Aplicaciones de la transformada de Laplace

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Aplicaciones de la transformada de Laplace

  1. 1. Departamento de Mecatrónica Instituto Tecnológico de CuliacánAplicaciones de la Transformada de Laplace Dr. Raúl Santiesteban Cos Culiacán, Sinaloa.
  2. 2. Principales Acciones de Control P Proporcional, I Integral, D Derivativa, PI Proporcional Integral, PD Proporcional Derivativa, PID Proporcional Integral Derivativo
  3. 3. Sistema masa-amortiguador-resorteUtilizando las leyes de Newton, se obtiene: k 2 d y(t ) dy(t ) b  ky(t )  r (t )  d b m 2 dt dt m y(t) r(t)donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t )es la fuerza aplicada y d es el término de incertidumbre.
  4. 4. Su transformada de Laplace es:  2 m s Y (s)  sy(0)  y (0)  bsY (s)  y(0)  kY ( s)  R(s)  d s considerando: y (0)  0, y(0)  0, d ms Y ( s)  bsY ( s)  kY ( s)  R( s)  2 s La función de transferencia es: Y ( s) 1 d  R( s) ms  bs  k s 2
  5. 5. Objetivo Control: regulación e(t )  yref  y(t ) usando la derivada se obtiene la dinámica de error (grado relativo del sistema) e(t )   y(t )   e(t )   (t )  y 2 d y (t ) 1 dy(t ) e (t )     b  ky(t )  r (t )  d  dt 2 m dt 
  6. 6. d y(t ) 1  dy(t ) 2 e (t )    b  ky(t )  r (t )  d  dt 2 m  dt  e (t )   be(t )  k ( yref  e(t ))  r (t )  d  1   m e (t )   be(t )  ke(t )  kyref  r (t )  d  1   m
  7. 7. Control Proporcional e (t )   be(t )  ke(t )  kyref  r (t )  d  1   mEl objetivo de control: hacer que la variable e(t) tienda a cero r (t )  kyref  mk p e(t ) b k d e (t )   e(t )  e(t )  k p e(t )    m m m
  8. 8. considerando: y (0)  0, y(0)  0, b k ds E ( s)   sE( s)  E ( s)  k p E ( s)  2 m m msLa función de transferencia es: 1 d E ( s)  b k  ms s  s    kp  2 m m 
  9. 9. Análisis de estabilidad del sistema en lazo cerrado Polinomio característico b k        kp   0 2 m m  condición suficiente y necesaria para estabilidad b k  0; kp   0 m mSi b/m < 0, kp no puede garantizar estabilidad.Si b/m > 0, kp puede garantizar estabilidad!
  10. 10. Resolviendo para λ b k        kp   0 2 m m  2 b 1 b k  1, 2      4  k p  2m 2  m  m 
  11. 11. Caso I 2b k    4  k p m m  b 1, 2  2m 2 1 b  k kp     4m m
  12. 12. Caso 2 2 b 2 k  1 b  k    4  k p  kp     m m  4m m 2 b 1 b k  1, 2      4  k p  2m 2  m  m 
  13. 13. Ambos elementos de la raíz son negativos, por loque el polo es real negativo 2 b 1 b k  1       4  k p  2m 2  m  m Y la segunda raíz? … 2 b 1 b k  2       4  k p  2m 2  m  m 
  14. 14. 2 b 1 b k   ??    4  k p  2m 2 m m ¿ ? 2 b 1 b k      4  k p  2m 2  m  m 
  15. 15. Caso 3 2 b 2 k  1 b  k    4  k p  kp     m m  4m m raíces complejas 2 b 1 b k  1, 2      4  k p  2m 2  m  m 
  16. 16. Ubicación de polos Polinomio característico b k      kp  0 2 m m Polinomio deseado   c1  c2  0 2
  17. 17. Igualando b k c1  c2   k p m mUtilizando un controlador proporcionalsólo se puede establecer la constante c2del polinomio característico. c1 no sepuede modificar ya que es unparámetro de planta. Por lo tanto, no sepueden ubicar los polos en cualquierlugar.
  18. 18. Respuesta en estado permanente Teorema del valor final d dy ()  lim sY ( s)  lim  s 0 s 0 b k  k k s  s    kp  2 p m m  m El error en estado permanente  se define como d  k  kp m Aumentando kp es posible ajustar el error 
  19. 19. EjemploSea m=1, b=2, k=-3 y yref  1.2 2d y dy 2  2  3 y (t )  r (t ) e(t )  1.2  y(t )dt dte(t )  2e(t )  3e(t )  3.6  r (t )  d 
  20. 20. e(t )  2e(t )  3e(t )  3.6  r (t )  d  Utilizando r (t )  k p e(t )  3.6 y (0)  0, y(0)  0, e(t )  2e(t )  3e(t )  k p e(t )  d  Y la transformada de Laplace 1 d E ( s)  2 s  2s  (k p  3) s
  21. 21. Polinomio característico en lazo cerrado   2  (k p  3)  0 2Con Kp>3 se puede garantizar estabilidad 1 1, 2  1  4  4(k p  3) 2
  22. 22. Caso 1 4  4(k p  3)  0 kp  4 d 0 1, 2  1
  23. 23. d  0.5
  24. 24. Caso 2 4  4(k p  3)  0 kp  4 kp 1 1, 2  - 2 , 1d 0
  25. 25. Con Kp>3 se puede garantizar estabilidadSi se desean tener polos diferentes,reales y negativos, se debesatisfacer la siguiente desigualdad 3  kp  4
  26. 26. d 0
  27. 27. Caso 3 4  4(k p  3)  0 kp  4 kp  5 1, 2  -1  i
  28. 28. Comportamiento de los polos modificandola ganancia Kp
  29. 29. Respuesta en estado permanente Teorema del valor final d dy()  lim sY ( s)  lim 2  s 0 s 0 s  2 s  ( k  3) kp 3 pEl error en estado permanente  se define como d  kp 3
  30. 30. Dado un porcentaje de error d  0.1 kp 3  d  0.3 kp  0.1
  31. 31. Caso perturbado k p  6 d  0.5 2 d y dy 2  2  3 y(t )  r (t )  d dt dt 1 d Y ( s)  2 s  2s  (k p  3) s 0.5 1   63 6
  32. 32. Efectos de control proporcional C ( s) n 2  2 forma estándar del sistema R( s ) s  2n s   n 2 de segundo orden.donde  n es la frecuencia natural no amortiguada,  se denominaatenuación,  es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamientodinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de losparámetros  y  n . d  n 1   2
  33. 33. 1.- Tiempo de crecimiento 1 1 d   tr  tan   , d    d d   tan1 
  34. 34. 2.- Tiempo pico.  d t p    tp  d3.- Tiempo de establecimiento. 4 4 t s  4T    n 
  35. 35. El control proporcional,aplicado a un sistemadinámico, afecta a elsobre-paso?

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