Factorizacion

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Ejercicios para estudiar factorizacion

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Factorizacion

  1. 1. CPUCalle Mercado # 555 FACTORIZACIÓN Teléfono 3 366191Caso I: Factor Común EjemplosCómo Reconocer: Existe un factor común en todos • ax+bx = x(a+b)los términos. Los números pueden factorizarse en estecaso si existe máximo común divisor (MCD) entre • ax3-bx2 = x2(ax-b)ellos. • 2b5-b3 = b3(2b2-1)Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letrascomunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y • 24ax+18bx = 6x(4a+3b)dividir cada término entre el factor común (restando 24 – 18 2⇐los exponentes). 12 – 9 2 6– 9 2 MCD = 2 . 3 = 6 3 – 9 3⇐ 1– 3 3 1Caso I Especial • 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y)Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto • a(m-2)-m+2entre paréntesis. a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1)Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y • x(a-b)+a-bdividir cada término entre el común x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1)Caso II: Factor común por agrupación • ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by)Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son = x(a+b) - y(a+b)seis u ocho términos = (a+b)(x-y)Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar • ax2-x+ax-1 = (ax2-x)+(ax-1)cada grupo como el caso I y luego el resultado = x( ax-1) +(ax-1)factorizar como el caso I especial. = (ax-1)(x+1)Caso III: Trinomio cuadrado perfecto • a2+2ab+b2 = (a+b)2Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. • x2-2xy+y2 = (x-y)2El primero y el tercero siempre son positivos y tienenraíz cuadrada. • 4x2-12xy+9y2 = (2x-3y)2 prueba: 2(2x)(3y) =12xyCómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, 2signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar • x2 x   xentre paréntesis y elevar al cuadrado. − 5xy 3 + 25 y 6 =  − 5 y 3  prueba : 2 (5 y 3 ) = 5 xy 3 4  2  2Caso III Especial (a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis. [(a+1)+(2a-3)]2El primero y el tercero siempre son positivos y tienenraíz cuadrada. [ a+1 + 2 a-3 ]2Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, [3a-2]2signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociarentre corchetes y elevar al cuadrado.Caso IV: Diferencia de cuadrados • a2 – b2 = (a – b) (a + b)Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que • 4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)tienen raíz cuadrada, siempre es una resta x 2 16  x 4  x 4 Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno • − =  −  + con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz 25 y 6  5 y 3  5 y 3 cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismoen los dos paréntesis.Caso IV Especial • (a+b)2 – c2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son • 49(x –1)2 – 9(3 – x)2conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada,el signo afuera de los parentesis es menos (-) [7(x-1) – 3(3 –x)] [7(x-1) + 3(3 –x)]Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, unocon menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz [7x – 7 – 9 + 3x] [7x – 7 + 9 – 3x]cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en losdos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos [10x – 16] [4x + 2]semejantes.
  2. 2. Combinación Caso III y IV EjemplosCómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos • a2 +2ab + b2 – c2 = (a2 +2ab + b2) – c2tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos, (a + b)2 – c2cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada. [(a +b) –c] [(a +b) +c]Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos [a + b – c] [a + b + c]formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesisy factorizar por el caso III, el resultado factorizar por • a2 - x2 – 2xy – y2 = a2 – (x2 + 2xy + y2)el caso IV Especial = a2 – (x+y)2Cuando son seis términos formar dos trinomios = [a – (x+y)][a + (x+y)]cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el = [a – x - y] [a + x + y]resultado factorizar por el caso IV Especial • a2 +2ab + b2- x2 + 2xy – y2 (a2 +2ab + b2) - (x2 - 2xy + y2) (a + b)2 – (x – y)2 [(a + b) – (x – y)][ (a + b) + (x – y)] [ a + b – x + y ][ a + b + x – y ]CasoV: Trinomio cuadrado por • x4 + x2y2 + y4 =(x2 + y2)2 – x2y2 Adición y SustracciónCómo Reconocer: Siempre son tres términos. El + x2y2 =[(x2 + y2) – xy] [(x2 + y2) + xy]primero y tercero siempre son positivos, tienen raízcuadrada y sus exponentes son múltiplos de cuatro +2x2y2 =[ x2 + y2 – xy] [ x2 + y2 + xy](4, 8, 12, etc) =[ x2 – xy + y2 ] [ x2 + xy + y2 ]Cómo Factorizar: Resolver como caso III y restar loque le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. Elresultado factorizar como el caso IV Especial. • 25x4 + 21x2y2 + 9y4 =(5x2 + 3y2)2 – 9x2y2 + 9x2y2 =[(5x2 + 3y2) – 3xy] [(5x2 + 3y2) + 3xy] + 30x2y2 =[ 5x2 + 3y2 – 3xy] [ 5x2 + 3y2 + 3xy] =[ 5x2 – 3xy + 3y2 ] [ 5x2 + 3xy + 3y2 ]Caso V Especial • x4 + 4y4Cómo Reconocer: Siempre son dos términos (x2 + 2y2)2 – 4x2y2positivos que tienen raíz cuadrada y cuyos exponentes [(x2 + 2y2) – 2xy] [ (x2 + 2y2) + 2xy]son múltiplos de cuatro (4, 8 12, etc) [ x2 + 2y2 – 2xy] [ x2 + 2y2 + 2xy]Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada a ambos [ x2 – 2xy + 2y2 ] [ x2 + 2xy + 2y2]términos, asociar entre paréntesis y elevar alcuadrado, restar el doble del primero por el segundo y • 64x4 + y8el resultado factorizar por el caso IV Especial (8x2 + y4)2 – 16x2y4 [(8x2 + y4) – 4xy2] [(8x2 + y4) + 4xy2] [ 8x2 + y4 – 4xy2] [ 8x2 + y4 + 4xy2] [ 8x2 – 4xy2 + y4 ] [ 8x2 + 4xy2+ y4 ]Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c • x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)Cómo Reconocer: Tiene la forma x2 + bx + c • x2 – 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, • x2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2)colocar la raíz cuadrada del primero en cadaparéntesis; en el primer paréntesis poner el signo del • x2 + x – 20 = (x + 5)(x - 4)segundo término y en el segundo paréntesis poner lamultiplicación de los signos de segundo y tercer Caso VI Especialtérmino.Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dosnúmeros que sumados den el segundo y multiplicado • x4y6 – 2x2y3 – 15 = (x2y3 - 5)(x2y3 + 3)den el tercer término. • x2 + 7ax + 12a2 = (x + 4a)(x + 3a)Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscardos números que restados den el segundo y • (5x)2 + 4(5x) – 12 = (5x + 6)(5x -2)multiplicados den el tercer término. El número mayorse anota en el primer paréntesis. • - x2 + 3x + 28 = -(x2 –3x –28) -(x - 7)(x + 4) (7 – x)(x + 4)
  3. 3. Caso VII: Trinomio de la Forma ax2 + bx + c Ejemplos 2Cómo Reconocer: Tiene la forma ax + bx + c • 10 x2 – 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1) 5x -2 = -4xAspa Simple: Descomponer el primer y tercer término endos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus 2x -1 = -5x .resultados, si la suma da el segundo término, entonces -9xponer cada fila entre paréntesis. 6Otro Método: Abrir dos pares de paréntesis. Colocar el • 3x2 +5 x + 2coeficiente del primer término en cada paréntesis y en el 1 1  denominador. Multiplicar el primer término con el tercero  3 x + 3  3 x + 2  / /y proseguir como el caso VI, luego simplificar el    = ( x + 3)(3 x + 2 )denominador con los coeficientes de un paréntesis, sisobra algo en el denominador usarlo para simplificar con 3/ 1 18el otro paréntesis. • 6x2 –7x – 3 2 3  3 1   6 x − 9  6 x + 2  / / / /    = (2 x − 3)(3x + 1) 6/ 21 /Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio • a + 3 a b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 3 2Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos • X3 – 3 x2y + 3xy2 – y3 = (x - y)3positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuartotérmino tienen raíz cúbica. • 8 + 12 a2 + 6 a4 + a6 = (2 + a2)3 3(2)2(a2) = 12a 2 úCómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner pruebasigno positivo, si todos son positivos, signo negativo, si 3(2)(a 2)2 = 6a4son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término,asociar entre paréntesis y elevar al cubo. • 125 a3 –150 a2b + 60 ab2 – 8b3 = (5a – 2b)3 3(5a) 2(2b) = 150a 2b ú prueba 3(5a)(2b) 2 = 60ab 2Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos • x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o • a3 - b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)restados que tienen raíz cúbica • 8x3 – 125 = (2x – 5)[(2x)2 + (2x)(5) + (5)2]Cómo Factorizar:Cuando es una suma (x3 + y3): Abrir dos pares de = (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica delprimero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundoparéntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero Caso IX Especialpor el segundo más (+) el segundo al cuadrado.Cuando es una resta (x3 - y3): Abrir dos pares de • x3 + (x - 1)3 = [x + (x - 1)][x2 – x(x-1) + (x-1)2]paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica delprimero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo = (x + x - 1)(x2 –x2 +x + x2 –2x + 1)paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero porel segundo más (+) el segundo al cuadrado. =(2x - 1)(x2 – x +1) • (5x - 1)3 – (2x + 3)3 =[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1)2 + (5x - 1)(2x + 3) +(2x + 3)2] =[5x -1 - 2x -3][25x2 –10x+1+10x2+15x –2x –3+4x2+12x+9] =(3x - 4)(39x2 + 15x + 7)Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales • x5 + y5 = (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o • a7 – b7=(a - b)(a6+a5b+a4b2+a3b3+a2b4+ab5+b6)restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. • x5 – 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, en elprimer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el • 1 + x7 =(1 + x)(1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6)segundo paréntesis poner un polinomio donde el primertérmino vaya decreciendo y el segundo término vaya • x5 – 32 =(x - 2)(x4 + x3.2 + x2.22 + x.23 + 24)creciendo. =(x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2+ 8x+ 16)Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados ysi es una resta, el polinomio es de signos positivos.

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