Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Materi 10
Kekontinuan Fungsi
Dalam bahasa yang biasa, kata kontinu digunakan untuk memerikan suatu proses yang
berkelanjut...
Kekontinuan Pada Selang.
Kekontinuan pada selang selayaknya berarti kekontinuan di setiap titik dari selang tersebut.
Itul...
kenyataan bahwa suatu fungsi kontinu harus menerima setiap nilai di antara dua nilainya
yang sebarang. Hasil ini sekarang ...
14. f(x) = {
βˆ’3π‘₯ + 4 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ ≀ 2
βˆ’2 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ > 2
dalam soal 15 – 20, fungsi yang diberikan tidak terdefinisi di suatu tit...
35. Gunakan teorema nilai antara untuk membuktikan bahwa x3 + 2x – 5 = 0 mempunyai
akar riil antara 1 dan 2
36. Dengan men...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

kekontinuan fungsi

12,798 views

Published on

kalkulus 1

Published in: Education
  • Dating for everyone is here: β™₯β™₯β™₯ http://bit.ly/39pMlLF β™₯β™₯β™₯
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Follow the link, new dating source: ❢❢❢ http://bit.ly/39pMlLF ❢❢❢
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

kekontinuan fungsi

  1. 1. Materi 10 Kekontinuan Fungsi Dalam bahasa yang biasa, kata kontinu digunakan untuk memerikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Gagasan inilah, yang berkenaan dengan fungsi, yangsekarang ingin dibuat secara persis. Pandang tiga grafik yang diperlihatkan dalam gambar 1. Hanya grafik yang ketiga memperlihatkan kekontinuan di c. Berikut adalah definisi yang formal. Definisi. Kekontinuan di di satu titik. Kita katakan bahwa f kontinu di c beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan lim π‘₯→𝑐 𝑓(π‘₯) = f(c) Dengan definisi ini kita bermaksud mensyaratkan tiga hal. 1. lim π‘₯→𝑐 𝑓(π‘₯) ada. 2. F(c) ada. (yakni, c berada dalam daerah asal f) 3. lim π‘₯→𝑐 𝑓(π‘₯) = f(c) Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tak terpenuhi, maka f tak kontinu (diskontinu) di c. Jadi, fungsi yangdiwakili oleh grafik yang pertama dan kedua di atas tak kontinu di c. Tetapi kontinu di titik-titik lain dari daerah asalnya. Contoh 1. Andaikan f(x) = π‘₯2 βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 2 , x β‰  2. Bagaimana seharusnya f didefinisikan di x = 2 agar kontinu di titik itu. Penyelesaian . lim π‘₯β†’2 π‘₯2 βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 2 = lim π‘₯β†’2 ( π‘₯ – 2)(π‘₯ + 2) π‘₯ βˆ’ 2 = lim π‘₯β†’2 (π‘₯ + 2) = 4 Karena itu kita definisikan f(2) = 4 .Grafik dari fungsi yang dihasilkan diperlihatkan dalam gambar 2. Kenyataannya, kita lihat bahwa f(x) = x + 2 untuk semua x.
  2. 2. Kekontinuan Pada Selang. Kekontinuan pada selang selayaknya berarti kekontinuan di setiap titik dari selang tersebut. Itulah tepatnya apa yang diartikan untuk suatu selang terbuka (a , b). Bilamana kita memandang selang tertutup [a , b], kita menghadapi masalah. Mungkin saja f bahkan tidak terdefinsi di sebelah kiri a (misalnya f(x) = √ π‘₯ mempunyai masalah ini di a = 0), sehingga secara langsung saja lim π‘₯β†’π‘Žβˆ’ 𝑓(π‘₯) tidak ada. Kita pilih untuk mengurus persoalan ini dengan menyebut f kontinu pada [a , b] jika ia kontinu di setiap titik dari (a , b) dan jika lim π‘₯β†’π‘Ž+ 𝑓(π‘₯) = f(a) dan lim π‘₯β†’π‘βˆ’ 𝑓(π‘₯)= f(b) (masing-masing disebut, kekontinuan kanan di a dan kekontinuan kiri di b). Kita ringkaskan dalam sebuah definisi formal. Definisi kekontinuan selang Kita katakan f kontinu pada selang terbuka (a , b) jika f kontinu di setiap titik (a , b). F kontinu pada selang tertutp [a , b] jika kontinu pada (a , b), kontinu kanan di a dan kontiny kiri di b. Sebagai contoh, pernyataan bahwa f(x) = 1/x kontinu pada selang (0 1) dan bahwa g(x) kontinu pada [0 , 1] adalah benar. Contoh 2. Dengan menggunakan definis di atas, uraikan sifat-sifat kekontinuan dari fungsi yang grafiknya disketsakan dalam gambar 3. Penyelesaian : Fungsi tersebut kontinu pada selang buka (-∞ , 0), (0 , 3), dan (5 , ∞), dan juga pada selang tertutup [3 , 5]. Untuk f agar kontinu pada [a , b] berarti bahwa bilamana x1 dan x2 berdekatan satu sama lain dan keduanya berada dalam [a , b], maka f(x1) dan f(x2) berdekatan satu sama lain. Tidak terdapat lompatan atau perubahan mendadak, sehingga kita boleh β€œmenggambarkan” grafik f pada [a , b] tanpa mengangkat pensil kita dari kertas. Ini berkaitan dengan
  3. 3. kenyataan bahwa suatu fungsi kontinu harus menerima setiap nilai di antara dua nilainya yang sebarang. Hasil ini sekarang akan kita nyatakan secara persis. Teorema Nilai Antara. Jika f kontinu pada [a , b] dan jika w sebuah bilangan antara f(a) dan f(b) maka terdapat sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikiansehingga f(c) = w. Jika f tidak kontinu maka sifat nilai antara tidak berlaku, seperti tampak pada gambar 6 di bawah ini. Contoh 3. Gunakan teorema nilai antara untuk membuktikan bahwa x3 + 3x – 2 = 0 mempunyai akar riil antara 0 dan 1 Penyelesaian : Dari fungsi di atas diperoleh nilai F(0) = -2 dan f(1) = 2. Misalkan w = 0 , karena w memenuhi : f(0) ≀ w ≀ f(1) , maka berdasarkan teorema nilai antara terdapat nilai c antara 0 dan 1 yang memenuhi f(c) = 0. Terbukti. Latihan soal 10 Dalam soal 1 – 14, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di 2; jika tak kontinu jelaskan sebabnya. 1. F(x) = 4x2 – 2x + 12 2. F(x) = 8 / (x – 2) 3. G(x) = 3x2 / (x – 2) 4. G(x) = √ π‘₯ βˆ’ 1 5. H(x) = √ π‘₯ βˆ’ 3 6. H(x) = |3 – 5x2| 7. F(t) = ⟦ π‘‘βŸ§ 8. F(t) = ⟦ 𝑑 βˆ’ 1/2⟧ 9. G(t) = (t3 – 8) / (t – 2) 10. 11. H(t) = { 𝑑3 βˆ’8 π‘‘βˆ’2 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 𝑑 β‰  2 12 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 𝑑 = 2 12. h(t) = { 4π‘‘βˆ’8 π‘‘βˆ’2 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 𝑑 β‰  2 2 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 𝑑 = 2 13. f(x) = { π‘₯ + 3 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ < 2 π‘₯2 + 1 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ β‰₯ 2
  4. 4. 14. f(x) = { βˆ’3π‘₯ + 4 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ ≀ 2 βˆ’2 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ > 2 dalam soal 15 – 20, fungsi yang diberikan tidak terdefinisi di suatu titik tertentu, bagaimana seharusnya mendefinisikan di sanan agar kontinu pada titik itu? (lihat contoh 1) 15. f(x) = (x2 – 9) / (x – 3) 16. g(x) = (9x2 – 4) / (3x + 2) 17. f(t) = 𝑑 βˆ’ 1 √ π‘‘βˆ’ 1 18. g(t) = sin 𝑑 𝑑 19. f(x) = (x4 + 2x3 – 3) / (x + 1) 20. f(x) = sin ( π‘₯2 βˆ’ 1 π‘₯ + 1 ) dalam soal 21 – 32, di titik mana, jika ada, fungsi tak kontinu? 21. F(x) = (2x + 3) / (x2 – x – 6) 22. G(x) = x / (2x2 – x – 1) 23. F(t) = |t2 – 2t + 5| 24. G(t) = 1 √ π‘‘βˆ’1 25. F(u) = 2𝑒 + 7 √ 𝑒 + 5 26. G(u) = 𝑒2 + |π‘’βˆ’ 1| √ 𝑒 + 13 27. F(x) = 1 √4 + π‘₯2 28. G(x) = 1 √4 βˆ’ π‘₯2 29. F(x) = { π‘₯ π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ < 0 π‘₯2 π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 2 βˆ’ π‘₯ π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ > 1 30. G(x) = { π‘₯2 π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ < 0 βˆ’π‘₯ π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 π‘₯ π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ > 1 31. F(t) = ⟦ π‘‘βŸ§ 32. G(t) = ⟦ 𝑑 + 1/2⟧ 33. Sketsakan grafik suatu fungsi f yang memenuhi semua persyaratan berikut a. Daerah asalnya adalah [-2 , 2] b. F(-2) = f(-1) = f(1) = f(2) = 1 c. Tak kontinu di 1 dan -1 d. Kontinu kanan di -1 dan kontinu kiri di 1 34. Andaiakan F(x) = { π‘₯ , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ π‘Ÿπ‘Žπ‘ π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘™ βˆ’π‘₯ , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ π‘‘π‘Žπ‘˜ π‘Ÿπ‘Žπ‘ π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘™ Sketsakan grafik ini sebaik mungkin dan tentukan dimana x kontinu
  5. 5. 35. Gunakan teorema nilai antara untuk membuktikan bahwa x3 + 2x – 5 = 0 mempunyai akar riil antara 1 dan 2 36. Dengan menggunakan teorema nilai antara, Perlihatkan bahwa persamaan x5 + 4x3 – 7x + 14 = 0 mempunyai paling sedikit satu akar riil 37. Cari nilai-nilai a dan b sehingga fungsi berikut kontinu di mana F(x) = { π‘₯ + 1 π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ < 1 π‘Žπ‘₯ + 𝑏 π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 1 ≀ π‘₯ < 3π‘₯ π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ β‰₯ 2 2

Γ—