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機率3 1.3-2投影片

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機率3 1.3-2投影片

  1. 1. 高二數學 機率與統計 ( 上 ) 9848513 張維珊 9622038 陳孟謙 9622035 曾翊琪
  2. 2. 3-1 樣本空間與事件 <ul><li>主題 1 樣本空間與事件 </li></ul><ul><li>1. 一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合叫做 樣本空間 </li></ul><ul><li>2. 事件﹕ </li></ul><ul><li>(1) 樣本空間的任一子集 , 稱為一個 事件 </li></ul><ul><li>(2) 當兩事件 A 與 B 不可能同時發生  </li></ul><ul><li>即 A∩B≠  時  稱 A  B 為互斥事件 . </li></ul>
  3. 3. 例題1、 已知一試驗的樣本空間 S={1,2,3,4,5}, 事件A={ 1,2 } , 試問﹕ <ul><li>(1) 恰含 3 個樣本點的事件共有多少個﹖ </li></ul><ul><li>(2) 與事件互斥的事件共有多少個﹖ </li></ul>
  4. 4. (1) 恰含 3 個樣本點的事件共有多少個﹖ <ul><li>解 </li></ul><ul><li>因為樣本空間 S 共有 5 個元素 , </li></ul><ul><li>所以恰含 3 個樣本點的事件共有 </li></ul><ul><li>(個) . </li></ul>
  5. 5. (2) 與事件互斥的事件共有多少個﹖ <ul><li>解 </li></ul><ul><li>若事件 B 為與事件 A 互斥的事件 , </li></ul><ul><li>表示事件 B 不含 1,2 兩個樣本點 .  1,2 只有不選 1 種情形 , </li></ul><ul><li>而 3,4,5 有選和不選兩種情形 </li></ul><ul><li>故與事件 A 互斥的事件共有 </li></ul><ul><li>(個) . </li></ul>
  6. 6. 3-2 機率的性質 <ul><li>主題 1 機率的定義 </li></ul><ul><li>設一試驗的樣本空間為 S </li></ul><ul><li>若 S 中每個基本事件出現的機會均等  </li></ul><ul><li>則事件 A 發生的機率為 </li></ul><ul><li>「 A 的元素個數與 S 的元素個數之比」  </li></ul><ul><li>即 </li></ul>
  7. 7. 例題2、 已知編號為 1, 2, …, 10 的十盞路燈中 , 有三盞是故障的 , 求編號 4 與編號 5 都是故障的機率
  8. 8. <ul><li>解 </li></ul><ul><li>樣本空間 S 為十盞路燈中 , </li></ul><ul><li>選出三盞路燈故障 , 方法數有種 , </li></ul><ul><li>故 </li></ul><ul><li>令事件 A 表編號 4 與編號 5 都故障的情形 </li></ul><ul><li>因此 , 剩下的八盞路燈中 , 選出一盞路燈故障 , </li></ul><ul><li>方法數有 種 , 故 故事件 A 發生的機率為 </li></ul>
  9. 9. <ul><li>主題 2 機率的性質 </li></ul><ul><li>S 為一試驗的樣本空間  </li></ul><ul><li>1.P(  ) = 0  P(S) = 1 . </li></ul><ul><li>2. 對任意事件 A  0≦P(A)≦1 </li></ul><ul><li>3. 若 A  B 為兩事件  </li></ul><ul><li>則 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 其中若 A  B 為互斥事件(即 P(A∩B=  ) )  </li></ul><ul><li>則 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) </li></ul>
  10. 10. 例題 4 、 P(A∪B) = 3/4 , P(A′) = 2/3 , P(A∩B) = 1/4 <ul><li>(1) P(A  B) =       。 </li></ul><ul><li>(2) P(B) =       。 </li></ul><ul><li>(3) P(A ′ ∪B) =       。 </li></ul><ul><li>(4) P(A ′ ∪B ′ )=       。 </li></ul>
  11. 11. (1) P(A  B) <ul><li>解 </li></ul><ul><li>P(A  B) = P(A) - P(A∩B) </li></ul><ul><li>= [ 1- P(A′)] - P(A∩B) </li></ul><ul><li>= 1/3 -  1/4   </li></ul>(2) P(B) <ul><li>解 </li></ul><ul><li>∵ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) </li></ul><ul><li>∴   P(B) = P(A∪B) -  P(A) + P(A∩B) </li></ul><ul><li>=  3/4 - 1/3 + 1/4 </li></ul>
  12. 12. (3) P(A′∪B) <ul><li>解 </li></ul><ul><li>P(A′∪B) = P(A′) + P(B) - P(A′∩B) </li></ul><ul><li>= 2/3 + 2/3 - P(A′∩B) </li></ul><ul><li>P(A′∩B) = P(A) - P(A  B) </li></ul>(4) P(A′∪B′) <ul><li>解 </li></ul><ul><li>P(A ′ ∪B ′ ) =  1 - P(A∩B) </li></ul>
  13. 13. 例題 5 、 <ul><li>設事件 A 發生的機率為 , </li></ul><ul><li>事件 B 發生的機率為 , </li></ul><ul><li>若 P 表示事件 A 或事件 B 發生的機率,求 </li></ul><ul><li>(1)P 的最小值為 。 </li></ul><ul><li>(2) 已知 A 與 B 為互斥事件時的 P 值 </li></ul><ul><li>為 。 </li></ul>
  14. 14. <ul><li>解 </li></ul><ul><li>P=( 發生事件 A 或事件 B) = P(A∪B) </li></ul><ul><li> P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) </li></ul><ul><li>所以 </li></ul><ul><li>(1)P 的最小值 </li></ul><ul><li>發生於 P(A∩B) 最大時,即 B A, </li></ul><ul><li>P(A∩B) = P(A) = 1/2 </li></ul><ul><li>∴ P = P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) </li></ul><ul><li>        = P(B) = 1/3 </li></ul>
  15. 15. <ul><li>(2) 已知 A 與 B 為互斥事件時 </li></ul><ul><li>P(A∩B) = 0 </li></ul><ul><li>∴ P = P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) </li></ul><ul><li>= 1/2 + 1/3 - 0 </li></ul><ul><li>=  5/6 </li></ul>
  16. 16. 例題 6 、 ( 生日問題 ) <ul><li>有 5 人,則 </li></ul><ul><li>(1) 至少有二人生日不同之機率為   。 </li></ul><ul><li>(2) 恰有三人生日同月,其餘不同月之機率 </li></ul><ul><li>為       。 </li></ul><ul><li>(3) 至少有二人在同一日出生之機率為   。 </li></ul>
  17. 17. (1) 至少有二人生日不同之機率 <ul><li>解 </li></ul><ul><li>至少有 2 人不同 = 全部 - 全部相同 </li></ul><ul><li>= 1 -   1/365 </li></ul><ul><li>=  364/365 </li></ul>
  18. 18. (2) 恰有三人生日同月,其餘不同月之機率 <ul><li>解 </li></ul><ul><li>選出同月的 3 人  C 3  機率 1/12 </li></ul><ul><li>其餘 2 人不同月, </li></ul><ul><li>剩下 11 個月選 1 ,剩下 10 個月選 1 </li></ul><ul><li>所以 </li></ul><ul><li>C 3 (1/12) × C 2 (11/12) × 10/12 </li></ul>
  19. 19. (3) 至少有二人在同一日出生之機率 <ul><li>解 </li></ul><ul><li>平年有 365 天, </li></ul><ul><li>2 人不在同一天生日的機率: 1 × 364/365 </li></ul><ul><li>3 人: 1× 364/365 × 363/365 , </li></ul><ul><li>4 人: 1× 364/365 × 363/365 × 362/365 </li></ul><ul><li>5 個人不在同一天生日的機率是 </li></ul><ul><li>1× 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 </li></ul><ul><li>延伸思考: </li></ul><ul><li>n 個人之中,至少有 2 人同一天生日的機率是多少 ? </li></ul>
  20. 20. 隨堂測驗

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