Phytagoras Kelas 8 SMP/Mts

43,413 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
17 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
43,413
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
48
Actions
Shares
0
Downloads
1,652
Comments
0
Likes
17
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Phytagoras Kelas 8 SMP/Mts

  1. 1. DALIL PHYTAGORAS Sumber :Indonesia Heritage,2002 Pernahkah kalian memerhatikan para tukang kayu atau tukang bangunan? Dalam bekerja, mereka banyak memanfaatkan teorema Pythagoras. Coba perhatikan kerangka sebuah rumah yang dibuat dari kayu. Pada kerangka rumah tersebut sebagian besar rusuk tegak lurus terhadap rusuk yang lain. Sudut-sudut yang terbentuk pada rusuk yang saling tegak lurus tersebut merupakan sudut siku-siku. Sebelum mempelajari materi bab ini, kita harus menguasai materi mengenai segitiga, segiempat, sudut, dan bilangan kuadrat, serta akar kuadrat. Namun sebelumnya mari kita ingat kembali mengenai luas persegi dan luas segitiga siku-siku. 1 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  2. 2. PENGERTIAN DALIL PHYTAGORAS Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569–475 sebelum Masehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 900) adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisisisi yang lain. Sumber:www.stenudd.co m Dalam dalil Phytagoras melibatkan bilangan kuadrat dan akar kuadrat dalam sebuah segitiga. Oleh karena itu, sebelum membahas dalil Pythagoras, marilah kita mengingat kembali materi kuadrat bilangan, akar kuadrat bilangan, luas daerah persegi, dan luas daerah segitiga siku-siku. 2 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  3. 3. 1. KUADRAT DAN AKAR KUADRAT BILANGAN Untuk menentukan kuadrat dari suatu bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan dirinya sendiri. Perhatikan contoh berikut ini: Contoh : Tentukan kuadrat dari bilangan berikut! a. 8,3 b. 12 Penyelesaian: a. 8,32 = 8,3 × 8,3 = 68,89 b. 122 = 12 × 12 = 144 Kebalikan dari kuadarat suatu bilangan adalah akar kuadrat. Misalkan, bilangan p yang tak negatif diperoleh p2 = 16. Maka bilangan p dapat ditentukan dengan menarik menjadi p= . Bilangan p yang diinginkan adalah 4 karena 42 = 4 × 4 = 16. Bilangan p = 4 dinamakan akar kuadrat dari bilangan 16. Jadi, akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan tak negatif yang apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula. 3 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  4. 4. Contoh : Tentukan akar kuadrat dari bilangan . Penyelesaian: = 2. × = 13 LUAS DAERAH PERSEGI Luas persegi dapat ditentukan dengan cara mengalikan sisisisinya. Jika sisi sebuah persegi adalah s maka luasnya dapat dituliskan sebagai berikut. L = s × s = s2 Contoh : Tentukan luas persegi jika diketahui sisi-sisinya berukuran 21 cm ! Penyelesaian: L = s2 = 21 cm × 21 cm = 441 cm2 Jadi luas persegi adalah 441 cm2. 4 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  5. 5. 3. LUAS DAERAH SEGITIGA Kita tentu sudah mempelajari cara menghitung luas dan keliling segitiga. Pada bab ini kita akan mempelajari hubungan antara luas segitiga dengan luas persegi panjang. Perhatikan gambar persegi panjang PQRS berikut! Dari persegi panjang tersebut kita memperoleh dua buah segitiga, yaitu ∆PQR dan ∆PSR. Luas ∆PQR = luas daerah ∆PSR. Hal ini menunjukkan bahwa Luas ∆PQR = × luas PQRS = × panjang PQ× panjang QR = × alas × tinggi Jadi, luas segitiga dirumuskan: L= ×a×t dengana = alas segitiga, dan t = tinggi segitiga 5 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  6. 6. Contoh : Tentukan luas segitiga jika diketahui berukuran 12 cm dan tingginya 5 cm! alasnya Penyelesaian: L = = × alas × tinggi × 12 cm × 5 cm = 30 cm2 Jadi luas segitiga adalah 30 cm2. PEMBUKTIAN DALIL PHYTAGORAS Jika kita punya sebuah segitiga sikusiku dengan sisi a,b, dan c. Akan berlaku : a2 + b2 = c2 Dalam teorema yang dikemukakan oleh Pythagoras, sisi c atau sisi miring disebut dengan hipotenusa. 6 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  7. 7. Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi dari panjang sisi a + luasan persegi dari panjang sisi b = luasan panjang dari sisi c.Luasan ini akan kita gunakan untuk membuktikan rumus teorema Pythagoras, simak gambar dibawah ini. dengan melihat gambar sebelumnya maka : 7 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  8. 8. Banyak cara yang bisa digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema ini. Kita bisa praktek langsung dengan alat atau menggunakan coret-coretan di kertas. Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan menggunakan luasan segitiga dan luasan persegi. Jika kita punya segitiga siku-siku, cobalah menyusunnya membentuk kotak seperti di bawah ini. Luas Persegi Besar = Luas Persegi putih Kecil + Luas 4 Segitiga (a+b)2 = c2 + 2.a.b a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab = c2 a2 +b2 8 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  9. 9. MENGGUNAKAN DALIL PHYTAGORAS Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita dapat menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika diketahui dua sisi yang lainnya. Selain itu, dalil ini dapat digunakan juga untuk menentukan jenis segitiga dengan membandingkan kuadrat sisi miringnya dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. 1. MENGHITUNG PANJANG SALAH SATU SISI SEGITIGA SIKU-SIKU Pada sebuah segitiga siku-siku, jika dua buah sisinya diketahui maka salah satu sisinya dapat dicari dengan menggunakan dalil Pythagoras. Perhatikan contoh berikut ini! 9 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  10. 10. Contoh: Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang salah satu sisi siku-sikunya 9 cm, tentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya! Penyelesaian: BC2 = AB2 + AC2 AC2 = BC2 – AB2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144 AC = = 12 cm Jadi, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya (AC)=12 cm. 2. MENENTUKAN SUATU JENIS SEGITIGA JIKA DIKETAHUI PANJANG SISI-SISINYA Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya. Namun demikian, sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai kebalikan dari dalil Pythagoras. 10 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  11. 11. a. Kebalikan Dalil Phytagoras Pada bahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuadrat miring (hypothenusa) atau sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya. Dari pernyataan tersebut kita peroleh kebalikan dari dalil Pythagoras, yaitu:  Jika kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat b panjang kedua sisinya, maka segitiga tersebut merupakan segitiga sikusiku, atau  Jika pada suatu segitiga berlaku a2 = b2 + c2, maka segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan besar salah satu sudutnya 90o. 11 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  12. 12. Contoh : Suatu segitiga ABC mempunyai panjang AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm. Tentukan apakah segitiga tersebut termasuk segitiga siku-siku atau bukan! Penyelesaian: AB = 10, maka AB2 = 100 BC = 24, maka BC2 = 576 AC = 26, maka AC2 = 676 Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan bahwa 676 = 100 + 576. Sehingga AC2 = AB2 + BC2 Jadi segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku b. Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui Panjang Sisinya Misalkan sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah c dan panjang sisi yang lainnya adalah a dan b, maka berlaku hubungan sebagai berikut.  Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisisisi c2 =a2 + b2 lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. 12 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  13. 13.  Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisisisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul. c2>a2 + b2  Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisic2<a2 + b2 sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip. c. Triple Phytagoras Bilangan-bilangan 3, 4, dan 5 serta 6, 8, dan 10 merupakan bilangan -bilangan yang memenuhi Dalil Pythagoras, yaitu 52 = 32 + 42 dan 102 = 62 + 82. Bilangan-bilangan tersebut dapat dipandang sebagai panjang sisi sebuah segitiga siku-siku. Bilangan-bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras seperti itu disebut tripel Pythagoras. Jadi, tripel Pythagoras adalah bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat bilangan yang lainnya. Contoh : Tentukan apakah bilangan {8, 10, 13}berikut termasuk tripel Pythagoras atau bukan! Penyelesaian: ⇔ ⇔ ⇔ 132 82 + 102 132 = 169 = 64 + 100 = 164 ≠ 82 + 102 Jadi, {8, 10, 13} bukan bilangan tripel Pythagoras. 13 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  14. 14. 3. MENGHITUNG PERBANDINGAN SISI-SISI SEGITIGA KHUSUS Segitiga siku-siku merupakan segitiga yang salah satu sudutnya membentuk sudut 90o. Bagaimana menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga yang memiliki ciri khusus seperti segitiga sikusiku, sama kaki, dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30o? Perhatikan penjelasan berikut ini! a) Segitiga siku-siku sama kaki Segitiga siku-siku sama kaki diperoleh dengan cara membagi sebuah persegi melalui diagonalnya menjadi dua bagian. Perhatikan persegi ABCD yang panjang sisinya a seperti pada gambar di samping! Jika bangun persegi tersebut dibagi dua melalui diagonal BD, maka akan diperoleh dua buah segitiga siku-siku sama kaki yaitu ΔBAD dan Ʀ BCD. Besar sudut ABD adalah 45o. 14 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  15. 15. Dengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat menentukan panjang sisi BD yang belum diketahui. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut. BD2 = AB2 + AD2 ⇔ BD2 = a2 + a2 ⇔ BD2 = 2a2 ⇔ BD = =a Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisisisi segitiga siku-siku BAD sebagai berikut.  AB : BD = a : a = 1:  AD : BD = a : a = 1:  AB : AD = a : a = 1 : 1  AB : AD : BD = a : a : a 15 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA =1:1:
  16. 16. Contoh: Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang sisi AC 6√2 cm. Jika ∠BAC = 45o, tentukan panjang sisi AB dan BC! Penyelesaian: AB :AC = 1 : ⇔ ⇔ AB = 6 × 1= 6 BC :AB = 1 : 1 maka BC = AB = 6 cm Jadi, panjang AB = BC = 6 cm. b) Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 300 Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya memb entuk sudut 30o diperoleh dengan cara membagi sebuah segitiga sama sisi menjadi dua bagian. Jika kita membagi dua segitiga sama sisi di samping menjadi dua bagian yang sama besar maka akan diperoleh segitiga BDC siku-siku di D dan segitiga ADC siku-siku di D. Besar ∠DBC = 60o karena segitiga ABC adalah segitiga sama sisi. Besar ∠BCD = 30o. 16 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  17. 17. Dengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat menentukan panjang sisi CD yang belum diketahui. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut. BC2 = BD2 + CD2 ⇔ CD2 = BC2 – BD2 ⇔ CD2 = (2a)2 – a2 ⇔ CD2 = 4a2 – a2 ⇔ CD2 = 3a2 ⇔ CD= ⇔ CD= a Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku BDC sebagai berikut. • BD : BC = a : 2a =1: 2 • CD : BC =a = • BD : CD : 2a :2 =a:a =1: • BD : CD : BC = a : a =1: : 2a :2 17 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  18. 18. Contoh Diketahui segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang sisi AB 4 cm. Jika ∠BCA = 30o, tentukan panjang sisi BC dan AC! Penyelesaian: AB : BC = 1 : 2 ⇔ ⇔ BC= 4 × 2 = 8 AB : AC = 1 : ⇔ ⇔ AC = 4 Jadi, panjang sisi BC = 8 cm dan AC= 4 18 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA cm.
  19. 19. 4. MENENTUKAN PANJANG DIAGONAL SISI DAN DIAGONAL RUANG KUBUS Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk mencari panjang diagonal sisi atau diagonal ruang kubus dan balok. Hal ini dikarenakan diagonal sisi dan diagonal ruang merupakan sisi miring bagi sisi bidangnya. Pada kubus ABCD.EFGH rusuk EB merupakan salah satu diagonal sisi pada kubus dan rusuk HB merupakan salah satu diagonal ruangnya. Jika panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a satuan panjang maka kita dapat menentukan panjang rusuk EB dan HB. Untuk menentukan panjang diagonal sisi EB, perhatikan segitiga siku-siku ABE pada kubus ABCD. EFGH. Berdasarkan dalil Pythagorasdiperoleh hubungan sebagai berikut. EB2 = AB2 + AE2 ⇔ EB2 = a2 + a2 ⇔ EB2 = 2 a2 ⇔ EB = =a Jadi, panjang diagonal sisi sebuah kubus yang panjang sisinya a adalah a . 19 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  20. 20. Untuk menentukan panjang diagonal ruang HB, perhatikan segitiga BDH yang siku-siku di D. Karena rusuk BD merupakan diagonal sisi kubus ABCD.EFGH, maka panjangnya adalah a .Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh hubungan berikut. HB2= DB2 + DH2 ⇔ HB2 = (a )2 + a 2 ⇔ HB2 = 2a2 + a2 ⇔ HB2 = 3a2 ⇔ HB = =a Jadi, panjang diagonal ruang sebuah kubus yang panjang sisinya a satuan adalah a 20 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  21. 21. APLIKASI DALIL PHYTAGORAS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Pada bagian sebelumnya kita telah mempelajari bagaimana menggunakan dalil Pythagoras untuk menentukan jenis segitiga dan panjang diagonal ruang serta diagonal sisi sebuah kubus. Setelah itu, kita gunakan dalil Pythagoras untuk menyelesaikan permasalahan di kehidupan sehari-hari. Di bawah ini adalah beberapa aplikasi yang menggunakan teorema pythagoras dalam kehidupan sehari-hari.  Lapangan Baseball Pada sebuah lapangan baseball, terdapat tiga buah base dan sebuah home plate. Jarak antara tiap base dan home plate adalah 90 feet ( setara dengan 27.432 m) dan membentuk sudut siku-siku. Menggunakan teorema pythagoras, kita dapat memecahkan persoalan berikut; "Berapa jauh orang pada base ke dua untuk membuat pelari lawan keluar sebelum dia memasuki home plate?". 21 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  22. 22. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika c adalah jarak dari base 2 ke home plate maka, Jadi orang pada base 2 harus melempar sejauh 127 feet.  Tinggi Sebuah Gedung Tangga adalah salah satu peralatan penting bagi ornag-orang yang bekerja di dunia konstruksi. Orang-orang di dunia konstruksi ini menggunakan aplikasi teorema pythagoras untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam dunia kerja mereka. Contoh : Tinggi sebuah jendela lantai 2 pada sebuah gedung kira-kira 8 meter. Di depan gedung tersebut ada sebuah taman dengan lebar 6 m. Berapa panjang tangga minimum yang dibutuhkan agar kaki-kaki tangga tidak merusak taman tersebut? Perhatikan sketsa di bawah ini. Jika panjang sebagai x tangga dianggap 22 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  23. 23. maka: Maka panjang tangga minimum adalah 10 m. 23 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  24. 24. LATIHAN SOAL 1) Dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentukan nilai x pada segitiga siku-siku berikut! a. b. 2) Tentukan jenis segitiga yang memiliki ukuran sebagai berikut. a. 3 cm, 4 cm, 5 cm b. 5 cm, 12 cm, 13 cm c. 10 cm, 12 cm, 16 cm 3) Sebidang tanah memiliki bentuk persegi dengan panjang sisi 8 meter. Tentukan: a. Luas Tanah, b. Keliling Tanah, c. Panjang Diagonal Tanah. 24 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  25. 25. 4) Perhatikan segitiga siku-siku ABC pada gambar berikut. Agar memenuhi teorema Pythagoras, tentukan: a. nilai x, b. panjangAB. c. panjangBC. 5) Sebuah televisi memiliki lebar layar 15 cm dan tinggi layar 8 cm. Tentukanlah : a. panjang diagonal layar televisi tersebut, b. keliling layar televisi tersebut, c. luas layar televisi tersebut. 25 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  26. 26. DAFTAR PUSTAKA Wahyuni, Tri dan Dewi Nuharini. 2008. Metematika Konsep dan Aplikasinya Untuk Kelas VII SMP dan MTs. Jakarta : Depdiknas Nugroho, Heru. 2009. Matematika SMP dan MTs Kelas VIII. Jakarta : Depdiknas Avianti, Nuniek. 2007. Mudah Belajar Matematika Untuk Kelas VIII SMP/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta : Depdiknas Bigelow, Paul and Graema Stone. 1996. New Couse Mathematics Year 9 Advanced. Victoria: Macmillan Education Australia PTY LTD. Bin, Oh Teik. 2003. The Essential Guide to Science and Mathematics in English. Selangor: Shinano Publishing House. Farlow, Stanley J. 1994. Finite Mathematics and its Application.Singapore: McGraw-Hill Book Co. Negoro.ST dan B. Harahap.1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Nightingale, Paul. 2001. Vic Maths 6. Australia: Nightingale Press. 26 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  27. 27. PETUNJUK PENGGUNAAN QUIZ MAKER Berikut ini adalah langkah-langkah penggunaan quiz maker kelompok Pangkat dan akar: 1. Langkah yang pertama adalah buku Quiz Maker dengan password “L245G”. Judul dari Quiz Maker ini adalah Konsep Phytagoras dan Aplikasinya Dalam Kehidupan Sehari-Hari. 2. Langkah kedua silahkan klik Continue atau Start yang berada di bagian tengah bawah. Pada Quiz Maker ini terdapat 22 soal yang berisikan beberapa jenis pernyataan diantaranya : a. True/False. b. Multiple Coice. c. Matching. d. Short Essay. 3. Langkah yang ketiga silahkan Anda menjawab soal-soal yang telah disediakan dengan jawaban yang menurut Anda benar. Waktu yang tersedia untuk semua soal adalah 90 menit dengan passing rate 80 dan full score 220. Format Quiz ini adalah Anda harus menjawab semua soal terlebih dahulu baru Anda dapat mengetahui apakah jawaban Anda benar atau salah beserta penjelasannya. 4. Langkah keempat jika sudah menjawab soal Anda dapat mengklik Submit yang berada di sebelah kiri bawah untuk memastikan jawaban yang Anda pilih benar atau salah. 27 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
  28. 28. 5. Langkah kelima jika Anda ingin mengetahui jawaban benar dan pemabahasan dari setiap soal silahkan Anda mengklik Review setelah itu klik Feedback. 6. Langkah ketujuh setelah selesai silakan Anda mengklik Close. Terimakasih Anda sudah berkunjung di Quiz Maker Konsep Phytagoras dan Aplikasinya Dalam Kehidupan Sehari-Hari. 28 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

×