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# Solucion parcial mdii_2012

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Solución de algunos problemas propuestos.

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### Solucion parcial mdii_2012

1. 1. n r  n n  k 1. Sea n un entero positivo demuestre que  .    . r k  k r  k        n n  k  n! (n  k )! n! (n  k )! . k   r  k   (n  k )!*k! * ((n  k )  (r  k ))!*(n  k )!  (n  k )!*k! * (n  r )!*(r  k )!    n   n  k  n! 1 . k   r  k   k! * (n  r )!*(r  k )!    n   n  k  n! 1 r! . k   r  k   k! * (n  r )!*(r  k )! * r!    n n  k  n! r!  .  k   r  k   (n  r )!r! * * (r  k )!k!    n r  n n  k  .    .r k  k r  k       
2. 2.  2n   2n   2n  2 2. Sea n un entero positivo demuestre que           2   n  1  n   n  1  2 n   2 n   2n  2  n  1   n    n  1  2           2 n   2n  (2n)! (2n)! n * (2n)!(2n)!*(n  1) (2n)!*[n  (n  1)] n  1   n   (n  1)!(n  1)!  n!*n!         (n  1)!*n! (n  1)!*n!(2n)!*[n  (n  1)] (2n)!*[2n  1] (2n  1)! (2n  2) (2n  2)!   *  (n  1)!*n! (n  1)!*n! (n  1)!*n! (2n  2) (n  1)!*n!*2(n  1) (2n  2)! (2n  2)! (2n  2)! 1  2n  2    *   2(n  1)!*n!*2(n  1) (n  1)!*(n  1)!*2 (n  1)!*(n  1)! 2  n  1   
3. 3. 3. Supongamos que k y n son enteros tales que 1 k n. Demuestre que:  n  1  n   n  1  n  1  n   n  1   k  1 *  k  1 *  k    k  *  k  1 *  k  1                       Por la regla de la combinatoria.  n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!   *  *     k  1  k  1  k  ((n  1)  (k  1))!(k  1)! (n  (k  1))!(k  1)! ((n  1)  k )!k!        n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!   *  *     k  1  k  1  k  (n  k )!(k  1)! (n  k  1)!(k  1)! (n  1  k )!k!        n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!  * *     k  1  k  1  k  (n  k )!(k  1)! (n  k  1)!(k  1)! (n  1  k )! k!       Reorganizando los denominadores obtenemos lo siguiente:  n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!  * *     k  1  k  1  k  (n  k  1)! k! (n  k  1)!(k  1)! (n  k )!(k  1)!       Se concluye entonces que:  n  1  n   n  1  n  1  n   n  1   k  1 *  k  1 *  k    k  *  k  1 *  k  1                       
4. 4. 4. ¿De cuántas formas se puede elegir diez monedas de una canasta que contiene 100 monedas de un euro y 80 monedas de dos euros si el orden no interesa y si la repetición está permitida? Respuesta: Por la regla de la combinatoria con repetición. El tipo de monedas es 2; n=2. La cantidad de elementos a escoger es 10; r=10  2  10  1 11   10  =   =11  10      Monedas Combinaciones con repetición 1 euro 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 euros 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 05. Problema 9e.