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2 parcial de matematica ib

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solución 2 parcial matemática 1

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2 parcial de matematica ib

  1. 1. SEGUNDO PARCIAL DE MATEMATICA I 10-12amProfesor: Fabio Valencia M1)Haciendo todo el procedimiento, calcular, cada uno de los siguientes límitesi) 6x 4 lim √x 2x x 6x 4 6x 4 6x 4 |x| x lim lim lim √x 2x x √x 2x x √x 2x x |x| √x |x| 6x 4 4 4 4 6 6 6 lim x x lim x lim x lim x √x 2x x x 2x x x 2x 2 |x| 1 1 1 √x x x x x x= 4 1 6 6 4 lim 6 4 0 6 x x lim 3 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 lim 1 x 1 xRecuerden que lim 0___________________________________________________________________________ii) x 4x 2x 3 x 4x 5 x 5 x 1 lim lim lim x 3x 2 x 3x 2 x 1 x 2 x 5 x 1 x 5 lim lim ∞ x 1 x 2 x 1 x 2Recuerde que lim 2x 3 5 y la factorización x 3x 2 aplicando división sintética1 0 -3 2 L1 x 3x 2 =(x-1) ( x x 2 )= x 2 x 1 _1_ 1_ -2____1 1 -2 0 reemplazando x x 2 x 2 x 1
  2. 2. Aplicamos el teorema que afirma que si lim se tiene que lim f x c c>0 y =0 tal que x g(x) 0 por valores positivos entonces ∞____________________________________________________________________________iii) 1 cos x lim xEs un límite de la forma debemos buscar la manera de aplicar algebra y de utilizar identidadestrigonométricas que nos lleven al lim 1Multipliquemos numerador y denominador por 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x lim lim x 1 cos x x 1 cos x 1 cos x lim x 1 cos xContinua la indeterminación nuevamente multiplicamos numerador y denominador por1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x lim lim x 1 cos x x 1 cos x 1 cos x 1 cos x lim x 1 cos x 1 cos x sen x sen x sen x lim lim x 1 cos x 1 cos x x x 1 cos x 1 cos x sen x sen x 1 1 1 lim lim lim 1 . 1 x x 1 cos x 1 cos x 4 4
  3. 3. 2)Considere la función f cuya gráfica se ilustra.Utilizando la gráfica de f hallar si existen cada uno de los siguientes límites. Justifiqueclaramente cada respuesta, en el caso de que no exista el límitei)lim f x)= 1 ii)lim f x)=3 iii) lim f x)= -∞ iv) lim f x) = 5v) lim f x) = no existeporque los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser igualesvi) i)lim f x)= 2vii) lim f x) no existeporque los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser igualesviii) lim f x)= porque f x) es la recta y=mx+b que pasa por los puntos 2,5) y 4,2)calculamos y-5= x-2) se tiene y=f x)=-3/2 x-2)+5 lim 3/2 x 2) + 5=7/2ix) lim f x)=2x)lim f x) = +∞xi)lim f x) no existe los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser igualesxii) lim f x)=2
  4. 4. x 2ax a si x 1 3)Sea )= si 1 x √i)Escriba las condiciones que debe cumplir la función f para que se continua en x=1a).Debe existir f(1) b) debe existir el límite lim f(x) c) lim f(x) = f(1)ii)Halle los valores de la constante a tales que la función f dada es continua en x=1Como la función es continua en uno(1) por hipótesis, se cumple a) b) y si el límiteexiste debe ser igual por la derecha y por al izquierda lim x 2ax a =1 2a a x 1 (x 1) (√x 3 2) (x 1)(√x 3 2) lim f(x) = lim = lim = lim √x 3 2 (√x 3 2) (√x 3 2) (√x 3) 2 (x 1)(√x 3 2) (x 1)(√x 3 2) (x 1)(√x 3 2) lim = lim = lim (√x 3) 2 x 3 4 x 1 (√x 3 2) lim =4 1Igualamos los dos limítes 1 2a a =4 a 2a 3=0Factorizando tenemos a 2a 3 = (a 3)(a 1) = 0De donde a=3 y a = -1 para que la función f sea continua en x=1
  5. 5. 4) Sea f x)=x 4x + 7 i) Utilizar la definición para hallar en el punto a,f a)) f(x h) f(x) (x h) 4(x h) 7 (x2 4x 7) lim = lim h h x 2xh h 4x 4h 7 x2 4x 7) 2xh h 4h lim = lim h h h(2x h 4) (2x h 4) lim = lim = 2x 4 h 1Esta es la derivada en cualquier punto, la calculamos en el punto (a,f(a)) calculada en a, f(a) es 2a 4
  6. 6. ii)La ecuación de la recta tangente a la curva f(x)=x 4x 7 tiene pendiente 2a 4pero también podemos calcular su pendiente con los dos puntos (a,f(a)) y (1,0) y y 0 f(a) f(a) = = x x 1 a 1 a ( )Igualamos las dos pendientes 2a 4 y calculamos f(a)=a 4a 7 a 4a 7 2a 4= 1 a (2a 4)(1 a) = a 4a 7 2a 4 2a 4a = a 4a 7 2a 4 2a 4a a 4a 7= 0 a 2a 3= 0 a 2a 3=0 (a 3)(a 1) = 0Luego a=3 y a=-1 para a=3 se tiene f(3)=4 el punto es (3,4)Para a=-1 se tiene f(-1)=12 el punto es (-1,12) se tienen dos rectas tangentes a la curvay=x 4x 7 que pasan por el punto (1,0) que esta fuera de la curva
  7. 7. 5)Haciendo todo el procedimiento verificar que sen(x) 2sen(x) D = 1 cos(x) (1 cos(x)) sen(x) sen(x) cos(x) (1 cos(x)) sen(x)( sen(x) D =2 1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x)) sen(x) sen(x) cos(x) cos (x) sen (x) D =2 = 1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x)) sen(x) sen(x) (cos(x) 1) D =2 1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x)) sen(x) sen(x) 1 2sen(x) D =2 = 1 cos(x) 1 cos(x) (1 cos(x)) (1 cos(x))B)Calcule la siguiente derivada D x 1 x 5 4 1 D x 1 x 5 x 1 x 5 1 x x 1 x ) ) 2x) 3 2 4 1 D x 1 x 5 x 1 x 5 1 x x ) 2x) 3 2 1 x ) 4 x D x 1 x 5 x 1 x 5 1 x ) 3 √1 x 4 √1 x x D x 1 x 5 x 1 x 5 ) 3 √1 x
  8. 8. 4 1 x xD x 1 x 5 = x 1 x 5 ) 3 √1 x 4 1 2x D x 1 x 5 = x 1 x 5 ) 3 √1 x 4 1 2x D x 1 x 5 = x 1 x 5 ) 3 √1 x

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