Capítulo 6
Números Complejos
Introducción
El matemático Diofanto (275 d. C.) construyó un triángulo con una cuerda
en la q...
En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que
era útil que los números negativos tuviesen raíc...
Capítulo 6
Números Complejos
Definición 6.1 (Números complejos)
Al conjunto de pares ordenados:

= {z = (x, y) /x ∈ ∧ y ∈ ...
Ejemplo 6.1 Potencias de i.
Calcule el valor de las siguientes expresiones:

i 21, i 62, i 91, i 96.

Solución:

i 21 =
i ...
Capítulo 6
Números Complejos
Ejemplo 6.4 Expresiones algebraicas con números complejos.

Encuentre la forma rectangular de...
Dos números complejos z1 y z2 son iguales si y sólo si sus partes reales e
imaginarias coinciden, respectivamente.

Ejempl...
Capítulo 6
Números Complejos
▪	

Suma entre números complejos
La suma entre dos números complejos z1 y z2 es otro número c...
Ejemplo 6.8 Demostración de propiedades de Números Complejos.
Demuestre que:

α (β z) = (α β) z, ∀ z ∈ , ∀α, β ∈ .

Soluci...
Capítulo 6
Números Complejos
1.
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z + z = 2x
z - z = 2yi
z z = x2 + y2
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z z z x2 + y2

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Ejemplo 6.11 Operaciones entre números complejos.
Sean

z1 = (1, -1) y z2 = (-3, 4), realice:

a)	2z1 + 3z2
b)	z2 - z1
c)	...
Capítulo 6
Números Complejos
6.3 Representación geométrica
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
*	 Dado un...
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Módulo y argumento de un número complejo
El módulo o valor absoluto de un número complejo x + yi es la longitud r del
...
Capítulo 6
Números Complejos
De acuerdo a lo que se estudió en la sección anterior, el número complejo
z = x + yi, expresa...
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Multiplicación entre números complejos
Sean los números complejos z1 y z2, su producto puede ser encontrado de
la sigu...
Capítulo 6
Números Complejos
Ejemplo 6.14 Módulo de Números Complejos.
Sean los números complejos z1
i z1
del número e z2 ...
b)

z1
z2
Aplicando la definición de la
división.

z1 r1eiθ1
z2 = r2eiθ2
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2
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√2...
Capítulo 6
Números Complejos
Ejemplo 6.17 Potenciación de números complejos.

Dado el número complejo

z = 1 + i √3 , calc...
Ejemplo 6.18 Potenciación de números complejos.
Calcule el valor de la siguiente expresión:

(1 + i)100i.

Solución:
Obten...
Capítulo 6
Números Complejos
Desarrollando el primer miembro de esta igualdad:

[cos(θ) + i sen(θ)]2 = cos2(θ) + 2i cos(θ)...
Expresando en forma rectangular el
número complejo.

z = -1 + 0i
r = √1 + 0 = 1
tan (θ) = 0 → θ = �
-1
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Expresánd...
Capítulo 6
Números Complejos
Comprobación:
Si graficamos las cuatro raíces obtenidas en el plano complejo, se
comprueba qu...
Luego:

z = (2√3)3 - 3(2√3)2 (2i) + 3(2√3)(2i)2 - (2i)3
= (8)(3) √3 - (3)(4)(3)(2i) + (3)(2)(√3)(4)i2 - 8i3
= 24 √3 - 72i ...
Capítulo 6
Números Complejos
Comprobación:
Si graficamos las tres raíces obtenidas en el plano complejo, se
verifica que l...
Ejemplo 6.22 Aplicación de números complejos.
Bosqueje las gráficas de las funciones hiperbólicas:
Solución: 
a)

f (x) = ...
Capítulo 6
Números Complejos
Las funciones hiperbólicas se relacionan con las funciones trigonométricas
mediante las sigui...
Por lo tanto, los ceros de

f son:
2, 4 + i, 4 - i

Note que si z es una raíz de la ecuación polinómica
z también lo es.
C...
Capítulo 6
Números Complejos
Con la identidad hiperbólica

e iθ - e -iθ
2i
iθ - e -iθ - 2zi
e
=0
e2 iθ - 2zieiθ - 1 = 0

s...
Ejemplo 6.25 Aplicación de números complejos.
Si

z = ln (1 + i), determine Re(z) e Im(z) .

Solución:
Representando el nú...
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  1. 1. Capítulo 6 Números Complejos Introducción El matemático Diofanto (275 d. C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos equidistantes. Las longitudes de los lados medían 3, 4 y 5 unidades. El triángulo es rectángulo porque cumple el teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52. Al ser un triángulo rectángulo, es fácil comprobar que el área de la superficie es 6 unidades cuadradas. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo, de forma que su área fuese 7 unidades cuadradas. Su planteamiento fue el siguiente: ▪ Un cateto mediría x. ▪ Como el área de la superficie del triángulo debería ser 7 unidades cuadradas, el otro cateto mediría 14 . x 2 ▪ La hipotenusa h debería cumplir el teorema de Pitágoras: x2 + 14 = h2 . x ▪ Por otra parte, la suma de las longitudes de sus lados debería ser 12 unidades: x + 14 + h = 12. x 2 ▪ Por lo tanto, se debería cumplir la ecuación: x2 + 196 = 12 - x - 14 . 2 x x 2 De donde se llega a la siguiente ecuación cuadrática: 6x - 43x + 84 = 0. Cuya solución, Diofanto expresó como: 43 ± √167 √-1 . 12 Pero no conocía número alguno que elevado al cuadrado fuese igual a por tanto, el problema no tenía solución. -1; Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. Descartes, en 1637, puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son números de la forma a+ bi, con a y b reales. pág. 555
  2. 2. En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas. A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos, comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como: (5 + √-15) (5 - √-15) En 1777, Euler simbolizó la raíz cuadrada de con la letra i (por imaginario). -1 Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción Gauss, adecuada de las señales periódicas de corriente o matemático, astrónomo de voltaje. El campo complejo es igualmente y físico alemán. (1777-1855) importante en mecánica cuántica, en la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. 6.1 Números Complejos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dado un número complejo, expresarlo como par ordenado o en forma rectangular empleando la constante imaginaria i. * Calcular potencias de la unidad imaginaria i. * Simplificar expresiones complejas empleando potencias de propiedades algebraicas de los números reales. i y * Dado un número complejo, determinar su conjugado. * Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos. Se puede considerar que los números complejos son de la forma x + iy, donde i = √-1, lo cual puede interpretarse diciendo que x + iy es un polinomio de variable imaginaria y coeficientes reales, con la particularidad de que i 2 = -1. Para resaltar que x, yi tienen naturaleza diferente, usaremos la siguiente definición para los números complejos. pág. 556
  3. 3. Capítulo 6 Números Complejos Definición 6.1 (Números complejos) Al conjunto de pares ordenados: = {z = (x, y) /x ∈ ∧ y ∈ } tal que: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); y, (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1) se denomina conjunto de números complejos. Un número complejo puede representarse en forma de par ordenado z = (x, y) o en forma rectangular también llamada estándar z = x + yi . En esta última expresión, x representa la parte real, y la parte imaginaria y al valor i = √-1 se lo denomina unidad imaginaria. De esta forma, el número complejo como z = -1 + 4i. El número complejo número real puro. z = (-1, 4) también puede escribirse x + 0i generalmente se escribe como x y constituye un El número complejo 0 + yi generalmente se escribe como número imaginario puro. yi y constituye un También se suele denominar a la parte real del número complejo simplemente como Re y a la parte imaginaria como Im. Re (z) = x Im (z) = y El conjugado de un número complejo z, se obtiene cambiando el signo a la parte imaginaria de dicho número. Se lo denota por z. De aquí, si z = 2 - 6i, su conjugado es z = 2 + 6i. Para efectos de operaciones, es muy útil conocer como se comportan las potencias de la unidad imaginaria i . Al elevar i a las potencias enteras 1, 2, 3, 4, se obtiene: i1 = i i 2 = -1 i 3 = -i i4 = 1 Este comportamiento es cíclico, es decir, se repite cada cuatro potencias enteras. De aquí que i 5, i 6, i 7 e i 8 tendrán estos mismos valores, respectivamente. Como se analizará más adelante, i 0 es 1. pág. 557
  4. 4. Ejemplo 6.1 Potencias de i. Calcule el valor de las siguientes expresiones: i 21, i 62, i 91, i 96. Solución: i 21 = i 62 = i 91 = i 96 = i 20i 1 = (i 4) 5i = i i 60i 2 = (i 4) 15(-1) = -1 i 88i 3 = (i 4) 22i 3 = -i (i 4) 24 = 1 Una forma práctica de deducir el valor de la potencia i n, con n > 4 , es dividiendo n para 4 y trabajar con el residuo de esta división. El lector puede verificar que esta regla se cumple para todos los números del ejemplo 6.1. Ejemplo 6.2 Potencias de i. Determine el valor de la expresión: Solución: (2 - i)2 . 3 - 4i (2 - i)2 4 - 4i + (i)2 4 - 4i - 1 3 - 4i = = = 3 - 4i 3 - 4i 3 - 4i 3 - 4i (2 - i)2 =1 3 - 4i Ejemplo 6.3 Potencias de i. Determine el valor de la expresión: i + i 2 + i 3 + ... + i 10. Solución: a = i, r = i y n = 10. i ( i 10 - 1) La suma de sus términos viene dada por: P10 = i- 1 i ( i 2 - 1) 2 P10 = = i ( i + 1) = i + i = - 1 + i i- 1 Se trata de una progresión geométrica con Otra manera de resolver este mismo problema sería: i + i2 + i3 + i4 = 0 i5 + i6 + i7 + i8 = 0 Es decir, los 8 primeros términos se anulan entre sí por la periodicidad anotada de las potencias de i. Por lo tanto: i + i 2 + i 3 + ... + i 10 = i 9 + i 10 = i + i 2 = -1 + i pág. 558
  5. 5. Capítulo 6 Números Complejos Ejemplo 6.4 Expresiones algebraicas con números complejos. Encuentre la forma rectangular del número complejo z =1 - i 1+ 1- i . i 1+i Solución: z =1 - =1 - =1 - i 1+ 1- i i 1+i i 1+ i 1+i-i 1+i i 1+ i 1 1+i i = 1 - 1 + i (1+ i) = 1 + i (1+ i) - i 1 + i (1+ i) = 1 + i + i2 - i 1 + i + i2 z=0 Debido a que el resultado de la simplificación es el número complejo 0, su forma rectangular sería: z = 0 + 0i. pág. 559
  6. 6. Dos números complejos z1 y z2 son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias coinciden, respectivamente. Ejemplo 6.5 Igualdad entre números complejos. Sean z1 = (1, 2) y z2 = (a + b, a - b); para que z1 = z2 debe cumplirse que: a+b=1 a-b=2 el cual constituye un S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas. Al resolver el sistema se obtiene que a el número complejo z2 es igual a z1. = 3 y b = - 1 ; con estos valores 2 2 Ejemplo 6.6 Igualdad entre números complejos. Determine α ∈ y β∈ para que se cumpla la siguiente igualdad: 2α - 3 + α i = α + β - 2β i - i - 1 Solución: (2α - 3) + α i = (α + β - 1 ) - (2β + 1)i Con lo cual se puede construir el S.E.L.: 2α - 3 = α + β - 1 α = - 2β - 1 ⇒ α-β = 2 α + 2β = - 1 Al resolver el S.E.L., se obtiene que α = 1 y β = - 1 y se puede comprobar que con estos valores se cumple la igualdad planteada. 6.2 Operaciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dados dos o más números complejos, realizar y verificar propiedades de las operaciones de suma, producto y división entre ellos. * Demostrar propiedades de las operaciones entre números complejos. * Aplicar las propiedades de la suma y producto para realizar operaciones con números complejos. pág. 560
  7. 7. Capítulo 6 Números Complejos ▪ Suma entre números complejos La suma entre dos números complejos z1 y z2 es otro número complejo, cuya parte real es la suma de las partes reales de ambos; y, cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los referidos números. Esta operación se puede representar así: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) La suma de números complejos propiedades: z1, z2, z3 cumple con las siguientes ∀z1, z2 ∈ [z1 + z2 = z2 + z1] ∀z1, z2, z3 ∈ [z1 + (z2 + z3)] = [(z1 + z2) + z3] ∃ (0, 0) ∈ ∀ (x, y) ∈ [(x, y) + (0, 0) = (0, 0) + (x, y) = (x, y)] ∀ (x, y) ∈ ∃ (x*, y*) ∈ [(x, y) + (x*, y*) = (0, 0)] Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento inverso aditivo Cuadro 6.1: Propiedades de la Suma entre Números Complejos. La resta de números complejos se realiza como la suma algebraica del minuendo más el inverso aditivo del sustraendo. Ejemplo 6.7 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, ∀z1, z2, z3 ∈ . Solución: z1 + (z2 + z3) = (x1 , y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1 , y1) + (x2 + x3 , y2 + y3) = [x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)] = [(x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3] = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3 , y3) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 ▪ Definición de números complejos. Suma de complejos z2 y z3. Suma de complejos z1 y (z2 + z3). Ley asociativa de números reales. Suma de complejos (z1 + z2) y z3. Multiplicación de un número complejo por un valor real Sean α ∈ y z ∈ , esta operación se define como: α z = α (x, y) = (αx, αy) Sean α, β ∈ y z, z1, z2 ∈ , entonces se cumple que: 1. 2. 3. αz= zα α (β z) = (α β) z 0 (z) = (0, 0) 4. (α + β) z = αz + βz 5. α(z1 + z2) = αz1 + αz2 Cuadro 6.2: Propiedades de la Multiplicación de un Número Complejo por un Escalar. pág. 561
  8. 8. Ejemplo 6.8 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: α (β z) = (α β) z, ∀ z ∈ , ∀α, β ∈ . Solución: z = (x, y) Definición de un número complejo. Definición(β x, (NúmerosProducto de un número complejo por un valor real β. complejos) β z = 6.1 β y) α (β z) = (α β x, α β y) = (α β) (x, y) α (β z) = (α β)z ▪ (βz) por un valor real α. Producto de un complejo z por un valor real (αβ). Producto de un complejo Multiplicación entre números complejos Sean z1= (x1, y1) y z2= (x2, y2). El producto entre z1 y z2 está dado por: z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1) Esta operación para los números complejos z1, z2, z3 cumple con las siguientes propiedades: z1 z2 = z2 z1 z1(z2 z3) = (z1 z2) z3 Conmutativa ∃(1, 0) ∈ ∀ (x, y) ∈ [(x, y)(1, 0) = (1, 0) (x, y) = (x, y)] Elemento neutro multiplicativo ∀(x, y) ∈ - {(0, 0)} ∃(x*, y*) ∈ [(x, y) (x*, y*) = (1, 0)] Elemento inverso multiplicativo Asociativa Cuadro 6.3: Propiedades de la Multiplicación entre Números Complejos. En la última propiedad, el elemento inverso multiplicativo es: x x2 + y2 ,- y x2 + y2 Ejemplo 6.9 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: z1 z2 = z2 z1, ∀z1, z2 ∈ . Solución: z1 z2 = (x1 , y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1) = (x2x1 - y2y1 , y2x1 + y1x2) = (x2 , y2) (x1 , y1) z1 z2 = z2 z1 Definición de números complejos. Definición de producto entre números complejos. Propiedad conmutativa del producto de números reales. Definición de producto entre números complejos. Resulta de mucha utilidad saber cómo se comportan estas operaciones sobre los números complejos y sus respectivos conjugados. Así, si z = x + yi, se tienen las siguientes propiedades: pág. 562
  9. 9. Capítulo 6 Números Complejos 1. 2. 3. 4. z + z = 2x z - z = 2yi z z = x2 + y2 1 = 1z = z z z z x2 + y2 5. 6. 7. (z) = z z1 + z2 = z1 + z2 z1 z2 = z1 z2 Cuadro 6.4: Propiedades del Conjugado de Números Complejos. La propiedad 4 se emplea para el elemento inverso multiplicativo de z. Ejemplo 6.10 Demostración de propiedades de Números Complejos. Demuestre que: z1 + z2 = z1 + z2, ∀z1, z2 ∈ . Solución: z1 + z2 = (x1, y1) + ( x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2) = (x1 + x2 , - (y1 + y2)) = (x1 + x2 , - y1 - y2) = (x1 , - y1) + (x2 , -y2) z1 + z2 = z1 + z2 ▪ Definición de números complejos. Definición de suma de números complejos. Definición del conjugado de un número complejo. Destrucción del signo de agrupación. Definición de suma de números complejos. Definición del conjugado de un número complejo. División entre números complejos Para hallar el cociente entre dos números complejos, con denominador no nulo, se debe multiplicar y dividir por el correspondiente complejo conjugado del denominador de la fracción, a fin de expresar como un número real el denominador de dicha fracción. z1 z1 z2 z z2 = z2 z2 ; 2 ≠ (0, 0) pág. 563
  10. 10. Ejemplo 6.11 Operaciones entre números complejos. Sean z1 = (1, -1) y z2 = (-3, 4), realice: a) 2z1 + 3z2 b) z2 - z1 c) z1 z2 d) z1 z2 Solución: a) 2z1 + 3z2 = 2(1, -1) + 3(-3, 4) = (2, -2) + (-9, 12) = (-7, 10) b) z2 - z1 = (-3, c) z1 z2 = d) 4) - (1, -1) = (-3, -4) - (1, -1) = (-4, -3) (1, -1) (-3, 4) = (-3 + 4, 4 + 3) = (1, 7) z1 1-i 1-i -3 - 4i (-3 - 4) + (-4 + 3)i = = = -3 + 4i -3 + 4i -3 - 4i (-3)2 - (4i)2 z2 z1 -7 - i - 7 - 1 i z2 = 9 + 16 = 25 25 Ejemplo 6.12 Expresiones algebraicas. Determine el valor de la expresión: 3 - 2i 3 + 2i . + 3 + 2i 3 - 2i Solución: Se podría definir el número Su conjugado sería z = (3, - 2). z = (3, 2). La expresión original se convierte en: Pero: z z z2 + z 2 . + = zz z z z2 = ((3) (3) - (-2) (-2), (3) (-2) + (-2) (3)) = (9 - 4, -6 -6) = (5, -12) z 2 = (5, 12) z z = 32 + 22 = 13 z z (5, - 12) + (5, 12) 10 + = = 13 13 z z pág. 564
  11. 11. Capítulo 6 Números Complejos 6.3 Representación geométrica Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dado un número complejo, expresarlo en notación polar. * Dado un número complejo, representarlo gráficamente en el plano complejo, identificando su módulo y su argumento. * Demostrar propiedades del módulo y el argumento respecto a las operaciones entre números complejos. * Aplicar las propiedades del módulo y el argumento para realizar operaciones con números complejos. Todo número complejo puede ser considerado como un par ordenado (x, y); x ∈ , y ∈ ; así mismo, todo punto en el plano se puede representar mediante pares ordenados, de aquí podemos representar los números complejos mediante puntos en el plano. Por convención, el eje horizontal del plano se emplea para representar la componente real del número complejo, y el eje vertical se emplea para representar la componente imaginaria. Al unir el punto que representa al número complejo con el origen de coordenadas, se forma un segmento cuya longitud se denomina r. Este segmento forma con el eje horizontal positivo un ángulo θ, denominado argumento. El plano usado para esta representación se conoce como plano complejo. Eje Imaginario P(x,y) r 0 θ Eje Real Puesto que los pares ordenados de la forma (x, 0) siempre se encuentran en el eje horizontal, éste se denomina eje real. De manera análoga, los que tienen la forma (0, y) se encuentran sobre el eje vertical, al cual se denomina eje imaginario. Por geometría de triángulos rectángulos, se puede observar además que: x = r cos (θ) y = r sen (θ) pág. 565
  12. 12. ▪ Módulo y argumento de un número complejo El módulo o valor absoluto de un número complejo x + yi es la longitud r del segmento dirigido desde el origen de coordenadas hasta el punto P(x, y) en el plano complejo. r = |z| = |x + yi| = √x2 + y2 = √z z La medida del ángulo θ = arg(z). Además: tan(θ0) = θ se denomina argumento de z y se denota por y , 0 ≤ θ0 ≤ 2�, x ≠ 0, donde los signos de x, y determinan el x cuadrante de θ ; y, 0 θ = θ0 + 2k�, k ∈ , donde θ0 es el argumento fundamental. El módulo de los números complejos z, propiedades: z1, z2 cumple con las siguientes 1. |z| = |z| 2. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 3. |z1 z2| = |z1 z2| 4. zz = |z|2 5. |z1| |z2| = |z1 z2| 6. |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| Cuadro 6.5: Propiedades del Módulo de Números Complejos. El argumento de los números complejos propiedades: z1, z2 cumplen con las siguientes 1. arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) 2. z arg z1 = arg(z1) - arg(z2) ; z2 ≠ (0, 0) 2 Cuadro 6.6: Propiedades del Argumento de los Números Complejos. 6.4 Notación de Euler Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dado un número complejo, expresarlo en notación de Euler. * Dados dos o más números complejos, realizar operaciones de multiplicación, división y potenciación empleando la identidad de Euler. * Dado un número complejo, hallar sus geométrica entre ellas. pág. 566 n raíces y explicar la relación
  13. 13. Capítulo 6 Números Complejos De acuerdo a lo que se estudió en la sección anterior, el número complejo z = x + yi, expresado en forma rectangular, también puede ser expresado como sigue: z = r cos (θ) + i r sen (θ) z = r (cos (θ) + i sen (θ)) Para simplificar la notación de esta representación se usa la fórmula o identidad de Euler: eiθ = cos (θ) + i sen (θ) la cual puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unitario en el plano complejo, dibujada por la función eiθ al variar θ sobre los números reales. Así, θ es la medida del ángulo en posición estándar de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia de radio unitario. La fórmula sólo es válida si el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes. Con lo cual, el número complejo z en forma polar puede ser expresado como: z = reiθ = |z| eiθ De hecho, Euler, en un manuscrito fechado en 1777, el cual no se publicó hasta 1794, le aseguró un puesto definitivo en la historia de las notaciones matemáticas a los tres símbolos e, i y π, de los que Euler fue en gran medida responsable, y, que se relacionan con los dos enteros más importantes 0 y 1, por medio de la famosa igualdad: eiπ + 1 = 0 en la que figuran los cinco números más importantes con Leonard Euler, las más relevantes operaciones y la más trascendente matemático suizo relación de toda la matemática. Lo equivalente a esta (1707-1783) igualdad, en forma generalizada, aparece en el más famoso de todos los textos de Euler, “Introductio in analysin infinitorum”, publicado en 1748. Pero el nombre de Euler no aparece hoy asociado a ninguno de los símbolos que intervienen en esta relación, sino a la llamada “constante de Euler”, la que recibe este honor y se la considera una sexta constante matemática importante. Es decir, el número complejo z puede definirse en función de su módulo, su argumento y del número irracional e, lo cual permite obtener reglas para calcular productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos. pág. 567
  14. 14. ▪ Multiplicación entre números complejos Sean los números complejos z1 y z2, su producto puede ser encontrado de la siguiente manera: z1 = r1eiθ1 ∧ z2 = r2eiθ2 z1 z2 = (r1eiθ1) (r2eiθ2) = r1r2ei(θ1 + θ2) z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)] ▪ División entre números complejos Sean los números complejos z1 y z2, su cociente puede ser encontrado de la siguiente manera: z1 = r1eiθ1 ∧ z2 = r2eiθ2 ; r2 ≠ 0 z1 r1eiθ1 = z2 r2eiθ2 r = 1 ei(θ1 - θ2) r2 z1 r = 1 [cos(θ1 - θ2) + i sen(θ1 - θ2)] z2 r2 ▪ Potenciación de números complejos Si n es un entero positivo, aplicando multiplicaciones sucesivas se tiene: zn = zz...z (n factores). Aunque también se puede utilizar la identidad de Euler: zn = (reiθ)n zn = rneinθ Ejemplo 6.13 Demostración de propiedades de argumentos de Números Complejos. Demuestre que: arg (z1 z2) = arg (z1) + arg (z2), ∀z1, z2 ∈ . Solución: Expresamos z1 y z2 en forma polar: z1 = r1eiθ1 ⇒ |z1| = r1 ∧ arg (z1) = θ1 z2 = r2eiθ2 ⇒ |z2| = r2 ∧ arg (z2) = θ2 Realizando el producto z1 z2, tenemos: z1 z2 = r1r2 ei(θ1 + θ2) Luego: arg(z1 z2) = θ1 + θ2 arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2) pág. 568
  15. 15. Capítulo 6 Números Complejos Ejemplo 6.14 Módulo de Números Complejos. Sean los números complejos z1 i z1 del número e z2 . Solución: z Realizamos la división 1 , así: z1 (1 - 3i) (2 - i) = (2 + i) (2 - i) z2 2 + 3i2 - i - 6i = 4 - i2 - 1 - 7i = 5 1 7 i z1 - z2 = 5 5 = 1 - 3i y z2 = 2 + i, determine el módulo z2 Luego reemplazamos este cociente en el número dado: z i 1 1 7 e z2 = ei(- 5 - 5i) 1 7 2 = e- 5i e- 5i i z1 7 - 1i e z2 = e 5 e 5 Dado que todo complejo z se puede representar en forma polar como 7 z = r eiθ, podemos concluir que: r = e 5, donde r es el módulo del número complejo dado. Ejemplo 6.15 Multiplicación y división de complejos. Dados los números z1 = i y z2 = a) z1 z2 b) 1 + i, realice las siguientes operaciones: z1 z2 Solución: a) z1 z2 z1 = 0 + i, z2 = 1 + i r1 = √0 + 1 = 1, r2 = √1 + 1 = √2 tan(θ1) = 1 → θ1= � ∧ tan(θ2) = 1 → θ2= � 0 2 1 4 z1 z2 = r1r2ei(θ1 + θ2) � � = (1) (√2) ei( 2 + 4 ) 3� = √2 ei( 4 ) 3� 3� = √2 [cos 4 + i sen 4 ] 2 2 = √2 (- √2 + √2 i) z1 z2 = -1 + i Obteniendo los módulos de cada número complejo. Obteniendo los argumentos de cada número complejo. Definición del producto entre números complejos. Producto en forma polar. Expresando el producto en forma rectangular. Simplificando el producto. pág. 569
  16. 16. b) z1 z2 Aplicando la definición de la división. z1 r1eiθ1 z2 = r2eiθ2 � = ei( 2 ) � √2ei( 4 ) = 1 ei( � - �) 2 4 √2 = 1 ei( �) 4 √2 = 1 [cos √2 = 1 √2 Cociente en forma polar. � 4 + i sen � 4 ] Expresando el cociente en forma rectangular. √2 + i √2 2 2 z1 1+1i z2 = 2 2 Simplificando el cociente. Ejemplo 6.16 Potenciación de números complejos. Dado el número complejo Solución: z = - √3 - 1 i 2 2 2 - √3 + - 1 2 2 r= r=1 2 -1 tan(θ) = 2 - √3 2 tan(θ) = 1 √3 θ = 7� 6 z = - √3 - 1 i, calcule z 6. 2 2 Encontrando la representación polar del número complejo. Módulo de z. Argumento de z. 7� z = ei 6 6 7� z 6 = (e i ( 6 ) ) z 6 = ei7� z 6 = cos(7�) + i sen(7�) z 6 = -1 + 0i pág. 570 Potenciación del número complejo. Encontrando la representación rectangular de z 6.
  17. 17. Capítulo 6 Números Complejos Ejemplo 6.17 Potenciación de números complejos. Dado el número complejo z = 1 + i √3 , calcule z10. 1 - i √3 Solución: Utilizando la notación de Euler, el número complejo dado puede escribirse como: Donde: a) z z = z1 . 2 z1 = 1 + i √3 r1 = √(1)2 + (√3)2 r1 = √1 + 3 = 2 � z1 = 2ei 3 b) z2 = 1 - i √3 r2 = √(1)2 + (-√3)2 r2 = √1 + 3 = 2 5� z2 = 2ei 3 tan (θ1) = √3 1 � θ1 = 3 tan (θ2) = √3 -1 5� θ2 = 3 � 4� ei 3 z = 2 i 5� = ei(- 3 ) 2e 3 Luego: z10= (ei(- 3 )) 40� z10= ei(- 3 ) 4� 10 - 40� coincide con la de - 4� ; y, por 3 3 2� , tenemos: ángulos coterminales coincide con 3 Ya que la medida del ángulo z10 = cos 2� + i sen 2� 3 3 z10 = - 1 + √3i 2 2 pág. 571
  18. 18. Ejemplo 6.18 Potenciación de números complejos. Calcule el valor de la siguiente expresión: (1 + i)100i. Solución: Obtenemos el módulo del número complejo z = 1 + i. r = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2 tan (θ)= 1 1 � θ= 4 Expresando z = √2ei z en forma polar: � 4 Realizando la potenciación: z100 = (√2ei 4 )100 1 � = (2 2 ei 4 )100 � = 250 ei25� = 250 ei� = 250 [cos(�) + i sen(�)] z100 = -250 Realizando el producto por i, tenemos: (1 + i)100 i = -250i. Partiendo de la representación polar, y si hacemos teorema propuesto por Abraham De Moivre: [cos(θ) + i sen(θ)]n = cos(nθ) + i sen(nθ) r = 1, obtenemos el ∀θ ∈ ∀n∈ Esta expresión es importante porque relaciona a los números complejos con la trigonometría. La expresión “ cos(θ) + i sen(θ)” puede abreviarse como cis(θ). Desarrollando el segundo miembro mediante el teorema del binomio, reduciéndolo a la forma x + yi e igualando partes reales y partes imaginarias, se deducen ciertas expresiones para cos(nθ) y sen(nθ) como polinomios de grado n en cos(θ) y sen(θ). Ejemplo 6.19 Identidades Trigonométricas con De Moivre. Empleando el teorema de De Moivre, deduzca una expresión para cos(2θ) y otra para sen(2θ). Solución: n = 2 en la expresión del teorema de De Moivre, se obtiene: [cos(θ) + i sen(θ)]2 = cos(2θ) + i sen(2θ) Si pág. 572
  19. 19. Capítulo 6 Números Complejos Desarrollando el primer miembro de esta igualdad: [cos(θ) + i sen(θ)]2 = cos2(θ) + 2i cos(θ) sen(θ) + i2 sen2(θ) = cos2(θ) + i2 sen2(θ) + 2 [cos(θ) sen(θ)]i = [cos2(θ) - sen2(θ)] + 2 [sen(θ) cos(θ)]i En base a la expresión encontrada e igualando cada término con el segundo miembro de la igualdad original, la parte real y la parte imaginaria nos indican respectivamente que: cos(2θ) = cos2(θ) - sen2(θ) sen(2θ) = 2 sen(θ) cos(θ) Radicación de números complejos Si z = r eiθ es un número complejo diferente de cero y n un entero positivo, existen precisamente n diferentes números complejos w0, w1, ..., wn-1 que son las raíces n-ésimas de z. Sea w = δeiβ una raíz n-ésima, debe cumplirse que w n = z. n δ n einβ = r eiθ, con lo cual δ = √r . El cis de los ángulos nβ y θ deben tener la misma medida, por lo cual sus periodicidades han de diferir en un múltiplo entero de 2�. Es decir: nβ = θ + 2k�, k ∈ Por lo tanto, todas las raíces n-ésimas de z = r eiθ vienen dadas por la Esto es: expresión: n n wk = √r eiθ = √r ei( θ + 2k� n ); k = 0, 1, 2, ..., n - 1 Estas raíces pertenecen a una circunferencia centrada en el origen de radio n-ésima raíz real positiva de r. El argumento de una de ellas θ y las demás están uniformemente distribuidas a lo largo de tal es β = n circunferencia, separadas un ángulo cuya medida es 2� . n igual a la Ejemplo 6.20 Radicación de números complejos. Dado el predicado p(x): x4 + 1 = 0, determine Ap(x) . Solución: El problema se reduce a extraer las raíces cuartas de - 1. pág. 573
  20. 20. Expresando en forma rectangular el número complejo. z = -1 + 0i r = √1 + 0 = 1 tan (θ) = 0 → θ = � -1 z = e i� Expresándolo en forma polar. 1 1 � 2�k z 4 = r 4 ei(4 + 4 ); k = 0, 1, 2, 3. k=0 Calculando su primera raíz. w0 = 1ei( ) � 4 () () w0 = cos � + i sen � 4 4 w0 = √2 + √2 i 2 2 Forma rectangular de la primera raíz. k=1 � 2� w1 = 1ei(4 + 4 ) w1 = cos 3� + i sen 3� 4 4 ( ) ( ) w1 = -√2 + √2 i 2 2 Forma rectangular de la segunda raíz. k=2 � w2 = 1ei(4 + �) 5� w2 = ei( 4 ) w2 = cos 5� + i sen 5� 4 4 ( ) Calculando su tercera raíz. ( ) w2 = -√2 - √2 i 2 2 Forma rectangular de la tercera raíz. k=3 � 6� w3 = 1ei(4 + 4 ) 7� w3 = ei( 4 ) ( ) Calculando su segunda raíz. Calculando su cuarta raíz. ( ) w3 = cos 7� + i sen 7� 4 4 w3 = √2 - √2 i 2 2 pág. 574 Forma rectangular de la cuarta raíz.
  21. 21. Capítulo 6 Números Complejos Comprobación: Si graficamos las cuatro raíces obtenidas en el plano complejo, se comprueba que las mismas están localizadas sobre una circunferencia de radio r = 1, centrada en el origen, y están separadas �, tal como se 2 muestra en la siguiente figura: Eje Imaginario w1 = -√2 , √2 2 2 � 2 � 2 w2 = -√2 , - √2 2 2 � 2 � 2 w0 = √2 , √2 2 2 Eje Real w3 = √2 , - √2 2 2 Ejemplo 6.21 Radicación de números complejos. Determine el número complejo z, tal que cúbicas y calcule sus otras 2 raíces. 2(√3-i) es una de sus raíces Solución: Puesto que 2(√3 - i) es un raíz cúbica de z, se cumple que: z = [2(√3 - i)]3 pág. 575
  22. 22. Luego: z = (2√3)3 - 3(2√3)2 (2i) + 3(2√3)(2i)2 - (2i)3 = (8)(3) √3 - (3)(4)(3)(2i) + (3)(2)(√3)(4)i2 - 8i3 = 24 √3 - 72i - 24√3 + 8i z = 0 - 64i r = 64 θ = 3� 2 2k� 1 � 3 z 3 = wk = √64ei(2 + 3 ); k = 0, 1, 2. k=0 � w0 = 4ei 2 [ () ( )] w0 = 4 cos � + i sen � 2 2 w0 = 4i k=1 � 2� w1 = 4ei(2 + 3 ) [ ( ) ( )] w1 = 4 cos 7� + i sen 7� 6 6 w1 = 4 -√3 - 1 i 2 2 w1 = - 2√3 - 2i k=2 � 4� w2 = 4ei(2 + 3 ) [ ( ) ( )] w2 = 4 cos 11� + i sen 11� 6 6 w2 = 4 √3 - 1 i 2 2 w2 = 2√3 - 2i Observe que pág. 576 w2 es una de las raíces especificada en el problema.
  23. 23. Capítulo 6 Números Complejos Comprobación: Si graficamos las tres raíces obtenidas en el plano complejo, se verifica que las mismas están localizadas sobre una circunferencia de radio r = 4, centrada en el origen, y están separadas muestra en la figura: 2�, tal como se 3 Eje Imaginario w0 = (0, 4) 2� 3 2� 3 Eje Real w1 = (- 2√3 , - 2) w2 = (2√3 , - 2) 2� 3 6.5 Aplicaciones Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Definir y analizar gráficamente las funciones hiperbólicas. * Deducir identidades hiperbólicas empleando propiedades de los números complejos. * Resolver ecuaciones polinomiales con raíces complejas, empleando el teorema fundamental del Álgebra. * Resolver logaritmos de números complejos. * Resolver ángulos de medida compleja. Funciones Hiperbólicas En el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente e x. senh (x) = e x - e -x 2 cosh (x) = e x + e -x 2 tanh (x) = e x - e -x e x + e -x pág. 577
  24. 24. Ejemplo 6.22 Aplicación de números complejos. Bosqueje las gráficas de las funciones hiperbólicas: Solución:  a) f (x) = senh (x) y 4 3 y = senh (x) 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2 -3 -4 b) g(x) = cosh (x) y 7 6 5 y = cosh (x) 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 c) h(x) = tanh (x) 1 x 3 4 -2 y 2 y = tanh (x) 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 pág. 578 2 1 2 3 4 5 6 7 x
  25. 25. Capítulo 6 Números Complejos Las funciones hiperbólicas se relacionan con las funciones trigonométricas mediante las siguientes identidades: cosh (ix) = cos (x) senh (ix) = i sen (x) Para las funciones hiperbólicas, se cumple la identidad: cosh2 (x) - senh2 (x) = 1 Funciones Polinomiales Cuando analizamos los ceros o raíces de las funciones cuadráticas y en general de las funciones polinomiales en el capítulo 3, habíamos observado que para ciertas situaciones dichos valores no son reales. Con la definición de los números complejos, es posible encontrar las referidas raíces. Teorema 6.1 (Teorema fundamental del Álgebra) La ecuación polinómica: anxn + an -1xn -1 + ... + a1x + a0 = 0; ai ∈ tiene ∧ an ≠ 0 n raíces o ceros complejos, contando la multiplicidad algebraica. Ejemplo 6.23 Aplicación de números complejos. Encuentre las raíces de la siguiente función: f (x) = x3 - 10x2 + 33x - 34 Solución: La función dada tiene cuanto mucho (2)3 - 10(2)2 + 33(2) - 34 = 0 1 -10 33 -34 2 2 -16 34 1 - 8 17 0 2 - 8x + 17 = 0 x 8 ± √(- 8)2 - 4(1)(17) x= 2 x = 8 ± √-4 2 x1 = 4 + i ∧ x2 = 4 - i 3 raíces o ceros. ∴ 2 es un cero de f . Resolviendo la ecuación cuadrática. Obteniendo las raíces complejas. pág. 579
  26. 26. Por lo tanto, los ceros de f son: 2, 4 + i, 4 - i Note que si z es una raíz de la ecuación polinómica z también lo es. Comprobación: Se puede construir factores: f (x) = 0, su conjugado f (x) expresándola como el producto de los siguientes f (x) = (x - 2)[x - (4 + i)][x - (4 - i)] Al multiplicar se obtiene: f (x) = (x - 2)(x2 - 8x + 17) f (x) = x3 - 10x2 + 33x - 34 que corresponde a la función polinomial dada. Otras Aplicaciones Anteriormente habíamos indicado que no podíamos encontrar logaritmos de números negativos, ni medidas de ángulos cuyos senos o cosenos excedan la unidad. Sin embargo, con los números complejos podemos encontrar tales valores. La proposición Si -1 = ei(� + 2k�) es verdadera ∀k ∈ . z = cos (θ), entonces θ = arcos (z). Por la identidad hiperbólica, z= e iθ + cos(x) = cosh(ix): e -iθ 2 e iθ + e -iθ - 2z = 0 e2 iθ - 2zeiθ + 1= 0 La medida del ángulo puede ser encontrada resolviendo la última ecuación cuadrática. 2z ± √(-2z) 2 - 4 (1)(1) 2 e iθ = z ± √z 2 - 1 e iθ = Con lo cual: θ = arccos (z) = 1 [ln (z ± √z 2 - 1)]+ 2k�i; k ∈ i En general, se toma el valor para k = 0, el cual se conoce como valor principal de la función. Realizando un procedimiento similar, podemos encontrar que: Si z = sen(θ), entonces θ = arcsen(z). pág. 580
  27. 27. Capítulo 6 Números Complejos Con la identidad hiperbólica e iθ - e -iθ 2i iθ - e -iθ - 2zi e =0 e2 iθ - 2zieiθ - 1 = 0 sen(x) = z= La medida del ángulo ecuación cuadrática. senh(ix) : i θ puede ser determinada resolviendo la última 2zi ± √(-2zi) 2 - 4 (1)(-1) 2 iθ zi ± √1 - z 2 e = e iθ = Con lo cual: θ = arcsen (z) = 1 ln [zi ± √1 - z 2 ]+ 2k�i; k ∈ i Ejemplo 6.24 Aplicación de números complejos. Encuentre los siguientes valores: a) ln ( -1) b) ln (1 - i) c) arccos (2) d) arcsen (3) Solución: a) ln (-1) = ln (eiπ + i2kπ) ln (-1) = �i + 2k�i, k ∈ ln (1 - i) = ln (√2ei 4 π + i2kπ ) ln (1 - i) = 7 �i + 2k�i + ln√2, k ∈ 4 1 c) arccos (z) = ln (z ± √z 2 - 1) + 2k�i i arccos (2) = 1 ln (2 ± √3) + 2k�i, k ∈ i b) d) 7 arcsen (z) = 1 ln (zi ± √1 - z 2) + 2k�i i 1 ln [(3 ± 2√2)i] + 2k�i, k ∈ arcsen (3) = i pág. 581
  28. 28. Ejemplo 6.25 Aplicación de números complejos. Si z = ln (1 + i), determine Re(z) e Im(z) . Solución: Representando el número complejo z* = 1 z* = r eiθ, + i en forma polar: donde: r = √(1)2 + (1)2 r = √1 + 1 = √2 � z* = √2e i 4 tan (θ) = 1 θ= � 4 Reemplazando z* en z, tenemos: z = ln (z*) � z = ln (√2e i 4 + i2kπ ); k ∈ Aplicando la propiedad del logaritmo del producto. z = ln√2 + ln(ei 4 + i2kπ) z = ln √2 + � i + 2kπi 4 � Luego: Re(z) = ln√2 Im(z) = � + 2kπ ; k ∈ 4 pág. 582

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