Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009

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Ejercicios sobre aproximación discreta de mínimos cuadrados

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Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009

  1. 1. UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS Profesor: Efraín Vásquez Millán. TALLER No 7. Teoría de aproximación:Aproximación discreta por mínimos cuadrados 1. Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primero, segundo y tercer grados para los datos de la tabla anexa. En cada caso calcule el error E. Grafique los datos y los polinomios. xi 1· 0 1· 1 1· 3 1· 5 1· 9 2· 1 yi 1· 84 1· 96 2· 21 2· 45 2· 94 3· 18 2. Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primero, segundo y tercer grados para los datos de la tabla anexa. En cada caso calcule el error E. Grafique los datos y los polinomios. xi 0· 00 0· 15 0· 31 0· 50 0· 60 0· 75 yi 1· 000 1· 004 1· 031 1· 117 1· 223 1· 422 3. La tabla siguiente muestra los promedios de puntos-calificación de 20 estudiantes universitarios de matemáticas y computación, junto con la puntuación que tuvieron en la parte correspondiente a las matemáticas del examen ACTP(Programa de pruebas para las universidades norteamaricanas), mien- tras cursaban la enseñanza media. Grafique los datos y obtenga para ellos una ecuación de recta de mínimos cuadrados. Puntuación ACT Promedio de puntos de grado Puntuación ACT Promedio de puntos de grado 28 3.84 29 3.75 25 3.21 28 3.65 28 3.23 27 3.87 27 3.63 29 3.75 28 3.75 21 1.66 33 3.20 28 3.12 28 3.41 28 2.96 29 3.38 26 2.92 23 3.53 30 3.10 27 2.03 24 2.81 4. En un trabajo realizado con el estudio de la eficiencia de la utilización de la energía por las larvas de la polilla modesta (Pachysphinx modesta), L. Schroder [Schr] utilizó los siguientes datos para determinar una relación entre W , el peso de las larvas vivas en gramos, y R, el consumo de oxígeno de las larvas en mililitros/hora. Por razones biológicas, se supone que entre W y R existe una relación de la forma R = bW a . 1
  2. 2. a. Encuentre el polinomio logarítmico lineal de mínimos cuadrados usando ln R = ln b + a ln W b. Calcule el error asociado a la aproximación en la parte (a): 37 E= (Ri − bWia )2 i=1 c. Modifique la ecuación logarítmica de mínimos cuadrados de la parte (a) agregando el térmi- no cuadrático c(ln Wi )2 , y después determine el polinomio logarítmico cuadrático de mínimos cuadrados. d. Determine la fórmula y calcule el error asociado a la aproximación de la parte (c). W R W R W R W R W R 0.017 0.154 0.025 0.23 0.020 0.181 0.020 0.180 0.025 0.234 0.087 0.296 0.111 0.357 0.085 0.260 0.119 0.299 0.233 0.537 0.174 0.363 0.211 0.366 0.171 0.334 0.210 0.428 0.783 1.47 1.11 0.531 0.999 0.771 1.29 0.87 1.32 1.15 1.35 2.48 1.74 2.23 3.02 2.01 3.04 3.59 3.34 2.83 1.69 1.44 4.09 3.58 4.28 3.28 4.29 3.40 5.48 4.15 2.75 1.84 5.45 3.52 4.58 2.96 5.30 3.88 4.83 4.66 5.96 2.40 4.68 5.10 5.53 6.94 5. Determine la parábola óptima en el sentido de los mínimos cuadrados de la forma f (x) = Ax2 +Bx+C para cada conjunto de datos. a. xk −3 −1 1 3 yk 15 5 1 5 b. xk −3 −1 1 3 yk −1 25 25 1 6. Para el conjunto de datos que se muestra al final del enunciado, determine la curva de cada familia que mejor se le ajusta en el sentido de los mínimos cuadrados. a. y = f (x) = beax . Recuerde el cambio de variable X = x, Y = ln y y B = ln b. b. y = f (x) = bxa . Recuerde el cambio de variable X = ln x, Y = ln y y B = ln b. c. Use la estimación para el error N 1 1 2 E2 (f ) = |f (xk ) − yk |2 N k=1 para determinar cuál de las dos curvas se ajusta mejor. xk 1 2 3 4 5 yk 0· 6 1· 9 4· 3 7· 6 12· 6 2

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