7 aproximacion de funciones

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7 aproximacion de funciones

  1. 1. Métodos NuméricosAproximación de Funciones
  2. 2. APROXIMACION DE FUNCIONES• En este capítulo se estudiará la aproximación de funciones disponibles en forma discreta (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de funciones cuya complicada naturaleza exija su reemplazo por funciones más simples, específicamente por polinomios.• Una vez que se ha determinado un polinomio Pn(x) de manera que aproxime satisfactoriamente una función dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede esperarse que al diferenciar Pn(x) o integrarla, también aproxime la derivada o integral correspondiente a f(x).
  3. 3. Aproximación polinómicaSe realiza cuando la función puede ser conocida en formaexplícita o mediante un conjunto de valores tabulados paracada uno de los argumentos por donde pasa la función(valores funcionales). xi x0 x1 ... xn f(xi) F0 f1 ... fnNormalmente se acepta aproximar a la función tabulada enpuntos coincidentes mediante un polinomio de grado “n”(condición de aproximación):f(xi)  Pn(xi) ; para todo xi en [xo,xn]Donde: Pn(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x+ao, con an0
  4. 4. Aproximación polinómica
  5. 5. Aproximación polinómicaDonde: E(x) = f(x) – Pn(x) ; Para todo x en [x0,xn]Observaciones:1) Los polinomios son funciones fáciles de derivar, integrar,evaluar y de programar en un computador. Véase :2) Los polinomios presentan propiedades analíticasimportantes que facilitan el cálculo de las raíces delpolinomio, así mismo nos permite identificar el tipo de raíz(Real ó complejo).
  6. 6. Cálculos Analíticos• Interpolación : f(x)Pn(x), x en [xo, xn]• Extrapolación : f(x)Pn(x), x<x0 o x>xn• Diferenciación : f’(x)  P’n(x)• Integración : b f ( x)dx  b P ( x)dx a a n
  7. 7. Cálculo de Polinomio Interpolante Pn x   a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2    an 1 x  an f xi   Pn xi  para i  0 n Sistema de Ecuaciones Lineales de Vandermonde  x0 n x0 1  x0 1 a0   y0  n  n n 1      x1 x1  x1 1  a1   y1   x2 n x2 1  x2 1 a2    y2  n                 xn xn 1  xn 1 an   yn  n  n     Este procedimiento en la practica no es muy usual debido a que la matriz de Vandermonde es mal condicionada.
  8. 8. Propiedades de Aproximación1) Siempre que se acepte aproximar la función f(x) mediante un polinomio de grado n: Pn(x) que pase por (n+1) puntos coincidentes, se puede construir un polinomio que es único (propiedad de existencia y unicidad).2) El error de aproximación viene dado por: f ( n 1) ( ) En  f ( x)  Pn ( x)  ( x  x0 )(x  x1 )...(x  xn ) (n  1)! Para a lg ún    x0 , xn  ; x  [ x0 , xn ]3) Cota superior de error (M): M En ( x)  f ( x)  Pn ( x)  ( x  x0 )( x  x1 )  ( x  xn ) (n  1)!  Donde : M  máx f ( n1) ( x)  para x  [ x0 , xn ]
  9. 9. INTERPOLACIÓN NUMÉRICA• Consiste en estimar el valor de la función f(x) para cualquier argumento x, conociendo la función de manera explícita o mediante un conjunto de valores tabulados (xi, f(xi)). Herramientas de Interpolación• A continuación definiremos algunas herramientas que nos permitirán más adelante construir un polinomio de interpolación: – Diferencias Finitas – Diferencias Divididas
  10. 10. Diferencia Finita hacia adelante o progresiva• Diferencia finita de primer orden: f k  f k 1  f k• Diferencia finita de segundo orden:  f k  f k 1  f k 2• Diferencia Finita de orden n: n f k  n1 f k 1  n1 f k
  11. 11. Tabla de diferencias finitas hacia adelante (h=constante)
  12. 12. Diferencia finita hacia atrás o regresiva: n 1 n 1  fk   n fk   f k 1Diferencia Finita Central:  fk   n n 1 f k 1/ 2   n 1 f k 1/ 2
  13. 13. Diferencias DivididasSe define para puntos o argumentosdesigualmente espaciados:• Diferencia dividida de Primer orden: f ( xi 1 )  f ( xi ) f [ xi , xi 1 ]  xi 1  xi• Diferencia dividida de segundo orden: f [ xi 1 , xi  2 ]  f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi  2 ]  xi  2  xi• Diferencia dividida de orden “n”: f [ xi 1 ,..., xi n ]  f [ xi ,..., xi n1 ] f [ xi , xi1 ,..., xin1 , xi n ]  xi n  xi
  14. 14. Polinomio de interpolación de Newton basado en diferencias Divididas• Sea la función f(x) tabulada para (n+1) puntos, siempre es posible construir un polinomio de grado “n” (o menor) que pase por dichos puntos y se le puede dar la forma:f ( x)  Pn ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )  ....  an ( x  x0 )( x  x1 )...( x  xn1 )• Se trata ahora de determinar los coeficientes ak. Si x=x0, Pn(x0)=a0f(x0) Si x=x1, Pn(x1)=f(x0)+a1(x1-x0)f(x1) a1=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)=f[x0,x1]• Es estudiante puede demostrar que en general se cumple: ak  f x0 , x1 ,..., xk 
  15. 15. Por lo tanto: Pn ( x)  f ( x0 )  f [ x0 x1 ](x  x0 )  f [ x0 x1 x2 ](x  x0 )(x  x1 )  f [ x0 x1...xn ](x  x0 )(x  x1 )...(x  xn1 ) n n i 1 Pn ( x)  f ( x0 )   f [ x0 ...xk ](x  x0 )...(x  xk 1 )  f ( x0 )   f [ x0 ...xi ] ( x  x j ) k 1 i 0 j 0Error de Interpolación f ( n1) ( ) f ( n1) ( ) n en ( x)  (n  1)! ( x  x0 )(x  x1 )...(x  xn )  (n  1)! i0  ( x  xi )   [ x0 , xn ] n en ( x)  f [ x0 x1...xn x] ( x  xi ) i 0Se suele aproximar el error considerando x=xn+1,es decir, se requiere un punto adicional.
  16. 16. Ejemplo.- Obtener el polinomio interpolante x 0 1 2 4 5 y 2 3 10 66 127Estime y(2.5) Tabla de diferencias divididas x y y[ , ] y[ , , ] y[ , , ,] y[ , , , ,] 0 º 2 º 1 1 3 º3 7 1º 2 10 7 º0 28 1 4 66 11 61 5 127
  17. 17. De la tabla anterior, obtenemos los coeficientes del polinomio interpolante: Px   y0  yx0 , x1 x  x0   yx0 , x1 , x2 x  x0 x  x1    yx0 , x1 , x2 , x3 x  x0 x  x1 x  x2    yx0 , x1 , x2 , x3 , x4 x  x0 x  x1 x  x2 x  x3  Px   2  1x  0  4x  0x  1   1x  0x  1x  2  0x  0x  1x  2x  4 P x   x 3  2 y2.5  P2.5  2.53  2 y2.5  17.625
  18. 18. Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas • Se debe hallar una relación entre las diferencias finitas y divididas; se deja como ejercicio la demostración que: k f 0 f [ x0 , x1 , x2 ,.... xk ]  k! h k • Reemplazando en el polinomio basado en diferencias divididas se tiene: f 0 2 f n f 0Pn ( x)  f 0  1 ( x  x0 )  2 ( x  x0 )( x  x1 )  ...  n ( x  x0 )...( x  xn 1 ) 1!h 2!h n!h
  19. 19. Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas • Teniendo en cuenta que los intervalos se tomarán igualmente espaciados (h=cte) para x, y haciendo el cambio de variable, se demuestra que: x  x0s h s ( s  1) 2 s ( s  1)...(s  n  1) nPn ( s )  f 0  sf 0   f 0  ...  f0 2! n! n s s ( s  1) 2 s ( s  1)...(s  n  1) n n sPn ( s )    f 0   Pn ( s )  f 0  sf 0  i i  f 0  ...  f 0 Pn ( s )   i f 0   i i 0   2! n! i 0   • Esta última forma se conoce como polinomio de interpolación de Newton Progresivo con cambio de escala. • Queda para el estudiante como ejercicio la deducción de la fórmula de error para el polinomio anterior.
  20. 20. Ejemploa) Aproximar la siguiente data usando unpolinomio basado en diferencias finitas: X 2 3 4 Y 0 -1 0b) Estime Y(2.5):c) Calcule el error cometido, si esta data se obtuvo de la función Y=sen(pi*X/2)
  21. 21. SoluciónTabla de diferencias finitas: X Y ΔY Δ2Y 2 0 -1 3 -1 2 1 4 0 X  2.5 X  X0 X  2 s  ss  1 2 h 1 Ps   Y0  sY0   Y0 2.5  2 2! s  0.5 ss  1 1 Ps   0  s 1  2 Ps  0.5  0.5  20.5  0.75 2 2! Ps   s 2  2s  2.5   y 2.5  sen   0.7071  2  Error  0.0429
  22. 22. Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Regresivas s( s  1) 2 s( s  1)(s  2) 3 s( s  1)(s  2)  ... ( s  n  1) n Pn ( s)  f n  sf n   fn   f n  ...  fn 2! 3! n! x  xn Teniendo en cuenta que : s  hPolinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas CentralesPolinomio de Stirling P2 m ( s)  f 0  s f 1 / 2  f 1 / 2  s 2 2   f0    s( s 2  12 )  3 f 1 / 2   3 f 1 / 2  1! 2 2! 3! 2 s 2 ( s 2  12 ) 4  f0    s 2 ( s 2  12 )(s 2  22 )  5 f 1 / 2   5 f 1 / 2  ... 4! 5! 2Queda para el estudiante demostrar que el polinomio anterior puederepresentarse en la forma siguiente: s s  s  1 3  s  1 4  s  n  1 2 n 1  s  n  1 2 n P2 n ( s)  f 0   1 / 2    02   1  2  3  1 / 2    0  ...    4   2n  1 1 / 2   2n  0                n  s  i  1 2i 1  s  i  1 2i x  x0 P2 n ( s)  f 0     1 / 2     2i   0 s i 1  2i  1    h
  23. 23. Polinomios de interpolación de LagrangePara intervalos iguales o no. n Pn ( x)   Li ( x) f ( xi )  L0 ( x) f ( x0 )  L1 ( x) f ( x1 )  ... Ln ( x) f ( xn ) i 0 n  x  xj  Li ( x)      j  0  xi  x j  j i  f ( n 1) ( ) En  f ( x)  Pn ( x)  ( x  x0 )( x  x1 )...(x  xn ) (n  1)!para algún:    x0 , xn  ; x  [ x0 , xn ]
  24. 24. Ejemplo Obtener el Polinomio de Lagrange de la siguiente data: X Y 0 -2 2 2 5 6P2 x   x  x1 x  x2  f x   x  x0 x  x2  f x   x  x0 x  x1  f x  x0  x1 x0  x2  0 x1  x0 x1  x2  1 x2  x0 x2  x1  2  x  2x  5  2  x  0x  5 2  x  0x  2 6 0  20  5 2  02  5 5  05  2P2 x    x  x  2 2 2 34 15 15
  25. 25. AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOSDado un conjunto de pares ordenados (xi, yi), sebusca una función de aproximación g, tal que: g(xi) se aproxime a yi para i=1, 2, ..., n
  26. 26. • De un modo general, una función aproximante dependerá de varias constantes , es decir: g ( x)  F ( x, c1 , c2 ,..., ck )• Para i=1, 2, ...., n, definimos las desviaciones como: di  yi  F xi , c1 , c2 ,..., ck • La función aproximada deberá ser escogida de forma que tales desviaciones sean pequeñas en valor absoluto.• Esta función puede ser elegida como una combinación lineal de otras: F ( x, c1 ,..., ck )  c1 1 ..... ck k• Por ejemplo, la aproximación mediante una recta será: F ( x, c1 , c2 )  c1 x  c2
  27. 27. • El método de los mínimos cuadrados consiste en obtener una función de aproximación, que busca: n 2 Minimizar d i 1 i• Se busca entonces, minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones: n ne(c1 ,..., ck )   di2    yi  c11  xi   ...  ckk  xi  2 i 1 i 1
  28. 28. por lo tanto: e  0 e  0, j  1,...,k c jAproximación de una recta por mínimocuadrados: g ( x)  c x  c 1 2 n n n c1  xi2  c2  xi   xi yi i 1 i 1 i 1 n n n c1  xi  c2 1   yi i 1 i 1 i 1
  29. 29. Forma Matricial del ajuste o regresión por mínimos cuadradosSistema sobre-determinado para ajuste de unarectaEscribiendo la ecuación c1x + c2 = y para todoslos puntos conocidos (xi , yi), i =1,..,n obtenemosun sistema sobre-determinado:  x1 1  y1   x2 1  c1   y2          c2            xn 1  yn 
  30. 30. Forma Matricial del ajuste o regresión por mínimos cuadradosO: Ac  yDonde:  x1 1  y1    x2 1 y  A y   2          xn 1  yn 
  31. 31. Ecuación normal para el ajusteEl cuadrado de la norma 2 de r = y – Ac es:La minimización de  requiere que:La minimización de  requiere que: A esta ecuación se le denomina ECUACION NORMAL.
  32. 32. Factor de regresión: n y ˆ  ym  2 iR  2 i 1 n y  ym  2 i i 1ˆyi de la f uncion de ajusteyi de la data n y iym  i 1 n
  33. 33. Factor de regresión: 0  R 1 2• El factor de regresión mide la eficiencia del ajuste,• Cuando R2 =1 la función de ajuste coincide con la data.• Cuando R2 es cercano a 1 el ajuste se considera aceptable.• Cuando R2 es cercano a 0 el ajuste se considera pésimo o deficiente
  34. 34. Reducción a problemas de mínimos cuadrados• Las funciones: y  ax b y  ae bx• Se puede linealizar: log( y )  log( a )  b log( x) log( y )  log( a )  b x
  35. 35. EjemploAjustar los siguientes datos a una recta: X 0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9 Y 0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03 Se ajustará a la recta: y=c1 x + c2 se plantea el siguiente sistema M*C=Y  0.1 1  0.61 0.4 1 0.92     0.5 1  c1  0.99       0.7 1 c2  1.52  0.7 1 1.47      0.9  1   2.03  
  36. 36. Planteando la ecuación normal: MT*M*C=MT*Y  0.1 1  0.61 0.4 1 0.92    0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9 0.5 1  c1  0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9 0.99     1 1 1 1 1 1  0.7  1 c2   1    1 1 1 1 1  1.52   0.7 1 1.47      0.9  1    2.03  2.21 3.3  c1  4.844  c1  1.7646  3.3 6  c    7.54   c   0.2862   2     2   y  1.7646x  0.2862 R 2  0.93
  37. 37. EjemploAjustar los siguientes datos a la función y=axb x 1 1.2 1.6 2 y 1 1.3 1.4 1.7 Ln(y)=Ln(a)+b*Ln(x) Y=A+BX A=0.0514 B=b=0.6874 a=1.0525 0.6874 y=1.0525x
  38. 38. Interpolación segmentaria o SplinesUn Spline o trazador es una función queconsiste en trozos de polinomios unidos conciertas condiciones de continuidad.Dados los nodos xo<x1<…<xn, un spline de gradok con esos nodos es una función S tal que:•En cada sub-intervalo [ti-1,ti] S es un polinomiode grado k•La (k-1)-iésima derivada de S es continua en[xo, xn]
  39. 39. Spline Lineal si ( x)  mi x  bi , para x  xi , xi 1  , i  0, 1,2,  , n  1 Las condiciones, s i ( xi )  y i y s i ( xi 1 )  y i 1 producen 2n ecuaciones para encontrar 2n incógnitas. Aplicando esto, conseguimos: x  xi 1 x  xi yi 1  yi si ( x)  yi  yi 1  yi  ( x  xi ), x  xi , xi 1  xi  xi 1 xi 1  xi xi 1  xi cuyo resultados son líneas rectas que ensamblan puntos vecinos. Claramente se observa que, s i (x) es la formula de interpolación de Lagrange para un conjunto de datos que consiste de los siguientes puntos: ( xi , y i ) y ( xi 1 , y i 1 )
  40. 40. Ejemplo Encontrar los Splines lineales para elsiguiente conjunto de datos: i 0 1 2 3 4 x 0 5 7 8 10 y 0 2 -1 -2 20 Splines Lineales: x 5 x0 2 s2 ( x)  1 x 8 2 x7   x  6 , x  [7, 8]s0 ( x)  0 2  x , x  [0, 5] 7 8 87 05 50 5s1 ( x)  2 x7 1 x 5  1.5 x  9.5 , x  [5, 7] x  10 x 8 s3 ( x)  2  20  11x  90 , x  [8, 10] 57 75 8  10 10  8

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