero (x -3 )2 > 0 , x * 3 , entonces: — —— — —> 0 <=> 1 (x-5Kor+3) U-5KX+3) > 0 para 3 1 (.r-5)(.t + 3) > 0 . x * -3,5 •» (x —5)(x + 3) > 0. para x * -3, 5, ahora encontraremos las raíces de (x —5)(x + 3) = 0, de donde jj = - 3 , r2 = 5 . A A ~ ^ A A -3 PiJr) Como la inecuación es de la forma —— > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: | x 6 <-se,t3> U <5v*>>- f$f 3.V+ 5 <3 2x + l Solución A la inecuación dada escribiremos en la forma: ---------- 3 < 0 o ---------- < 0 C3> --------->0 Z t + 1 2x +1 2x+l — ——> 0 o (3x —2)(2x + 1) = > 0 , para x * —— 2 x + 1 2 I 2 ahora encontramos las raíces de: (;3x—2> (2x + I) = 0, donde ri =—*r2 = y -1/2 2/3 P{x} Como la inecuación es de la forras —— > 0 , la solución es la unión de los intervalos Qix) donde aparecen el signo (+>, es decir
  79. 79. Sistema de Números Reales 65 © (2.v2 -8 x + 8)(x + 3) x + 6 (2x2 -8 x + 8)(x + 3) x + 6 x + 3 >0 Solución x + 6 > 0 , (x -2 ) > 0 , V x e R x + 6 > 0 <=> (x + 3)(x + 6) > 0, para x * -6 Luego las raíces de (x + 3)(x + 6) = 0 son rx = - 6 , r2 = -3 -6 -3 P{x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: X, e <~to,~6> U ( l- x - x ~ ) ( 2 - x - x ) (3 -x )(2 -x ) ( l - x - x 2)(2 -x --x 2) (3 -x )(2 -x ) (x2 + x -l)(x 2 + x -2 ) >0 >0 <=> Solución (x + x -l)(x ~ + x -2 ) >0 (x-3)(x -2 ) >0<=>(x2 + x -l)(x 2 + x -2 )(x -3 )(x -2 )> 0 , parax*2,3 (x -3 )(x -2 ) ahora encontramos las raíces de: (x2 + x -l)(x 2 + x -2 )(x -3 )(x -2 ) = 0 , dé donde -1 -V 5 -1 + ^ 5 , 0 , rx = -2 , r2 = ---- ----- , r3 = — -— , r4 =1, /-5 =2 , r6 =3 -2—1—v/5 -1 + V5 1 2 3
  80. 80. 66 Eduardo Espinoza Ramos Como la inecuación es de la forma P(x) Q(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: 2 lili 5 i 5 -> x -1 x - 2 x 4 + l x +2 Solución V x e R, x 4 + l > 0 , x 4 + 2 > 0 , entonces la inecuación dada se puede escribir en la forma: (x5 -l)(x 4 + 2 )< (x 5 -2 )(x 4 +1), efectuando operaciones y simplificando se tiene: x 4(x + l ) < 0 , luego encontrando las raíces de x 4(x + l)= 0 se tiene /¡ = -1 , r2 = 0 , multiplicidad 4. -i punto critico de multiplicidad par. Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la solución es: (x¿ - 2x + 4)(x-1) (2x + l)(x + 4) <0 Solución (x2 - 2 r + 4)(x-l) La inecuación ---------:-------------- < 0, es equivalente a: (2x + l)(x + 4) M (x2 -2 x + 4)(x-l)(2x + l)(x + 4) <0 , para x * - 4 , -- ahora encontramos las raíces de la ecuación. (x2 - 2x + 4)(x - l)(2x + l)(x + 4) = 0 , de donde.
  81. 81. Sistema de Números Reales 67 Á------------------ = - 4 , r2 = — , r3 = 1, r4 = l+^¡3i, r5 = 1-^ 3 / - 1/2 P(X ) Como la inecuación es de la forma — — < 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparece el signo (-), es decir: ,t € < -» ,-4 > U < i > x +5 x -1 x —6 x - 3 Solución x + 5 x —1 x + 5 x —1 ------ < ------- c? ----- -------- - < 0 , efectuando operaciones se tiene: x - 6 x -3 3x - 7 x - 6 x -3 <0 <=> (3x —7)(x —6)(x-3) < 0, x * 3,6 (x -6 )(x -3 ) ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x - 7)(x - 6)(x -3 )= 0, de donde r, =— , /•, = 3, r-, = 6 3 + 7/3 P(x) Como la inecuación es de la forma — — < 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparece el signo (-), es decir: x €< -*>,-] V <3,6 > 3
  82. 82. 68 Eduardo Espinoza Ramos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ^ ----------------- Solución (x + 2)2 > 0 , para x * -2, la inecuación dada es equivalente. (x-3)(x + l)(x + 4) , ---------------------- —=—----p - > 0 , la cual es equivalente a: (jc+ 2)x(x + 3)(x + V 3)(x-V 3) (x-3)(x + l)(x-4)x(x + 3)(x + -j3)(x--j3)(x +2) > 0 , x ^ O ,-3,-2, -^3 , —73 ahora encontramos las raíces de la ecuación, (x + 2)(x - 3)(x +1)(x - 4)x(x + 3)(x + V3)(x - V3) = 0 , de donde /•, = -3 , r2 = - 2 , /-3 = —s/3 , r4 = -1 , r5 = 0 , r6 = -y/3 , r7 = 3, r8 = 4 -3 -2 -V3 -1 0 -73 3 4 P(x) Como la inecuación es de la forma -— - > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: x e < > U < -2,-73 > l/< - ! ,ü > t/ < a/3,3> £/ < 4,+^o> 17) * x + 2 x" + 2 Solución ^ 2 2 X- 2 X x - 2 X n j j ------ < —------- <=>--------------------------------------- --< 0 , de donde x+ 2 x + 2 x+2 x '+ 2 - 4 x 2 + 2 x -4 2x2 - x + 2 a ----------- ------<0 ------------ ------->0 (x + 2)(x +2) (x + 2)(x +2) V xeR, 2x2 -x-t 2 > 0 y x 2 + 2 > 0 , entonces se simplifica la inecuación------ > 0 x + 2
  83. 83. Sistema de Números Reales 69 Luego------ >0 o x + 2 > 0, para x * -2. La solución es: x+ 2 x + 4 x ■>- x - 7 x+l Solución x+ 4 xx+ 4 x . , , , •> ----- - —---r > 0, de donde x - 7 x + l 12x + 4 x - 7 x + l >0 o (3x + l)(x-7)(x + 1) > 0, para x *-1,7 (x-7)(x + l) ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + l)(x —7)(x + 1) = 0, de donde r2 — ■r . r3 - 7 -3 -1/3 P(x) Como la solución es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(X) donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir: x £< < 7,+üG > 2 x ' -6 x + 3 x 2 -5 x + 4 2x2 -6 x + 3 x 2 -5 x + 4 x 2 —x —1 Solución > 1 <=> 2x - 6x + 3 x 2 -5 x + 4 -1 > 0 , de donde >0 <=> (x 2 —x —1)(x2 —5x + 4) > 0 p a r a x * l,4 ; x 2 - 5x + 4 ahora hallaremos las raíces de la ecuación. (x2 - x - l) ( x 2 -5 x + 4) = 0, dedonde r2 =1, r3 = ~ , r4 = 4
  84. 84. 70 Eduardo Espinoza Ramos i + SI- V5 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: 2jc-1 x x + < ------ < I - -s/5 „ l+ $ 5 r , „ x e < - ís ,-------- >U <1.--------- >U <4,+30> a : 2 2 x +4x +4 x +4 Solución 2 x -l x x + 1 2 x - l x < - — - < <=> x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 - — — <0 A — ---- - ^ - < 0 , de donde !-<0 A x +4 x+4 x +4 x +4 x - 4 x +4 > 0 , estas ecuaciones son equivalentes a: (x — 1)(x + 4) < 0 A x + 4 > 0, para x * -4 ahora encontraron las raices de las ecuaciones, (x —2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 , de donde t = - 4, r2 = 1 A r3 = —4 A + -4 de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es: x e <-4,l> A x e [-4,+to> 4 x 2 - x - 2 < 5 - x Solución Aplicando la propiedad: ^jP(x) < Q(x) <=> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A (P(x) < Q 2(x)]) 4 x 2 - x - 2 < 5 - x <=> (x2 - x - 2 > 0 A [5 -x > 0 A x 2 - x - 2 < (5 -x )2])
  85. 85. Sistema de Números Reales 71 <=>(x2 - x - 2 ) >0 A [5 -x > 0 A j:2 —jc—2 < 2 5 —1Ojc-hjc2]) <=> (jc- 2)(x +1) > 0 A (x<5 A x<3) -1 x e <-oo,-l ] U [2,5] A x e <-*>,3> 5 -o /W/iWWiWO--------- QW////////////zO -1 2 3 ----------------o La solución es: x 6 <-'/„,-! j U [2,3> 3.V-4 22J y(0.8) 4 > v(0.64) 5 2 .V -2 Solución 3j -4 4x-4 La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 >(0.8) 40 como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir: 3.V-4 4.t - 4 16 40 3 * -4 x-1 ■, efectuando y simplificando. 8 < - 12 => x< — , la solución es: 5 7 12 X <£< > - ¡ 2 4 - 2 x - x 2 <x Solución Aplicando la propiedad siguiente: -JP(x) < Q(x) <=> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(*)])
  86. 86. 72 Eduardo Espinoza Ramos V24 —2x —jc2 <x <=> ( 2 4 - 2 x -x 2 > 0 A [x > 0 A 2 4 - 2 x - x 2 < x 2]) <=> (x + 2x < 24 A [x > 0 A 2x + 2x > 24]) <=> ((x + 1)2 <25 A [x> 0 A(x + y ) 2 > —~) « (-6 < x < 4 A [x > 0 A (x > 3 V x < -4)]) <=> x e [0,4] A x e <-oo,-4> U <3,+*> x r <3,4 6.V-4 2*-33.V-44.V-2 ( 0 .2 5 ) ~ .( 0 .5 ) ~ < (0.0625) ^ .(0.125) ^ Solución 12*-» 2*-3 6x-8 4x-2 La inecuación dada es equivalente a: (0.5) 3 .(0.5) 4 <(0.5) 3 .(0.5) 3 12*-» 2.V-3 Operando tenemos: (0.5) 6.t-8 4.V-2 4 <(0.5) 3 ' 3 Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario a la . ., , . 12x-8 2 x -3 6 x -8 4 x -2 inecuación, es decir: ---------+ -------- > ----------b-------- 12x-8 2 x -3 10x-10 . 2x + 2 2 x -3 8x + 8+ 6 x -9 ---------+ —— - > -------------------------------------------------------------------- , simplificando:-----------+ 3 4 3 3 4 12 1 4 x - l> 0 => x > — ; la solución es: 14 32-^2**^ > (42A.8Jr~3)2/5 Solución jr+l La inecuación dada es equivalente a: 25.2 2 > (24a.23a~9)2' 5, de donde
  87. 87. Sistema de Números Reales 73 A-+U 14.V-18 2 2 > 2 5 , como a = 2 > 0, entonces: x + 11 14jc—18 ------- > ----------- 5 x + 5 5 > 2 8 x -3 6 => x< 91_ 23 La solución o- 1 i * 3 x + 2 ^Si —< x < 1, Demostrar que: —< ------ < — 2 8 jc+ 3 7 x +2 x +3 = 1— x + 3 Solución (se obtiene dividiendo) , 1 1 A1 1-< jc< 1 => —< x + 3 < 4 => —< 4 x + 3 < 7 _ 2 7 x + 3 1 1 — < — 4 1- - < 1- 7 -----------------<1 — x + 3 4 5 x+ 2 3 — < ---- < — 7 x + 3 4 3 x + 2 6 8 x + 3 7 27) - J l^ x < ^ 5 +x Solución 91 • X € < ~tXJ ~~~ > 23 V T A á V s + I <=> ( l- x > 0 A x + 5> 0) A (V T A )2 <(V* + 5)2 <=> (x < l A x > -5 ) A ( l- x < ~Jx + 5) -Jx +5 > 1 -x o [x + 5 > 0 A (1- x < 0 v (x + 5 > OAx+ 5 > (1—x 2))] [x > -5 A(x > 1v (x > -5Ax + 5 > 1- 2x + x 2))] o [x > -5A(x > 1v (x > -5Ax2 -3 x -4 < 0 ))] ...(1 )
  88. 88. 74 Eduardo Espinoza Ramos •(2) o [jc > - 5 A (je > 1 v (jc > - 5 A jc e[-1 ,4 ]))] <=> [jc > -5 A (x >1 v x e [-1,4])] <=> [x > -5 A x > -1 ] => x > - l => x e[-l,o o > ahora (2) en (1) se tiene: (x < 1 A x > -5) Ax e [-l,+oo> x e [-5, 1] A x e [-l,+oo> V3jc + 7 -V * r 2 >9 Solución 7 C alculando el campo de existencia 3.r + 7 > 0 a .v - 2 > 0 o x > A x > 2 por lo tanto x e [2,+oo> es el cam po de existencia ~j3x +l > 9 + V * -2 <=> jce[2,+oo> A [3jc+ 7 <81 + 18V*-2 + x - 2 ] <=> Jce[2,+oo> A (jc-3 6 < 9 V * -2 ) <=> jte[2,+oo> A x 2 -153jc + 1458<0 r~ A. 153 2 17577 <=> x € [2 ,+ oo > A (jc -------) ' < ------— 2 4 „ 153-^17577 153 + Vi 7577 jc e [2 ,+oo > a --------------------------< jc < ------------------------ 2 2 1S3-V17577 153+VÍ7577 m -Jx +1+V*-2 V9-JC2 -Vjc >0 Solución Calculando el campo de existencia
  89. 89. Sistema de Números Reales 75 (x —1 > 0 A x - 2 > 0) A ( 9 - x > 0 A x > 0) (x > 1 a x > 2 ) a ( x 2 <9 a x > 0) (x > 1 a x > 2) a (-3 < x < 3 a x > 0) x > 2 a 0 < x < 3 , de donde x e [2,3] es el campo de existencia. Como -J x-l + V x -2 > 0 , V x e [2,3] a/x - 1 + ylx-2 ■J9-X2 - 4 x : 0 -s/x-l +ylx~ 2 l -J9 - X 2 —s[x V x-1 + V x -2 V x-1 + V x -2 >0.- simplificando , .-------> 0 <=> - j 9 - x 2 ~ 4 x > 0 -J9 - X 2 —sjx de donde Vx < ^¡9-x2 => x < 9 —x 2 x + x - 9 <0 1 2 37 (x + —) < — (completando cuadrados) . 1 , 37 (* + —) ' < — 2 4 Luego la solución es: ^37 1 ^37 ---------< X H-----< --------- 2 2 2 V37+1 «y/3 7 - l -------- —< x < ---------- Solución ■y]2-^[T+x <-j4 +x » ( 2 - ^ 3 + x >0 A 4 + x > 0 ) A (2 -^ 3 + x <4 + x) <=> (a/3 + x <2 A x > -4 ) A (a/3 + x > - x - 2 ) ... (1)
  90. 90. 76 Eduardo Espinoza Ramos -s/3 + jc <2 <=> (3-t-jc> O A 3 + x < 4 ) o ( x > - 3 A x < l) => x e[-3,l] a/3 + jc > —x —2 <=> x + 3 > 0 A —x —2 < 0 V (x + 3 > 0 A x + 3 > (x + 2 )2 )] <=> x> -3 A [x > - 2 V (jc > -3 A .x2 + 3.r + l < 0)] (2) ”5 C <=> i > - 3 A [ i > - 2 v ( i > 3 A ( j t + - ) 2 < - ) ] o i > - 3 a [ i> - 2 v (x> 3 a 2 2 ^ , r i/^ +3 ^ “3 io i > - 3 a i > - 2 V x e < -----------,--------->1 2 2 -v/5+3 o x > 3 a x e < -----------,+oo> 2 ^5 + 3 x e < ---------- ,+00 > 2 ... (3) Luego de (2), (3) en (1) se tiene: ■^2—[¡^+3 <-^A +x <=> (x e [-3,1] a x > —4) a x e< - ^ ’+0° > r 1 n ^ 5 + 3 <=> x e [-3,1] a x e< ----- -—- ,+00 > <=> ■J$+3 „ jr €< - --- - - J] 3 13 1 x 4(x - 1) 4jc + 12 Solución
  91. 91. Sistema de Números Reales 77 A la inecuación dada expresaremos así: 313 1 > 0, efectuando operaciones 13(x+3)+x(x-l)-12(x-l)(x+3) 4(jc—1) 4(jc+ 3) x I3x2 + 39x + x 2 ~ x - 2 ( x 2 + 2x-3) 4(x -1)(jc+ 3)x >0 4x(x-l)(x+3) > 0 , simplificando 2x2 +14JC+ 36 4jc(jc-1)(jc+ 3) >0 x + 7x + 18 x(jc-l)(jt+3) >0 VJ n 1 -i i o n » X~+7X+18 V x e R, j r + 7x + 18 > 0 entonces: ----------------- « 1 1 jc(j c —1)(x 3) x(x - 1)(jc + 3) >0 o jc(jc—1)(j c 3)> 0 , para x * 1,-3, 0 >0 x(x-l)(x + 3) resolviendo la ecuación x(x —l)(x + 3) = 0, de donde, i = -3 , r2 - 0 , r3 -1 -3 como la ecuación es de la forma 0 1 P(x) Q(x) > 0 la solución es la unión de los intervalos donde aparecen los signos (+), es decir: 3 1 3 -+ ------>- j t- l x +l x Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: 3 1 3 3x2 +3x +x 2 —x ~ 3 x 2 +3 ^ n -+ ----------->0 o ----------------------------------- >0 x —1 X+ l X x(x —l)(x + 1) x +2x +3 ^ „ <=> ----------------- > 0 x(x-l)(x + l)
  92. 92. 78 Eduardo Espinoza Ramos como V x e R, x 2 +2x +3 > 0 , entonces x 2 + 2x+3 . 1 . >0 <=> ----------------- >0 x(jc-1)(x + 1) x(x-l)(jt + l) -------- —------>0 <=> x(x —l)(x + 1) > 0, para x * -1,0,1 x(x-)(x +l) Ahora resolviendo x(x —1)(x + 1) = 0, de donde t = -1 , r2 = 0 , r3 = l -1 0 1 P(x) Como la inecuación es de la forma —---- > 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: * « lí 2 x-25 2x + ll 1 33) ------------------+ ----- ------ > 2(x2 +2x-3) 2(x2 -1) * + 3 Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: 2 x-2 5 2x + l 1 1 A .. ,.. -+ ----- -------- —— > 0 , factorizando en el denominador 2(x2 +2x-3) 2(x -1) * + 3 2 x-2 5 2x +U 1 A , J . + ---------------------------> 0 , efectuando operaciones 2(jc+ 3)(x-1) 2(x-1)(jc + 1) x+3 (2x - 25)(x +) +(2x +l 1)(-t+ 3) - 2(x - l)(x +1) 2(.r-l)(x + l)(x+3) ,v” -3 x + 5 > 0, simplificando se tiene: (.y-1)(jc+ 1)(jc+3) > 0 , como V x e R, x -3 x + 5 > 0, entonces: x ¿ -3 x + 5 n 1 „ ■>0 o ------------------------ >0 (x - 1)(x + 1)(jc+ 3) (x - l)(x + l)(x + 3)
  93. 93. Sistema de Números Reales 79 1 (jc-1)(x + 1)(jc+ 3) >0 «> (x -l)(x + l)(x + 3)> 0, x * -3, -1,1 encontrando las raíces de (x - l)(x + l)(x + 3) = 0, donde rx = -3 , r2 = - 1 , r3 = 1 -3 P(x) Como la inecuación es de la forma - — - >0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparece el signo (+), es decir: x e < -3 ,-^ U O ,+x» ( x - ) - - ( x +2)¿ ( x - 2 ) 2 - ( x +l)2 > 0 Solución Por medio de la diferencia de cuadrados se tiene: [( x - l) - ( x + 2)][(r-l) + (x + 2 )] ^ 0 | simpliricand0. [(.v- 2) - (x + l)][(x - 2) + (x +1)] - >0 <=> (2x + 1)(2x - 1) > 0 para x * — -3(2jc-1) 2 encontrando las raíces de (2x + l)(2x - 1) = 0, de donde, /¡ = , 72 = y - 1/2 1/2 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir:
  94. 94. 80 Eduardo Espinoza Ramos 35) * 4 + 5* ’ -20* —1K< 0 x + 2.x -13jc+ 10 Solución Factorizando tanto en el numerador y denominador. (x -2)(x +2)(x 4 1)(x + 4) ---------------------------------< 0 , para x * -5,1,2 (jc+5)(x—2)(x—) la inecuación dada es equivalente a: (x —2)(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x-2)(x - 1) < 0 para x*-5,l,2 ( x - 2 ) 2(x +2)(x + 1)(x + 4)(jt + 5)(.v + 1) < 0 para x * -5,1,2 como V x e R, x * 2, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5 ) ( x - 1) < 0 , para x * -5,1,2 encontrando las raíces de (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 1) = 0 , de donde: rx = -5 , r2 = - 4 , r, = -2 , r4 = -1 , r5 = 1 -5 -4 -2 -1 1 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ < 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (-), es decir: x € < -$> O < -4, -2> U < -I, 1> 2-v—1 -j4-.v Solución La inecuación dada expresaremos en la forma 3 2 ,- 1+4-.r—6*+l > 3 (2^1 K --2 ) ) d e d o n d e ; y S x + 4 > 3 2x>-3x-2
  95. 95. Sistema de Números Reales 81 como a = 3 > 0 => - 5 jc+ 4> 2jc‘ - 3 x - 2 , de donde 2x2 -2 jc -6 < 0 <=> x 2 + x -3 < 0 , completando cuadrados x 2 +x + -^-<3 + ^- , 1 , 13 -JÍ3 l o/¡3 (* + — ) " < ---- v = > ----------------< X + — < --------- 2 4 2 2 2 VÍ3+1 V Í3-1 , , , -----------< x < ---------- , de donde 2 • 2 1 + --- > 2x x 2 - 5 x +6 2x 3 - 4 x +x 2 Solución A la inecuación dada expresaremos en la forma 2x ,v2 -5 .y+ 6 2.y 3 - 4 x + x 2 2x2( x - ) +( x - 2)(x - 3)(x -1 ) - 4x2(x - 2) 2x(x -3)(x - 2){x - ) > 0 , efectuando las operaciones: > 0, desarrollando: 2x' - 2 x ¿ + x' - 6x2 + l l x - 6 - 4 x 3 +%x 2 x ( x -3 )(x -2 )(x -) x~ -1Ly + 6 ■> 0 , simplificando , ,4, , 3-o/Í7w , 3+VÍ7 (x - 3)(x + ---- -----)(x + ---------- ) .y(.v-3 )(x -2 )(a--1) <0 <=> x ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x - l ) <0 para x * 3 se tiene , , 3 - V n ^ . 3 + -Jn (x +— - — )(x + ---- ----) x(x - 2)(x - 1) <0 - 3- 0/7 - 3+0/7 o

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