Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Производная сложной функции

9,454 views

Published on

Репетитор по математике Фельдман Инна Владимировна
Индивидуальная подготовка к ГИА и ЕГЭ.
сайт ege-ok.ru

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Производная сложной функции

  1. 1. Репетитор по математике Фельдман Инна Владимировна ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 1
  2. 2. 22 Понятие функции
  3. 3. 3333 Понятие функции 𝑿 𝒀
  4. 4. 44444 Понятие функции 𝑿 𝒀 𝒙 𝒚
  5. 5. 55555 Понятие функции 𝑿 𝒀 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙)
  6. 6. 66666 Понятие функции 𝑿 𝒀 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) Область определения 𝑫(𝒚)
  7. 7. 77777 Понятие функции 𝑿 𝒀 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) Область определения 𝑫(𝒚) Множество значений 𝑬(𝒚)
  8. 8. 88888 Понятие функции 𝑿 𝒀 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) Область определения 𝑫(𝒚) Множество значений 𝑬(𝒚) Соответствие между числовым множеством X и числовым множеством Y, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y называется числовой функцией.
  9. 9. 9 Понятие функции 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙)
  10. 10. 1010 Понятие функции 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) Аргумент (независимая переменная ) Значение функция (зависимая переменная )
  11. 11. 111111 Понятие функции 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟓 Аргумент (независимая переменная ) Значение функция (зависимая переменная )
  12. 12. 12121212 Понятие функции 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) Аргумент (независимая переменная ) Функция (зависимая переменная ) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟓 𝟑 𝒚 = 𝒇 𝟑 = 𝟑 𝟓 𝟐𝟒𝟑
  13. 13. 13131313 Понятие функции 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) Аргумент (независимая переменная ) Функция (зависимая переменная ) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟓 𝟑 𝒚 = 𝒇 𝟑 = 𝟑 𝟓 𝟐𝟒𝟑 𝒚 = 𝒇 𝟐𝒌 = (𝟐𝒌) 𝟓 𝟐𝒌 𝟑𝟐𝒌 𝟓
  14. 14. 14 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓
  15. 15. 15 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓 𝒙 𝒖 𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙
  16. 16. 1616 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓 𝒙 𝒖 𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒖) 𝒇 𝒖 = 𝒖 𝟓
  17. 17. 17171717 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓 𝒙 𝒖 𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒖) 𝒇 𝒖 = 𝒖 𝟓 𝑿 𝑼 𝒀
  18. 18. 18181818 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓 𝒙 𝒖 𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒖) 𝒇 𝒖 = 𝒖 𝟓 𝑿 𝑼 𝒀 Пусть функция 𝒖 = 𝒈(𝒙) определена на множестве 𝑿 и 𝑼 – множество значений этой функции. Пусть областью определения функции 𝒚 = 𝒇 𝒖 является множество 𝑼 (или его подмножество). Поставим каждому числу 𝒙 из множества 𝑿 число 𝒚 = 𝒇(𝒈(𝒙)). Тем самым на множестве 𝑿 будет задана функция 𝒚 = 𝒇(𝒈(𝒙)). Ее называют композицией функций или сложной функцией.
  19. 19. 19 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑
  20. 20. 2020202020 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑 𝒙 𝒖 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝑿 𝑼
  21. 21. 212121212121 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑 𝒙 𝒖 𝒗 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝑿 𝑼 𝒗 = 𝒑(𝒖) 𝒑 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒖) 𝑽
  22. 22. 222222222222 Понятие сложной функции 𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑 𝒙 𝒖 𝒗 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 𝒗 = 𝒗 𝟑 𝑿 𝑼 𝒀 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒗)𝒚 = 𝒑(𝒖) 𝒑 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒖) 𝑽
  23. 23. 23 Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных функций 𝒙 𝜶 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒆 𝒙 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙
  24. 24. 2424 Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных функций 𝒙 𝜶 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒆 𝒙 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐
  25. 25. 252525 Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных функций 𝒙 𝜶 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒆 𝒙 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐 𝒚 = 𝒆 𝒙 ∙ (𝟏 − 𝟑𝒙 𝟓)
  26. 26. 26262626 Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных функций 𝒙 𝜶 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒆 𝒙 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐 𝒚 = 𝒆 𝒙 ∙ (𝟏 − 𝟑𝒙 𝟓) 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 + 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)
  27. 27. 2727272727 Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных функций 𝒙 𝜶 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒆 𝒙 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐 𝒚 = 𝒆 𝒙 ∙ (𝟏 − 𝟑𝒙 𝟓) 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 + 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏) Если аргументом элементарной функции является не 𝒙, а функция от 𝒙, следовательно, мы имеем дело со сложной функцией.
  28. 28. 2828282828 Производная сложной функции 𝒚 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝒙 𝒖 𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒚 = 𝒇(𝒖) 𝑿 𝑼 𝒀
  29. 29. 292929292929 Производная сложной функции 𝒚 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝒙 𝒖 𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒚 = 𝒇(𝒖) 𝑿 𝑼 𝒀 Производная сложной функции вычисляется по формуле: 𝒇 𝒈 𝒙 ′ = 𝒇′ 𝒈 𝒙 ∙ 𝒈′ 𝒙 или 𝒇 ∆ ′ = 𝒇′(∆) ∙ ∆′
  30. 30. 30 Таблица производных
  31. 31. 3131 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
  32. 32. 3232 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙
  33. 33. 3333 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙
  34. 34. 3434 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
  35. 35. 3535 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
  36. 36. 3636 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙
  37. 37. 3737 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
  38. 38. 3838 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 ′ = 𝟏 𝒙
  39. 39. 3939 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ = 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒂 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
  40. 40. 4040 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ = 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒂 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
  41. 41. 4141 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ = 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒂 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
  42. 42. 4242 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ = 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒂 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐 )
  43. 43. 4343 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ = 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒂 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = −𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐 )
  44. 44. 4444 Таблица производных (𝒙 𝜶 )′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏 , 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 (𝒂 𝒙 )′ = 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ = 𝟏 𝒙𝒍𝒏𝒂 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = 𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 ′ = −𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐 ) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 )
  45. 45. 45 Производная сложной функции 4545 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 )
  46. 46. 4646 Производная сложной функции 4646 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Запишем корень в виде степени:
  47. 47. 4747 Производная сложной функции 4747 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Запишем корень в виде степени: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐
  48. 48. 4848 Производная сложной функции 4848 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Запишем корень в виде степени: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 2. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐
  49. 49. 4949 Производная сложной функции 4949 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Запишем корень в виде степени: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 2. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒚′ = 𝟏 𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 −𝟏 ∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′ =
  50. 50. 5050 Производная сложной функции 5050 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Запишем корень в виде степени: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 2. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒚′ = 𝟏 𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 −𝟏 ∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′ = = 𝟏 𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐 )− 𝟏 𝟐 ∙ (−𝟐𝒙)
  51. 51. 5151 Производная сложной функции 5151 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Запишем корень в виде степени: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 2. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒚′ = 𝟏 𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 −𝟏 ∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′ = = 𝟏 𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐 )− 𝟏 𝟐 ∙ (−𝟐𝒙) = − 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐
  52. 52. 5252 Производная сложной функции 5252 Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Запишем корень в виде степени: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 2. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒚′ = 𝟏 𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 −𝟏 ∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′ = = 𝟏 𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐 )− 𝟏 𝟐 ∙ (−𝟐𝒙) = − 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒚′ = − 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐
  53. 53. 5353 Производная сложной функции 5353 Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 )
  54. 54. 545454 Производная сложной функции 5454 Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию:
  55. 55. 555555 Производная сложной функции 5555 Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)
  56. 56. 565656 Производная сложной функции 5656 Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 2. Найдем производную: 𝒚′ = (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)′ 𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐 =
  57. 57. 57575757 Производная сложной функции 5757 Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 2. Найдем производную: 𝒚′ = (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)′ 𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐 = 𝟐𝒙 − 𝟓 𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐
  58. 58. 585858 Производная сложной функции 5858 Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟑 2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏))′
  59. 59. 5959595959 Производная сложной функции 5959 Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 2. Найдем производную: 𝒚′ = (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)′ 𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐 = 𝟐𝒙 − 𝟓 𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐 𝒚′ = 𝟐𝒙 − 𝟓 𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐
  60. 60. 60606060 Производная сложной функции 6060 Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 )
  61. 61. 6161616161 Производная сложной функции 6161 Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟑
  62. 62. 6262626262 Производная сложной функции 6262 Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟑 2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏))′
  63. 63. 6363636363 Производная сложной функции 6363 Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟑 2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 )′ = = 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 (𝒙 𝟐 + 𝟏)′ =
  64. 64. 646464646464 Производная сложной функции 6464 Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟑 2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 )′ = = 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 (𝒙 𝟐 + 𝟏)′ = = 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 + 𝟏
  65. 65. 656565656565 Производная сложной функции 6565 Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏) (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Выявим внешнюю функцию: 𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟑 2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 )′ = = 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 (𝒙 𝟐 + 𝟏)′ = = 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 + 𝟏
  66. 66. 66666666666666 Производная сложной функции 6666 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 )
  67. 67. 6767676767676767 Производная сложной функции 6767 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение:
  68. 68. 686868686868686868 Производная сложной функции 6868 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 =
  69. 69. 696969696969696969 Производная сложной функции 6969 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
  70. 70. 707070707070707070 Производная сложной функции 7070 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
  71. 71. 717171717171717171 Производная сложной функции 7171 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
  72. 72. 727272727272727272 Производная сложной функции 7272 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒙, 𝒖′ = 𝟏
  73. 73. 737373737373737373 Производная сложной функции 7373 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐,
  74. 74. 747474747474747474 Производная сложной функции 7474 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 , 𝒗′ = 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙
  75. 75. 757575757575757575 Производная сложной функции 7575 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 , 𝒗′ = 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙 𝒚′ = 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 +
  76. 76. 767676767676767676 Производная сложной функции 7676 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 , 𝒗′ = 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙 𝒚′ = 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙 ∙ 𝒙 =
  77. 77. 777777777777777777 Производная сложной функции 7777 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 , 𝒗′ = 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙 𝒚′ = 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙 ∙ 𝒙 = = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏
  78. 78. 787878787878787878 Производная сложной функции 7878 Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Преобразуем выражение: 𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 2. Найдем производную: 𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 Это производная произведения: 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 , 𝒗′ = 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙 𝒚′ = 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙ 𝟏 𝒙 ∙ 𝒙 = = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 𝒚′ = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏
  79. 79. 797979797979797979 Производная сложной функции 7979 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 )
  80. 80. 80808080808080808080 Производная сложной функции 8080 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
  81. 81. 8181818181818181818181 Производная сложной функции 8181 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 )
  82. 82. 8282828282828282828282 Производная сложной функции 8282 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ) 2. Вынесем показатель степени за знак логарифма: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)
  83. 83. 8383838383838383838383 Производная сложной функции 8383 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ) 2. Вынесем показатель степени за знак логарифма: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙) 3. Возьмем производную: 𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
  84. 84. 8484848484848484848484 Производная сложной функции 8484 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ) 2. Вынесем показатель степени за знак логарифма: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙) 3. Возьмем производную: 𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝟏 𝒚 ∙ 𝒚′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
  85. 85. 8585858585858585858585 Производная сложной функции 8585 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ) 2. Вынесем показатель степени за знак логарифма: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙) 3. Возьмем производную: 𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝟏 𝒚 ∙ 𝒚′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒚′ = 𝒚 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
  86. 86. 8686868686868686868686 Производная сложной функции 8686 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ) 2. Вынесем показатель степени за знак логарифма: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙) 3. Возьмем производную: 𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝟏 𝒚 ∙ 𝒚′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒚′ = 𝒚 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
  87. 87. 8787878787878787878787 Производная сложной функции 8787 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ) 2. Вынесем показатель степени за знак логарифма: 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙) 3. Возьмем производную: 𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝟏 𝒚 ∙ 𝒚′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒚′ = 𝒚 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
  88. 88. 8888888888888888888888 Производная сложной функции 8888 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
  89. 89. 898989898989898989898989 Производная сложной функции 8989 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
  90. 90. 909090909090909090909090 Производная сложной функции 9090 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙
  91. 91. 919191919191919191919191 Производная сложной функции 9191 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,
  92. 92. 929292929292929292929292 Производная сложной функции 9292 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒗′ = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ =
  93. 93. 939393939393939393939393 Производная сложной функции 9393 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒗′ = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐
  94. 94. 949494949494949494949494 Производная сложной функции 9494 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒗′ = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 +
  95. 95. 959595959595959595959595 Производная сложной функции 9595 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 (∆ 𝜶 )′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏 ∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎 𝒔𝒊𝒏∆ ′ = 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′ 𝒕𝒈∆ ′ = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐∆ ∙ ∆′ 𝒄𝒕𝒈∆ ′ = − 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐∆ ∙ ∆′ (𝒆∆ )′ = 𝒆∆ ∙ ∆′ (𝒂∆ )′ = 𝒂∆ 𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 𝒍𝒏∆ ′ = 𝟏 ∆ ∙ ∆′ (𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ = 𝟏 ∆𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ = 𝟏 𝟏 − ∆ 𝟐 ∙ ∆′ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′ = −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′ = ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′ = −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐 ) 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒗′ = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 + + 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒍𝒏𝒙
  96. 96. 96
  97. 97. 97
  98. 98. 989898989898989898989898 Производная сложной функции 9898 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒗′ = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 + + 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒍𝒏𝒙 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ ( 𝟏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 − − 𝒍𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒙 𝟐 )
  99. 99. 99999999999999999999999999 Производная сложной функции 9999 Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 4. Найдем производную произведения: 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ 𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ = 𝟏 𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒗′ = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = = 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ = 𝟏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 + + 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ − 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒍𝒏𝒙 𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ ( 𝟏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒍𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒙 𝟐 )

×