Ecuaciones de primer grado con radicales

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Ecuaciones de primer grado con radicales

  1. 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON RADICALES Son Ecuaciones que tienen raíces y se las resuelve según el número de radicales que tengaSI TIENEN UN RADICAL SI TIENEN 2 RADICALES SI TIENEN 3 RADICALES2 x–2 +1=5 = 52 =2 x–2 = 5-1 =5- (2 X – 3)2 =( X+2+(2 x–2 )2 = (4)2 = (5 4(X-3)=X+2+2 2 X -4X-12 +X-64(x -2) = 16X +1= 25-10 + 4 X -12= 2X -4 +2 X2 -4X -12X–2=4 10 X-4 = 20 2X – 8=2 X2 – 4X -12X = 6 X- 4 =2 (X – 4)2 = ( X2 -4X -12)2 (X – 4) = (2)2 X2 -8X +16 =X2 -4X -12 X–4=4 -4X = -28 X=8 X=7
  2. 2. Ecuaciones de segundo gradoSe llaman así a todas las ecuaciones de la forma a x2 + b x +c = 0INCOMPLETAS COMPLETASa x2 + bx = 0a x2 + b x + c =0a x2 + c = 0a x2 = 0
  3. 3. ECUACIONES INCOMPLETAS Se llaman ecuaciones incompletas cuando les falta b c o ambas Ejemplos: 3x2 + 5 = 0 X2 + 6 x = 0Ejemplo: Primer caso de la forma:a x2 + c = 0 X2 = - c =x= EjemploSegundo caso de la forma: a x2 + bx = 0 4 y2 + 3 y =0y (4y + 3) = 0 y = 0 y= - 3/4 CASOS Ejemplo: Tercer caso de la forma: a x2 = 0 x2 = 0 /0 X2 =0 = 0 X= 0 X1 = X2 = 0
  4. 4. 1.- por descomposición de factores 2.-completar RESOLUCIÓN DE 3.- formula generalel trinomioECUACIONES COMPLETAS 4.-graficamente
  5. 5. 2.-Por descomposición de factoresExpresamos la ecuación igualada en la forma a a x2 + b x + c =0; factoramos e igualamos cadafactor a cero EJEMPLOS6y2 -6 = 5y x2 - 7x + 1 =06y2 – 6 -5y=0 12b2 12ab ab 366y2 -5y -6 =0 a2x2 – 7abx + 12 b2 = 0(6y – 9) (6y + 4) 12a 2b2 3 2 a2x2 – 7abx + 12 b2 = 0(2y -3) (3y + 2)=0 (ax -4b) (ax -3b) = 0y = ; y= ax= 4b ax= 3b x = 4b x = 3baa 2.-MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO Para aplicar este método e valor de a debe ser 1 Consiste en dividir el coeficiente del 2 do término para (2), el resultado elevo al cuadrado y es el término que me falta para completar el trinomio cuadrado perfecto. Este resultado lo sumamos a los dos lados, en el primer miembro factoramos el trinomio cuadrado perfecto y en el segundo miembro sumamos algebraicamente, sacamos la raíz cuadrada a ambos miembros y despejamos la incógnita.
  6. 6. JSi a es diferente de 1 primero dividimos para a y luego completamos el trinomioEJEMPLOS:x2 +x + 1 = 0x2 + x + 1 = - 1 + 1 4 41 2= 2 =x+1 2 = -3 4 4x+1 2 = -3 4 4X --2X= -2X=-1 2 3.-POR LA FÓRMULA GENERAL Toda ecuación a x2 + bx + c= 0podemos resolverla por la fórmula:
  7. 7. EJEMPLO:( X + 1) (X+ 2) (X + 3) = x (x+4) (x +5)(x2 +3x +2= ( x -3) = x ( x2 +9x +20)X2 +3 x2 +3x2 +9x +2x +6= x2 + 9 x2 +20x3x2 +9x -6 =0X2 + 3x -2 =0a= 1b=3c= -2X= (3)2 -4 (1) ( -2) 2aX=- 2aX= - 3 2a
  8. 8. 4.- GráficamentePara resolver una ecuación de segundo grado la transformamos en función de segundo gradoquitándole el cero y poniéndole y. a x2 + bx + c= 0 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO y =a x2 + bx + c FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO1.- primero calculamos el vértice es decir el punto máximo o mínimo para lo cual utilizaremos lasiguiente fórmula.U (X, Y)X=Y=U= ); ffx = ax2 +bx +c2. Graficamos el valor de x si es exacto o medimos los 2 valores de x el valor de y es el mismo,contamos desde el valor de x la misma distancia y formamos una tabla de valoresreemplazándolos los valores de x en la función de segundo grado.Si no es exacta contamos de igual manera pero reemplazamos cada valor correctamentedirectamente para interpolar es decir para buscar los juntos que le faltan medimos desde el eje desimetría para el lado contrario EJEMPLO:
  9. 9. X2 -3x + 7 = 0Y= X2 -3x + 7a= 1 ; b= 3 c= 7x= ) =y= -3(== U( )X Y1 50 5-1 72 74 113 11 ECUACIONES FRACCIONARIAS Son ecuaciones que tienen denominadorPara resolver una ecuación fraccionaria factorizamos los denominadores damos un mínimo comúndenominador y resolvemos la ecuación restante.
  10. 10. EJEMPLO:
  11. 11. ECUACIONES LITERALES Son aquellas que tienen como valores (a, b,c)Para resolver estas ecuaciones expresamos en la forma a x2 + bx + c= 0, es decir igualamos a cero yresolvemos por factoreo o por la fórmula general. EJEMPLO: ECUACIONES DE 2DO GRADO CON RADICALESSe procede de acuerdo al número de radicales que tenga y se resuelve la ecuación de segundogrado por cualquier método.EJEMPLOS – 5 =0
  12. 12. ( = 53X2 +20x -125=0 (x +25) (x-5) =0 X= -25 ; x= 5 = ( =( 2+ = 12- x ( = (10 - x X-4 = 100-20x + x2 x2 -21x +104 =0 (x-13) (x-6) =0 X= 13 ; x= 6 ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Son ecuaciones cuyo exponente es mayor que 2 o fraccionaria también pueden ser negativas. Las ecuaciones de grado superior se resuelve según su forma y el número de raíces o soluciones es igual al máximo exponente de la incógnita. A estas ecuaciones también se las llama ecuaciones reducible a segundo grado
  13. 13. 1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO:Los resolvemos utilizando ecuaciones de segundo grado podemos hacerla directa outilizando una variable.Ejemplo: 2.-Ecuaciones bicuadradasLa ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado y es de la forma + bx2 +c =0;Para resolverlos utilizamos factoreo e igualamos cada factor a cero.Ejemplos: = 21 –x2 -21 -9= 0
  14. 14. -30= 0 +6) ( -5 ) =0 = (-6)2 ; = (5)2 =36X= 3.-Ecuaciones binomias.-Son ecuaciones de la forma para resolverlas se puede resolver por factoreocuando al factorizar se obtienen las raíces es decir se puede factorar completamente.EJEMPLOS:X3 =27X3 -27=0(X- 3)(X= 3
  15. 15. ;x4-256=0(x2 +16) (x2-16)=0X2=-16 ; x2=16X= 4.-Ecuaciones binómicas no factorables:Cuando no se pueden factorar completamente utilizamos el teorema de MOIVREEJEMPLO:X5+32=0X5=32 BUSCAMOS LAS 5 RAÍCES DE -32-32=-32+0ia=-32 O= arc tanb=0 O= arc tanr= O = 1800r=r=32
  16. 16. X=32 cis 1800; n= 5X= ) X= 2cis (360 +k .720) K=0 X1= 2cis (360 +k .720)X1= 2(cos 360 + I sen 360) X1= 161+1,18i K=1 X2= 2cis(360 +1 .720)X2= 2(cos108 + isen 108) X2= -0,62+1,90i K=2 X3= 2cis (360 +2 .720)X3= 2(cos180 +isen 180) X3=-2 K=3 X4= 2cis (360 +3 .720)X4= 2 (cos252 + isen252) X4= -0,62-1,90i K=4
  17. 17. X5=2cis (360 +5 .720) X5= 2(cos324 + isen 324) X5= 1,61 – 1,18i 5.-ECUACIONES TRINOMIAS:Tienen 3 términos y son de exponente 6 u 8 y se resuelven por factoreoEJEMPLO:X8-97 X4+1296= 0( X4-81) ( X4-16) =0(X2+9) ( X2-9) (X2+4) ( X2-4)= 0X2= -9 ;X2= 9 ; X2= -4 ; X 2= 4X=ECUACIONES RECÍPROCAS:Se llaman así aquellas ecuaciones que no alteran si se reemplaza x por JTambién podemos darnos cuenta que es recíproca cuando los términos equidistantes dela ecuación ordenada son iguales, el valor absoluto 4x4 -17x3 +17x -4= 0RESOLUCIÓN:las ecuaciones recíprocas se reducen según el número de términos quetenga. Si el número de términos es impar agrupamos los términos equidistantes, factoramosfactor común solo el número dividimos para x2 y utilizamos una variable auxiliar de paso u= x +1/x4x4 -17x3 +17x -4= 0 X
  18. 18. 4x4 -17x3 +17x -4= 0ECUACIONES BINÓMICAS QUE TIENEN UN NÚMERO PARA DE TÉRMINOS: Agrupamos los términos equidistantes y factoramos todo lo que haya, resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el resultado.EJEMPLO:4x4 -17x3 +17x -4= 04(X4- 1) -17X( X2 -1) = 04(X4+1) ( X2 -1) -17X( X2-1)=0(X2-1) (4X2 +4 -17X)=0X2=1 4X2 -17X+4=0X(X-4) (4X -1)=0X=4 ; X= ECUACIONES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO:Se forma una ecuación ax2n +b xn + c= 0 au2n + bun + c =0 EJEMPLO:
  19. 19. au2n + bun + c =0 =0ECUACIONES IRRACIONALES: Son las ecuaciones con radicales que estudiamos anteriormente y se lo resuelve según el número de radicales que tenga EJEMPLO:
  20. 20. =7 = (7 – = (X+52)2196(2X+8) =X2 +104X +2704 X2-288X+1136=0 (X-284) (X- 4) X=284 ; X=4X

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