Calculo De Proposiciones

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El calculo de las preposiciones tiene que ver con la programación. Asi que si te interesa las programación mira esto:

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Calculo De Proposiciones

  1. 1. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROPOSICIONES Ing. Ignacio Juárez Rúelas
  2. 2. ¿ Que son las proposiciones ? <ul><li>Son afirmaciones que pueden ser VERDADERAS O FALSAS </li></ul>
  3. 3. ¿ Cuantos tipos de proposiciones existen ? <ul><li>Proposición simple o atómica </li></ul><ul><li>Proposición compuesta </li></ul>
  4. 4. Concepto de argumento o silogismo <ul><li>Un argumento esta formado de una o mas premisas o enunciados simples y/o compuestos. </li></ul><ul><li>Y termina con un enunciado simple o compuesto que recibe el nombre de CONCLUSION. </li></ul>
  5. 5. Ejemplo de argumento <ul><li>P1: Si la demanda crece, entonces las compañías se expanden. </li></ul><ul><li>P2: Si las compañías se expanden, entonces se contratan trabajadores. </li></ul><ul><li>-------------------------------------- </li></ul><ul><li>C : Si la demanda crece, entonces las compañías contratan trabajadores. </li></ul>
  6. 6. Ejemplo 2 <ul><li>P1: Este programa de computadora tiene un error, o la entrada de datos es errónea. </li></ul><ul><li>p2: La entrada de datos no es errónea. </li></ul><ul><li>--------------------------------- </li></ul><ul><li>C: Este programa de computadora tiene un error. </li></ul>
  7. 7. CONEXIONES LOGICAS Y JERARQUIAS <ul><li>En lógica matemática las bases fundamentales para analizar proposiciones compuestas, es conocer como se comportan las conexiones lógicas, de las cuales existen las siguientes: Conjunción, Disyunción, negación, condicional y bicondicional, las que se describen como sigue </li></ul>
  8. 8. CONJUNCION <ul><li>Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “Y” formamos la proposición compuesta llamada Conjunción . la que denotamos así </li></ul><ul><li>p y q , </li></ul><ul><li>o en símbolos p ^ q </li></ul><ul><li>En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta </li></ul>p q p ^ q v v V v f F f v F f f F
  9. 9. DISYUNCION Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “O” formamos la proposición compuesta llamada Disyunción . la que denotamos así p o q , o en símbolos p v q En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta p q p v q v v V v f V f v V f f F
  10. 10. NEGACION <ul><li>Este conectivo es el único que se aplica a una sola proposición o enunciado. Se usa la palabra “no” para negar una proposición simple. Y usaremos las palabras </li></ul><ul><li>“ Es falso que…” para negar un enunciado compuesto. Se denota así </li></ul><ul><li>“ no p”, o en símbolos ~p. </li></ul><ul><li>La siguiente tabla de verdad ilustra su comportamiento </li></ul>p ~p V F F V
  11. 11. CONDICIONAL <ul><li>Para formar la proposición Condicional usamos el conectivo “Si…entonces…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como </li></ul><ul><li>“ Si p entonces q” </li></ul><ul><li>en símbolos será </li></ul><ul><li>p  q </li></ul><ul><li>La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición </li></ul>p q p  q V V V V F F F V V F F V
  12. 12. BICONDICIONAL <ul><li>Para formar la proposición Bicondicional usamos el conectivo “…Si y solo si…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como </li></ul><ul><li>“ P si y solo si Q” </li></ul><ul><li>en símbolos será </li></ul><ul><li>P <--> Q </li></ul><ul><li>La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición </li></ul>P Q P <--> Q V V V V F F F V F F F V
  13. 13. JERARQUIA DE LOS OPERADORES ~ ^ v  <-->
  14. 14. ALGEBRA DECLARATIVA <ul><li>En este subtema vemos: </li></ul><ul><li>- Uso de las tablas de verdad, para analizar expresiones lógicas y comprobar equivalencias. </li></ul>
  15. 15. ANALISIS DE EXPRESIONES LOGICAS <ul><li>Al analizar expresiones lógicas mediante tablas de verdad nos podemos encontrar con tres posibles resultados: </li></ul><ul><li>R1: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “V” esto es una TAUTOLOGIA. </li></ul><ul><li>R2: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “F” esto es una CONTRADICCION. </li></ul><ul><li>R3:R2: Si la ultima columna de la tabla muestra valores de verdad “F” y “V” esto es una CONTINGENCIA. </li></ul>
  16. 16. TABLA DE REGLAS DE INFERENCIA A,B l= A^B Ley de combinación A^B l= B Ley de simplificación A^B l= A Variante de la simplificación A l= AvB Ley de Adición B l= AvB Variante de Ley de Adición A, A -> B l= B Modus Ponens ~B , A -> B l= ~A Modus Tollens A->B,B->C l= A->C Silogismo hipotético AvB, ~A l= B Silogismo disyuntivo AvB, ~B l= A Variante de Silogismo disyuntivo A->B, ~A ->B l= B Ley de casos A <-> B l= A->B Eliminación de la Equivalencia A <-> B l= B->A Variante Eliminación de Equivalencia A->B,B->A l=A<->B Introducción de la Equivalencia A, ~ A l= B Ley de Inconsistencia
  17. 17. CALCULO DE PREDICADOS <ul><li>El objetivo del calculo de predicados es mostrar la validez de un argumento o silogismo sin usar el calculo proposicional, en donde para poder lograrlo necesitamos ser capaces de identificar a los individuos junto con sus propiedades y predicados . </li></ul><ul><li>En general los predicados se utilizan para describir ciertas propiedades o relaciones existentes entre los individuos u objetos. Por ejemplo “Ana y Maria son hermanas” </li></ul><ul><li>Ana y Maria : son términos </li></ul><ul><li>Son hermanas: es el Predicado </li></ul><ul><li>Además de términos y predicados se usan los cuantificadores estos indican la frecuencia con la cual es verdadera una cierta frase. </li></ul><ul><li>De estos se conocen: Cuantificador Universal y Existencial. </li></ul><ul><li>Cuantificador Universal: indica que una frase siempre es verdadera. </li></ul><ul><li>Cuantificador Existencial: indica que una frase es verdadera en algunas ocasiones. </li></ul><ul><li>El calculo de predicados es una extensión del calculo de proposiciones por lo que además de los conceptos de términos, predicados y cuantificadores también forman parte de su lenguaje las proposiciones y las conectivas. En sus manipulaciones algebraicas se usan las funciones . En los lenguajes de programación el calculo de predicados es su fundamento lógico y en la computadora especifica sus requisitos en las aplicaciones. En la corrección de programas el calculo de predicados nos permite especificar exactamente las condiciones en los programas que dan respuestas correctas. </li></ul>
  18. 18. Calculo de predicados <ul><li>El universo del discurso o dominio es la colección personas, ideas, símbolos, estructuras de datos y demás que afectan el argumento lógico que se esta considerando. Los elementos del universo de discurso se denominan individuos u objetos . </li></ul><ul><li>Frase: Maria y Pablo son hermanos </li></ul><ul><li>Frase: Juana es la madre de Maria </li></ul><ul><li>Frase: Tom es un gato </li></ul><ul><li>Frase: La suma de 2 y 3 es 5 </li></ul><ul><li>Predicado Lista de Argumentos </li></ul><ul><li>Son hermanos Maria y Pablo </li></ul><ul><li>Es un gato Tom </li></ul><ul><li>La suma de 2 , 3 y 5 </li></ul><ul><li>En el cálculo de predicados cada predicado recibe un nombre que va seguido de una lista de argumentos: </li></ul><ul><li>Ejemplo: “Juana es la madre de Maria” se convierte en Madre(Juana, Maria). </li></ul><ul><li>El numero de elementos en la lista de argumentos se llama Aridad . </li></ul><ul><li>Los predicados de aridad n se denominan predicados de n cifras. </li></ul><ul><li>Los predicados de una sola cifra de denominan propiedades . </li></ul><ul><li>El nombre de un predicado seguido por una lista de argumentos entre paréntesis se llama formula atómica . </li></ul><ul><li>Por ejemplo: Juana es la madre de Maria se puede expresar como madre(Juana, Maria). </li></ul>
  19. 19. CUANTIFICADORES <ul><li>Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos x A. Aquí x se denomina cuantificador universal y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador. El símbolo se lee “para todo”, “para cada”, “para cualquier”. </li></ul><ul><li>Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para cuando menos un valor de x, escribiremos x A. Esta frase se lee “Existe un x tal que A”, “para algun x tal que A”, “para al menos una x tal que A”. Aquí x se denomina cuantificador existencial y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador . </li></ul>A A A E E
  20. 20. RESTRICCIONES DE LOS CUANTIFICADORES <ul><li>Si el cuantificador universal tiene que aplicarse solo a individuos con una propiedad dada, se emplea el condicional (  ) para restringir el universo de discurso. </li></ul><ul><li>Si restringimos en forma similar al cuantificador existencial se utiliza la conjunción ( ^) . </li></ul>
  21. 21. PROBLEMAS <ul><li>1. Expresar las frases siguientes en calculo de predicado. El universo del discurso son todas las personas. </li></ul><ul><li>a). Si a Maria le gusta Kiko, y a Kiko le gusta Juli, entonces a Maria le gusta Juli. </li></ul><ul><li>Legusta(x,y): x le gusta y; M,K,J : Maria, Kiko, Juli. </li></ul><ul><li>Solución: Legusta(M,K) ^ Legusta(K,J)  Legusta(M,J) o mejor todavía </li></ul><ul><li>G(M,K) ^ G(K,J)  G(M,J) </li></ul><ul><li>b) Juan esta muy ocupado pero Beni no </li></ul><ul><li>Ocupado(x): x esta muy ocupado; J,B: Juan, Beni </li></ul><ul><li>Solución : Ocupado(J) ^ ~ Ocupado(B) o </li></ul><ul><li>O(J) ^ ~ O(B) </li></ul><ul><li>2. Suponga que el universo del discurso es un conjunto de personas. Traduzca la frase “ Todos los presentes hablan ingles o francés” al calculo de predicados. </li></ul><ul><li>I(x), (F(x)) : x habla Ingles (Francés) </li></ul><ul><li>Solución: x(I(x) v F(x)) </li></ul>A
  22. 22. Cont… <ul><li>3. En el dominio de los animales, ¿como traduciría las expresiones siguientes? </li></ul><ul><li>todos los leones son predadores </li></ul><ul><li> x(Leon(x)  predador(x)) </li></ul><ul><li>algunos leones viven en África </li></ul><ul><li> x(leon(x) ^ en África(x)) </li></ul><ul><li>solo rugen los leones </li></ul><ul><li> x(ruge(x)  leon(x)) </li></ul>A A E

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