Carlos benitez grafos digrafos

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Carlos benitez grafos digrafos

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO ESCUELA DE INGENIERIA ALUMNO: Benítez Carlos C.I: 14.585.103 Sección: SAIA-A Profesora: Edicio Freitez
  2. 2. DADO EL SIGUIENTE GRAFO A) Determinar MATRIZ DE ADYACENCIA V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V1 0 1 1 1 1 0 1 0 V2 1 0 1 0 0 1 1 1 V3 1 1 0 1 1 1 0 1 V4 1 0 1 0 1 1 0 0 V5 1 0 1 1 0 1 1 0 V6 0 1 1 1 1 0 1 1 V7 1 1 0 0 1 1 0 1 V8 0 1 1 0 0 1 1 0
  3. 3. B) Matriz de Incidencia a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 V6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 V7 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 V8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C) Es Conexo? Justifique su respuesta. Se dice Conexo si para cualquier par de vértices de a y b en G existe al menos una trayectoria (una secuencia de vértices adyacentes que no repita vértices) de a á b. De acuerdo con la definición, si es conexo ya que, para todo par de vértices se encuentran conectados o tienen un camino que los una. D) Es Simple? Justifique su respuesta. Si es un grafo simple, debido a que se cumple que ningún vértice tiene lazo, además cada vértice esta unido por una sola arista; pero todos los vértices poseen un grado diferente, siendo no regular.
  4. 4. E) Es Regular? Justifique su respuesta. ¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia. Grado de un vértice es: El número de aristas que inciden en el vértice. No es un grafo regular, ya que hay vértices que tienen grados o valencias diferentes. F) Es Completo? Justifique su respuesta. Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por cada par de vértices. No hay aristas paralelas o sub. Grafos. En conclusión podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de una arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos. G) Una cadena simple no elemental de grado 6. Una cadena simple es una secuencia finita alternada de vértices y aristas, sin repetir aristas, no elemental indica que puede repetirse los vértices. El grado nos indica la cantidad de aristas que debe contener la cadena, en esta oportunidad son seis (6). Ejemplo: V3= GRADO 6 V6= GRADO 6 H) Un ciclo no simple de grado 5 Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple. No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de ningún grado. I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor. 1er paso: Seleccionar un vértice S1, hacer H1= { S1} 2do paso: Seleccionamos una arista a1 que tenga un extremo en H 1 y el otro extremo en un vértice S2  H1. Hacer H1  { S2} 3er paso: Seleccionamos una arista a 2 que tenga un extremo en H 2, y el otro extremo en un vértice S3  H2. Hacer H2  { S3}
  5. 5. V1 Seleccionamos el vértice v1  H1 ={v1} V4 Seleccionamos la arista a4  H2 = {v1,v4} a4 A15  H3= {v1,v4, v5} V1 V3 A12  H4= {v1,v4, v5, v3} V4 V6 A13  H5= {v1,v4, v5, v3, v6} V5 V1 A8  H6= {v1,v4, v5, v3, v6, v2} V2 V3 V4 V8 A10  H7= {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8} A20  H8= {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7} V6 V5 V1 V2 V3 V4 V8 V6 V5 V7 Por lo tanto se comprueba que en un árbol dos vértices cualesquiera están unidos por un único camino, se demuestra con al poseer árbol generador que es un grafo conexo, y que G es un árbol entonces el número de aristas es igual al número de vértices menos 1. A = {a4, a15, a12, a3, a8, a10, a20} V = { v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}
  6. 6. Numero de vértices = 8 -1 =7 Numero de aristas = 7 J) Subgrafo Parcial. Un subgrafo parcial se obtiene al conservar todos los nodos o vértices de G y se suprimen algunas aristas. Tenemos V1 V2 V3 a2 V4 a3 V8 V6 a15 a19 a20 a17 V5 V7 K) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury Si el grafo es euleriano a partir de un vértice cualquiera de G se puede construir una cadena simple de manera que no se repitan las aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que no se encuentre otra alternativa, al haber agotado las aristas decimos que tenemos un tour euleriano. Luego de experimentar en repetidas ocasiones el recorrido del grafo sin repetir aristas, no ha sido posible encontrar un camino euleriano donde no se repitan aristas, por lo tanto no se cumple que el Grafo sea Euleriano.
  7. 7. I) Demostrar si es Hamiltoniano Un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano, en el cual se debe cumplir que atraviese cada vértice del grafo exactamente una vez. el ciclo C=[v1, a3, v2, a10, v8, a20, v7, a19, v6, a17, v5, a15, v4, a11, v3, a2, v1] Notamos que Vo = Vk V1 a3 V2 a2 a11 2 V4 a10 V3 V8 V6 a15 a19 a17 V5 DADO EL SIGUIENTE DIGRAFO V7 a20
  8. 8. A) Encontrar matriz de conexión a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 B) Es Simple? Justifique su respuesta. Se cumple que el Dígrafo es simple, ya que no tiene lazos y no existen arcos paralelos que partan de un mismo vértice a otro. C) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5 En las cadenas no simples se pueden repetir los arcos durante el recorrido y que sea no elemental, también nos permite repetir vértices. El grado 5 nos indica el número de arcos que tendrá nuestra cadena. T = [v4, 9, v1, 5, v3, 8, v4, 9, v1, 6, v5] D) Encontrar un ciclo simple. El ciclo simple inicia y termina con el mismo vértice y en ella no se pueden repetir arcos. C = [v6, 14, v5, 11, v4, 9, v1, 1, v2, 4, v6] E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad. Para comprobar que un grafo es conexo podemos realizar los siguientes pasos: 0
  9. 9. 1) Hallar la matriz de adyacencia y se eleva a la enésima potencia. 2) Se calcula la suma de las potencias de A hasta An. 3) Si todos sus elementos son distintos de cero, el grafo es conexo. Matriz de Adyacencia V1 V2 V3 V4 V5 V6 V1 0 1 1 0 1 0 V2 0 0 1 1 0 1 V3 0 0 0 1 1 0 V4 1 0 0 0 0 1 V5 0 1 0 1 0 1 V6 0 0 0 0 1 0 Ma(D)= Elevamos la matriz al cuadrado para encontrar los caminos de tamaño dos (02) V1 V3 V4 V5 V6 V1 0 0 1 1 1 1 V2 M2(D)= V2 1 0 0 1 1 1 V3 1 1 0 1 0 1 V4 0 1 1 0 1 0 V5 1 0 1 1 1 1 V6 0 1 0 1 0 1
  10. 10. Elevamos la matriz al cubo para encontrar los caminos de tamaño tres (03) V1 V3 V4 V5 V6 V1 1 1 1 1 1 1 V2 1 1 1 1 1 1 V3 1 1 1 0 1 1 V4 0 1 1 1 1 1 V5 0 1 1 1 1 1 V6 M3(D)= V2 1 0 1 1 0 1 Elevamos la matriz a cuatro para encontrar los caminos de tamaño cuatro (04) V1 V3 V4 V5 V6 V1 1 1 1 1 1 1 V2 1 0 1 1 1 1 V3 0 1 1 1 1 1 V4 1 1 0 1 1 1 V5 1 1 1 1 1 1 V6 M4(D)= V2 1 1 1 1 0 1 Elevamos la matriz a la cinco para encontrar los caminos de tamaño cinco (05) V1 V3 V4 V5 V6 V1 1 1 1 1 1 1 V2 M5(D)= V2 1 1 1 1 1 1 V3 1 1 1 1 1 1 V4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 V5 V6
  11. 11. Ahora calculamos la Matriz de Accesibilidad Acc(D) = bin [I6 + M + M2 + M3 + M4 + M5] V1 V2 V3 V4 V5 V6 V1 3 4 5 4 5 4 V2 4 2 5 5 5 5 V3 3 4 3 4 4 4 V4 4 4 3 5 4 4 V5 3 4 4 5 4 5 V6 3 3 3 4 1 4 Acc(D)= bin Luego transformamos la matriz de la manera siguiente a) Componente que sea igual a cero (0), permanece como cero (0) b) Componente diferente de cero (0), convertirla a 1. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V1 1 1 1 1 1 1 V2 1 1 1 1 1 1 V3 1 1 1 1 1 1 V4 1 1 1 1 1 1 V5 1 1 1 1 1 1 V6 1 1 1 1 1 1 Acc(D)= bin Como la matriz Acc(D) no tiene componentes nula se dice entonces según el colorario 1.2 que el dígrafo es fuertemente conexo.
  12. 12. F) Encontrar la distancia V2 a los de más vértices utilizando el algoritmo de DIJKSTRA Pasos: 1) Ubicar el vértice de inicio. 2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que esté directamente a él. 3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así: 4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta ante rior que esta directamente al vértice estudiado. 5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando. 6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge cualquiera de la dos.

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