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Probabilidad

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Probabilidad

  1. 1. TITULAR DE LA MATERIA: Ing. Hilario Olmedo Jiménez. ALUMNOS : Benjamín García Vera Lizneydi Díaz Martínez. Nilsa Ortiz Zurita. Eduardo de Jesús Martínez Díaz. Mario Chávez I V SEMESTRE GRUPO : “C” ESPECIALIDAD: TÉCNICO EN INFORMÁTICA. CICLO ESCOLAR: AGOSTO 07 - JULIO 08 Probabilidad
  2. 2. Origen de la Probabilidad… La probabilidad nació gracias a los juegos de azar. En el Renacimiento empiezan a surgir inquietudes entorno a contabilizar el número de posibles resultados de un dado lanzado varias veces, o problemas más prácticos sobre cómo repartir las ganancias de los jugadores cuando el juego se interrumpe antes de finalizar. A los matemáticos del siglo XVI como Pacioli, Cardano y Tartaglia se deben las primeras consideraciones sobre los juegos de azar.
  3. 3. Rama de las Matemáticas que estudia los resultados posibles de los fenómenos aleatorios. Por ejemplo: El lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
  4. 4. Enfoque Clásico Enfoque de Frecuencia Relativa Enfoque Subjetivo Enfoques de la Probabilidad
  5. 5. Enfoque Clásico de Probabilidad La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos (sucesos) favorables y el numero total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que sean igualmente posibles. La probabilidad de un evento A: P (A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza en el que un evento A ocurre, y se obtiene con la formula conocida como REGLA DE LAPLACE:
  6. 6. Ejemplo 1 : En la gran final del concurso por TV, la concursante elige un sobre. Solución : EA = La concursante elige un sobre Ω = {sobre A, sobre B} A = elegir el sobre A (para ganar el auto) P(A)=1/2 B = elegir el sobre B (para ganar la casa) P(B)=1/2
  7. 7. Enfoque de Frecuencia Relativa Si un experimento bien definido se repite n veces ( n grande); sea nA < n el número de veces que el evento A ocurre en los n ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A “n A /n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A , o sea: P(A)= n A /n OBSERVACIONES: 1. La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1. Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1. En efecto: Desde que 0 ≤ n A ≤ 1 , 0/n ≤ n A /n ≤ 1 , se tiene que 0 ≤ n A /n ≤ 1 . Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1 . 2. n A /n = 0 , si solo si, en las n repeticiones del experimento el evento A .
  8. 8. Ejemplo 2: En la siguiente tabla se muestra el resultado de una moneda para un determinado número de lanzamientos:. Observamos que a medida que se aumenta la cantidad de lanzamientos las frecuencias relativas de salir cara, se van acercando a un número determinado muy próximo a la probabilidad. P(c) = 1/2 = 0,5 47/100=0,47 32/70=0,457 19/50=0,38 11/30= 0,366 Frecuencia 47 32 19 11 Número de caras 100 veces 70 veces 50 veces 30 veces Lanzar moneda
  9. 9. Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal. Enfoque Subjetivo de Probabilidad
  10. 10. Espacio Muestral Cada experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y podemos describir con precisión el conjunto de estos resultados posibles. Llamaremos Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio, y lo denotamos con Ω. Espacio Muestral (Ω): Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento estadístico.
  11. 11. Ejemplo 1: E.A. = Lanzar una moneda. Ω. = { cara, sello } Ejemplo 2: E.A. = Un partido de fútbol entre los equipos: Rojo y Verde. Ω = Gana el equipo rojo, Gana el equipo verde, Empatan.
  12. 12. Evento: A uno o más de los resultados posibles del espacio muestral, se les denomina Evento o Suceso, y se simboliza con las letras mayúsculas: A, B, C, … Suceso o Evento: Es un subconjunto del espacio muestral.
  13. 14. Evento Elemental Evento elemental: Es cada uno de los resultados posibles del espacio muestral. A cada elemento del espacio muestral, se le conoce con el nombre de evento elemental, y se simboliza con e1, e2,…
  14. 15. Ejemplo 1: En el espacio muestral del partido de Fútbol entre equipo Rojo y Verde se tienen 3 eventos elementales: e2 = gana el equipo rojo e1 = gana el equipo verde e3 = empatan
  15. 16. Evento imposible: Evento que no ocurre nunca en un experimento aleatorio. Evento Imposible Algunos eventos nunca pueden ocurrir en el experimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Se simboliza con Ø.
  16. 17. Ejemplo 1: EA = Un partido de fútbol entre el equipo Rojo y Verde. Ω = {e1, e.2, e3} El evento: A = Que gane el equipo lila, es un evento imposible.
  17. 18. Evento seguro: Evento que “siempre ocurre” en un experimento aleatorio. Evento Seguro Los eventos que siempre suceden en el experimento aleatorio, son llamados eventos seguros.
  18. 19. Ejemplo 1: En un partido de fútbol entre equipos Rojo y Verde , un evento seguro es que uno de los equipos inicia el partido. Ejemplo 2: En el experimento aleatorio: Sacar una bola roja, de una urna que contiene 6 bolas rojas, el evento B = Sacar una bola roja es un evento seguro, pues todas son rojas. Otros ejemplos: • Al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 obtener un número entero positivo menor que 7, es un evento seguro. • Al soltar una piedra ésta caerá., es un evento seguro.
  19. 20. Evento Complementario Cuando se considera un evento A, el evento que contiene todos los eventos elementales del espacio muestral que no estén en A se denominara Evento Complementario. Se simbolizara con Ā.
  20. 21. Ejemplo 1: EA = Lanzar una moneda Ω = { cara, sello } A = obtener cara Ā = obtener sello Ejemplo 2: EA = Lanzar un dado Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Consideremos el evento A: obtener 6 puntos. A = { 6 } Ā = {1, 2, 3, 4, 5}, es el complemento del evento A. Siempre que sumemos el evento A y su complemento Ā, tendremos el espacio muestral Ω. A + Ā = Ω
  21. 22. Tipos de experimentos
  22. 23. Experimento aleatorio En la vida podemos encontrar situaciones que no se pueden predecir, como cuando se realiza un partido de fútbol, se lanza una moneda, etc. En todos estos casos no sabemos que resultado se tendrá y por eso a estas situaciones se les llama &quot;experimentos aleatorios&quot; . Un experimento aleatorio, tiene dos propiedades en común: • Uno de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden especificarse de antemano. • La segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada experimento. Experimento Aleatorio (E. A.): Situación en la que no sabemos que resultado se tendrá.
  23. 24. Un partido de fútbol, se considera un experimento estadístico pues estamos inciertos si gana el equipo Verde, el equipo Rojo o empatarán. Más ejemplos de experimentos aleatorios: • Conocer el número de alumnos que faltaran a clases, la próxima semana. • Recepcionar a un paciente y escribir el nombre del médico con el que será atendido. • Preguntar a un profesor de secundaria la especialidad que tiene (Matemática, Química, Biología, etc.) y anotarlo. • Verificar el estado de un foco en un edificio (apagado o prendido). • Verificar la legalidad de un billete de $100 (legal o falso). • Realizar una rifa para obtener 3 premios. • Aplicar una encuesta para conocer opiniones . Ejemplo:
  24. 25. Experimento determinista Son aquellos en donde no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando éstos son repetidos varias veces.
  25. 26. Probabilidades Reglas para dos eventos
  26. 27. REGLA DE LA ADICIÓN . Cuando se tienen dos eventos A y B, y se desea que ocurra A o que ocurra B, se suman las probabilidades de cada evento, se simboliza: P (A+B)
  27. 28. Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral son excluyentes si NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS. Es decir, la ocurrencia de uno EXCLUYE de la ocurrencia del otro. En símbolos si P (A ∩ B)= Ø Eventos excluyentes P(A + B)= P(A) + P(B)
  28. 29. Ejemplo: Ejemplo 1 : En el experimento aleatorio lanzar un dado común. Halle la probabilidad de obtener un nº impar o 6 puntos. Solución: EA: Lanzar 1 dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = obtener Nº impar = { 1, 3, 5 } B = obtener 6 puntos = { 6 } (A ∩ B)= Ø, Probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B . Luego los eventos son excluyentes. Aplicamos la Regla de la adición, para eventos excluyentes : P(A + B)= P(A) + P(B) Hallamos la probabilidad de cada evento con la Regla de Laplace: P(A + B)= 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,66
  29. 30. Gráficamente: P(A) P(B) + 3/6 1/6 4/6 = 0.66 = 66.66%
  30. 31. EVENTOS NO EXCLUYENTES Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno no excluye la ocurrencia del otro. En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø P(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
  31. 32. Ejemplo 2: En el experimento aleatorio: Lanzar un dado, hallar la probabilidad de obtener un nº par o 6 puntos. Solución: EA: Lanzar 1 dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = obtener nº par = { 2, 4, 6 } B = obtener 6 puntos = { 6 } A ∩ B = { 6 }, luego los eventos no son excluyentes. Aplicamos la Regla de la adición ,para eventos excluyentes : P(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Hallamos la probabilidad de cada evento ,con la Regla de Laplace: P(A + B)= 3/6 + 1/6 – 1/6 = 0,5 P(A + B)= 0,5
  32. 33. Gráficamente: P(A) P(B) + 3/6 1/6 4/6 - 1/6 = 3/6 = 0.5 - P(A ∩ B) 1/6
  33. 34. REGLA DE La multiplicación Si se consideren los eventos A y B, y se quiere obtener la probabilidad de que ocurra A y que ocurra B, es decir que ocurra ambos. Se simboliza : P (AB)
  34. 35. Probabilidad de Eventos dependientes Dos eventos A y B son dependientes, si un evento influye en el otro evento Observamos que el hecho de que suceda el evento A influye en la probabilidad del suceso B, es decir la probabilidad del suceso B depende de que A se haya realizado o no, esto se expresa como P (B/A). Cuando ocurre esto, diremos que los sucesos A y B son dependientes. P(AB) = P (A) * P (B/A)
  35. 36. Ejemplo: En una baraja hay 52 cartas de las cuales 4 son ases. Si realizamos dos extracciones, una a continuación de otra sin devolverlas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 ases?
  36. 37. Solución: Consideremos los siguientes sucesos: A : Sacar un As en la primera extracción. B : Sacar un As en la segunda extracción. A y B son dependientes, pues no se reemplazan las cartas, pues el número de cartas va disminuyendo, por lo que el evento B tiene menos probabilidades de ocurrir que A . Aplicamos la Regla de la multiplicación, para eventos dependientes : P(AB) = P ( A ) * P ( B / A ) Al sacar un As en la primera extracción sólo quedan 3 ases y un total de 51 cartas, por lo que se tiene: P (B/A) = 3/51. Hallamos la probabilidad de cada evento con la Regla de Laplace: P(AB) = (4/52) (3/51) = 12/2652=0,0045. Respuesta : La probabilidad de obtener 2 ases es 0,0045.
  37. 38. Probabilidad de Eventos independientes Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. Por ejemplo : Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
  38. 39. &quot;PROBABILIDAD CONDICIONAL&quot; Sean A y B dos eventos asociados con un experimento aleatorio. Consideremos que ya ocurrió el evento B y que p (B) > 0 . Bajo estas condiciones se establece la siguiente definición: P(A ∩ B) P (A / B) = P(B) Se llama probabilidad condicional de A dado B, y se escribe P (A/B), al cociente que se obtiene dividiendo la probabilidad de la intersección de A y B entre la probabilidad de B:
  39. 40. Ejemplo 1: Los resultados presentados por la encuestadora de la Sala de Internet, se presentan en la siguiente tabla: <ul><li>Hallar las probabilidades de elegir un estudiante de la sala de Internet que: </li></ul><ul><li>Use Internet para buscar información, en el supuesto de que sea hombre </li></ul><ul><li>Use Internet para Chat, en el supuesto que sea mujer. </li></ul>
  40. 41. a) Use Internet para buscar información, en el supuesto de que sea hombre
  41. 42. b) Use Internet para Chat, en el supuesto que sea mujer.
  42. 43. Solución: P (BI/H) = P (H) = 9/20 P (BI ∩ H) = 5/20 = 100/180 P (C/M) = P (M) = 11/20 P (C ∩ M) = 3/20 = 60/220
  43. 44. Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. Las características que debe cumplir una distribución de probabilidad para considerarse binomial, son: • El resultado de cada ensayo dentro del experimento se clasifica en dos categorías mutuamente excluyentes: éxito o fracaso. • La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos. • La probabilidad de éxito permanece igual para todos los ensayos. Lo mismo ocurre con la probabilidad de fracaso. • Los ensayos son independientes. La ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro . Distribución binomial
  44. 45. La expresión matemática de este tipo de distribución es la siguiente: Donde: C = denota una combinación n = es el número de ensayos x = es el número de éxitos p = es la probabilidad de cada ensayo &quot;PROBABILIDAD BINOMIAL&quot; P ( X ) = n C x p x (1 – p) n – x
  45. 46. Un ejemplo en el que se usa la distribución binomial es el siguiente: Cada día Aeroméxico tiene 5 vuelos México – Colima. Supón que para cada vuelo, la probabilidad de que este se retrase es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase? ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 vuelo se retrase? La probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase es de 0.3277 ó 33% P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x P ( 0 ) = 5C0 (0.20)0 (1 – 0.20) 5 – 0 P ( 0 ) = (1) (1) (0.3277) P ( 0 ) = 0.3277 b) La probabilidad de que exactamente un vuelo se retrase es de 0.4096 ó 41% P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x P ( 1 ) = 5C1 (0.20)1 (1 – 0.20) 5 – 1 P ( 1 ) = (5) (0.20) (0.4096) P ( 1 ) = 0.4096

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